19.9.1 勾股定理同步練習(xí)

19.9.1勾股定理【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，在中，是邊的中點(diǎn)，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．2．（2022·上海·八年級(jí)單元測(cè)試）下列數(shù)據(jù)不是勾股數(shù)的是（）A．7，14，16 B．5，12，13 C．3，4，5 D．9，40，41二、填空題3．（2022·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，AC＝9cm，那么BD的長(zhǎng)是_____．4．（2022·上海市風(fēng)華初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=15°，AD是斜邊BC上的中線，BE⊥AD，垂足為點(diǎn)E，那么=________.5．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)（1，0），點(diǎn)C也在坐標(biāo)軸上，如果是等腰三角形，那么滿足條件的點(diǎn)C有______個(gè)．6．（2022·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，AD是BC邊上的中線，AD⊥AB，如果AC=5，AD=2，那么AB的長(zhǎng)是________．7．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）在△ABC中，AB＝10，BC＝8，∠B＝60°，則AC的長(zhǎng)度是___．8．（2022·上海浦東新·八年級(jí)期末）如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，將繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，能與重合，若，則______．9．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是∠AOB的角平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC∥OA交OB于點(diǎn)C，過點(diǎn)P作PD⊥OA于點(diǎn)D，若∠AOB＝60°，OC＝2，則PD＝_____________．10．（2022·上海市民辦文綺中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，則它的重心G到C點(diǎn)的距離是___．11．（2022·上海市民辦新世紀(jì)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，四邊形是正方形，于點(diǎn)，且，，則陰影部分的面積是_____．12．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，已知，，，，則_______．13．（2022·上海·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在4×3的正方形網(wǎng)格中，△ABC與△DEC的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上，則∠BAC+∠CDE＝___度．三、解答題14．（2022·上海師范大學(xué)第三附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，矩形中，為對(duì)角線，為中點(diǎn)，，，當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，求的值．15．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）已知：如圖，，點(diǎn)在上，．（第（1）、（2）題保留作圖痕跡，不需要寫出作圖步驟）(1)求作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)；(2)連接，求作的角平分線；(3)根據(jù)（1）（2）的條件，求的長(zhǎng)．16．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）某中學(xué)初二年級(jí)游同學(xué)在學(xué)習(xí)了勾股定理后對(duì)《九章算術(shù)》勾股章產(chǎn)生了學(xué)習(xí)興趣．今天，他學(xué)到了勾股章第7題：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡．問索長(zhǎng)幾何？”本題大意是：如圖，木柱，繩索AC比木柱AB長(zhǎng)三尺，BC的長(zhǎng)度為8尺，求：繩索AC的長(zhǎng)度．17．（2022·上?！ぐ四昙?jí)期末）明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計(jì)算秋千繩索長(zhǎng)度的詞《西江月》:“平地秋千未起，路板一尺離地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑話歡嬉，良工高師素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”翻譯成現(xiàn)代文的大意是:如圖.秋千靜掛時(shí)，踏板離地的高度是尺，現(xiàn)在兌出兩步(兩步算作尺，故尺）的水平距離到的位置，有人記錄踏板離地的高度為尺.仕女佳人爭(zhēng)著蕩秋千，一整天都?xì)g聲笑語，工匠師傅們好奇的是秋千繩索有多長(zhǎng)呢﹖請(qǐng)你來解答工匠師傅們的困惑，求出秋千繩索的長(zhǎng)度.18．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）已知：如圖，中，，平分交于.求的長(zhǎng).【能力提升】一、單選題1．（2022·上海市風(fēng)華初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，BD平分∠ABC，BD=2，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)D在AB的垂直平分線上；B．點(diǎn)D到直線AB的距離為1；C．點(diǎn)A到直線BD的距離為2；D．點(diǎn)B到直線AC的距離為.2．（2022·上海·八年級(jí)單元測(cè)試）中，是垂足，與交于，則．A． B． C． D．3．（2022·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）下列命題中，逆命題不正確的是（

