湖南省株洲市石峰區(qū)2023-2024學(xué)年上學(xué)期期末九年級(jí)數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)沖刺試題卷

湖南省株洲市石峰區(qū)2023年下學(xué)期期末九年級(jí)數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)沖刺試題卷一．選擇題（共10小題）1．2cos60°的值等于（）A． B．1 C． D．2．代數(shù)式x2﹣4x+5的最小值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．已知x＝1是關(guān)于x的一元二次方程x2+mx＝0的一個(gè)根，則m的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．若點(diǎn)P（1，3）在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，則k的值是（）A． B．3 C． D．﹣35．已知AB＝2，點(diǎn)P是線段AB上的黃金分割點(diǎn)，且AP＞BP，則AP的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．6．一元二次方程（x﹣6）（x+2）＝0的解是（）A．x＝6 B．x＝﹣2 C．x1＝6，x2＝﹣2 D．x1＝﹣6，x2＝27．某商品原價(jià)為100元，連續(xù)兩次降價(jià)后為80元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則下列方程正確的是（）A．80（1﹣x）2＝100 B．100（1﹣x）2＝80 C．100（1﹣2x）2＝80 D．80（1﹣2x）2＝1008．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則tanA的值為（）A． B． C． D．9．如圖，在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在x軸、y軸的正半軸上，反比例函數(shù)y＝（x＞0）與AB相交于點(diǎn)D，與BC相交于點(diǎn)E，若BD＝3AD，且△ODE的面積是9，則k＝（）A． B． C． D．1210．在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二．填空題（共8小題）11．若，則＝．12．二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+2的圖象與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是．13．若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的面積為12cm2，則△A′B′C′的面積為cm2．14．如圖，在△ABC中，DE∥BC，，△ADE的面積是8，則四邊形DBCE的面積是．15．如圖，河壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC之比），水平寬度AC＝m，則坡面AB的長(zhǎng)度是米．16．如圖，為了測(cè)量古塔的高，小明在點(diǎn)A測(cè)得看古塔頂點(diǎn)C處的仰角為30°，然后向古塔方向前進(jìn)到40米的點(diǎn)B處測(cè)得古塔頂點(diǎn)C的仰角是60°，A、B、D在同一直線上，那么古塔CD的高是米．（≈1.414，≈1.732，結(jié)果保留一位小數(shù)）17．如圖，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，頂點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y＝（x＞0）與y＝﹣（x＜0）的圖象上，則∠BAO的度數(shù)為．18．如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且CF＝CD，下列結(jié)論：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△ECF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF．其中正確結(jié)論是（填序號(hào)）．三．解答題（共9小題）19．（1）解方程：x2+3x﹣4＝0．（2）計(jì)算：|2﹣π|．20．21．如圖，四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，∠ACD＝∠ABE．（1）求證：△ABC∽△AEB；（2）當(dāng)AB＝6，AC＝4時(shí)，求AE的長(zhǎng)．22．已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1和x2，，求m的值．23．某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺(tái)燈以40元售出，平均每月能售出600個(gè)，調(diào)查表明，這種臺(tái)燈的售價(jià)每上漲1元，其銷量就減少10個(gè)．（1）為了實(shí)現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤(rùn)，這種臺(tái)燈的售價(jià)可定為多少元？（2）商場(chǎng)采取漲價(jià)措施后，每天能盈利15000元嗎？為什么？（3）臺(tái)燈的售價(jià)定為多少元時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)多少？24．我們約定：若關(guān)于x的整式A＝a1x2+b1x+c1與B＝a2x2+b2x+c2同時(shí)滿足：+（b2+b1）2+|c2﹣a1|＝0，（b1﹣b2）2023≠0，則稱整式A與整式B互為“美美與共”整式．