19.8.1 直角三角形性質(zhì) 同步練習(xí)

19.8.1直角三角形性質(zhì)【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果D為邊AB上的中點，那么下面結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C．∠A＝∠ACD D．∠ADC＝2∠B2．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）如圖，在中，∠C=90°，∠B=30°，D是AB的中點，DE⊥BC于E，圖中等于60°的角有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二、填空題3．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）如果直角三角形的斜邊長為36，那么這條邊上的中線長=___________．4．（2018·上?！ぐ四昙壠谥校┲苯侨切涡边吷细吆椭芯€分別是5和6，則它的面積是________．5．（2022·上海·八年級單元測試）直角三角形的斜邊上的高和斜邊上的中線的長分別為3和4，那么這個直角三角形的面積為______．6．（2022·上海·上外附中八年級期末）如圖，Rt△ABC，∠B=90°，∠BAC=72°，過C作CF∥AB，聯(lián)結(jié)AF與BC相交于點G，若GF=2AC，則∠BAG=_____________°．7．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，與分別是斜邊上的高和中線，那么_______度．8．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）在直角三角形中，斜邊及其中線之和為9，則該三角形的斜邊長為__________．三、解答題9．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，已知的高相交于點分別是的中點，求證：垂直平分．(括號中需寫本學(xué)期新學(xué)理由)【能力提升】一、單選題1．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）下列命題的逆命題中，真命題有（

）①全等三角形的對應(yīng)角相等；②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；③關(guān)于某一條直線對稱的兩個三角形全等；④等腰三角形的兩個底角相等．A．1個； B．2個； C．3個； D．4個．二、填空題2．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）已知是等腰三角形，是邊上的高，且，那么此三角形的頂角的度數(shù)為______．3．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，在中，，，斜邊BC的垂直平分線交邊AB于點E，垂足為點D，取線段BE的中點F，聯(lián)結(jié)DF，如果，則________．4．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）在△ABC中，，△ABC的面積為3，過點A作AD⊥AB交邊BC邊于點D．設(shè)，．那么y與x之間的函數(shù)解析式_________________.（不寫函數(shù)定義域）．5．（2021·上海市延安實驗初級中學(xué)八年級期中）如圖，在RtABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，點D為邊AB上一點．將BCD直線CD翻折，點B落在點E處，聯(lián)結(jié)AE．如果，那么BE=______．6．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，AD=4，CD=2，那么∠A=____度．7．（2021·上海普陀·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊AB的中點，BE⊥CD，垂足為點E．如果∠CBE＝25°，那么∠CDA＝______°．三、解答題8．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，邊AB的垂直平分線交邊BC于點E，垂足為點D，取線段BE的中點F，聯(lián)結(jié)DF．求證：AC＝DF．（說明：此題的證明過程需要批注理由）9．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）已知：如圖，在△ABC中，BD⊥AC，D為垂足，E是AB的中點，，交AC于點F，∠A＝2∠C．求證：．10．（2022·上海市南洋模范中學(xué)八年級期末）已知：如圖，在中，是邊邊上的高，是中線，是的中點，．求證：．11．（2022·上海·八年級單元測試）已知：如圖在ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點E在邊BC上，∠EAD＝90°，AD＝AE．求證：(1)ABE≌ACD；(2)如果點F是DE的中點，聯(lián)結(jié)AF、CF，求證：AF＝CF．12．（2018·上?！ぐ四昙壠谥校┤鐖D，在中，點D在邊AC上，連接BD，，E是CD的中點，F(xiàn)是AB的中點，連接EF，求證：．

