2021年湖南省六校高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷

2021年湖南省六校高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（4月份）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.已知集合4={1,2,3,4,5},B={x|/-3x>0},則ZACRB中的元素個數(shù)為（）

2.已知復(fù)數(shù)Zi，Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為Zi（3,a）,Z2（2,l）,且z「Z2為純虛數(shù),

則實數(shù)a=（）

A.—6

函數(shù)/（x）=鞭背的圖象大致是（

4.某地安排4名工作人員隨機(jī)分到3個村參加“脫貧攻堅”幫扶活動，且每個人只去

一個村，則每個村至少有一名工作人員的概率為（）

5.已知|日|=遍，b=且（石一3）1（2五+力，則向量五在向量至方向上的投影

的最大值為（）

數(shù)學(xué)里有一種證明方法叫做Proofswithoutwords,

也稱之為無字證明，一般是指僅用圖象語言而無需文

字解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題，由于這種證明方法

的特殊性，無字證明被認(rèn)為比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)

雅.現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形44口。中，點O為斜邊AB的中點，點。

為斜邊48上異于頂點的一個動點，設(shè)40=a,BD=b,則該圖形可以完成的無字

證明為（）

A.Vab(a>0,b>0)B.瑞S病(a>0,b>0)

C.<Ja："(a>0,b>0)D.a2+b2>2y/ab(a>0,b>O')

7.已知Fi，F(xiàn)2分別是雙曲線捺一\=1(￡1>0/>0)的左、右焦點，點尸是該雙曲線

上一點且在第一象限內(nèi)，2siMPF#2=sin"F2Fi，則雙曲線的離心率的取值范圍

為()

A.(1,2)B.(3,+8)C.(1,3)D.(2,3)

8,定義函數(shù)0(%)=「"為有理數(shù)一則下列命題中正確的是()

"L》為無理數(shù)

A.D(x)不是周期函數(shù)

B.y=D(x)的圖象存在對稱軸

C.D(x)是奇函數(shù)

D.D(x)是周期函數(shù)，且有最小正周期

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.下列“若p,則形式的命題中，p是q的必要條件的是()

A.若兩直線的斜率相等，則兩直線平行

B.若x>5,則x>10

C.已知五是直線a的方向向量，元是平面a的法向量，若ala,則五1記

D.已知可導(dǎo)函數(shù)/。)，若(。0)=0,則/。)在工=%0處取得極值

10.已知數(shù)列｛。工滿足為=1，。2=3,an+2-an=2,neN*,貝i]()

A.(%+a2),(a3+a4),(a5+a6),…為等差數(shù)列

B.(a2—Qi),(a4—a3),(。6-。5),…為常數(shù)列

C.a2n-i=4n—3

n

D.若數(shù)列｛%｝滿足匕=(-l)-an,則數(shù)列也｝的前100項和為100

11.已知函數(shù)/'(x)=2cos(a)x+9)(3>0,\<p\<]的圖象上，對稱中心與對稱軸x=

的最小距離為5則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)八乃的一個對稱點為(工,0)

B.當(dāng)xe碎為時，函數(shù)/(x)的最小值為一百

C.若siMa-cos4a=-^(aG(0,就，則/(a+》的值為匕言

D.要得到函數(shù)/Q)的圖象，只需要將gQ)=2cos2x的圖象向右平移方個單位

第2頁，共20頁

12.已知球。的半徑為2,球心0在大小為60。的二面角a—，一口內(nèi)，二面角a—，一0的

兩個半平面分別截球面得兩個圓。1，02,若兩圓。1，。2的公共弦AB的長為2,E

為A8的中點，四面體。4。1。2的體積為匕則下列結(jié)論中正確的有()

A.O,E,。1，。2四點共面B.。1。2=4

C.。1。2=：D.V的最大值為3

N16

三、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知某省2020年高考理科數(shù)學(xué)平均分X近似服從正態(tài)分布N(89,100),貝|P(79<

X<109)=.

