中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)平行四邊形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及解析

中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)平行四邊形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及解析

一、選擇題

1.如圖，QABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于O,BD=2AD,E,F,G分別是0C,0D,AB

的中點(diǎn)，下列結(jié)論

①BE_LAC

②四邊形BEFG是平行四邊形

③EG=GF

④EA平分NGEF

其中正確的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

2.在邊長(zhǎng)為2的正方形A8CO中，P為A8上的一動(dòng)點(diǎn)，E為4）中點(diǎn)，PE交CD延

長(zhǎng)線(xiàn)于Q,過(guò)E作EFLPQ交的延長(zhǎng)線(xiàn)于尸，則下列結(jié)論：①AAPEMADQE；

②PQ=EF；③當(dāng)P為A8中點(diǎn)時(shí)，CF=6；④若H為QC的中點(diǎn)，當(dāng)P從A移動(dòng)

到8時(shí)，線(xiàn)段石”掃過(guò)的面積為!，其中正確的是（）

2

A.①②B.①②④C.②③④D.①②③

3.如圖，菱形4B8中，A8=4,NA8C=120,點(diǎn)E是邊A6上一點(diǎn)，占尸在BC

上，下列選項(xiàng)中不正確的是（）

A.若AE+B=4,則八4?！隇醢?。尸

B.若。ELA。，OE_LCO,則后尸=2百

C.若ZDEB=ND",則MEF的周長(zhǎng)最小值為4+2百

D.若DE=DF，則/ADE+NFDC=60°

4.如圖,矩形ABCD中,AB=5,AD=4,M是邊CD上一點(diǎn),將△ADM沿直線(xiàn)AM對(duì)折,得△ANM,

連BN,若DM=1,則4ABN的面積是（）

5.如圖，在矩形ABC。中，4。=14。,從后平分/胡。交。。于點(diǎn)￡,給出以下結(jié)

2

論：①△ADE為等腰直角三角形；②A50C為等邊三角形；③NOOE=70°；

④NE0C=3NEAC;⑤是她。。的中位線(xiàn).其中正確的結(jié)論有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

6.如圖，在矩形ABC。中，P是邊4。上的動(dòng)點(diǎn)，PELAC于E，PF_LBD于F，

如果AB=3,A￡>=4,那么（）

C.PE+PF=5D.3<PE+PF<4

7.如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E是8c邊上一點(diǎn)，將矩形沿AE折疊，點(diǎn)B落

在點(diǎn)F處，當(dāng)△8,EC是直角三角形時(shí)，8E的長(zhǎng)為（)

D

B'

A.2B.6C.3或6D.2或3或6

8.如圖，在正方形A8CD中，E為8C上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF〃CD,交AD于F,交對(duì)角線(xiàn)

BD于G,取。G的中點(diǎn)H,連結(jié)AH,EH,FH.下列結(jié)論：①NEFH=45。；

BESMH11

②△AHgAEHF；③NAEF+/HAD=45°；④若——=2,則----=—?其中結(jié)論正確

ECSAHE13

的是（）

BA

CD

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

9.如圖，在矩形A8CD中，48=8,BC=4.將矩形沿AC折疊，CD'與AB交于點(diǎn)F,則

5

C.D.6

4

10.如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)、,且.點(diǎn)

2

E，產(chǎn)分別在邊48,AC上，且NEDF=90°,“為邊跖的中點(diǎn)，連接CM交。E

于點(diǎn)N.若DF/IAB,則CM的長(zhǎng)為（）

A.—2>/3B.3—C.5—下>D.

346V

二、填空題

11.如圖，以RtABC的斜邊AB為一邊，在AB的右側(cè)作正方形ABED,正方形對(duì)角線(xiàn)交

于點(diǎn)0，連接8,如果AC=4,8=6夜，那么BC=.

12.已知在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,點(diǎn)P在直線(xiàn)8c上，點(diǎn)。在直線(xiàn)8上，且

2

AP±PQ,當(dāng)AP=P。時(shí)，AP=.

13.如圖，&AA8E中，/8=90°,48=8后，將公45后繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到

過(guò)。作。C_LB￡交3E的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C,連接8”并延長(zhǎng)交OC于點(diǎn)/，連接

DE交BF于點(diǎn)0.下列結(jié)論：①DE平分NHDC；②。O=OE；③CD=HF；

④BC-CF=2CE；⑤〃是BE的中點(diǎn)，其中正確的是

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M為線(xiàn)段

AB的中點(diǎn).點(diǎn)D、E分別在x軸、y軸的負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，且DE=AB=10.以DE為邊在第

三象限內(nèi)作正方形DGFE,則線(xiàn)段MG長(zhǎng)度的最大值為.

15.已知：一組鄰邊分別為6cm和10?！ǖ钠叫兴倪呅蜛BC。，NZM3和NABC的平分

線(xiàn)分別交C。所在直線(xiàn)于點(diǎn)E,F,則線(xiàn)段￡尸的長(zhǎng)為cm.