根據(jù)該約定，解答下列問(wèn)題：（1）若關(guān)于x的整式A＝2x2+kx+3與B＝mx2+x+n互為“美美與共”整式，求k，m，n的值；（2）若關(guān)于x的整式M＝（x+a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b為常數(shù)），M與N互為“美美與共”整式，且x+a是x3﹣3x+c的一個(gè)因式，求a﹣b+c的值；（3）若（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1＝（x2+rx+s）2，且關(guān)于y的方程﹣3的解為正整數(shù)，求P＝rx2+tx+s的“美美與共”整式Q，并求出Q的最小值．25．某鎮(zhèn)為創(chuàng)建特色小鎮(zhèn)，助力鄉(xiāng)村振興，決定在轄區(qū)的一條河上修建一座步行觀光橋，如圖，該河旁有一座小山，山高BC＝80m，坡面AB的坡度i＝1：0.7（注坡度i是坡面的鉛直高度與水平寬度的比），點(diǎn)C，A與河岸E，F(xiàn)在同一水平線上，從山頂B處測(cè)得河岸E和對(duì)岸F的俯角分別是∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．（1）求山腳A到河岸E的距離；（2）若在此處建橋，試求河寬EF的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）26．如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y1＝ax+b與雙曲線y2＝（k≠0）分別相交于第二、四象限內(nèi)的A（m，4），B（6，n）兩點(diǎn)，與x軸相交于C點(diǎn)．已知OC＝3，tan∠ACO＝．（1）求y1，y2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）求△AOB的面積；（3）直接寫出當(dāng)x＜0時(shí)，不等式ax+b＞的解集．27．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線相交于點(diǎn)P、與BC相交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)H，連接PB．（1）求該拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使△QPB與△EPB的面積相等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．（3）拋物線上存在一點(diǎn)G，使∠GBA+∠PBE＝45°，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)．

湖南省株洲市石峰區(qū)2023年下學(xué)期期末九年級(jí)數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)沖刺試題卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．2cos60°的值等于（）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入得出答案．【解答】解：2cos60°＝2×＝1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．2．代數(shù)式x2﹣4x+5的最小值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】通過(guò)配方法可求解．【解答】解：∵x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4﹣4+5＝（x﹣2）2+1∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2+1≥1，∴當(dāng)x＝2時(shí)，代數(shù)式x2﹣4x+5的最小值為1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法的應(yīng)用，解題時(shí)要注意配方法的步驟．注意在變形的過(guò)程中不要改變式子的值．3．已知x＝1是關(guān)于x的一元二次方程x2+mx＝0的一個(gè)根，則m的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】把x＝1代入方程x2+mx＝0，得出一個(gè)關(guān)于m的方程，解方程即可．【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx＝0得：1+m＝0，解得：m＝﹣1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，關(guān)鍵是能根據(jù)題意得出一個(gè)關(guān)于m的方程．4．若點(diǎn)P（1，3）在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，則k的值是（）A． B．3 C． D．﹣3【答案】B【分析】點(diǎn)P（1，3）在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，則點(diǎn)的坐標(biāo)一定滿足解析式，代入就得到k的值．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)P（1，3）在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，所以3＝．解得：k＝3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)圖象上的點(diǎn)與圖象的關(guān)系，圖象上的點(diǎn)滿足解析式，滿足解析式的點(diǎn)在函數(shù)圖象上．5．已知AB＝2，點(diǎn)P是線段AB上的黃金分割點(diǎn)，且AP＞BP，則AP的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義和AP＞BP得出AP＝AB，代入數(shù)據(jù)即可得出AP的長(zhǎng)度．