）A．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)B．對(duì)頂角相等C．直角三角形的兩個(gè)銳角互余D．直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方二、填空題4．（2022·上海·八年級(jí)單元測(cè)試）已知在△ABC中，∠B=30°，AB=8厘米，AC=5厘米，那么BC=________厘米.5．（2022·上海·八年級(jí)單元測(cè)試）在證明“勾股定理”時(shí)，可以將4個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形（如圖所示，）．如果小正方形的面積是25，大正方形的面積為49，那么________．6．（2022·上海市民辦文綺中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，將沿直線AD翻折，如果點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，那么線段______．7．（2022·上?！ぐ四昙?jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD=，AB=，BC=10，CD=8，∠BAD=90°，那么四邊形ABCD的面積是___________．8．（2022·上海·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AC．如果BD＝2，那么AB的長(zhǎng)等于______．9．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，將長(zhǎng)方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D落在邊BC上的點(diǎn)D′處，點(diǎn)B、C分別落在點(diǎn)B′、點(diǎn)C′處，如果∠D′BC′＝∠D′C′B，那么DC：D′C的比值等于___．10．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）在中，，則_____________11．（2022·上海徐匯·八年級(jí)期末）如果三角形有一邊上的中線長(zhǎng)恰好等于這邊的長(zhǎng)，那么稱這個(gè)三角形為“好玩三角形”，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，若Rt△ABC是“好玩三角形”，則AB=_______．12．（2022·上海·八年級(jí)期末）如圖，在中，，點(diǎn)在上，且，若，則___________．13．（2022·上海·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，，平分，，垂足為，則__________．14．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）已知，RtΔABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，BC=3，那么AC=________________．三、解答題15．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖是一塊四邊形綠地的示意圖，其中，，，，．求此綠地的面積．16．（2022·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下面的材料，然后解答問題：我們新定義一種三角形，兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．(1)理解并填空：①根據(jù)奇異三角形的定義，請(qǐng)你判斷：等邊三角形一定是奇異三角形嗎？_______（填“是”或“不是”）②若某三角形的三邊長(zhǎng)分別為1．、2，則該三角形_______（填“是”或“不是”）奇異三角形．(2)探究：在，兩邊長(zhǎng)分別是a、c，且，則這個(gè)三角形是否是奇異三角形？請(qǐng)說明理由．17．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，邊AC的垂直平分線分別交邊BC、AC于點(diǎn)D、E，DC＝6．求AB的長(zhǎng)．18．（2022·上?！ぐ四昙?jí)開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，CB=2，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)E、D、F一條直線上，且ED=FD，(1)求證：FB⊥CB；(2)聯(lián)結(jié)CD，若CD⊥EF，求CE的長(zhǎng)．19．（2022·上海·八年級(jí)期末）如圖，中，，．（1）利用直尺，圓規(guī)在邊上找一點(diǎn)E，使得；（不需要寫作法，但要保留作圖痕跡）（2）若厘米，求的長(zhǎng)．20．（2022·上海·八年級(jí)期末）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分線，AD=20，求BC的長(zhǎng)．21．（2022·上海市崇明區(qū)橫沙中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，M、N分別是邊BD、AC的中點(diǎn)．（1）求證：MN⊥AC；（2）當(dāng)AC=8cm，BD=10cm時(shí)，求MN的長(zhǎng)．