16.已知：如圖，在A5C中，ADVBC,垂足為點(diǎn)。，BELAC＜垂足為點(diǎn)E，

M為A3邊的中點(diǎn)，連結(jié)ME、MD、ED，設(shè)A3=4，N2XC=3O。則

EM=；EDM的面積為，

A

17.如圖，點(diǎn)E、F分別在平行四邊形A8C。邊8c和4。上（E、F都不與兩端點(diǎn)重合），

連結(jié)AE、DE、BF、CF,其中AE和BF交于點(diǎn)G,DE和CF交于點(diǎn)H.令——=〃，

BC

EC

一=〃?.若機(jī)=〃，則圖中有個(gè)平行四邊形（不添加別的輔助線(xiàn)）：若

BC

rn+n=\,且四邊形A8CD的面積為28,則四邊形FGEH的面積為.

18.如圖，在△A8C中，AB=AC,E,F分別是BC,AC的中點(diǎn)，以AC為斜邊作Rt/XAOC,

若NCAD=/8AC=45。，則下列結(jié)論：?CD//EF；②EF=DF；③DE平分NCDF；④NDEC=

30°；⑤）AB=6CD；其中正確的是（填序號(hào)）

19.如圖，在四邊形ABC。中，AT>//8C,45=5,3C=18,E是BC的中點(diǎn).點(diǎn)p以每秒

1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng);點(diǎn)。同時(shí)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度

從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)。也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

r秒時(shí)，以點(diǎn)。,2旦。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則f的值等于

20.如圖所示，已知A8=6,點(diǎn)C,。在線(xiàn)段AB上，AC=DB=1,P是線(xiàn)段CD上的動(dòng)

點(diǎn)，分別以AP,PB為邊在線(xiàn)段A8的同側(cè)作等邊△屣?和等邊連接EF,設(shè)EF的中

點(diǎn)為G,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，則點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長(zhǎng)是

三、解答題

21.在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D為直線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B,C重合），以AD為邊

在AD的上方作菱形ADEF,且/DAF=60。，連接CF.

（1）（觀察猜想）如圖（1）,當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段CB上時(shí)，

@ZBCF=。；

②BC,CD,CF之間數(shù)量關(guān)系為.

（2）（數(shù)學(xué)思考）：如圖（2）,當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，（1）中兩個(gè)結(jié)論是否

仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）（拓展應(yīng)用）：如圖（3）,當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，若A8=6,

CD=；BC,請(qǐng)直接寫(xiě)出CF的長(zhǎng)及菱形ADEF的面積.

圖(2)圖(3)

22.綜合與探究

(1)如圖1,在正方形ABCD中，E是上一點(diǎn)，E是AO延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且

DF=BE.CE和CF之間有怎樣的關(guān)系.請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)如圖2,在正方形ABC。中，E是A3上一點(diǎn)，G是上一點(diǎn)，如果

NGCE=45°，請(qǐng)你利用(1)的結(jié)論證明：GE=BE+CD.

(3)運(yùn)用(1)(2)解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖3在直角梯形ABCD

中，AD//BC(BC>AD),N3=90°,AB=BC=\2,E是A3上一點(diǎn)，且

Z￡)CE=45°,BE=4,求。E的長(zhǎng).

23.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABC。中，E是邊。。的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)

(與點(diǎn)A、。不重合)，射線(xiàn)PE與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)。.

APD

&

BC0

(1)求證：bPDE^kQCE；

(2)若=P。，點(diǎn)F是BP的中點(diǎn)，連結(jié)￡F、AF,

①求證：四邊形AFEP是平行四邊形；

②求PE的長(zhǎng).

24.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)，請(qǐng)你僅用無(wú)刻度的直尺，用

連線(xiàn)的方法，分別在圖（1）、圖（2）中按要求作圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）.

（1）在如圖（1）的A3邊上求作一點(diǎn)N,連接CN,使CN=AM；

（2）在如圖（2）的A。邊上求作一點(diǎn)。，連接CQ,使CQPA".

25.我們知道平行四邊形有很多性質(zhì)，現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對(duì)角線(xiàn)翻

折，會(huì)發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結(jié)論.

（發(fā)現(xiàn)與證明）A3C。中，AB^BC,將△鉆C沿AC翻折至AA9C,連結(jié)

結(jié)論1：與ABC。重疊部分的圖形是等腰三角形；

結(jié)論2：BDPAC.

試證明以上結(jié)論.

（應(yīng)用與探究）

在ABC。中，已知3c=2,NB=45，將AABC沿AC翻折至AAB'C,連結(jié)B'D

若以A、C、D、夕為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，求AC的長(zhǎng).（要求畫(huà)出圖形）

26.如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=3,NA的角平分線(xiàn)交邊CD于點(diǎn)E.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)

沿射線(xiàn)AE以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，Q為AP的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QHJ_AB于點(diǎn)H,

在射線(xiàn)AE的下方作平行四邊形PQHM（點(diǎn)M在點(diǎn)H的右側(cè)），設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

（1）直接寫(xiě)出AQ"的面積（用含，的代數(shù)式表示）.

（2）當(dāng)點(diǎn)M落在BC邊上時(shí)，求f的值.

（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，整個(gè)圖形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出所有

全等三角形，并求出對(duì)應(yīng)的r的值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由（不能添加輔助線(xiàn)）.