附：-a<XW〃+<7)=0.6827,P(n-2a<X<n+2a)=0.9545)

14.請寫出滿足條件"/(x)W/(I)對任意的xG［0,1］恒成立，且f(x)在［0,1上不是增函

數(shù)”的一個函數(shù)：.

15.已知(a+點)(x+l)6(a力0)的展開式中各項的系數(shù)和為192,則其展開式中的常數(shù)

項為.

16.電子計算機(jī)是二十世紀(jì)最偉大的發(fā)明之一，當(dāng)之無愧地被認(rèn)為是迄今為止由科學(xué)和

技術(shù)所創(chuàng)造的最具影響力的現(xiàn)代工具，被廣泛地應(yīng)用于人們的工作與生活之中，計

算機(jī)在進(jìn)行數(shù)的計算和處理加工時，內(nèi)部使用的是二進(jìn)制計數(shù)制，簡稱二進(jìn)制.一

k

個十進(jìn)制數(shù)n(neN*)可以表示成二進(jìn)制數(shù)(劭。1&2...ak)2?B|Jn=a0x2+arx

2上一1+。2x2?2+…+以一］x21+akx2°,其中劭=1，/6｛0,1｝,i=0,1,

2，…,k,k￡N.用/(n)表示十進(jìn)制數(shù)〃的二進(jìn)制表示中1的個數(shù)，則/(7)=；

對任意r6N*,說墨尸2"")=.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

2

17.已知數(shù)列口工的前?項和無滿足2Sn=n+3n.

(I)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(n)數(shù)列｛￡—｝的前n項和是%,若存在n6N*,使得〃-2an+1>0成立，求實

anan+l

數(shù)2的取值范圍.

18.已知函數(shù)/(%)=ypisinxcosx—cos2%—1(%6/?).

(I)當(dāng)Xe[-5爭時，分別求函數(shù)/(X)取得最大值和最小值時X的值；

(11)設(shè)448。的內(nèi)角人,89的對應(yīng)邊分別是4,4。,且°=2曲,b=6,/(今=-1,

求c的值.

19.甲、乙兩選手比賽，假設(shè)每局比賽甲勝的概率為0.6,乙勝的概率為0.4.甲、乙約定

比賽當(dāng)天上午進(jìn)行3局熱身訓(xùn)練，下午進(jìn)行正式比賽.

(I)上午的3局熱身訓(xùn)練中，求甲恰好勝2局的概率；

(口)下午的正式比賽中：

①若采用“3局2勝制”，求甲所勝局?jǐn)?shù)x的分布列與數(shù)學(xué)期望；

②分別求采用“3局2勝制”與“5局3勝制”時，甲獲勝的概率；對甲而言，哪

種局制更有利？你對局制長短的設(shè)置有何認(rèn)識？

20.某建筑工地上有一個旗桿CF(與地面垂直)，其正南、正西方

向各有一標(biāo)桿BE,DG(均與地面垂直，B,。在地面上)，長

度分別為1/n,4m,在地面上有一基點做點A在B點的正西方

向，也在。點的正南方向上)，且B4=BC=2m,且A,E,

第4頁，共20頁'B

F,G四點共面.

(I)求基點A觀測旗桿頂端廠的距離及仰角。的正切值；

(n)若旗桿上有一點使得直線BM與地面ABCD所成的角為%試求平面ABM

與平面AEFG所成銳二面角的正弦值.

21.已知A,8分別為橢圓+?=l(a>b)的左、右頂點，。為橢圓E的上頂點，

AQQB=1.

(1)求橢圓后的方程；

(II)已知動點P在橢圓E上，兩定點N(l,-1).

①求△PMN的面積的最大值；

②若直線MP與NP分別與直線x=3交于C,。兩點，問：是否存在點P,使得APMN

與△PCD的面積相等？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

22.已知/"(%)=ln(l+x)+2cosx-(1+%)4，g(x)=cosx-1+ax2.

