2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語(yǔ)1.1.1命題學(xué)案含解析新人教A版選修1-1

PAGE第一章常用邏輯用語(yǔ)1．1命題及其關(guān)系1.1.1命題內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.了解命題的概念．2.理解命題的構(gòu)成，并能指出此類(lèi)命題的條件和結(jié)論．3.能推斷一些簡(jiǎn)潔命題的真假.利用數(shù)學(xué)抽象發(fā)展邏輯推理授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第1頁(yè)[基礎(chǔ)相識(shí)]學(xué)問(wèn)點(diǎn)一命題的概念eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P2－3，思索并完成以下問(wèn)題)初中學(xué)習(xí)的什么叫做命題？提示：一般地，對(duì)某一件事情做出推斷的語(yǔ)句(陳述句)，叫做命題．下列語(yǔ)句的表述形式有什么特點(diǎn)？你能推斷這些語(yǔ)句的真假嗎？(1)2＋4＝7；(2)垂直于同一條直線的兩個(gè)不同平面平行；(3)6能被2整除；(4)全等三角形面積相等．提示：這些語(yǔ)句都是陳述句，并且可以推斷真假．其中語(yǔ)句(2)(3)(4)推斷為真，語(yǔ)句(1)推斷為假．學(xué)問(wèn)梳理(1)命題的概念：在數(shù)學(xué)中，我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以推斷真假的陳述句叫做命題．(2)命題定義中的兩個(gè)要點(diǎn)：“可以推斷真假”和“陳述句”．我們學(xué)習(xí)過(guò)的定理、推論都是命題．(3)分類(lèi)命題eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(真命題：推斷為真的語(yǔ)句，,假命題：推斷為假的語(yǔ)句.))思索陳述句肯定是命題嗎？提示：不肯定．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二命題的結(jié)構(gòu)eq\a\vs4\al(思索并完成以下問(wèn)題)命題的構(gòu)成是什么？提示：條件與結(jié)論．視察命題：(1)若整數(shù)a是素?cái)?shù)，則a是奇數(shù)；(2)若兩個(gè)三角形全等，則它們的面積相等．上述命題的形式是怎樣的？提示：這兩個(gè)命題都是“若p，則q”的形式．學(xué)問(wèn)梳理(1)命題的一般形式為“若p，則q”．其中p叫做命題的條件，q叫做命題的結(jié)論．(2)確定命題的條件和結(jié)論時(shí)，常把命題改寫(xiě)成“若p，則q”的形式．[自我檢測(cè)]1．下列語(yǔ)句不是命題的個(gè)數(shù)為()①2<1；②x<1；③若x<1，則x<2；④函數(shù)f(x)＝x2是R上的偶函數(shù)．A．0 B．1C．2D．3答案：B2．下列命題為真命題的是()A．互余的兩個(gè)角不相等B．相等的兩個(gè)角是同位角C．若a2＝b2，則|a|＝|b|D．三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角答案：C3．把命題“三角形的內(nèi)角和等于180°”寫(xiě)成“若p，則q”的形式為_(kāi)_______．答案：若一個(gè)平面圖形是三角形，則它的內(nèi)角和等于180°授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第2頁(yè)探究一命題的概念[閱讀教材P2－3例1及解答]推斷下列語(yǔ)句中哪些是命題：(1)空集是任何集合的子集；(2)若整數(shù)a是素?cái)?shù)，則a是奇數(shù)；(3)指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？(4)若空間中兩條直線不相交，則這兩條直線平行；(5)eq\r(－22)＝2；(6)x>15.題型：推斷一個(gè)語(yǔ)句是不是命題．方法步驟：①依據(jù)命題的定義：語(yǔ)句必需滿意兩個(gè)條件：陳述句且能推斷真假．②(3)不是陳述句，(6)不能推斷真假，其余均是陳述句且能推斷真假．因此(3)(6)不是命題，(1)(2)(4)(5)是命題．[例1](1)下列語(yǔ)句中，命題的個(gè)數(shù)為()①空集是任何非空集合的真子集．②起立?、鄞怪庇谕粋€(gè)平面的兩條直線必平行嗎？④偶數(shù)是自然數(shù)．A．1 B．2C．3 D．4[解析]②是祈使句，③是疑問(wèn)句，所以②③都不是命題，①④是命題．故選B.