19.9.1勾股定理（解析版）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，在中，是邊的中點(diǎn)，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】如下圖，首先確定DC＇＝DE＋EC＇＝DE＋CE的值最小，由已知條件得出BD和BC＇的長(zhǎng)度，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算得出DC＇，即為DE＋CE的值最小值．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CO⊥AB于O，延長(zhǎng)CO到C′，使OC′＝OC，連接DC＇，交AB于E，此時(shí)DE＋CE＝DE＋EC′＝DC′的值最小，連接BC′．在中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°．由對(duì)稱性可知∠ABC＇＝∠ABC＝45°．∴∠CBC＇＝90°．∵CC＇⊥AB，OC′＝OC，∴BC＇＝BC＝2．∵D是BC邊的中點(diǎn)，∴BD＝1．根據(jù)勾股定理可得：DC＇＝＝．故EC＋ED的最小值是．故答案為：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，確定動(dòng)點(diǎn)E何位置，使EC＋ED的值最小是關(guān)鍵．2．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）下列數(shù)據(jù)不是勾股數(shù)的是（）A．7，14，16 B．5，12，13 C．3，4，5 D．9，40，41【答案】A【分析】根據(jù)勾股數(shù)可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：A、，所以不是勾股數(shù)，故符合題意；B、，所以是勾股數(shù)，故不符合題意；C、，所以是勾股數(shù)，故不符合題意；D、，所以是勾股數(shù)，故不符合題意；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股數(shù)，熟練掌握勾股數(shù)是解題的關(guān)鍵．二、填空題3．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，AC＝9cm，那么BD的長(zhǎng)是_____．【答案】cm【分析】作DE⊥AB于E，根據(jù)勾股定理求出AB，證明△ACD≌△AED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝ED，AE＝AC＝9，根據(jù)角平分線的性質(zhì)、勾股定理列式計(jì)算即可．【詳解】解：作DE⊥AB于E，由勾股定理得，AB＝＝＝15，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS）∴CD＝ED，AE＝AC＝9，∴BE＝AB﹣AE＝6，在Rt△BED中，BD2＝DE2+BE2，即BD2＝（12﹣BD）2+62，解得，BD＝，故答案為：cm．【點(diǎn)睛】此題考查的是勾股定理和全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握利用勾股定理解直角三角形和全等三角形的判定及性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．4．（2022·上海市風(fēng)華初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=15°，AD是斜邊BC上的中線，BE⊥AD，垂足為點(diǎn)E，那么=________.【答案】【分析】易證明△ABC是直角三角形，根據(jù)AD是斜邊中線可知AD=DC，∠C=∠DAC=15°，即有∠EDB=∠C+∠DAC=30°，根據(jù)BE⊥AD可得△BED為直角三角形，根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】∵∠BAC=90°，∴△ABC是直角三角形，∵AD是斜邊BC上的中線，∴AD=DC，∴∠C=∠DAC，∵∠C=15°，∴∠DAC=15°，∵∠EDB=∠C+∠DAC，∴∠EDB=30°，∵BE⊥ED，∴△BED是直角三角形，即在Rt△BED中，∠EDB=30°，∴，∴結(jié)合勾股定理可得：，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形中斜邊中線等于斜邊的一半、含30°角直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，5．（2022·上海·八年級(jí)單元測(cè)試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)（1，0），點(diǎn)C也在坐標(biāo)軸上，如果是等腰三角形，那么滿足條件的點(diǎn)C有______個(gè)．【答案】7【分析】根據(jù)題意可求出AB的長(zhǎng)，即可分類討論①當(dāng)、②當(dāng)時(shí)和③當(dāng)時(shí)，畫出圖形即得出滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)．【詳解】∵，，∴，，∵，∴．①當(dāng)時(shí)，如圖，，，；②當(dāng)時(shí)，如圖，，，；③當(dāng)時(shí)，如圖，．綜上，滿足條件的點(diǎn)C有7個(gè)．故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等腰三角形的定義．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．6．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）在△ABC中，AD是BC邊上的中線，AD⊥AB，如果AC=5，AD=2，那么AB的長(zhǎng)是________．【答案】3【分析】過點(diǎn)C作CE∥AB交AD延長(zhǎng)線于E，先證△ABD≌△ECD（AAS），求出AE=2AD=4，在Rt△AEC中，即可．