(I)若或%)>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

(口)確定/。)在(一1,n)內(nèi)的零點個數(shù).

第6頁，共20頁

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因為B={x\x2-3%>0}={x\x<0或無>3],

所以CRB={%|0WxW3},

又集合4={1,2,3,4,5),

所以力CCRB={1,2,3),

故ACCRB中的元素個數(shù)為3.

故選：B.

先求出集合8,再利用補(bǔ)集求出CRB,然后由集合交集的定義求解ACCRB即可.

本題考查了集合的運算，主要考查了集合的交集和補(bǔ)集的定義，考查了邏輯推理能力與

運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：因為復(fù)數(shù)zrZ2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為Zi(3,a),Z2(2,l),

所以ZI=3+ai,z2=2+i,

故ZI-z2=(3+ai)(2+i)=6—a+(3+2a)i,

因為Zi■Z2為純虛數(shù)，

所以6-a=0且3+2a力0,

解得a=6.

故選：D.

先利用復(fù)數(shù)的幾何意義求出復(fù)數(shù)Z「Z2,再利用復(fù)數(shù)的乘法運算以及純虛數(shù)的定義求解

a即可.

本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握復(fù)數(shù)的幾何意義，考查了

運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：=啰耳鏟=一箋空=

'')e~x-exex-e~x7v7

二函數(shù)f(%)為奇函數(shù)，排除選項c和。，

當(dāng)％E(0,1)時，cosx>0,ex-e~x>0,/(%)>0,排除選項3,

故選：A.

先判斷函數(shù)的奇偶性，再不妨考慮x6(0,1)時，f(x)與0的大小關(guān)系，得解.

本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一般可從函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性或特殊點處的函數(shù)值等方

面著手思考，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解；4人隨機(jī)去3個村的可能情況有34=81種，

每個人只去一個村，則每個村至少有一名工作人員有以用=36種，

364

故

故選：A.

4人隨機(jī)去3個村的可能情況有3,=81種，每個人只去一個村，則每個村至少有一名工

作人員有此題=36種，然后結(jié)合古典概率公式可求.

本題主要考查了古典概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】

【分析】由已知及向量的數(shù)量積運算可求得五不=3-m2,從而可得向量五在向量方方

向上的投影為|N|cos<區(qū)b>==—y/m2+9+令1=7m2+9,則/'(t)=

-t+y,利用函數(shù)的單調(diào)性求得/(t)的最大值即可得解.

本題考查了向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的運算，向量投影的計算公式，利用函數(shù)

的單調(diào)性求最值的方法，考查了計算能力，屬于中檔題.

【解答】

解:因為|硝=遙，b—(m,3)>(b—a)1(2a+b)>

所以@一五)-(2a+b)=2b-a+b2-2a2-a-b=a-b+m2+9-12=0>

所以五?b=3—m2?

所以向量五在向量方方向上的投影為：

|磯cos(五，%>=那焉=7而+9+篇

令t=Vm2+9?t>3,

/(t)=-t+Y，y=-t與y=芋在［3.+8)上均為減函數(shù)，

則/'(t)在［3.+8)上為減函數(shù)，

所以f(t)4/(3)=—3+￡=1,

第8頁，共20頁

所以向量五在向量方方向上的投影的最大值為1.

故選：D.

6.【答案】C

【解析】解：由題意得4B=AD+BD=a+b,CO=^a+b),0D=OB-DB=^a+

b)-b=g(a-b),

Rt△OCD^,CD2=OC2+OD2=

442

因為。CWCD,

所以“a+b)S用叵，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號、

故選：C.

由已知圖形先求出OC,CD,然后結(jié)合OCSCD即可判斷.

本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：在APFiB中，由正弦定理知，得一=忐”,

x

4sinzP/^Fis\nz.PF1F2

v2sinZ-PF1F2=sinzP^Fi，

：.2\PF2\=\PFX\,

由雙曲線的定義知，\PF1\-\PF2\=2a,

\PF1\=4a,\PF2\=2a,

???|PF/+\PF2\>尸局,即4a+2a>2c,

e=-<3,

a

又e>1,???ee(1,3).