27.在平面直角坐標(biāo)中，四邊形OCNM為矩形，如圖1,M點(diǎn)坐標(biāo)為（m,0）,C點(diǎn)坐標(biāo)

（2）①如圖1,P,Q分別為OM,MN上一點(diǎn)，若/PCQ=45。，求證：PQ=OP+NQ；

②如圖2,S,G,R,H分別為OC,OM,MN,NC上一點(diǎn)，SR,HG交于點(diǎn)D.若NSDG=

135°,HG=上叵，則RS=:

2

（3）如圖3,在矩形OABC中，OA=5,OC=3,點(diǎn)F在邊BC上且OF=OA,連接AF,動(dòng)

點(diǎn)P在線(xiàn)段OF是（動(dòng)點(diǎn)P與。，F(xiàn)不重合），動(dòng)點(diǎn)Q在線(xiàn)段0A的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且AQ=

FP,連接PQ交AF于點(diǎn)N,作PMLAF于M.試問(wèn)：當(dāng)P,Q在移動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段MN的

長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若不變求出線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

28.在正方形4BCZ）中，連接BD,P為射線(xiàn)CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)C不重合），連接4P,

AP的垂直平分線(xiàn)交線(xiàn)段80于點(diǎn)E,連接4E,PE.

提出問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，乙4PE的度數(shù)是否發(fā)生改變？

探究問(wèn)題：

（1）首先考察點(diǎn)P的兩個(gè)特殊位置：

①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，如圖1所示，44PE=°

②當(dāng)BP=BC時(shí)，如圖2所示，①中的結(jié)論是否發(fā)生變化？直接寫(xiě)出你的結(jié)論：

；（填"變化"或"不變化"）

（2）然后考察點(diǎn)P的一般位置：依題意補(bǔ)全圖3,圖4,通過(guò)觀察、測(cè)量，發(fā)現(xiàn)：（1）中

①的結(jié)論在一般情況下；（填"成立"或"不成立"）

（3）證明猜想：若（1）中①的結(jié)論在一般情況下成立，請(qǐng)從圖3和圖4中任選一個(gè)進(jìn)行

證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

29.在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、8。相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。的直線(xiàn)EF,GH分別交邊

AB、CD,AD,BC于點(diǎn)E、F、G、H.

（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如圖①，若四邊形ABCD是正方形，且EF_LGH,易知SABOE=SAAOG，又因

為四邊形ABCD，所以S四邊形AEOG=____S正方形ABCD；

4

（2）類(lèi)比探究：如圖②，若四邊形48CD是矩形，且S四邊形AEOG=—S矩形A88,若48=。，

4

AD=bfBE=m,求4G的長(zhǎng)（用含。、b、m的代數(shù)式表示）；

（3）拓展遷移：如圖③，若四邊形A8CD是平行四邊形，且S四邊形A￡0G=-S3ABCD,若4B=

30.已知，矩形ABC。中，AB=4cm,BC=Scmf4c的垂直平分E尸線(xiàn)分別交

AD.BC于點(diǎn)、E、F,垂足為。.

（1）如圖1,連接反、CE,求證：四邊形AECE為菱形；

（2）如圖2,動(dòng)點(diǎn)P、。分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AEB和△C0E各邊勻速運(yùn)

動(dòng)一周，即點(diǎn)P自Af尸fBfA停止，點(diǎn)。自。一。fEfC停止.在運(yùn)動(dòng)過(guò)程

中，

①已知點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)。的速度為每秒4cm,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒，當(dāng)

A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，則/=.

②若點(diǎn)P、。的運(yùn)動(dòng)路程分別為a、b（單位:cm,而工0）,已知A、C、P、Q四點(diǎn)為頂

點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則”與b滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系式為.

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除

一、選擇題

1.B

解析：B

【解析】

【分析】

由平行四邊形的性質(zhì)可得OB=BC,由等腰三角形的性質(zhì)可判斷①正確，由直角三角形的性

質(zhì)和三角形中位線(xiàn)定理可判斷③錯(cuò)誤，由BG=EF,BG〃EF〃CD可證四邊形BEFG是平行四

邊形，可得②正確.由平行線(xiàn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可判斷④正確.

【詳解】

???四邊形ABCD是平行四邊形，

1

BO=DO=-BD,AD=BC,AB=CD,ABIIBC,

2

丈；BD=2AD,

OB=BC=OD=DA,且點(diǎn)E是。C中點(diǎn)，

BE±AC,

故①正確，

???E、F分別是OC、OD的中點(diǎn)，

1

EFIICD,EF=-CD,

2

?點(diǎn)G是RtAABE斜邊AB上的中點(diǎn)，

1

GE=—AB=AG=BG,

2

EG=EF=AG=BG,無(wú)法證明GE=GF,

故③錯(cuò)誤，

???BG=EF,BGIIEFIICD,

四邊形BEFG是平行四邊形，

故②正確，

,/EFIICDIIAB,

/.ZBAC=ZACD=ZAEF,

AG=GE,

NGAE=ZAEG,

ZAEG=ZAEF,

...AE平分NGEF,故④正確,

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線(xiàn)定

理等知識(shí)，靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理、綜合運(yùn)用知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