【詳解】解：過點(diǎn)C作CE∥AB交AD延長(zhǎng)線于E，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，∵AD⊥AB，CE∥AB，∴AD⊥CE，∠ABD=∠ECD，∴∠E=90°，在△ABD和△ECD中，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB=EC，AD=ED=2，∴AE=2AD=4，在Rt△AEC中，，∴AB=CE=3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查中線性質(zhì)，平行線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握中線性質(zhì)，平行線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是利用輔助線構(gòu)造三角形全等．7．（2022·上海·八年級(jí)單元測(cè)試）在△ABC中，AB＝10，BC＝8，∠B＝60°，則AC的長(zhǎng)度是___．【答案】【分析】先畫出圖形（見解析），過點(diǎn)作于點(diǎn)，先利用直角三角形的性質(zhì)、勾股定理可得的長(zhǎng)，從而可得的長(zhǎng)，再在中，利用勾股定理即可得．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，，，，則在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、含角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．8．（2022·上海浦東新·八年級(jí)期末）如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，將繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，能與重合，若，則______．【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)角相等可得，進(jìn)而勾股定理求解即可【詳解】解：四邊形是正方形將繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，能與重合，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，求得旋轉(zhuǎn)角相等且等于90°是解題的關(guān)鍵．9．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是∠AOB的角平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC∥OA交OB于點(diǎn)C，過點(diǎn)P作PD⊥OA于點(diǎn)D，若∠AOB＝60°，OC＝2，則PD＝_____________．【答案】【分析】作，則，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，在中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：作，如下圖：∵平分，，，∴，，∵，∴，∴，，在中，，，∴∴，由勾股定理得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及含直角三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．10．（2022·上海市民辦文綺中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，則它的重心G到C點(diǎn)的距離是___．【答案】5【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出斜邊的中線的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的重心的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，∴AB＝＝15，則斜邊AB上的中線為：，∴重心G到C點(diǎn)的距離是：×＝5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形重心的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022·上海市民辦新世紀(jì)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，四邊形是正方形，于點(diǎn)，且，，則陰影部分的面積是_____．【答案】139【分析】根據(jù)S陰=S正方形ABCD-S△ABE計(jì)算即可．【詳解】解：∵于點(diǎn)∴∠AEB=90°在Rt△ABE中，AE=5，BE=12，∴AB=，∴S陰=S正方形ABCD-S△ABE==139．故答案為：139．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用分割法求面積，屬于中考?？碱}型．12．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，已知，，，，則_______．【答案】46【分析】利用勾股定理分別求出AB2，AC2，繼而再用勾股定理解題．【詳解】解：由圖可知，AB2=故答案為：46．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．13．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，在4×3的正方形網(wǎng)格中，△ABC與△DEC的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上，則∠BAC+∠CDE＝___度．【答案】【分析】連接、，根據(jù)勾股定理以及勾股定理的逆定理求解即可．【詳解】解：連接、，如下圖：由勾股定理得，，，，，∵，，∴，，∴為等腰直角三角形，為直角三角形，∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理．