故選：C.

在△P&F2中，由正弦定理可得2|PBI=仍&1，再結(jié)合雙曲線的定義和“三角形的兩邊

之和大于第三邊”，即可得解.

本題考查雙曲線的定義與幾何性質(zhì)，還運用了正弦定理,考查邏輯推理能力和運算能力，

屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

(lX為有理數(shù)

【解析】解：當(dāng)加為有理數(shù)時，D(x+m)

1一1/為無理數(shù)

:.D(x+m)=D(x),

...任何一個有理數(shù)都是。(%)的周期，

D(x)是周期函數(shù)，且無最小正周期，

.?.選項A,。錯誤，

若x為有理數(shù)，則-x也為有理數(shù)，

???D(x)—D(―x),

若X為無理數(shù)，則-X也為無理數(shù)，

???D(x)=D(-x),

綜上，總有O(-x)=D(x),

???函數(shù)。(x)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱，

二選項C錯誤，選項B正確，

故選：B.

當(dāng)〃?為有理數(shù)時恒有。(x+m)=。(乃，所以。(乃是周期函數(shù)，且無最小正周期，又因

為無論x是有理數(shù)還是無理數(shù)總有。(-x)=D(x),所以函數(shù)。(x)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y

軸對稱.

本題主要考查了分段函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性，是基礎(chǔ)題.

9.【答案】BD

【解析】解：對于4,兩直線平行時，兩直線的斜率相等或斜率都不存在，所以必要性

不成立；

對于B,x>10時，%>5,所以必要性成立；

對于C,若3，元，則a〃a或aua,所以必要性不成立；

對于。，/(%)在x=X。處取得極值時，1(%0)=。，必要性成立.

故選：BD.

只需判斷必要性是否成立即可.

本題考查了判斷必要性是否成立的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABD

【解析】解：數(shù)列｛熟｝滿足的=1,a2=3,an+2-an=2,n€N*,

則數(shù)列為，。3,。5,…是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，

第10頁，共20頁

數(shù)列&2,?4?。6,…是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列.

對于4(%+。2)，(?3+?4)>(。5+&6)，…為等差數(shù)列，故A正確；

對于8：(a2-ax)=2,(a4-a3)==2,…為常數(shù)列，故B正確；

對于C：數(shù)列的,a3,as，…是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，故a2n_i=2n—1,

故C錯誤，

對于。：7100=—%+-。3+…+%00—。99=2X50=100,故￡>正確.

故選:ABD.

直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式和數(shù)列的求和公式的應(yīng)用判斷A、B、C、。的結(jié)論.

本題考查的知識要點：數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列的求和公式，主要考查學(xué)生的運

算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】BC

【解析】解：函數(shù)/'(X)=2cos(cox+<p)(3>0,Isl<])的圖象上，

對稱中心與對稱軸x=勺的最小距離為:x-=p.-.<0=2.

再根據(jù)2x三+3=kir,keZ,可得<?=-｝故/(x)=2cos(2x->

1ZOO

令X=翁，可得/'(%)=-1力0，故A錯誤；

當(dāng)x6碎方時，2刀—昏冷甘，故當(dāng)2x-旨,寸，函數(shù)f(x)的最小值為—百，故B

正確；

若sin%—cos4a=sin2a—cos2a=—cos2a=-“a6(0,^)),:.cos2a=%sin2a=

V1—cos22a=I，

=

貝！J/(Q+：)=2cos(2a+]—*)=—2sin(2a~~)-2sin2acos^+2cos2asin^—

匕券，故c正確；

將g(x)=2cos2x的圖象向右平移泠單位，可得y=2cos(2x-》的圖象，故/)錯誤，

故選：BC.