2.B

解析：B

【分析】

利用正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)依次判斷即可；

【詳解】

解：①???四邊形ABCD是正方形，

；.AB=BC=CD=AD,/A=NB=90°,

VZA=ZEDQ,ZAEP=ZQED,AE=ED,

.,.△AEP^ADEQ,故①正確，

②作PG_LCD于G,EM_LBC于M,

，/PGQ=NEMF=90°,

；EF_LPQ,

.\ZPEF=90°,

AZPEN+ZNEF=90",

VZNPE+ZNEP=90°,

/.ZNPE=ZNEF,

VPG=EM,

.".△EFM^APQG,

；.EF=PQ,故②正確，

③連接QF.則QF=PF,PB2+BF2=QC2+CF2,設(shè)CF=x,

則（2+x）2+#=32+X2,

x=l,故③錯(cuò)誤，

④當(dāng)P在A點(diǎn)時(shí)，Q與D重合，QC的中點(diǎn)H在DC的中點(diǎn)S處，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，QC的

中點(diǎn)H與D重合，

故EH掃過(guò)的面積為4ESD的面積=},故④正確，

則正確的是①②④，故選B.

本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)

添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，難度較大.

3.D

解析：D

【分析】

A.正確，只要證明ADE=8c尸即可；

B.正確，只要證明8C,進(jìn)而得到EDF是等邊三角形,進(jìn)而得到結(jié)論：

C.正確，只要證明DBE=DC產(chǎn)得出DEF是等邊三角形,因?yàn)?E尸的周長(zhǎng)為

BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EF,所以等邊三角形。石尸的邊長(zhǎng)

最小時(shí)，3石廠(chǎng)的周長(zhǎng)最小，只要求出。石E的邊長(zhǎng)最小值即可；

D.錯(cuò)誤，當(dāng)EF4C時(shí)，DE=DF，由此即可判斷.

【詳解】

A正確，理由如下：

四邊形四8是平行四邊形，ZABC=120°

AD=DC=BC=AB=4,ZABD=ZDBC=60°,

ADB、3OC都是等邊三角形，

AD=BD,ZDAE=ZDBF=60°,

AE+CF=4,BF+CF=4,

：.AE=BF,

又AD=BD,=ZDBF,

：.ADE=BDF.

B正確，理由如下：

DF±AD,ADBC,

:.DFrBC,

OBC是等邊三角形,

NBDF=30°,DF=—CD=2瓜

2

同理NBDE=30°,DE=2百，

:.DE=DF,ZEDF=6O°,

：.KDF是等邊三角形，

EF=DE=2G

C正確，理由如下：

ZDBE=ZDCF,ZDEB=ZDFC,DB=DC,

DBEsDCF,

DE=DF,ZBDE=ZCDF,BE=CF,

：.ZEDF=ZBDC=60°,

：.DEF是等邊三角形，

班正的周長(zhǎng)為：

BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EF,

，等邊三角形。所邊長(zhǎng)最小時(shí)，跖下的周長(zhǎng)最小，

二當(dāng)時(shí)，DE最小為2百，

8石廠(chǎng)的周長(zhǎng)最小值為4+2行.

D錯(cuò)誤，當(dāng)EFAC時(shí)，DE=DF，此時(shí)NADE+NFQC時(shí)變化的不是定值，故錯(cuò)誤.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等的判定的同時(shí)，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，涉及到最值問(wèn)題，仔細(xì)分析圖

形，明確圖形中的全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

4.D

解析：D

【解析】

【分析】

延長(zhǎng)MN交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q,由矩形的性質(zhì)得出NDMA=/MAQ,由折疊性質(zhì)得出

ZDMA=ZAMQ,AN=AD=4,MN=MD=1,得出NMAQ=NAMQ,證出MQ=AQ,設(shè)NQ=x,

則AQ=MQ=l+x,證出/ANQ=90。，在R3ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出

NQ=7.5,AQ=8.5,即可求出AABN的面積.

【詳解】

解：延長(zhǎng)MN交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q,

?.,四邊形ABCD是矩形，

；.AB〃DC,

NDMA=NMAQ,

由折疊性質(zhì)得：AANM絲△ADM,

.\ZDMA=ZAMQ,AN=AD=4,MN=MD=1,

/.ZMAQ=ZAMQ,

；.MQ=AQ,

設(shè)NQ=x,則AQ=MQ=l+x,

/ANM=90°,

NANQ=90°,

在RtZ^ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AW+NQ2,

(x+1)2=42+x2,

解得：x=7.5,

，NQ=7.5,AQ=8.5,

VAB=5,AQ=8.5,

10101101150

??SANAB=YySANAQ-Y^^AN,NQ.=-r-=-x—x4x7,5=._；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查折疊的性質(zhì)勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，熟練掌握矩形和折疊的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.B

解析：B

【分析】

由矩形的性質(zhì)可得AO=CO=DO=BO,NDAB=NABC=NDCB=NCDA=90。，ADIIBC,

ABIICD,由角平分線(xiàn)的性質(zhì)和平行線(xiàn)的性質(zhì)可判斷①，由銳角三角函數(shù)可求NACD=

30。，即可判斷②，由三角形內(nèi)角和定理可求NDOE的度數(shù)，即可判斷③④，由直角三角

形的性質(zhì)可求CE的長(zhǎng)，即可判斷⑤.