三、解答題14．（2022·上海師范大學(xué)第三附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，矩形中，為對(duì)角線，為中點(diǎn)，，，當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，求的值．【答案】【分析】設(shè)出，利用菱形的性質(zhì)可得，在中，由勾股定理列出方程即可求解．【詳解】解：四邊形為菱形，，設(shè)，則，∵矩形中，，∴在中，由勾股定理得：，即，解得，的值為．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握矩形與菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）已知：如圖，，點(diǎn)在上，．（第（1）、（2）題保留作圖痕跡，不需要寫出作圖步驟）(1)求作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)；(2)連接，求作的角平分線；(3)根據(jù)（1）（2）的條件，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)作已知線段垂直平分線的作法，即可求解；（2）根據(jù)作已知角的平分線的作法，即可求解；（3）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理可得OB=BA，從而得到∠OBE=∠ABE=45°，進(jìn)而得到BE=AE=3，再由勾股定理，即可求解．（1）解∶線段AO的垂直平分線如圖所示；（2）解∶∠MBA的角平分線如圖所示；（3）解∶如圖，BE垂直平分OA，∴OB=BA，∠OEB=∠BEA=90°，，∴∠BAO=∠MON=45°，∴∠OBE=∠ABE=45°，∴BE=AE=3，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖和勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是明確尺規(guī)作圖的方法，熟練應(yīng)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算．16．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）某中學(xué)初二年級(jí)游同學(xué)在學(xué)習(xí)了勾股定理后對(duì)《九章算術(shù)》勾股章產(chǎn)生了學(xué)習(xí)興趣．今天，他學(xué)到了勾股章第7題：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡．問索長(zhǎng)幾何？”本題大意是：如圖，木柱，繩索AC比木柱AB長(zhǎng)三尺，BC的長(zhǎng)度為8尺，求：繩索AC的長(zhǎng)度．【答案】繩索長(zhǎng)是尺【分析】設(shè)，則，由勾股定理及即可求解．【詳解】設(shè)，則，在中，，∴，解得：，答：繩索長(zhǎng)是尺．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理得應(yīng)用，用題意列出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．17．（2022·上?！ぐ四昙?jí)期末）明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計(jì)算秋千繩索長(zhǎng)度的詞《西江月》:“平地秋千未起，路板一尺離地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑話歡嬉，良工高師素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”翻譯成現(xiàn)代文的大意是:如圖.秋千靜掛時(shí)，踏板離地的高度是尺，現(xiàn)在兌出兩步(兩步算作尺，故尺）的水平距離到的位置，有人記錄踏板離地的高度為尺.仕女佳人爭(zhēng)著蕩秋千，一整天都?xì)g聲笑語，工匠師傅們好奇的是秋千繩索有多長(zhǎng)呢﹖請(qǐng)你來解答工匠師傅們的困惑，求出秋千繩索的長(zhǎng)度.【答案】秋千繩索長(zhǎng)14.5尺【分析】設(shè)秋千繩索長(zhǎng)為x，由題意易得OA=OB，BD=5，則AE=4，進(jìn)而OE=x-4，最后根據(jù)勾股定理可進(jìn)行求解．【詳解】解：設(shè)秋千繩索長(zhǎng)為x，由題意得OA=OB=x，BD=5，△OEB是直角三角形，AC=1，AE=4，OE=x-4，，在Rt△OEB中，，即解得：，OA=14.5．答：秋千繩索長(zhǎng)14.5尺．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．18．（2022·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，中，，平分交于.求的長(zhǎng).【答案】5【分析】過作于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求出AB=8，利用角平分線的性質(zhì)定理得到，設(shè)，根據(jù)求出x的值即可得到AD的長(zhǎng).【詳解】解：過作于點(diǎn).∵中，∴∵平分∴∵∴∴∴設(shè)，則，中，∴，∴x=5，∴.【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理的應(yīng)用，在直角三角形中，通常利用勾股定理求得某些邊的長(zhǎng)度.過D作DE垂直于AC是解題的關(guān)鍵.【能力提升】一、單選題1．（2022·上海市風(fēng)華初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，BD平分∠ABC，BD=2，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)D在AB的垂直平分線上；B．點(diǎn)D到直線AB的距離為1；C．點(diǎn)A到直線BD的距離為2；D．點(diǎn)B到直線AC的距離為.