由周期求出3,由圖象的對稱性求出0的值，可得的解析式，再利用三角函數(shù)的性

質(zhì)以及函數(shù)y=Asin^x+9)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論.

本題主要考查由函數(shù)y=Asin^x+s)的部分圖象求解析式，三角函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)y=

4sin(Mr+3)的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題.

12.【答案】ACD

【解析】解:因為公共弦AB在棱/上，連結(jié)OE,OiE,

02E,。1。2，OA,

則0E=>JOA2-AE2=V3,I

因為二面角a-2-0的兩個半平面分別截球面得兩

個圓。1，02,0為球心，

所以0011a,0。2”,

又。iEu平面a,6后u平面氏

所以。。11。百002102E,

故0,E,。［,。2四點共圓，故選項A正確；

因為E為弦A8的中點，

故01EJ.AB,02ELAB,故NOIE。2即為二面角a-/一夕的平面角，

所以乙。述。2=60°,

故。iO2=OEsin6(T=|,故選項B錯誤，選項C正確；

設(shè)。。1=d］,002=d2>

在△。。1。2中，由余弦定理可得，01。:=3=虜+或+did223d1d2，

所以did?<i故SA。。］。？-挈，

所以八/AE-SAOOQ〈祟

當(dāng)且僅當(dāng)刈=42時取等號，故選項。正確.

故選：ACD.

利用球心和截面圓之間的關(guān)系可以得到O,E,0「。2四點共圓，即可判斷選項4利

用二面角的定義得到4。1后。2即為二面角a-I-￡的平面角，求出。1。2即可判斷選項B,

C；利用余弦定理和基本不等式以及錐體的體積公式即可判斷選項D.

本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，考查的知識點：球的幾何性質(zhì)、截面圓的幾何性質(zhì)、

二面角的平面角、余弦定理、基本不等式以及錐體的體積公式，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題.

13.【答案】0.8186

【解析】解：因為X近似服從正態(tài)分布N(89,100),

則〃=89,<7=10,

所以P(79<X<109)=P(〃—<r<XW〃+2(r)=P(〃-c<X<0)+P(0<XW〃+

第12頁，共20頁

2a)

=-0.-68-2-7-01.-95-4-5--=0.8186,

22

故答案為：0.8186.

由已知求出〃=89,(7=10,然后根據(jù)公式即可求解.

本題考查了正態(tài)分布的性質(zhì)，考查了學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】f(x)=-(x-1)2,(答案不唯一)

【解析】解：由題意小。)的最大值/(I)且f(x)在［0,1］上不是增函數(shù)，

故/'(X)=_(x-1)2.

故答案為：f(x)=-(x-l)2,(答案不唯一).

由題意/(X)的最大值/(I)且/(X)在［0,1］上不是增函數(shù)，結(jié)合基本初等函數(shù)的性質(zhì)可求.

本題主要考查了基本初等函數(shù)的性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】17

【解析】解：令x=l可得：(a+l)(l+l)6=64(a+l)=192,解得a=2,

所以二項式為(2+或)(％+I］的展開式的常數(shù)項為：

2x以+點.C數(shù)2=2+或=2+15=17,

故答案為：17.

令x=1求出a的值，由此即可求出常數(shù)項.

本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了求解常數(shù)項的問題，考查了學(xué)生的運算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

16.【答案】32x3『(r€N*)

【解析】解：因為7=1X22+1X21+1X2°,所以/'⑺=3,

rr-11

設(shè)n=aox2+arx24---Far_rx2+arx2°,f(n)=t+1,

則使得f(n)=t+1的〃有。個，

所以刀#12f⑺=》=oCx2t+1=2x3r(r6N*).

故答案為：3,2x3r(reN*).

首先把五進(jìn)制數(shù)字轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制數(shù)字，用所給的數(shù)字最后一個數(shù)乘以5的0次方，依次

向前類推，相加得到十進(jìn)制數(shù)字，再用這個數(shù)字除以2,倒序取余即可求解.