【解答】解：由于P為線段AB＝2的黃金分割點(diǎn)，且AP＞BP，則AP＝×2＝﹣1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割．應(yīng)該識(shí)記黃金分割的公式：較短的線段＝原線段的，較長(zhǎng)的線段＝原線段的．6．一元二次方程（x﹣6）（x+2）＝0的解是（）A．x＝6 B．x＝﹣2 C．x1＝6，x2＝﹣2 D．x1＝﹣6，x2＝2【答案】C【分析】利用因式分解法直接解方程即可．【解答】解：（x﹣6）（x+2）＝0，可得x﹣6＝0或x+2＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程，正確掌握解一元二次方程的方法及根據(jù)每個(gè)方程的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)慕夥ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．7．某商品原價(jià)為100元，連續(xù)兩次降價(jià)后為80元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則下列方程正確的是（）A．80（1﹣x）2＝100 B．100（1﹣x）2＝80 C．100（1﹣2x）2＝80 D．80（1﹣2x）2＝100【答案】B【分析】設(shè)平均每次的降價(jià)率為x，則經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的價(jià)格是100（1﹣x）2，根據(jù)關(guān)鍵語(yǔ)句“連續(xù)兩次降價(jià)后為80元，”可得方程100（1﹣x）2＝80．【解答】解：由題意得：100（1﹣x）2＝80，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查求平均變化率的方法．若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過(guò)兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2＝b．8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則tanA的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求得tanA的值．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴tanA＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是銳角三角函數(shù)的定義，掌握tanA＝（a為∠A的對(duì)邊，b為∠A的鄰邊）是關(guān)鍵．9．如圖，在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在x軸、y軸的正半軸上，反比例函數(shù)y＝（x＞0）與AB相交于點(diǎn)D，與BC相交于點(diǎn)E，若BD＝3AD，且△ODE的面積是9，則k＝（）A． B． C． D．12【答案】C【分析】所給的三角形面積等于長(zhǎng)方形面積減去三個(gè)直角三角形的面積，然后即可求出B的橫縱坐標(biāo)的積即是反比例函數(shù)的比例系數(shù)．【解答】解：∵四邊形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），∵BD＝3AD，∴D（，b），∵點(diǎn)D，E在反比例函數(shù)的圖象上，∴＝k，∴E（a，），∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝ab﹣﹣k﹣?（b﹣）＝9，∴k＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了反比例函數(shù)的綜合知識(shí)，利用了：①過(guò)某個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)適合這個(gè)函數(shù)解析式；②所給的面積應(yīng)整理為和反比例函數(shù)上的點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)的形式．10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)拋物線對(duì)稱性進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【解答】解：∵圖象開口向下，∴a＜0，∵對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，∴c＞0，∴abc＜0，∴①說(shuō)法錯(cuò)誤，∵﹣＝1，∴2a＝﹣b，∴2a+b＝0，∴②說(shuō)法錯(cuò)誤，由圖象可知點(diǎn)（﹣1，0）的對(duì)稱點(diǎn)為（3，0），∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＜0，∴當(dāng)x＝3時(shí)，y＜0，∴9a+3b+c＜0，∴③說(shuō)法錯(cuò)誤，∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，∴④說(shuō)法正確；當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，∴⑤說(shuō)法正確，∴正確的為④⑤，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，能從圖象中獲取信息是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共8小題）11．若，則＝．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)變形，代入求值即可．