19.8.1直角三角形性質(zhì)（解析版）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題（解析版）1．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果D為邊AB上的中點，那么下面結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C．∠A＝∠ACD D．∠ADC＝2∠B【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)及含角的直角三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)判定即可求解．【詳解】解：在中，，為邊上的中點，，故選項正確，不符合題意；，故選項正確，不符合題意；，，故選項正確，不符合題意；只有當(dāng)時，，故選項錯誤，符合題意．故選：B．【點睛】本題主要考查直角三角形斜邊上的中線，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．2．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）如圖，在中，∠C=90°，∠B=30°，D是AB的中點，DE⊥BC于E，圖中等于60°的角有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】D【分析】由已知條件可得AD=DB=CD，所以可得到，故可得出等于的角有多少個．【詳解】，，D是AB的中點，AD=DB=CD，，是等邊三角形，，．故選D．【點睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)斜邊中線定理得到線段的等量關(guān)系，進而得到角的等量關(guān)系．二、填空題3．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）如果直角三角形的斜邊長為36，那么這條邊上的中線長=___________．【答案】18【分析】直接根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”即可得答案．【詳解】因為“直角三角形斜邊上的中線長是斜邊長的一半”，所以這條邊上的中線長為18．故答案為18．【點睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，熟記知識點是解題的關(guān)鍵．4．（2018·上?！ぐ四昙壠谥校┲苯侨切涡边吷细吆椭芯€分別是5和6，則它的面積是________．【答案】30【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出斜邊長，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【詳解】解：如圖，直角三角形斜邊上的中線是6，斜邊長為：，它的面積，故答案為：30．【點睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．5．（2022·上海·八年級單元測試）直角三角形的斜邊上的高和斜邊上的中線的長分別為3和4，那么這個直角三角形的面積為______．【答案】12【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出斜邊AB，根據(jù)三角形面積公式求出即可．【詳解】作圖，E是斜邊AB中點，CD⊥AB于D，如圖所示：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CE是△ACB中線，CE=4，∴AB=2CE=8，∴△ACB的面積是×AB×CD=×8×3=12，故答案為：12．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上中線性質(zhì)和三角形面積的應(yīng)用，注意：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．6．（2022·上?！ど贤飧街邪四昙壠谀┤鐖D，Rt△ABC，∠B=90°，∠BAC=72°，過C作CF∥AB，聯(lián)結(jié)AF與BC相交于點G，若GF=2AC，則∠BAG=_____________°．【答案】24【分析】取FG的中點E，連接EC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EC=AC，從而可推出∠EAC=∠AEC=∠F+∠ECF=2∠F，已知，∠BAC=72°，則不難求得∠BAG的度數(shù)．【詳解】解：如圖，取FG的中點E，連接EC．∵FC∥AB，∴∠GCF=90°，∴EC=FG=AC，∴∠EAC=∠AEC=∠F+∠ECF=2∠F，設(shè)∠BAG=x，則∠F=x，∵∠BAC=72°，∴x+2x=72°，∴x=24°，∴∠BAG=24°，故答案為：24．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，平行線的性質(zhì)以及角的計算，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造三個等腰三角形．直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．7．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，與分別是斜邊上的高和中線，那么_______度．【答案】50【分析】根據(jù)直角三角形中線的性質(zhì)及互為余角的性質(zhì)計算．【詳解】解：，為邊上的高，，，是斜邊上的中線，，，的度數(shù)為．故答案為：50．【點睛】本題主要考查了直角三角形中線的性質(zhì)及互為余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形中線的性質(zhì)．8．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）在直角三角形中，斜邊及其中線之和為9，則該三角形的斜邊長為__________．【答案】6【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)推出AB=2CD，代入AB+CD=9，即可求出AB．【詳解】如圖：∵∠ACB=90°，CD是△ACB的中線，∴AB=2CD，∵AB+CD=9，∴CD=3，AB=2CD=6，故答案為：6．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，關(guān)鍵是得出AB=2CD．