【答案】C【分析】如圖，取AB中點(diǎn)E，連接DE，證明△EBD≌△CBD，可得∠DEB＝∠C＝90°，∠BAD＝∠ABD＝∠CBD＝30°，則BC＝AB，DE＝，然后根據(jù)勾股定理可求出BC，過A作AF⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于F，求出AF＝AB＝BC＝，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：如圖，取AB中點(diǎn)E，連接DE，∵AB=2BC，∴BE＝BC，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD，又∵BD＝BD，∴△EBD≌△CBD（SAS），∴∠DEB＝∠C＝90°，∴DE⊥AB，即點(diǎn)D在AB的垂直平分線上，A正確；∴AD＝DB，∴∠BAD＝∠ABD＝∠CBD＝30°，∴BC＝AB，DE＝，即點(diǎn)D到直線AB的距離為1，B正確；∴DE＝DC＝1，∴BC＝，即點(diǎn)B到直線AC的距離為，D正確，過A作AF⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于F，∴AF＝AB＝BC＝，∴點(diǎn)A到BD的距離為，C錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，作出合適的輔助線是解答本題的關(guān)鍵．2．（2022·上海·八年級(jí)單元測(cè)試）中，是垂足，與交于，則．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意利用含60°的直角三角形性質(zhì)結(jié)合勾股定理進(jìn)行分析計(jì)算即可得出答案.【詳解】解：如圖，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，設(shè)，所以勾股定理可得：，則解得：或（舍去），∴.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查含60°的直角三角形性質(zhì)和勾股定理以及等腰直角三角形，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）下列命題中，逆命題不正確的是（

）A．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)B．對(duì)頂角相等C．直角三角形的兩個(gè)銳角互余D．直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方【答案】B【分析】首先寫出各個(gè)命題的逆命題，然后利用平行線的判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、逆命題是：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、逆命題是相等的角是對(duì)頂角，為假命題，故本選項(xiàng)正確；C、逆命題是：若一個(gè)三角形兩銳角互余，則為直角三角形，正確，故本選項(xiàng)誤；D、逆命題是：若一個(gè)三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方則為直角三角形，正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查寫一個(gè)命題的逆命題的方法及利用平行線的判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，注意要分清命題的條件與結(jié)論，難度適中．二、填空題4．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）已知在△ABC中，∠B=30°，AB=8厘米，AC=5厘米，那么BC=________厘米.【答案】或【分析】利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得AD＝4厘米，利用勾股定理可求出BD＝厘米，然后分點(diǎn)D在線段BC上和點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上兩種情況，分別求解即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，∵∠B=30°，AB=8厘米，∴AD＝厘米，∴BD＝（厘米），當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，∵AC=5厘米，∴CD＝（厘米），∴BC＝厘米當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得，C′D＝3厘米，∴BC′＝厘米，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確分類討論是解題的關(guān)鍵．5．（2022·上海·八年級(jí)單元測(cè)試）在證明“勾股定理”時(shí)，可以將4個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形（如圖所示，）．如果小正方形的面積是25，大正方形的面積為49，那么________．【答案】【分析】首先求出小正方形的邊長(zhǎng)和大正方形的邊長(zhǎng)，利用勾股定理列方程，然后再求出AB和BC的長(zhǎng)．【詳解】解：∵小正方形的面積是25，∴AC=5，∵△ABC≌△CDE，∴設(shè)AB=CD=x，∵大正方形的面積為49，∴BD=7，∴BC+CD=7，∴BC=7-x，在Rt△ABC中：，∴，解得：，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為:．【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用勾股定理列方程，解一元二次方程，三角形全等的性質(zhì)，掌握勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．6．（2022·上海市民辦文綺中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，將沿直線AD翻折，如果點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，那么線段______．【答案】【分析】連接CE交AD于H，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AD垂直平分CE，根據(jù)勾股定理求出AD的長(zhǎng)根據(jù)面積相等，求出CH和CE的長(zhǎng)度，證明∠CEB=90°，再由勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接CE交AD于H，