本題考查進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化，本題涉及到三個進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化，實際上不管是什么之

間的轉(zhuǎn)化，原理都是相同的，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：(I)數(shù)列｛冊｝的前n項和又滿足2S“=n2+3n①.

所以當(dāng)71=1時，解得出=2,

2

當(dāng)n22時，2Sn_i=(n-l)+3(n-1)②，

①—②得：2an—+377.—［(n-1)?+3(n—1)］>

整理得即=n+1(首項符合通項)，

故期=n+1.

_1_1__i_____i_

n

('anan+1(n+l)(n+2)n+1n+2'

所以7；=工一工+工一工+?.?+^——-=i-—,

n2334n+1n+22n+2

若存在neN*,使得NO成立，

即:-京-+2)>0成立，

故康2"+2)，

整理得詬念而之'，

只需滿足耳懣七而］max24即可，

設(shè)9(吟=說缶的=肅百W2，當(dāng)且僅當(dāng)兀=2時，等號成立.

即“4

【解析】(I)直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項公式；

(n)利用裂項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用和存在性問題的應(yīng)用求出參數(shù)的取值范圍.

本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用，數(shù)列的求和，裂項相消法在求和

中的應(yīng)用，存在性問題的應(yīng)用，基本不等式，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，

屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(/)/(%)=y/Ssinxcosx-cos2x—^=^-sin2x—14-c^x2x_1,

V3.n1o1

=——sinZx——cos2x—1，

22

=sin(2x—*)—1,

因為［-治智所以2》一鼠［蘭，爭，

所以一漁工sin(2x――)<1,

26

第14頁，共20頁

/0)=5也0-》一1的最大值0,此時X=g,函數(shù)的最小值一1一日，此時x=一攝

(〃)C)=sin(I)-l=-l,

所以sin(4-g)=0,

o

由A為三角形內(nèi)角得4=，

因為a=2百，b=6,

由余弦定理得a2=爐+定一2bcx立，

2

所以12=36+c2-6痘c=0.

解得c=2次或c=4V3

【解析】(/)先利用二倍角公式及輔助角公式進(jìn)行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求；

(〃)由已知先求4然后結(jié)合余弦定理即可求解c

本題主要考查了二倍角公式，輔助角公式在三角化簡中的應(yīng)用，還考查了正弦函數(shù)的性

質(zhì)及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)甲恰好勝2局的概率為2=廢0.62x0.4=0,432；

(II)①甲所勝局?jǐn)?shù)x的可能取值為0,1,2,

所以P(x=O)=廢0.42=0.16,

P(x=1)=C；0.6x0.4x0.4=0.192,

PQ=2)=廢0.6x0.6+60.6X0.4x0.6=0.648,

所以甲所勝局?jǐn)?shù)x的分布列為：

X012

P0.160.1920.648

則X的數(shù)學(xué)期望E(x)=0x0,16+1X0.192+2x0.648=1.488；

②采用“3局2勝制”時，甲獲勝的概率為B=60.6x0.4x0.6+廢0.6x0.6=0.648,

采用“5局3勝制”時，甲獲勝的概率為「2=服0.62x0.42x0.6+或0.62X0.4X

0.6+C^O.63=0.68256,

對于甲而言，顯然“5局3勝制”更有利，

由此可得出：比賽局?jǐn)?shù)越多，對水平高的選手越有利.

【解析】(I)利用〃次獨立重復(fù)事件恰好發(fā)生k次的概率公式進(jìn)行求解即可；

(口)①先確定x的可能取值，分別求出其對應(yīng)的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望即可:

②利用"次獨立重復(fù)事件恰好發(fā)生人次的概率公式分別計算兩種賽制下甲獲勝的概率，

通過計算結(jié)果進(jìn)行分析即可.