三、解答題9．（2022·上海·八年級單元測試）如圖，已知的高相交于點分別是的中點，求證：垂直平分．(括號中需寫本學(xué)期新學(xué)理由)【答案】見解析【分析】聯(lián)結(jié)，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得，進而判斷在線段的垂直平分線上，即可證明垂直平分【詳解】證明：聯(lián)結(jié)，∵，，∴，∵是的中點，∴(直角三角形斜邊中線等于斜邊一半)，∴，∴在線段的垂直平分線上(垂直平分線的逆定理)，∴垂直平分.【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，垂直平分線的判定，掌握以上性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【能力提升】一、單選題1．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）下列命題的逆命題中，真命題有（

）①全等三角形的對應(yīng)角相等；②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；③關(guān)于某一條直線對稱的兩個三角形全等；④等腰三角形的兩個底角相等．A．1個； B．2個； C．3個； D．4個．【答案】B【分析】先確定每個命題的逆命題，再對依次進行判定即可解答.【詳解】解：①的逆命題為：對應(yīng)角相等的三角形是全等三角形，是假命題，不符合題意；②的逆命題為：有一條邊上的中線等于這一條邊的一半的三角形是直角三角形，是真命題，符合題意；③的逆命題為：兩個全等的三角形關(guān)于某一條直線對稱，是假命題，不符合題意；④的逆命題為：兩個角相等的三角形是等腰三角形，是真命題，符合題意．故真命題有2個．故選：B．【點睛】此題考查了命題，正確的命題是真命題，錯誤的命題是假命題，正確確定每個命題的逆命題是解此題的關(guān)鍵．二、填空題2．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）已知是等腰三角形，是邊上的高，且，那么此三角形的頂角的度數(shù)為______．【答案】或者【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分情況討論，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：如圖1，取的中點，連接，，，，，是的中點，，是等邊三角形，，；如圖2，是等腰三角形，，，，，是等腰直角三角形，，，，；故答案為：或．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，分類討論并畫出圖形是解題的關(guān)鍵．3．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，在中，，，斜邊BC的垂直平分線交邊AB于點E，垂足為點D，取線段BE的中點F，聯(lián)結(jié)DF，如果，則________．【答案】【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得AE=BE，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得DF=BE，最后根據(jù)直角三角形30度的性質(zhì)得AC=AE，從而得出，即可得出答案．【詳解】證明：如圖，連接CE，∵DE是AB的垂直平分線，∴AE=BE，∠EDB=90°，∴∠EAB=∠B=15°，∴∠AEC=30°，Rt△EDB中，∵F是BE的中點，∴DF=BE，Rt△ACE中，∵∠AEC=30°，∴AC=AE，∴AC=DF=4．故答案為：．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)以及30°所對的直角邊的性質(zhì)，熟練掌握這些基本性質(zhì)得出線段關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）在△ABC中，，△ABC的面積為3，過點A作AD⊥AB交邊BC邊于點D．設(shè)，．那么y與x之間的函數(shù)解析式_________________.（不寫函數(shù)定義域）．【答案】【分析】取BD中點E，連接AE，過點A作，垂足為H．根據(jù)△ABC的面積計算出，再根據(jù)“直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半”，推導(dǎo)，同時由，可知，借助“30°角所對直角邊是斜邊的一半”可知，進而得到，然后整理即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)解析式．【詳解】解：取BD中點E，連接AE，過點A作，垂足為H，根據(jù)題意，，即，解得，∵在中，AD⊥AB，E為BD中點，∴，∴，又∵，∴，∴在中，，即有，整理得．∴y與x之間的函數(shù)解析式為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角形面積的求解方法、直角三角形中斜邊上的中線性質(zhì)、30°角所對直角邊是斜邊的一半等知識，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，掌握三角形面積的求解方法．5．（2021·上海市延安實驗初級中學(xué)八年級期中）如圖，在RtABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，點D為邊AB上一點．將BCD直線CD翻折，點B落在點E處，聯(lián)結(jié)AE．如果，那么BE=______．【答案】【分析】過D作DG⊥BC于G，依據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到CD垂直平分BE，再根據(jù)，得出CD=BD=5，進而得到BG=3，再根據(jù)，即可得到BF的長，即可得出BE的長．