【解答】解：由可設(shè)y＝3k，x＝7k，k是非零整數(shù)，則．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了比例的基本性質(zhì)，準(zhǔn)確利用性質(zhì)變形是解題的關(guān)鍵．12．二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+2的圖象與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1）．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】求出二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+2，當(dāng)x＝0時(shí)y的值，即可得出答案．【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2+2，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣1+2＝1，∴二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+2的圖象與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1）；故答案為：（0，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；求出二次函數(shù)當(dāng)x＝0時(shí)y的值是解題的關(guān)鍵．13．若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的面積為12cm2，則△A′B′C′的面積為27cm2．【答案】27．【分析】設(shè)△A′B′C′的面積為Scm2，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)△A′B′C′的面積為Scm2，∵△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的面積為12cm2，∴12：S＝9：4，解得S＝27cm2．故答案為：27．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵．14．如圖，在△ABC中，DE∥BC，，△ADE的面積是8，則四邊形DBCE的面積是10．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)DE∥BC，于是得到△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到＝（）2＝，由△ADE的面積是8，得到△ABC的面積＝18，即可得到結(jié)論．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∵△ADE的面積是8，∴△ABC的面積＝18，∴四邊形DBCE的面積是10．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．15．如圖，河壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC之比），水平寬度AC＝m，則坡面AB的長(zhǎng)度是6米．【答案】6．【分析】由坡度的定義求出BC的長(zhǎng)，再由勾股定理求出AB的長(zhǎng)即可．【解答】解：∵河壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：，AC＝m，∴＝，∴BC＝AC＝×3＝3（m），在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝6（m），故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問(wèn)題以及勾股定理，熟練掌握坡度的概念是解題的關(guān)鍵．16．如圖，為了測(cè)量古塔的高，小明在點(diǎn)A測(cè)得看古塔頂點(diǎn)C處的仰角為30°，然后向古塔方向前進(jìn)到40米的點(diǎn)B處測(cè)得古塔頂點(diǎn)C的仰角是60°，A、B、D在同一直線上，那么古塔CD的高是34.6米．（≈1.414，≈1.732，結(jié)果保留一位小數(shù)）【答案】34.6．【分析】根據(jù)題意可得：CD⊥AD，AB＝40米，∠A＝30°，∠CBD＝60°，然后利用三角形的外角性質(zhì)可得∠A＝∠ACB＝30°，從而可得AB＝BC＝40米，最后在Rt△CBD中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：由題意得：CD⊥AD，AB＝40米，∠A＝30°，∠CBD＝60°，∵∠CBD是△ABC的一個(gè)外角，∴∠ACB＝∠CBD﹣∠A＝30°，∴∠A＝∠ACB＝30°，∴AB＝BC＝40米，在Rt△CBD中，CD＝BC?sin60°＝40×＝20≈34.6（米），∴古塔CD的高約為34.6米，故答案為：34.6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．17．如圖，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，頂點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y＝（x＞0）與y＝﹣（x＜0）的圖象上，則∠BAO的度數(shù)為60°．【答案】60°．