2021年湖南省衡陽市高考數(shù)學聯(lián)考試卷（二）（二模）附答案解析

2021年湖南省衡陽市高考數(shù)學聯(lián)考試卷（二）（二模）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1?I

1.在復平面內(nèi)，復數(shù)二對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知雙a2曲b2線1的離心率為遙，圓心在久軸的正半軸上的圓M與雙曲線的漸近線相切，且

圓M的半徑為2,則以圓M的圓心為焦點的拋物線的標準方程為（）

A.y2=8V5xB.y2=4vC.y2=2>/5xD.y2=V5x

3.地球上的風能取之不盡，用之不竭.風能是清潔能源，也是可再生能源.世界各國致力于發(fā)展

風力發(fā)電，近10年來，全球風力發(fā)電累計裝機容量連年攀升，中國更是發(fā)展迅猛，在2014年累

計裝機容量就突破了100GIV,達到114.6GIV,中國的風力發(fā)電技術(shù)也日臻成熟，在全球范圍的

能源升級換代行動中體現(xiàn)出大國的擔當與決心.以下是近10年全球風力發(fā)電累計裝機容量與中

國新增裝機容量圖.根據(jù)以上信息，正確的統(tǒng)計結(jié)論是（）

近10年全球風力發(fā)電累計裝機容fit（GI）

XI。2011XII2013WUW"201C20H2018

A.截止到2015年中國累計裝機容量達到峰值

B.10年來全球新增裝機容量連年攀升

C.10年來中國新增裝機容量平均超過20GW

D.截止到2015年中國累計裝機容量在全球累計裝機容量中占比超過！

4.設(shè)等差數(shù)列｛即｝的前n項和為匕,。2+&4=6,則S5等于（）

A.10B.12C.15D.30

5.已知cos。=-|,ttm。=%則角。的終邊落在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6.現(xiàn)有1000件產(chǎn)品，甲產(chǎn)品有10件，乙產(chǎn)品有20件，丙產(chǎn)品有970件，現(xiàn)隨機不放回抽取3件產(chǎn)品,

恰好甲乙丙各一件的概率是（）

A“小金心。R鵬小戲0嗎0“初，0以0g70D鵬小。20c冊o

（而0）3>（小00）3

7.下列選項中方程表示圖中曲線的是（

+y2=1-yz=0

D.Igx+Igy=0

8.已知函數(shù)f(%)=1%-ln(2x+1),則Um+?⑴_

△Xt0△X—()

A.1B.0c.Dl

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.已知△4BC的外接圓圓心為。，半徑為2,OA+AB+AC=0,S.\OA\=\AB\,下列結(jié)論正確

的是（）

A.不在請上的投影向量為-g而

B.OA-AB=OA-AC

C.襦在方上的投影向量為gCB

D.OBAB=OCAC

10.關(guān)于函數(shù)/■Q）=2s?（x+）下列說法正確的是（）

A.（等,0）是圖象的一個對稱中心

B.?片]是函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間

OO

%=-g是圖象的一條對稱軸

D.最大值是2,最小值是-2

11.如圖，在正方體4BCD-48傳1。1中，M,N,P,Q分別是線段G5,4。1，

BD],的中點，給出下面四個結(jié)論，其中正確的序號為（）

A

A.MN〃平面APC

B.BiQ〃平面4DD14

C.4,P,M三點共線

D.平面MNQ〃平面4BCD

12.已知拋物線/=2py(p>0)的焦點為凡且4(2,1),。(牝,、2)在拋物線上，。為坐標

原點，下列說法正確的是()

A.點尸的坐標為(0,2)

B.若麗+正=都，貝山麗|+|定|=2|希|

C.若|而|=6,則BC的中點到x軸距離最小值為2

D.若直線BC過點F,則直線OB與OC的斜率之積為一:

三、單空題(本大題共4小題，共20.()分)

13.利民工廠某產(chǎn)品的年產(chǎn)量在100噸至300噸之間，年生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量支(噸)之間的

關(guān)系可近似地表示為y=--30x+4000,則每噸的成本最低時的年產(chǎn)量為.

14.(x+2一2戶的展開式的常數(shù)項為.

15.由直線y=x+l上的點向圓C：爐+y2-6x+8=o引切線，則切線長的最小值為.

16.在棱長為2的正方體48。。一48傳道1中，E是棱上的動點，F(xiàn)是棱CD的中點，則四面體

4D1EF體積的最大值是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.在△48C中，角/、B、C的對邊分別是Q,b,c滿足V5sinBcosB+cos2B=1.

(1)求角B的值；

(2)若/>=遮且bWa,求a-的取值范圍.