【詳解】

???四邊形ABCD是矩形

AO=CO=DO=BO,NDAB=NABC=NDCB=NCDA=90°,ADIIBC,ABIICD

?「AE平分NBAD

/.ZDAE=NEAB=45°

,/ABIICD

ZDEA=NEAB=45°

ZDEA=NDAE=45°

AD=DE,且NADE=90°

「.△ADE是等腰直角三角形

故①正確

1

；AD=-AC,NADC=90°

2

ZACD=30°

ZOCB=60°,且OB=OC

△OBC是等邊三角形

故②正確

；△OBC是等邊三角形

OB=OC=BC

OD=OA=AD=OC=OB

二NODA=NOAD=NDOA=60。，NOCD=NODC=30。，且。D=DE

1800-30°

ZDOE=-----------------=75"

2

故③錯(cuò)誤

???ZEAC=ZOAD-ZDAE=15",ZEOC=ZDOC-ZDOE=1800-ZDOA-75°=120°-75°=45°

ZEOC=3NEAC

故④正確

ZACD=30",

1

.,.AD=—AC,AC=2AD

2

:.CD=Q(2AD?-AD?=6AD,且DE=DO=AD

/.CE=&AD-ADHDE

OE不是△ACD的中位線(xiàn)，

故⑤錯(cuò)誤

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，求出NACD=30。

是本題的關(guān)鍵.

6.A

解析：A

【分析】

設(shè)AC、BD交于點(diǎn)0,連接。P,根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理求出OA=OD=2.5,再求出

△AOD的面積，根據(jù)面積關(guān)系即可求出答案.

【詳解】

設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O,連接。P,

,/AB=3,AD=4,

；.BD=AC=5,

.?.OA=OD=2,5,

??,SAOD=；S矩形ABC。=；X3X4=3,

+SDOP~3,

PFLBD于F，

：.-x2.5PE+-x2.5PF^3,

22

-x-(PE+PF)=3,

22

：.PE+PF=—

5

故選：A.

【點(diǎn)睛】

此題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出AAOD的面積是解題的關(guān)鍵.

7.C

解析：C

【分析】

分以下兩種情況求解：①當(dāng)點(diǎn)夕落在矩形內(nèi)部時(shí)，連接AC,先利用勾股定理計(jì)算出AC

=10,根據(jù)折疊的性質(zhì)得/A8'E=NB=90°,而當(dāng)AB，EC為直角三角形時(shí)，只能得到

ZEB'C=90°,所以點(diǎn)48'、C共線(xiàn)，即NB沿AE折疊，使點(diǎn)8落在對(duì)角線(xiàn)AC上的

點(diǎn)8'處，則EB=EB',AB=AB'=6,可計(jì)算出CB'=4,設(shè)BE=x,則EB'=x,CE=

8-x,然后在Rt^CEB'中運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出x.

②當(dāng)點(diǎn)8,落在AD邊上時(shí).此時(shí)四邊形ABEB，為正方形，求出BE的長(zhǎng)即可.

【詳解】

解：當(dāng)△夕EC為直角三角形時(shí)，有兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)夕落在矩形內(nèi)部時(shí)，如圖1所示.連結(jié)AC,

圖1

在Rt/XABC中，48=6,BC=8,

-'-AC—,8?+6?=10,

???/B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)8'處，

AZAB'E=N8=90°,

當(dāng)EC為直角三角形時(shí)，得到NEB'C=90°,

...點(diǎn)A、8'、C共線(xiàn)，即NB沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線(xiàn)AC上的點(diǎn)B'處，如圖,

：.EB^EB',AB=AB'=6,

CB'=10-6=4,

設(shè)BE=x,則EB'=x,CE=8-x,

在RtZ\B'EC中，

"：EB'2+CB'2=CE2,

.'.x2+42—(8-x)2,

解得x=3,

，BE=3；

②當(dāng)點(diǎn)B'落在A。邊上時(shí)，如圖2所示.

此時(shí)A8EB'為正方形，

；.BE=AB=6.

綜上所述，8E的長(zhǎng)為3或6.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊變換的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，正方形的判定等知識(shí)；熟

練掌握折疊變換的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵.

8.A

解析：A

【分析】

①根據(jù)正方形的性質(zhì)證明NADB=45。，進(jìn)而得△DFG為等腰直角三角形，根據(jù)等腰三角形

的三線(xiàn)合一性質(zhì)得NEFO=45。，故①正確；

②根據(jù)矩形性質(zhì)得AF=EB,N8EF=90。，再證明△AFH絲4EGH得EH=AH,進(jìn)而證明

△EHF絲△AHD,故②正確；

③由△￡”下空/XAHD得NEHF=/AH。，懷得NAEF+/MEF=45。，進(jìn)而得

ZAEF+ZHAD^45°,故③正確；

④如圖，過(guò)點(diǎn)“作于點(diǎn)M,與BC交于點(diǎn)N,設(shè)EC=FD=FG=x,則BE=AF=EG

=2x,BC=DC=AB=AD=3x,HM=—x,AM=—x,HN=-xf由勾股定理得人印，再由

222

S

三角形的面積公式得73,便可判斷④的正誤.