本題考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列和離散型隨機(jī)變量期望的求解與應(yīng)用，考查了邏

輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：（I）由題意可知平面4BE〃平面CDGF,且A,E,F,G四點共面于平

面AEFG,

故AE〃GF,同理可得4G〃EF,

故AEFG為平行四邊形，故AE=FG,

過點G作C尸的垂線，垂足為N,

GNF,所以FN=BE=1,FC=4+1=5,

AC—2V2，

則AF=>JAC2+FC2=V33,

故施。/=品=岸

（n）以A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

MC=2,8(2,0,0),N(2,2，2),

所以宿=(2,0,0),戒=(2,2,2)，

設(shè)平面ABM的法向量而=(%,y,z),

則有住,逋=2%=0,

(m-AM=2x+2y+2z=0

令y=l,則z=-1,故沆=(0,1,—1),

又E(2,0,1),F(2,2,5),

所以荏=(2,0,1),方=(2,2,5)，

設(shè)平面AER7的法向量為五=(見仇c),

則有(元?亞=2%+z=0

I五?AF=2%+2y+5z=0'

令％=1,則z=-2,y=4,故五=(1,—2,4),

所以|cos<n,m>|=-TTTT7-=??號f京:=?，

1'|m||n|V2XV217

設(shè)平面ABM與平面AEFG所成銳二面角為a,

則sina=J]—=y-

【解析】（I）利用面面平行的性質(zhì)得到4E〃GF,AG//EF,從而可證明4E=FG,過點

G作C尸的垂線，垂足為N,利用邊角關(guān)系即可求出4尸以及tan。的值;

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(n)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求

出兩個平面的法向量，然后由向量的夾角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.

本題考查了立體幾何在實際生活中的應(yīng)用問題，主要考查了空間角的求解，在求解有關(guān)

空間角問題的時候，一般會建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量

問題進(jìn)行研究，屬于中檔題.

21.【答案】解：(I)根據(jù)題意可得，Q(0,?4(—a,0),B(a,0),

因為福?證=1.

所以(a,V5>(a,-V5)=1，

所以a2—3=1.

所以=4,

所以橢圓的方程為直+g=1.

43

(II)①設(shè)P(2cosa,Vasina),0<a<2TT,

因為M(-l,|),N(l,-|),

所以直線MN的方程為v_。=2(x+1)，即3%+2y=0,

72-1-1'J

所以點P到直線MN的距離為d=做2」工以為呵=人蹩噴,

V3z+22V13

|MN|=J(一1—1)2+(|_(_|))2=V13,

所以4PMN=1-|M/V|-d=i-VT3-*:魯玲=2V3sin(a+9，G<a<2n,

所以△PMN的面積的最大值為2舊.

②設(shè)P(%o，yo),|MN|=A/H，

點P到直線MN的距離由=嗎件，

所以SAPMN=]MN|di=1|3x0+2y0|-

直線例P的方程為:y二組

Xo+1

令久=3,可得C(3,券+|),

直線PN的方程為：”薯(％_1)_|,

令x=3,可得。(3,誓一|),

(3%o+2yo)(%o-3)

所以|CD|=|

就一1

點P到直線CD的距離d2=|3-x0|,

2

所以SAPCD=\\CD\-d2=\\等等|x(3-x0),

因為△MPl^APCD面積相等，

所以柳3沏+2兀|=；|等空口(3-殉)2,

2

所以3沏+2yo=0(舍去)或閡-1|=(3-x0),

解得殉=J，代入橢圓的方程得y0=土隹，

J6

所以點P(L)或(|,_等).

【解析】(I)根據(jù)題意可得，AQQB=1,得(a,我)?(a,-遮)=1,解得a2,進(jìn)而可

得答案.

(H)①設(shè)P(2cosa,我sina),0<a<2n,寫；I；直線MV的方程，進(jìn)而可得點尸到直線

MN的距離為d,由兩點之間的距離公式可得|MN|,進(jìn)而可得S“財N=|'\MN\'d=

2V3sin(a+j),0<a<2n,即可得出答案.

②設(shè)P(xo，yo)，則￡^'=：四"%=汩X0+2