18.如圖，PAl^ABC,AB1BC,AB=PA=2BC=2,M為PB的中點.

(I)求證：4MJ■平面PBC：

(口)求二面角4-PC-B的余弦值；

(HI)在線段PC上是否存在點D,使得B014C,若存在，求出案的值，若不存在，說明理由.

19.2020年1月24日，中國疾控中心成功分離中國首株新型冠狀病毒毒種.6月19日，中國首個新冠

7HRM4疫苗獲批啟動臨床試驗，截至2020年10月20日，中國共計接種了約6萬名受試者，為了

研究年齡與疫苗的不良反應(yīng)的統(tǒng)計關(guān)系，現(xiàn)從受試者中采取分層抽樣抽取100名，其中大齡受試

者有30人，舒張壓偏高或偏低的有10人，年輕受試者有70人，舒張壓正常的有60人.

(1)根據(jù)已知條件完成下面的2x2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否能夠以99%的把握認為受試者的年齡與

舒張壓偏高或偏低有關(guān)？

大齡受試者年輕受試者合計

舒張壓偏高或偏低

舒張壓正常

合計

(2)在上述100人中，從舒張壓偏高或偏低的所有受試者中采用分層抽樣抽取6人，從抽出的6人

中任取3人，設(shè)取出的大齡受試者人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.

n(ad-bc)2

運算公式：K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

對照表:

P(K2>k)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

20.(本題共12分)對于每項均是正整數(shù)的數(shù)列晟可…定義變換即，戰(zhàn)將數(shù)列,越變換成數(shù)

列.我趣:叫通-北礴-：1…,時-工對于每項均是非負整數(shù)的數(shù)列朗聞,飛…胤;，定義變換

瑪，勒將數(shù)列廨各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數(shù)列蠲朗L又定義

典踐=填腕存智&的，…片幽視加毓i迷黛設(shè)您是每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令

4*=璃(聞！4［如林=卿J*氟-

(I)如果數(shù)列4為髭鼠斗熠，寫出數(shù)列4-4；

(n)對于每項均是正整數(shù)的有窮數(shù)列，然，證明裝颯［［演?=廖@，期

(HI)證明：對于任意給定的每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，忌，存在正整數(shù)露'，當選立鬣時，

留(4詡》=題

21.已知橢圓的中心在坐標原點。，焦點在工軸上，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方

形，短軸長為2.

(I)求橢圓的方程；

(n)設(shè)直線I過產(chǎn)且與橢圓相交于4,B兩點，當P是4B的中點時，求直線I的方程.

22

22.已知函數(shù)f(%)=%—1—2仇工,5(x)=ex-x—b.

(1)求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對任意的%1WR+存在冷68使/。1)39(女)，求實數(shù)b的取值范圍.

參考答案及解析

1.答案：B

解析：試題分析：根據(jù)題意，由于去±=?±流14燈Ji=-」1*4r，由于實部小于零，虛部大于零可知點

1-aa-iiW

位于第二象限，故選員

考點：復數(shù)的運算以及幾何意義

點評：主要是考查了負數(shù)的運算以及幾何意義的運用，屬于基礎(chǔ)題。

2.答案：B

解析：

本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，離心率，漸近線方程，點到直線的距離，拋物線的標準方程，考

查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

利用雙曲線的離心率，求得a與b的關(guān)系，可得漸近線方程，利用點到直線的距離公式，可得圓心M坐

標，從而可得拋物線方程.

解：設(shè)圓心MQo,O）,%o>0,由雙曲線的離心率e=￡=J1+3=A/^，則b=2a,

雙曲線雙曲線1一4=1漸近線方程：ay±bx=0,即y±2x=0,

則圓心到漸近線的距離d=韶=窄=2,

Vl+4V5

?*,XQ—^5,

則拋物線的焦點坐標為（V5,o）,

??.拋物線的標準方程為：y2=4V5X,

故選B.

3.答案：D

解析：

本題考查統(tǒng)計圖表的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

通過圖結(jié)合選項分析.

解：由圖知中國累計裝機容量逐年遞增，A錯誤；

全球新增裝機容量在2015年之后呈現(xiàn)下降趨勢，B錯誤；

10年中國新增裝機總?cè)萘繛?3.8+18.9+17.7+13+16.1+23.24-30.8+23.4+19.7+21.1=

197.7,

則10年來中國新增裝機容量平均為19.77GW,C錯誤;

截止到2015年中國累計裝機容量197.7GW,全球累計裝機容量594.1-158.1=436(GW),占比為

45.34%,超過14正確,

故選：D.