【分析】過(guò)A作AC⊥x軸，過(guò)B作BD⊥x軸于D，于是得到∠BDO＝∠ACO＝90°，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得到S△BDO＝，S△AOC＝，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到＝（）2＝＝3，求得＝，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：過(guò)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過(guò)B作BD⊥x軸于D，則∠BDO＝∠ACO＝90°，∵頂點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y＝（x＞0）與y＝﹣（x＜0）的圖象上，∴S△BDO＝，S△AOC＝，∵∠AOB＝90°，∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°，∴∠DBO＝∠AOC，∴△BDO∽△OCA，∴＝（）2＝＝3，∴＝，∴tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝60°，故答案為：60°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．解題時(shí)注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法．18．如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且CF＝CD，下列結(jié)論：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△ECF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF．其中正確結(jié)論是②③（填序號(hào)）．【答案】②③．【分析】由正方形的性質(zhì)得∠B＝∠C＝∠D＝90°，設(shè)AB＝BC＝CD＝AD＝m，則BE＝EC＝m，CF＝m，所以DF＝m，由tan∠BAE＝＝，可知∠BAE≠30°，可判斷①錯(cuò)誤；再證明＝＝2，則△ABE∽△ECF，可判斷②正確；因?yàn)椤螧AE＝∠CEF，所以∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠BAE＝90°，則∠AEF＝90°，所以AE⊥EF，可判斷③正確；由＝2，＝3，得≠，則△ADF與△ECF不相似，可判斷④錯(cuò)誤，于是得到問(wèn)題的答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，設(shè)AB＝BC＝CD＝AD＝m，∵E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且CF＝CD，∴BE＝EC＝m，CF＝m，∴DF＝CD﹣CF＝m﹣m＝m，∵tan∠BAE＝＝＝，而tan30°＝，∴∠BAE≠30°，故①錯(cuò)誤；∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∴△ABE∽△ECF，故②正確；∴∠BAE＝∠CEF，∴∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠AEF＝180°﹣（∠AEB+∠CEF）＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥EF，故③正確；∵＝＝2，＝＝3，∴≠，∴△ADF與△ECF不相似，故④錯(cuò)誤，故答案為：②③．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余等知識(shí)，此外，還可以通過(guò)計(jì)算證明AE2+EF2＝AF2，根據(jù)勾股定理的逆定理證明∠AEF＝90°，從而證明AE⊥EF．三．解答題（共9小題）19．配方法解：x2+3x﹣4＝0．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊加上，把方程左邊配成完全平方式，最后用直接開平方法解方程即可．【解答】解：x2+3x﹣4＝0x2+3x＝4x2+3x+＝4+＝∴x+＝±所以x1＝1，x2＝﹣4．【點(diǎn)評(píng)】掌握配方法，它是我們常用的數(shù)學(xué)思想方法．熟練運(yùn)用它解一元二次方程．配方法一個(gè)重要環(huán)節(jié)就是配一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．20．計(jì)算：|2﹣π|．【答案】π．【分析】根據(jù)絕對(duì)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪和特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算．【解答】解：原式＝π﹣2+2﹣1+×＝π﹣2+2﹣1+1＝π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法和除法法則、零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．21．如圖，四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，∠ACD＝∠ABE．（1）求證：△ABC∽△AEB；（2）當(dāng)AB＝6，AC＝4時(shí)，求AE的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解答；（2）9．【分析】（1）根據(jù)兩角相等可得兩三角形相似；（2）根據(jù)（1）中的相似列比例式可得結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴∠ACD＝∠BCA，∵∠ACD＝∠ABE，∴∠BCA＝∠ABE，∵∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB；（2）解：∵△ABC∽△AEB，∴＝，∵AB＝6，AC＝4，∴＝，∴AE＝＝9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)和判定是解本題的關(guān)鍵．22．已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1和x2，，求m的值．【答案】（1）m≤1且m≠0；（2）m＝﹣1．