3AHE

【詳解】

①在正方形ABCD中，/ADC=/C=90。，NAOB=45。,

".,EF//CD,

：.ZEFD=90°,

四邊形EFDC是矩形.

在RtZXFDG中，NFDG=45。，

：.FD=FG,

是DG中點(diǎn)，

，ZEFH=—ZfFD=45°

2

故①正確；

②?.?四邊形A8EF是矩形，

：.AF=EB,NBEF=90°,

?；8D平分NA8C,

：.ZEBG=ZEGB=45°,

：.BE=GE,

；.AF=EG.

在RtZXFG。中，H是DG的中點(diǎn)，

：.FH=GH,FH1.BD,

'：ZAFH=^ZAFE+ZGfH=90°+45°=135°,

Z￡GH=1800-ZEGfi=180°-45°=135°,

NAFH=NEGH,

：./\AFH^/\EGH(SAS),

：.EH=AH,

；EF=AO,FH=DH,

：./\EHF^/\AHD(SSS),

故②正確；

?\"/XEHF^/XAHD,

:.NEHF=ZAHD,

，NAHE=NDHF=90°,

?；AH=EH,

Z4EH=45°,

即NAEF+NHEF=45",

?:/HEF=/HAD,

：.NAEF+NHAD=45°,

故③正確；

④如圖，過(guò)點(diǎn)，作MN_LAD于點(diǎn)M,與BC交于點(diǎn)N,

設(shè)EC=FD=FG=x,貝［IBE=AF=EG=2x,

55

ABC=DC=AB=AD=3xfHM=—xfAM=-x,HN=-x,

222

2

/.AH2=(*%132

—x~>

222

?AHE-AH213

2

故④錯(cuò)誤；

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，這是一道幾何

綜合型題，關(guān)鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)得到線(xiàn)段的等量關(guān)系，然后利用矩形、等腰三角形的

性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

9.B

解析：B

【分析】

由折疊的性質(zhì)可得/DCA=/ACF,由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得NDCA=NCAB=NACF,可得FA=

FC,設(shè)BF=x,在Rt^BCF中，根據(jù)CF2=BC2+BF2,可得方程（8-X）2=X2+42,可求BF=

3,AF=5,即可求解.

【詳解】

解：設(shè)BF=x,

?.?將矩形沿AC折疊，

/DCA=/ACF,

??,四邊形ABCD是矩形，

；.CD〃AB,

NDCA=/CAB=NACF,

FA=FC=8-x,

在Rtz^BCF中，：CF2=BC2+BF2,

(8-x)2=x2+42,

.*.x=3,

???BF=3,

???AF=5,

AAF：BF的值為2,

3

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查矩形的性質(zhì)、翻折變換、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決

問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

10.C

解析：c

【分析】

根據(jù)等邊三角形邊長(zhǎng)為2,在RtABDE中求得DE的長(zhǎng)，再根據(jù)CM垂直平分，在

RlACDN中求得CN,利用三角形中位線(xiàn)求得MN的長(zhǎng)，最后根據(jù)線(xiàn)段和可得CM的

長(zhǎng).

【詳解】

解：等邊三角形邊長(zhǎng)為2,BD^-CD,

2

：.BD=—,CD=-,

33

等邊三角形ABC中，DF//AB,

:.ZFDC=ZB=(^°,

NEDF=9O°,

;.NBDE=30。,

:.DELBE,

.-.BE=^BD=^,DE=JBD?一BE?=J1|)-(y=g,

如圖，連接ZW,則RtADEF中，DM=；EF=FM,

A

F

ER；

/X.it

B]D

ZFDC=ZFCD=60°,

?.△CDb是等邊三角形,

4

,CD=CF=-

3f

?.CM垂直平分。尸,

\ZDCN=30°f

42Dn

?.RtACDN中，DF=—,DN=~,CN=—,

333

：EM=FM,DN=FN,

MN^-ED=—,

26

■.CM=CN+MN=—+—=—

366

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì)、勾股定

理、平行線(xiàn)的性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定等.熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.8

【分析】

通過(guò)作輔助線(xiàn)使得△CAO四△GB。，證明aCOG為等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG

后，即可求出BC的長(zhǎng).

【詳解】

如圖，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G,使BG=AC.