4.答案：C

解析：因為等差數(shù)列｛即｝中，a2+a4=6,故%+a5=6,所以S5=&子=竽=15.故選C.

5.答案：C

解析：解：???cos。=一|<0,二。的終邊在第二、第三象限或X軸負半軸上；

vtanB=3>0,9的終邊在第一、第三象限.

取交集得，角。的終邊落在第三象限.

故選：C.

分別由cos。=—|<0,tan。=：>0寫出角。的范圍，取交集得答案.

本題考查象限角及軸線角，考查交集思想的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

6.答案：D

解析：解：現(xiàn)有1000件產(chǎn)品，甲產(chǎn)品有10件，乙產(chǎn)品有20件，丙產(chǎn)品有970件，

現(xiàn)隨機不放回抽取3件產(chǎn)品，

基本事件總數(shù)幾=用ooo，

恰好甲乙丙各一件包含的基本事件個數(shù)m=CfoGoC^o再，

???恰好甲乙丙各一件的概率P=母短。eg

^1000

故選：D.

先求出基本事件總數(shù)，再求出恰好甲乙丙各一件包含的基本事件個數(shù)，由此利用等可能事件概率計

算公式能求出恰好甲乙丙各一件的概率.

本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用.

7.答案：C

解析：解：M+y2=i表示圓，選項A不正確；/—y2=。表示兩條相交直線，選項B不正確；

y=|xb函數(shù)的圖象與函數(shù)相對應(yīng)，正確；

lgx+Igy=0.x,y的范圍，不正確，所以。不正確.

故選：C.

利用曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系判斷選項即可.

本題考查趨向于方程的對應(yīng)關(guān)系，是基本知識的考查.

8.答案：A

解析：解：函數(shù)y(x)=gx-ln(2x+1),

"⑶=4高，其中—

...△*。止鏟2=尸⑴二1

----1-

2X1+1

故選：A.

根據(jù)函數(shù)在某一點處的導數(shù)定義，求出/''(x),計算即可.

本題考查了函數(shù)在某一點處的導數(shù)定義應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

9.答案：BCD

解析：

本題主要考查平面向量的數(shù)量積，以及投影向量的知識，屬于中檔題.

由題意可得旗=刀，可得四邊形0B2C是平行四邊形，結(jié)合|市|=|南|可得，四邊形0B4C是邊

長為2的菱形，S./.ABO=^ACO=60°,可證出萬？?四=而?亞，~OB-AB=OC-AC,根據(jù)向量

投影的定義可求不在方方向上的投影向量.

解：由瓦？+而+前=6，可得面=石5,

可得四邊形0B4C是平行四邊形，

又|而|=|荏|可得，四邊形。84c是邊長為2的菱形，

且44BO=^ACO=60°,

乙BAO=/.CAO=60°,AACB=*C。=30°,

???OA-AB=OA-AC=2x2Xcosl20°>

OB-AB=OC-AC=2X2xcos60°，

根據(jù)向量投影的定義可得85在而上的投影向量為:

|明.cosZ.ACB.贏=2xcos30°~=1CB,

故選BCD.

10.答案：AD

解析：解:當％=爭時，/(y)=2sin(y+J)=2sinn=0,則(g,0)是圖象的一個對稱中心,故A

正確,

???［一皆，爭的區(qū)間長度為半一(一壬=拳>乃=》,此時/⑶不可能單調(diào)，故8錯誤，

當x=-g時，f(-g)=2s譏(Y+$=2S譏0=0,則(一弟。)是圖象的一個對稱中心，x=*不是

對稱軸，故C正確，

當sin(x+$=l時，函數(shù)取得最大值2,當sin(x+9=-l時，函數(shù)取得最小值一2,故O正確，

故選：AD.

根據(jù)三角函數(shù)的對稱性，單調(diào)性以及最值性質(zhì)分別進行判斷即可.

本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

11.答案：AB

解析：

本題考查直線與平面、平面與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力.

由線面平行的判定判斷4由平面與平面平行的性質(zhì)判斷B；由基本事實判斷C與D.

解：平面4PC即為平面4CG41，

vMN〃41c1，MNC平面ACQ/h,41clu平面力CCi公,

???MN〃平面ACCiA,故A正確：

由平面BCGBi〃平面ADDMi,

又BiQu平面BCG%,

???BiQ〃平面4。。1公,故B正確；

平面APC即為平面4CGa,力、P、G三點共線，

???4、P、M三點不共線，故C錯誤；

平面MNQ與平面4BCD有公共點Q,

???平面MNQ與平面4BCD相交，故。錯誤.