由翻折的性質(zhì)可得AD垂直平分CE，∴∠CHD＝90°，CH＝HE，∵AC＝BC＝2，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD＝1，∴AD＝，，∴，解得：，∴，由折疊可得：CD=CE，∴CD=DE=BD，∴∠DCE=∠CED，∠DBE=∠DEB，∠CEB=∠CED+∠DEB=在Rt△CEB中，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．7．（2022·上?！ぐ四昙?jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD=，AB=，BC=10，CD=8，∠BAD=90°，那么四邊形ABCD的面積是___________．【答案】+24【分析】連結(jié)BD，然后根據(jù)勾股定理求得BD的值和△BAD的面積，再根據(jù)勾股定理逆定理得到△BDC是直角三角形，所以可以得到△BDC的面積，從而得到四邊形ABCD的面積．【詳解】解：如圖，連結(jié)BD，∵∠BAD=90°，∴，∵，，∴BD=6，∵BD2=36，CD2=64，BC2=100，BD2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴S△ABD=，S△BDC=，∴四邊形ABCD的面積是=S△ABD+S△BDC=+24故答案為：+24．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理以及逆定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．8．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AC．如果BD＝2，那么AB的長(zhǎng)等于______．【答案】【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)得到，，即可得，，利用勾股定理求得的長(zhǎng)，即可求解的長(zhǎng)．【詳解】解：，，，，，，，，，，在中，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了含角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)．9．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，將長(zhǎng)方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D落在邊BC上的點(diǎn)D′處，點(diǎn)B、C分別落在點(diǎn)B′、點(diǎn)C′處，如果∠D′BC′＝∠D′C′B，那么DC：D′C的比值等于___．【答案】##【分析】根據(jù)題意可作出圖形，由旋轉(zhuǎn)可知，DC=D′C′，AD=AD′，因?yàn)椤螪′BC′=∠D′C′B，所以BD′=C′D′=AB=CD，所以△ABD′是等腰直角三角形，則AD′=BC=AB=DC，所以DC：D′C=DC：（BC-BD′）=DC：（DC-DC）=+1．【詳解】解：根據(jù)題意可作出圖形，由旋轉(zhuǎn)可知，DC=D′C′，AD=AD′，∵∠D′BC′=∠D′C′B，∴BD′=C′D′，又∵AB=CD，∴AB=BD′=DC，∴△ABD′是等腰直角三角形，∴AD′=AB=DC，∴BC=DC，∴DC：D′C=DC：（BC-BD′）=DC：（DC-DC）=+1．故答案為：+1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，畫出草圖，得出△ABD′是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．10．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）在中，，則_____________【答案】或##或【分析】過點(diǎn)A作AH⊥BC于H．利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出AH，再求出CH的值，即可得結(jié)論．需要注意按照高在三角形內(nèi)部和外部?jī)煞N情況分類討論．【詳解】A作AH⊥BC于H．則滿足的C點(diǎn)有兩個(gè)分別為∴∵∴∵∴∴∴是等邊三角形∴∴當(dāng)高AH在外部時(shí)當(dāng)高AH在內(nèi)部時(shí)故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理與等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟記45°的直角三角形特征并構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．11．（2022·上海徐匯·八年級(jí)期末）如果三角形有一邊上的中線長(zhǎng)恰好等于這邊的長(zhǎng)，那么稱這個(gè)三角形為“好玩三角形”，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，若Rt△ABC是“好玩三角形”，則AB=_______．【答案】或【分析】分AC邊上的中線BD等于AC，BC邊上的中線AE等于BC兩種情況，根據(jù)勾股定理計(jì)算．【詳解】解：當(dāng)AC邊上的中線BD等于AC時(shí)，如圖，∵∠C=90°，AC=2，∴CD=1，BD=2∴，∴當(dāng)BC邊上的中線AE等于BC時(shí)，∵AC2=AE2?CE2，∴BC2?