【詳解】如圖所示，過D作DG⊥BC于G，∵在RtABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，，由折疊可得，CD垂直平分BE，∴當(dāng)時，∠AEB=∠DFB=90°，∴∠DEB＋∠DEA=90°，∠DBE＋∠DAE=90°，∵DB=DE，∴∠DEB=∠DBE，∴∠DAE=∠DEA，∴AD=DE，∴AD=BD，∴D是AB的中點，∴Rt△ABC中，CD=BD=5，∵DG⊥BC，∴BG=3，∴Rt△BDG中，，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．6．（2022·上海·八年級單元測試）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，AD=4，CD=2，那么∠A=____度．【答案】【分析】過點D作DE⊥AB于E，取A、D的中點F，連接EF，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出，然后通過證明是等邊三角形得出，由三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】證明：過點D作DE⊥AB于E，取A、D的中點F，連接EF，則，∵，∴，∵EF是的中線，∴，∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD=2，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴故答案為：30．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線性質(zhì)的應(yīng)用及直角三角形斜邊上的中線，解題的關(guān)鍵是做輔助線證明是等邊三角形，注意：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．7．（2021·上海普陀·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊AB的中點，BE⊥CD，垂足為點E．如果∠CBE＝25°，那么∠CDA＝______°．【答案】130【分析】由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，即可得，由同角的余角相等可得，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求解．【詳解】解：，是邊的中點，，，，，，，，，，故答案為：130．【點睛】本題主要考查直角三角形斜邊上的中線，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是求解．三、解答題8．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，邊AB的垂直平分線交邊BC于點E，垂足為點D，取線段BE的中點F，聯(lián)結(jié)DF．求證：AC＝DF．（說明：此題的證明過程需要批注理由）【答案】見解析【詳解】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得：AE＝BE，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得：DF與BE的關(guān)系，最后根據(jù)直角三角形30度的性質(zhì)得AC和AE的關(guān)系，從而得出結(jié)論．【解答】證明：連接AE，∵DE是AB的垂直平分線（已知），∴AE＝BE，∠EDB＝90°（線段垂直平分線的性質(zhì)），∴∠EAB＝∠EBA＝15°（等邊對等角），∴∠AEC＝30°（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），Rt△EDB中，∵F是BE的中點（已知），∴DF＝BE（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半），Rt△ACE中，∵∠AEC＝30°（已知），∴AC＝AE（直角三角形30°角所對的直角邊是斜邊的一半），∴AC＝DF（等量代換）．【點睛】本題考查中垂線的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的邊與斜邊之間的關(guān)系，能夠熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．9．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）已知：如圖，在△ABC中，BD⊥AC，D為垂足，E是AB的中點，，交AC于點F，∠A＝2∠C．求證：．【答案】見解析【分析】連接DE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DE＝AE＝AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)得到DE＝DF，證明結(jié)論．【詳解】證明：連接DE，∵BD⊥AC，E為AB的中點，∴DE＝AE＝AB，∴∠A＝∠ADE，∵EF∥BC，∴∠AFE＝∠C，又∵∠A＝2∠C，∴∠ADE＝2∠DFE，又∵∠ADE＝∠DFE+∠DEF，∴∠DFE＝∠DEF，∴DF＝DE，又∵DE＝AB，∴DF＝AB．【點睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．10．（2022·上海市南洋模范中學(xué)八年級期末）已知：如圖，在中，是邊邊上的高，是中線，是的中點，．求證：．【答案】見詳解．【分析】連接DE，由中垂線的性質(zhì)可得DE=DC，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到DE=BE，進而得到CDAB．【詳解】證明：如圖，連接DE，∵F是CE的中點，DF⊥CE，∴DF垂直平分CE，∴DE=DC∵AD⊥B