故選：AB.

12.答案：BCD

解析：解：因為點4(2,1)在拋物線上，所以4=2p,解得p=2,

所以拋物線方程為/=4y,

選項4拋物線焦點坐標尸(0,1),故A錯誤，

選項&設(shè)8(%,彳)，Cg冷,尸(0,1)，

儼i+x=-2

由而+定=而可得：\xl一2遙，C，

(------1H----------1=U

I44

又|而|+|正|=,+1+?+1,所以|而|+西|=2+2=4，而|而|=2,

所以|而|+|同|=2|而|，故3正確，

選項C：設(shè)直線BC的方程為：y=kx+b,與拋物線方程聯(lián)立可得：

2

x-4kx-4b=0,所以％i+%2=4k,x1x2=-4b,所以y1+y2=41+2b,

則BC的中點坐標為(2k,2k2+b),

所以中點到％軸的距離為d=2k2+b,

22

因為18cl=>/l+k?yJ(x1+冷)2-4十i%2=V14-k?716k2+16b=6,

所以d=2k2+b=2k2+--(—7-fc2)=fc2+-x=fc2+14--x-1>2R—1=3一

16'1+H)4l+k24l+k2y]4

1=2,

當且僅當1+1=；乂備時取等號，故。正確，

i=,=-

選項。：k0B-koc=7"Z7'^P解得%62=-4=一45，所以b=l,

則直線8c過定點尸(0,1),故。正確，

故選：BCD.

先由已知求出拋物線方程，然后對應(yīng)各個選項逐個求解即可.

本題考查了拋物線的方程與性質(zhì)，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了學生的運算能力,

屬于中檔題.

13.答案：200

解析：由于每噸的成本與產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系式為g(x)=￡=點+逑蹩-30(100300),由

基本不等式得以乃=工+塑吧一3022p^*-30=10,當且僅當受=理蹩時取得等號,

1?案寫MM

此時x=200.

14.答案：88

解析：解：(%+套一2)5的展開式的通項公式為Tr+i=C，(x+2)r.(-2)S-r,

(X+專:)1"展開式的通項公式為九+】=*X「母

當r-|k=O時，得到k=|r,

當r=0時，k=o,此時常數(shù)項為

限（%+套）。?（—2>=-32,

當r=3時，k=2,此時常數(shù)項為

牖.（一2尸.髭=120,

（久+盍—2戶的展開式的常數(shù)項為120-32=88,

故答案為：88.

分別求出。+襄-2）5與（%+專）「展開式的通項公式，令r=0,3,即可求出展開式的常數(shù)項，

本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于中檔題.

15.答案：V7

解析：解：將圓方程化為標準方程得：（%-3）2+y2=i,

得到圓心（3,0）,半徑r=1,

???圓心到直線的距離|4B|=d=爰=2&，

二切線長的最小值|4C|=V8^1=V7.

故答案為夕.

將圓的方程化為標準方程，找出圓心坐標與半徑r,求出圓心到直線y=x+l的距離，利用切線的性

質(zhì)及勾股定理求出切線長的最小值即可.

此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：圓的標準方程，點到直線的距離公式，以及勾股

定理，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵.

16.答案：g

解析：解：當E與3重合時，E到平面4。/的距離最大，

即四面體4D1EF體積取得最大值，

==XXX

此時以i-DiEF=^F-A1B1D1"-22x2=-.

故答案為g.

由BB1與平面4D1F相交可知當E與當重合時，四面體的體積最大.

本題考查了棱錐的體積計算，屬于中檔題.

17.答案：解：（1）因為遍sinBcosB+COS2B=1.,所以6sinBcosB=1—cos2B=sin2B>

在三角形中sinB*0,所以遮cosB=sinB,即tcmB=相，BG(0,n)，所以B=60°,

(2)由正弦定理可得焉=急=點，由(1)可得8=60。，.??(；=120。-4

b=用,b<a,???120°>A>60°,

???a———sinA=2sinA

sin600f

c=2s出(120?！狝),

所以a—=2sinA—sin(120°—4)=2sinA—ycosA-^sinA=V3sin(>4—30°)>

所以60。<A<120°,所以30。SA-30。<90°,

所以sin(4—30。)€區(qū)1),

所以a-k的取值范圍為：哼,b).

解析：本題考查由角的范圍求三角函數(shù)的范圍及正余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

(1)由角的基本關(guān)系式可得s譏8與cosB的關(guān)系，求出8的正切值，再由B的范圍求出B的值；

(2)由正弦定理求出a,c用B的正弦值和b邊表示的代數(shù)式，及三角形的角之間的關(guān)系求出a-］的取

值范圍.