【分析】（1）根據(jù)根的判別式求解即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【解答】解：（1）∵一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴Δ≥0，m≠0，即（﹣2）2﹣4m≥0，m≠0，解得m≤1且m≠0；（2）根據(jù)題意，得，，∵，∴，解得m1＝﹣1，m2＝5，經(jīng)檢驗(yàn)得，m＝﹣1是分式方程的解，且符合題意；m＝5是分式方程的解，但不符合題意．故m＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根的概念，根的判別式，根與系數(shù)關(guān)系等知識(shí)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．23．某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺(tái)燈以40元售出，平均每月能售出600個(gè)，調(diào)查表明，這種臺(tái)燈的售價(jià)每上漲1元，其銷量就減少10個(gè)．（1）為了實(shí)現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤(rùn)，這種臺(tái)燈的售價(jià)可定為多少元？（2）商場(chǎng)采取漲價(jià)措施后，每天能盈利15000元嗎？為什么？（3）臺(tái)燈的售價(jià)定為多少元時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)多少？【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）設(shè)這種臺(tái)燈上漲了x元，臺(tái)燈將少售出10x，那么利潤(rùn)為（40+x﹣30）（600﹣10x）＝10000，解方程即可；（2）根據(jù)題意列方程，根據(jù)Δ＜0，判斷即可；（3）根據(jù)銷售利潤(rùn)＝每個(gè)臺(tái)燈的利潤(rùn)×銷售量，每個(gè)臺(tái)燈的利潤(rùn)＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)，關(guān)鍵是用售價(jià)x表示銷售量．列出二次函數(shù)，用二次函數(shù)的性質(zhì)，求最大值．【解答】解：（1）設(shè)這種臺(tái)燈上漲了x元，根據(jù)題意得（40+x﹣30）（600﹣10x）＝10000，整理得，x2﹣50x+400＝0，解得：x＝40或x＝10，40+40＝80或40+10＝50（元），答：這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為80元或50元；（2）每天不能盈利15000元，理由：假設(shè)能盈利15000元，于是得到（40+x﹣30）（600﹣10x）＝15000，整理得，x2﹣50x+900＝0，∵Δ＝2500﹣3600＜0，∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，∴每天不能盈利15000元；（3）設(shè)臺(tái)燈的售價(jià)為x元，利潤(rùn)為y元，依題意：y＝（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]，∴y＝﹣10x2+1300x﹣30000，∵對(duì)稱軸x＝65，在對(duì)稱軸的左側(cè)y隨著x的增大而減小，∴當(dāng)x＝65時(shí)，y最大＝12250元，答：臺(tái)燈的售價(jià)定為65元時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為12250元．【點(diǎn)評(píng)】此題考查一元二次方程和二次函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用，通過(guò)由實(shí)際問(wèn)題﹣﹣一元二次方程（二次函數(shù)）﹣﹣實(shí)際問(wèn)題，三個(gè)階段的探究，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的運(yùn)用價(jià)值，能提高學(xué)習(xí)興趣．24．我們約定：若關(guān)于x的整式A＝a1x2+b1x+c1與B＝a2x2+b2x+c2同時(shí)滿足：+（b2+b1）2+|c2﹣a1|＝0，（b1﹣b2）2023≠0，則稱整式A與整式B互為“美美與共”整式．根據(jù)該約定，解答下列問(wèn)題：（1）若關(guān)于x的整式A＝2x2+kx+3與B＝mx2+x+n互為“美美與共”整式，求k，m，n的值；（2）若關(guān)于x的整式M＝（x+a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b為常數(shù)），M與N互為“美美與共”整式，且x+a是x3﹣3x+c的一個(gè)因式，求a﹣b+c的值；（3）若（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1＝（x2+rx+s）2，且關(guān)于y的方程﹣3的解為正整數(shù)，求P＝rx2+tx+s的“美美與共”整式Q，并求出Q的最小值．【答案】（1）n＝2，k＝﹣1，m＝3；（2）a﹣b+c＝﹣2；（3）當(dāng)t＝3時(shí)，Q的最小值為；t＝﹣1時(shí)，Q的最小值為．【分析】（1）求出各參數(shù)的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)A與B是“美美與共”整式，求出k，m，n的值；（2）通過(guò)N與N是“美美與共”整式，求出a和b的值，再通過(guò)x+a是x3﹣3x+c的一個(gè)因式求出c的值，從而得到a﹣b+c；（3）通過(guò)整理（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1＝（x2+rx+s）2求出r與s的值，通過(guò)得到t的值以后分情況求出Q的最小值．