[答案]B(2)“紅豆生南國(guó)，春來(lái)發(fā)幾枝？愿君多采擷，此物最相思．”這是唐代詩(shī)人王維的《相思》，這首詩(shī)中，在當(dāng)時(shí)條件下，可以作為命題的是()A．紅豆生南國(guó) B．春來(lái)發(fā)幾枝C．愿君多采擷 D．此物最相思[解析]“紅豆生南國(guó)”是陳述句，所述事務(wù)在唐代是事實(shí)，所以本句是命題，且是真命題；“春來(lái)發(fā)幾枝”是疑問(wèn)句，“愿君多采擷”是祈使句，“此物最相思”是感嘆句，都不是命題，故選A.[答案]A方法技巧推斷一個(gè)語(yǔ)句是不是命題，關(guān)鍵是把握好以下兩點(diǎn)：(1)一般來(lái)說(shuō)，命題必需是陳述句，祈使句、疑問(wèn)句、感嘆句等都不是命題．(2)該語(yǔ)句表述的結(jié)構(gòu)可以推斷真假，含義模糊不清，無(wú)法推斷真假的語(yǔ)句不是命題．跟蹤探究1.推斷下列語(yǔ)句是不是命題，并說(shuō)明理由．(1)三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于360°；(2)a＋b＝4；(3)2024年奧運(yùn)會(huì)的舉辦城市是巴西的里約熱內(nèi)盧；(4)這是一棵大樹(shù)；(5)你是高二的學(xué)生嗎？(6)求證：eq\r(2)是無(wú)理數(shù)；(7)并非全部的人都喜愛(ài)數(shù)學(xué)；(8)x2＋1>0.解析：(1)這是陳述句，且可以推斷真假，因此是命題；(2)由于變量a，b的值不確定，無(wú)法推斷其真假，因此不是命題；(3)這是陳述句，且可以推斷真假，因此是命題；(4)“大樹(shù)”的標(biāo)準(zhǔn)不確定，無(wú)法推斷其真假，因此不是命題；(5)這是疑問(wèn)句，不是命題；(6)這是祈使句，不是命題；(7)可以推斷為真，人群中有的人喜愛(ài)數(shù)學(xué)，也存在著不喜愛(ài)數(shù)學(xué)的人，因此是命題；(8)雖然變量x的值不確定，但可以推斷其真假，因此是命題．2．給出下列語(yǔ)句：①北京是中國(guó)的首都；②x＝2是方程x2－4x＋4＝0的根；③3200不是大數(shù)；④sinx>－x2；⑤0是自然數(shù)嗎？⑥我希望明年考上北京高校；⑦函數(shù)y＝x2是奇函數(shù)．其中是命題的是________．解析：①②⑦均是陳述句且能推斷真假，故是命題；③④是陳述句，但不能推斷真假，故不是命題；⑤是疑問(wèn)句，故不是命題；⑥是祈使句，故不是命題，故答案為①②⑦.答案：①②⑦探究二命題真假的推斷[教材P4練習(xí)2題]推斷下列命題的真假：(1)能被6整除的整數(shù)肯定能被3整除；(2)若一個(gè)四邊形的四條邊相等，則這個(gè)四邊形是正方形；(3)二次函數(shù)的圖象是一條拋物線；(4)兩個(gè)內(nèi)角等于45°的三角形是等腰直角三角形．解析：(1)真命題；(2)假命題，四邊相等的四邊形不肯定是正方形，例如菱形；(3)真命題；(4)真命題．[例2]推斷下列命題是真命題還是假命題：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)log2x2＝2log2x；(3)若m>1，則方程x2－2x＋m＝0無(wú)實(shí)根；(4)直線x＋y＝0的傾斜角是eq\f(π,4)；(5)若α＝eq\f(3π,4)，則sinα＝eq\f(\r(2),2)；(6)若x∈A，則x∈A∩B.[解析](1)真命題．由向量加法的三角形法則知eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)是假命題，如當(dāng)x＝－1時(shí)，log2x2＝0，而2log2x＝2log2(－1)無(wú)意義．(3)是真命題，若m>1，則Δ＝4－4m<0.(4)是假命題，直線x＋y＝0的傾斜角是eq\f(3π,4).(5)是真命題．(6)是假命題，如當(dāng)A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}時(shí)，1∈A，但1?A∩B.方法技巧推斷命題真假常用的方法(1)干脆法數(shù)學(xué)中的定義、公理、公式、定理等都是真命題，它們是推斷一個(gè)命題是否為真命題的依據(jù)．(2)舉反例法通過(guò)構(gòu)造反例來(lái)否定一個(gè)命題的正確性，是推斷一個(gè)命題為假命題的常用方法．跟蹤探究3.(1)給定下列命題：①若a>b，則2a>2b；②命題“若a，b是無(wú)理數(shù)，則a＋b是無(wú)理數(shù)”是真命題；③直線x＝eq\f(π,2)是函數(shù)y＝sinx的一條對(duì)稱軸；④在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>0，則△ABC是鈍角三角形．其中為真命題的是________．