18.答案：(I)證明：P4J_平面48C,BCu平面ABC,

???PA1BC.

■■BCVAB,PA(\AB=A,

???BCL平面PAB.

又4Mu平面PAB,

???AM1BC.

"PA=AB,M為PB的中點，

：.AMLPB.

又,：PBCBC=B,

AM1平面PBC;

（口）解：如圖，在平面4BC內(nèi)作AZ〃BC,則4P,AB,4Z兩兩垂直，建立空間直角坐標系4一xyz.

則4(0,0,0),P(2,0,0),S(0,2,0),C(0,2,l),M(l,l,0).

麗=(2,0,0)，晶=(0,2,1)，AM=(1,1,0).

設(shè)平面APC的法向量為元=(x,y,z),則：

’”=°,即｛2yX^z=0'令"L則z=—2.

n-AC=0

n=(0,1,-2).

由（I）可知薪=（1,1,0）為平面PBC的一個法向量,

AM-n_1_/10

???cos<n?AM>=

|AM||n|匾x匹10

???二面角4-PC-8為銳角,

二面角4-PC-B的余弦值為邈；

10

(皿)解：設(shè)。(出也w)是線段PC上一點，且而=/1正，(0<A<1),

即(〃-2,v,iv)=2(-2,2,1)，

???〃=2-24,v=24,w=A,

：.BD=(2-2=22-2,2),

由麗?前=0，得4=打[0,1],

???線段PC上存在點D,使得BDJ.AC,此時端=4=/

解析：本題考查線面垂直的判定及利用空間向量求二面角，同時考查利用空間向量研究垂直關(guān)系.

（1）推導出2418。，BCLAB,從而AM1BC,再求出4MlpB,由此能證明AMJ■平面PBC;

（口）在平面4BC內(nèi)，作Az〃BC,贓IP,AB,4z兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系4-秒z.利用向

量法能求出二面角4-PC-B的余弦值；

（ni）利用麗?AC=0求出77即可.

19.答案：解：（1）2x2列聯(lián)表如下:

大齡受試者年輕受試者合計

舒張壓偏高或偏低101020

舒張壓正常206080

合計3070100

所以d=100X（10X60-10X20）2。4762<6635,

30X70X20X80

所以沒有99%的把握認為受試者的年齡與舒張壓偏高或偏低有關(guān).

（2）由題意得，采用分層抽樣抽取的6人中，大齡受試者有3人，年輕受試者有3人,

X的可能取值為0,1,2,3,

所以p（x=o）=^W=表,

P（X=1）=等=M

P（X=2）=等=靠

P（X=3）=等=點

所以X分布列為:

X0123

1991

P

20202020

所以E（X）=0x或+lx5+2x點+3x*|.

解析：（1）根據(jù)已知可得2x2列聯(lián)表，求得K2,與臨界值作比較，從而可得結(jié)論；

（2）X的可能取值為0,1,2,3,分別求出對應(yīng)的概率，即可求得分布列及數(shù)學期望.

本題主要考查獨立性檢驗，離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望，考查運算求解能力，屬于中檔題.

20.答案：（【）14：：及￡4X4,4：感2A常鬟;（n）詳見解析；（江）詳見解析.

解析：試題分析：（I）山程序簽鬟，求得爆4t）再通過_4第=鼠齦閽）求解.（n）設(shè)有窮數(shù)列4

求得，氟圖再求得飄鴕⑥），由式④=雙軸錯衡覆相帝統(tǒng)J柞端樣:叫醒出《整，兩者作差比

較.（HI）設(shè)4是每項均為非負整數(shù)的數(shù)列哨股隊.在存在犯￡運/士境:，有,士郎時條件下，交

換數(shù)列4的第i項與第/項得到數(shù)列B,在存在工工/糜，使得％^=嚓的=嗎.=勉時條件下，若記

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試題解析：解：（I）解：忌&苑%

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（H）證明：設(shè)每項均是正整數(shù)的有窮數(shù)列，更為.：/…，，5V

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（江）證明：設(shè)源是每項均為非負整數(shù)的數(shù)列股嗎，…，叫.

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可知,魏肉城::球魏粼勒》.又由（n）可知頻染算顧=.鼠⑨，所以超④虛唱乳趣》.

即對于必婦何，要么有超同瀚=.領(lǐng)戡》，要么有題糠肅蠹其勵-工

因為,翻耳?是大于3的整數(shù)，所以經(jīng)過有限步后，必有黑（僦3=’飄盤成=.須;<”或=—.

即存在正整數(shù)露，當