?根據(jù)題意，四邊形ABED為正方形，

Z4=Z5=45°,NEBA=90°,

.".Zl+Z2=90°

又?.?三角形BCA為直角三角形，AB為斜邊，

Z2+Z3=90°

.,.Z1=Z3

.,.Z1+Z5=Z3+Z4,故NCAO=NGBO,

在△CAO和△GBO中，

CA=GB

<ZCAO=NGBO

AO=BO

故△CAOg/XGBO,

.*.CO=GO=6&，Z7=Z6,

VZ7+Z8=90",

N6+/8=90°,

...三角形COG為等腰直角三角形，

CG=J。。？+G02=“6夜『+(6⑹*=12，

'：CG=CB+BG,

CB=CG—BG=12—4=8,

故答案為8.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和

性質(zhì)，根據(jù)題意建立正確的輔助線(xiàn)以及掌握正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾

股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

12.h6.或2回

22

【分析】

根據(jù)點(diǎn)P在直線(xiàn)BC上，點(diǎn)。在直線(xiàn)CO上，分兩種情況：l.P、Q點(diǎn)位于線(xiàn)段上；2.P、Q

點(diǎn)位于線(xiàn)段的延長(zhǎng)上，再通過(guò)三角形全等得出相應(yīng)的邊長(zhǎng)，最后根據(jù)勾股即可求解.

【詳解】

解：當(dāng)P點(diǎn)位于線(xiàn)段BC上，Q點(diǎn)位于線(xiàn)段CD上時(shí)：

???四邊形ABCD是矩形

APLPQ,

ZBAP=NCPQ,ZAPB=NPQC

?.?AP=PQ

ABPsPCQ

333

PC=AB=-,BP=BC-PC=3--=-

222

AP-J(-)2+(-)2=-V2

V222

當(dāng)P點(diǎn)位于線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，Q點(diǎn)位于線(xiàn)段CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)：

四邊形ABCD是矩形

AP±PQ,

：.ZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC

AP=PQ

ABP=PCQ

339

PC=AB=-,BP=BC+PC=3+-=-

222

??.AP=J（-）2+（-）2=-Vio

V222

故答案為：一或一jia

22

【點(diǎn)睛】

此題主要考查三角形全等的判定及性質(zhì)、勾股定理，熟練運(yùn)用判定定理和性質(zhì)定理是解題

的關(guān)鍵.

13.①②④⑤

【分析】

根據(jù)/B=90。，AB=BE,AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，得到AAHD,可得AABEWAAHD,并且

△ABE和ZiAHD都是等腰直角三角形，可證AD〃BC,根據(jù)DCLBC,可得NHDE=NCDE,根

據(jù)三角形的內(nèi)角和可得NHDE=NCDE,即DE平分/HDC,所以①正確；

利用NDAB=NABC=NBCD=90。,得到四邊形ABCD是矩形，有NADC=90。,ZHDC=45°,由

①有DE平分NHDC,得/HDO=22.5°,可得NAHB=67.5°,/DHO=22.5°,可證OD=OH,

利用AE=AD易證NOHE=NHEO=67.5°,則有OE=OH,OD=OE,所以②正確;