(BC)2=22，解得，BC2=，∴，綜上所述，AB=或AB=，故答案為或.【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2.熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.12．（2022·上?！ぐ四昙?jí)期末）如圖，在中，，點(diǎn)在上，且，若，則___________．【答案】【分析】設(shè)，在中，利用勾股定理求出x值，即可得到AC和CD的長(zhǎng)，再求出AB的長(zhǎng)，再用勾股定理求出BC的長(zhǎng)，即可得到結(jié)果．【詳解】解：設(shè)，∵，∴，即，解得或（舍去），∴，∵，∴，∴，∴．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握利用勾股定理解直角三角形的方法．13．（2022·上?！ぐ四昙?jí)期末）如圖，在中，，，，平分，，垂足為，則__________．【答案】【分析】先利用勾股定理可得，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，從而可得，設(shè)，從而可得，最后在中，利用勾股定理即可得．【詳解】在中，，，，，平分，，，在和中，，，，，設(shè)，則，在中，，即，解得，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）已知，RtΔABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，BC=3，那么AC=________________．【答案】【分析】設(shè)AC=x．由30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半，得到AB=2AC=2x．由Rt△ABC中，利用勾股定理，即可求出AC的長(zhǎng)．【詳解】設(shè)AC=x．∵∠C=90°，∠ABC=30°，∴AB=2AC=2x．又∵BC==3，∴x=，∴AC=．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，知道30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題15．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖是一塊四邊形綠地的示意圖，其中，，，，．求此綠地的面積．【答案】234【分析】連接，先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再由勾股定理的逆定理判定為直角三角形，則四邊形的面積直角的面積直角的面積．【詳解】解：連接如圖所示：，，，；在中，，，，，即，是直角三角形．；即綠地的面積為234．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理的相關(guān)知識(shí)，通過勾股定理的逆定理由邊與邊的關(guān)系可證明直角三角形，正確分割四邊形的面積是解題關(guān)鍵．16．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）閱讀下面的材料，然后解答問題：我們新定義一種三角形，兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．(1)理解并填空：①根據(jù)奇異三角形的定義，請(qǐng)你判斷：等邊三角形一定是奇異三角形嗎？_______（填“是”或“不是”）②若某三角形的三邊長(zhǎng)分別為1．、2，則該三角形_______（填“是”或“不是”）奇異三角形．(2)探究：在，兩邊長(zhǎng)分別是a、c，且，則這個(gè)三角形是否是奇異三角形？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)①是；②是(2)當(dāng)c為斜邊時(shí)，不是奇異三角形；當(dāng)b為斜邊時(shí)，是奇異三角形．理由見解析【分析】（1）①根據(jù)等邊三角形的三邊相等、奇異三角形的定義判斷；②根據(jù)奇異三角形的定義判斷；（2）分c為斜邊、b為斜邊兩種情況，根據(jù)勾股定理、奇異三角形的定義判斷．（1）是；設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則，顯然成立；是；因?yàn)?，故是奇異三角形．故答案為：是，是；?）當(dāng)c為斜邊時(shí)，則，由于，故不是奇異三角形；

當(dāng)b為斜邊時(shí)，，則有，所以是奇異三角形．答：當(dāng)c為斜邊時(shí)，不是奇異三角形；當(dāng)b為斜邊時(shí)，是奇異三角形．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理、奇異三角形的定義，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么．17．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，邊AC的垂直平分線分別交邊BC、AC于點(diǎn)D、E，DC＝6．求AB的長(zhǎng)．【答案】AB＝．【分析】連接BE，證明∠DAC＝∠C＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的邊角關(guān)系求出AC，AF，再利用勾股定理即可解決問題．【詳解】解：過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，∵DE垂直平分AC，∴EA＝EC，AD=CD=6，∵∠C＝30°，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴DE=，∴CE＝AE＝=，∴AC＝2EC＝，∴AF=，∵∠B＝45°，AF⊥BC，∴∠BAF=180°-∠B-∠AFB=180°-45°-90°=45°，∴∠BAF=∠B，∴BF=AF=∴AB＝×．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，含30°角的直角三角形的邊的關(guān)系，掌握垂直平分線的性質(zhì)