解析：①③④是真命題；②是假命題，例a＝eq\r(3)，b＝－eq\r(3)，則a＋b＝0是有理數(shù)．答案：①③④(2)下列命題中假命題的個(gè)數(shù)為()①多邊形的外角和與邊數(shù)有關(guān)；②假如數(shù)量積a·b＝0，那么向量a＝0或b＝0；③二次方程a2x2＋2x－1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根；④函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)有零點(diǎn)，則f(a)·f(b)<0.A．1 B．2C．3 D．4解析：對(duì)于①，多邊形的外角和為360°，與邊數(shù)無(wú)關(guān)，故①是假命題．對(duì)于②，若a·b＝0，那么向量a＝0或b＝0或a⊥b，故②是假命題．對(duì)于③，Δ＝4＋4a2>0，故③是真命題．對(duì)于④，若f(x)＝x2－2x－3，x∈(－2,4)的零點(diǎn)為－1和3，但f(－2)·f(4)>0，故④是假命題，故選C.答案：C探究三命題的結(jié)構(gòu)形式[閱讀教材P3例3及解答]將下列命題改寫(xiě)成“若p，則q”的形式，并推斷真假：(1)垂直于同一條直線的兩條直線平行；(2)負(fù)數(shù)的立方是負(fù)數(shù)；(3)對(duì)頂角相等．題型：分析命題的條件和結(jié)論．方法步驟：①對(duì)“若p，則q”的命題中，“p”是命題的條件，“q”是命題的結(jié)論．②若命題的表述不是“若p，則q”形式，要先將命題改寫(xiě)為“若p則q”的形式，再確定條件p和結(jié)論q：[例3]將下列命題寫(xiě)成“若p，則q”的形式．(1)末位數(shù)是0或5的整數(shù)，能被5整除；(2)方程x2－x＋1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．[解析](1)若一個(gè)整數(shù)的末位數(shù)字是0或5，則這個(gè)數(shù)能被5整除．(2)若一個(gè)方程是x2－x＋1＝0，則它有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．方法技巧1.要把一個(gè)命題寫(xiě)成“若p，則q”的形式，關(guān)鍵是要分清命題的條件和結(jié)論，然后寫(xiě)成“若條件，則結(jié)論”的形式，有一些命題雖然不是“若p，則q”的形式，但是把它們的表述作適當(dāng)?shù)淖兏?，也能?xiě)成“若p，則q”的形式，但要留意語(yǔ)言的流暢性．2．當(dāng)一個(gè)命題改寫(xiě)成“若p，則q”的形式之后，推斷這種命題真假的方法是：若由“p”經(jīng)過(guò)邏輯推理得出“q”，則可推斷“若p，則q”是真；而判定“若p，則q”是假，則只須要舉出一個(gè)反例即可．跟蹤探究4.把下列命題改寫(xiě)成“若p，則q”的形式：(1)各位數(shù)數(shù)字之和能被9整除的整數(shù)，可以被9整除；(2)斜率相等的兩條直線平行；(3)能被6整除的數(shù)既能被3整除也能被2整除；(4)鈍角的余弦值是負(fù)數(shù)．解析：(1)若一個(gè)整數(shù)的各位數(shù)數(shù)字之和能被9整除，則這個(gè)整數(shù)可以被9整除．(2)若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行．(3)若一個(gè)數(shù)能被6整除，則它既能被3整除也能被2整除．(4)若一個(gè)角是鈍角，則這個(gè)角的余弦值是負(fù)數(shù).授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第3頁(yè)[課后小結(jié)](1)推斷一個(gè)語(yǔ)句是否為命題應(yīng)緊抓兩點(diǎn)：①是不是陳述句，②能否推斷真假．(2)推斷命題真假的難點(diǎn)是對(duì)已有學(xué)問(wèn)的駕馭，尤其是真命題的推斷．(3)精確推斷命題的條件與結(jié)論的關(guān)鍵是把命題改寫(xiě)為“若p，則q”形式．[素養(yǎng)培優(yōu)]1．對(duì)命題的概念把握不清致誤給出下列語(yǔ)句：①直角三角形也可能是等邊三角形；②若x∈R，則－x2>0；③|x－y|＝x－y；④與0特別特別接近的數(shù)．其中是命題的是________．易錯(cuò)分析直角三角形不行能是等邊三角形，故①是命題且是假命題；若x∈R，則必有－x2≤0，－x2>0不成立，故②是命題且是假命題．不能誤認(rèn)為假命題不是命題，而將①②錯(cuò)誤地推斷為不是命題．考查數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理的學(xué)科素養(yǎng)．自我訂正①是陳述語(yǔ)句