利用AAS證明ADHE三ADCE,則有DH=DC,ZHDE=ZCDE=22.5°,易的NDHF=22.5°,

ZDFH=112.5°,則ADHF不是直角三角形，并DHHHF,即有：CDMHF,所以③錯(cuò)誤；

根據(jù)AABE是等腰直角三角形，川J_JE,：J是BC的中點(diǎn)，H是BF的中點(diǎn)，得到2M=CF,

2JC=BC,JC=JE+CE,易證BC-CF=2CE,所以④正確；

過(guò)H作HJ_LBC于J,并延長(zhǎng)HJ交AD于點(diǎn)I,得IUAD,I是AD的中點(diǎn)，J是BC的中點(diǎn)，

H是BF的中點(diǎn)，所以⑤正確；

【詳解】

「R3ABE中，ZB=90°,AB=BE,

ZBAE=ZBEA=45",

又二將AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,得到MHD,

.".△ABE^AAHD,并且ZkABE和AAHD都是等腰直角三角形，

/.ZEAD=45",AE=AD,/AHD=90°,

.\ZADE=ZAED,

AZBAD=ZBAE+ZEAD=450+45°=90°,

/.AD//BC,

，NADE=NDEC,

AZAED=ZDEC,

XVDC1BC,

ZDCE=ZDHE=90°

二由三角形的內(nèi)角和可得NHDE=/CDE,

即：DE平分NHDC,所以①正確；

VZDAB=ZABC=ZBCD=90°,

四邊形ABCD是矩形，

，NADC=90。，

，/HDC=45°,

由①有DE平分NHDC,

ZHDO=—ZHDC=-x45°=22.5°,

22

VZBAE=45",AB=AH,

ZOHE=ZAHB=(180°-ZBAE)=—x(180°-45°)=67.5,>,

ZDHO=ZDHE-ZFHE=ZDHE-ZAHB=90°-67.5°=22.5°,

.\OD=OH,

在AAED中，AE=AD,

，NAED=y(180°-ZEAD)=；x(180°-45°)=67.5°,

.,.ZOHE=ZHEO=67.5°,

.,.OE=OH,

，OD=OE,所以②正確；

在ADHE和ADCE中，

ZDHE=ZDCE

<NHDE=NCDE,

DE=DE

.".△DHE=ADCE(AAS),

，DH=DC,NHDE=NCDE」x45°=22.5°,

2

VOD=OH,

AZDHF=22.5°,

.".ZDFH=180°-ZHDF-ZDHF=180°-45°-22.5°=112.5°,

...△DHF不是直角三角形，并DHHHF,

即有：CDxHF,所以③不正確；

如圖，過(guò)H作HUBC于J,并延長(zhǎng)HJ交AD于點(diǎn)I,

「△ABE是等腰直角三角形，JHLE,

.,.JH=JE,

又是BC的中點(diǎn)，H是BF的中點(diǎn),

；.2JH=CF,2JC=BC,JC=JE+CE,

；.2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC,

即有:BC-CF=2CE,所以④正確；

VAD//BC,

AIJ1AD,

又???△AHD是等腰直角三角形，

是AD的中點(diǎn)，

:四邊形ABCD是矩形,HJ1BC,

：.J是BC的中點(diǎn)，

，H是BF的中點(diǎn)，所以⑤正確；

綜上所述，正確的有①②④⑤，

故答案為：①②④⑤.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)以及等

腰直角三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等和等腰直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

14.10+5逐

【分析】

取DE的中點(diǎn)N,連結(jié)ON、NG、OM.根據(jù)勾股定理可得NG=.在點(diǎn)M與G之間總

有MGWMO+ON+NG（如圖1）,M、。、N、G四點(diǎn)共線(xiàn)，此時(shí)等號(hào)成立（如圖2）.可得

線(xiàn)段MG的最大值.

【詳解】

1

.".OM=-AB=5.

2

同理0N=5.

；正方形DGFE,N為DE中點(diǎn)，DE=10,

NG=^jDN2+r）G2=V102+52=5A/5?

在點(diǎn)M與G之間總有MGWMO+ON+NG（如圖1）,

如圖2,由于/DNG的大小為定值，只要ND0N=’NDNG,且M、N關(guān)于點(diǎn)0中心對(duì)稱(chēng)時(shí),

2

M、0、N、G四點(diǎn)共線(xiàn)，此時(shí)等號(hào)成立,

線(xiàn)段MG取最大值10+56.

故答案為：10+5逐.

【點(diǎn)睛】

此題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，四點(diǎn)共線(xiàn)的最值問(wèn)題，得出M、。、N、G四點(diǎn)

共線(xiàn)，則線(xiàn)段MG長(zhǎng)度的最大是解題關(guān)鍵.

15.2或14

【分析】

利用當(dāng)AB=10cm,AD=6cm,由于平行四邊形的兩組對(duì)邊互相平行，又AE平分NBAD,由此

可以推出所以NBAE=/DAE,則DE=AD=6cm；同理可得：CF=CB=6cm,而EF=CF+DE-DC,

由此可以求出EF長(zhǎng)；同理可得：當(dāng)AD=10cm,AB=6cm時(shí)，可以求出EF長(zhǎng)

【詳解】

解：如圖1,當(dāng)AB=10cm,AD=6cm

AE平分NBAD

ZBAE=ZDAE,

文:ADIICB

ZEAB=ZDEA,

/.ZDAE=ZAED,則AD=DE=6cm

同理可得：CF=CB=6cm

；EF=DE+CF-DC=6+6-10=2(cm)

如圖2,當(dāng)AD=10cm,AB=6cm,

AE平分NBAD,

ZBAE=ZDAE

XVADIICB

ZEAB=ZDEA,

ZDAE=NAED貝AD=DE=10cm

同理可得，CF=CB=10cmEF=DE+CF-DC=10+10-6=14(cm)

故答案為：2或14.

I-

A

圖1圖2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了角平分線(xiàn)的定義、平行四邊形的性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵是平行

四邊形的不同可能性進(jìn)行分類(lèi)討論.

16.2￡

【分析】

根據(jù)EM是應(yīng)△A5E斜邊上的中線(xiàn)，利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半即可

求出EW的長(zhǎng)；根據(jù)已知條件推導(dǎo)出DME是等邊三角形,且邊長(zhǎng)為2,進(jìn)一步計(jì)算即

可得解.

【詳解】

解：?.?4DL8C,M為A8邊的中點(diǎn)，AB=4

...在RtAABO中，DM=AM=-AB^-X4=2

同理，在用ZSABE中，EM=AM=-AB=-x4=2

22

:.ZMDA二ZMAD，AMEA=AMAE

?/ZBME=ZMEA+ZMAE=2ZMAE，ZBMD=ZMDA+ZMAD=2ZMAD

；?ZDME=ABME-ZBMD

=2ZMAE-2ZMAD

=2(NMAE-NMAD)

=2ADAC

=60°

,/DM=EM

：.DME是等邊三角形,且邊長(zhǎng)為2

SEDM=/*2xA/3=A/3

故答案是：2:^3

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)、三角形的外角定理、角的和差以及等邊三角

形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是進(jìn)行推理論證的前提.

17.7

【分析】

①若機(jī)=〃，則人/=￡C,先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD〃5C,AQ=8C,再根據(jù)平

行四邊形的判定（一組對(duì)邊平行且相等或兩組對(duì)邊分別平行）即可得；②先根據(jù)平行四邊

形的性質(zhì)與判定得出四邊形ABEF、四邊形CDFE都是平行四邊形，從而可得

S&EFG=~7