【解答】解：（1）∵，∴a2﹣c1＝0，b2+b1＝0，c2﹣a1＝0，∴a2＝c1，b1+b2＝0，a1＝c2，∵，∴b1≠b2，∵A＝2x2+kx+3與B＝mx2+x+n互為“美美與共”整式，∴2＝n，k+1＝0，3＝m，∴n＝2，k＝﹣1，m＝3；（2）由M＝（x+a）2，得M＝x2+2ax+a2，∵M(jìn)與N互為“美美與共”整式，∴1＝b，2a+（﹣2）＝0，a2＝1，∴a＝1，b＝1，由x+a是x3﹣3x+c的一個(gè)因式，設(shè)另一個(gè)因式為x2+dx+e，∴（x+1）（x2+dx+e）＝x3﹣3x+c，整理得x3+（d+1）x2+（e+d）x+e＝x3﹣3x+c，得d＝﹣1，e＝﹣2，c＝﹣2，∴a﹣b+c＝﹣2；（3）由（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1＝（x2+rx+s）2，整理得x4+10x3+35x2+50x+25＝x4+2rx3+（2s+r2）x2+2rsx+s2，得r＝5，s＝5，由，解得，∵y是正整數(shù)，∴t＝3或﹣1，當(dāng)t＝3時(shí)，P＝5x2+3x+5，此時(shí)Q＝5x2﹣3x+5，整理得，此時(shí)Q的最小值為，當(dāng)t＝﹣1時(shí)，P＝5x2﹣x+5，此時(shí)Q＝5x2+x+5，整理得，此時(shí)Q的最小值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式、平方和絕對(duì)值的非負(fù)性，整式的乘法以及通過(guò)配方法求式子的最值．25．某鎮(zhèn)為創(chuàng)建特色小鎮(zhèn)，助力鄉(xiāng)村振興，決定在轄區(qū)的一條河上修建一座步行觀光橋，如圖，該河旁有一座小山，山高BC＝80m，坡面AB的坡度i＝1：0.7（注坡度i是坡面的鉛直高度與水平寬度的比），點(diǎn)C，A與河岸E，F(xiàn)在同一水平線上，從山頂B處測(cè)得河岸E和對(duì)岸F的俯角分別是∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．（1）求山腳A到河岸E的距離；（2）若在此處建橋，試求河寬EF的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【答案】（1）山腳A到河岸E的距離為24m；（2）河寬EF的長(zhǎng)度約53.3m．【分析】（1）在Rt△ABC中，根據(jù)AB的坡度求出AC，在Rt△BCE中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得CE＝BC，由線段的和差即可求得AE；（2）在Rt△BCF中，由三角函數(shù)的定義求出CF的長(zhǎng)，根據(jù)線段的和差即可求出EF的長(zhǎng)度．【解答】解：（1）∵AB的坡度i＝1：0.7，∴＝，∴＝，∴AC＝56，∵∠BEC＝∠DBE＝45°，BC＝80m，∴∠CBE＝90°﹣∠BEC＝90°﹣45°＝45°，∴∠BEC＝∠CBE，∴CE＝BC＝80（m），∴AE＝CE﹣AC＝80﹣56＝24（m），答：山腳A到河岸E的距離為24m；（2）∵BC＝80m，∠BFC＝∠DBF＝31°，tan∠BFC＝，∴≈0.6，∴CF≈133.33（m），∴EF＝CF﹣CE＝133.33﹣80＝53.33≈53.3（m），答：河寬EF的長(zhǎng)度約53.3m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知識(shí)，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．26．如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y1＝ax+b與雙曲線y2＝（k≠0）分別相交于第二、四象限內(nèi)的A（m，4），B（6，n）兩點(diǎn)，與x軸相交于C點(diǎn)．已知OC＝3，tan∠ACO＝．（1）求y1，y2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）求△AOB的面積；（3）直接寫出當(dāng)x＜0時(shí)，不等式ax+b＞的解集．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)OC＝3，tan∠ACO＝，可求直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，確定兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系式；（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，進(jìn)行計(jì)算即可；（3）由函數(shù)的圖象直接可以得出，當(dāng)x＜0時(shí)，不等式ax+b＞的解集．【解答】解：（1）設(shè)直線y1＝ax+b與y軸交于點(diǎn)D，在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝．∴OD＝2，即點(diǎn)D（0，2），把點(diǎn)D（0，2），C（3，0）代入直線y1＝ax+b得，b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣，∴直線的關(guān)系式為y1＝﹣x+2；把A（m，4），B（6，n）代入y1＝﹣x+2得，m＝﹣3，n＝﹣2，∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），∴k＝﹣3×4＝﹣12，∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為y2＝﹣，因此y1＝﹣x+2，y2＝﹣；（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，＝×3×4+×3×2，＝9．（3）由圖象可知，當(dāng)x＜0時(shí)，不等式ax+b＞的解集為x＜﹣3．【點(diǎn)評(píng)】