2.3 二次函數(shù)y=ax²+c的圖像與性質(zhì)（B卷能力拓展） -2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步分層練習(xí)（基礎(chǔ)鞏固＋能力拓展北師大版）（解析版）

2.3二次函數(shù)y=ax2+c的圖像與性質(zhì)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________B卷（能力拓展）一、選擇題1．（2020·浙江省溫嶺市九年級(jí)期中）已知函數(shù)經(jīng)過A（m，）、B（m?1，），若．則m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圖像開口向下，對(duì)稱軸為y=0知，要使，需使A點(diǎn)更靠近對(duì)稱軸y軸，由此列出關(guān)于m的不等式解之即可．【詳解】解：∵圖像開口向下，對(duì)稱軸為y=0且∴，下面解此不等式．第一種情況，當(dāng)m＜0時(shí)，得，解得m＜0；第二種情況，當(dāng)時(shí)，得，解得；第三種情況，當(dāng)時(shí)，得，解得，無解；綜上所述得．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，比較圖像上兩點(diǎn)的函數(shù)值．其關(guān)鍵是，當(dāng)二次函數(shù)開口向下時(shí)，圖像上的點(diǎn)越靠近對(duì)稱軸時(shí)，函數(shù)值越大；當(dāng)二次函數(shù)開口向上時(shí)，圖像上的點(diǎn)越靠近對(duì)稱軸時(shí)，函數(shù)值越小．2．（2021·河北寬城九年級(jí)期末）已知函數(shù)則下列圖像正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)所給解析式判斷出正確函數(shù)圖象，注意自變量的取值范圍．【詳解】A選項(xiàng)錯(cuò)誤，兩個(gè)函數(shù)圖象都不符合自變量的取值范圍；B選項(xiàng)錯(cuò)誤，反比例函數(shù)的圖象不符合自變量的取值范圍；C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，圖象不應(yīng)該是一條直線．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象．3．（2021·河北天津九年級(jí)月考）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用一次函數(shù)的性質(zhì)判定m、n的符號(hào)，進(jìn)一步判定二次函數(shù)的開口方向和對(duì)稱軸的位置進(jìn)行判斷．【詳解】解：若函數(shù)y=mx+n經(jīng)過一二三象限，m＞0，n＞0，則二次函數(shù)y=mx2-nx的圖象開口向上，對(duì)稱軸x=-＞0，在y軸的右側(cè)；

若函數(shù)y=mx+n經(jīng)過一二四象限，m＜0，n＞0，則二次函數(shù)y=mx2-nx的圖象開口向下，對(duì)稱軸x=-＜0，在y軸的左側(cè)；

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的圖象，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2021·浙江蕭山九年級(jí)月考）已知二次函數(shù)，如果當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（）A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，沒有最小值C．沒有最大值，有最小值 D．沒有最大值，也沒有最小值【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，表示出、的值，即可求解．【詳解】解：二次函數(shù)．開口向上，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大．．．即是的一次函數(shù)．，一次函數(shù)上升趨勢(shì)．．有最小值，沒有最大值．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)．關(guān)鍵在于表示出的代數(shù)值，從而轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的性質(zhì)．比較綜合．5．（2021·遼寧興城九年級(jí)二模）如圖，等邊三角形中，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿折線的路徑向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)也從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，設(shè)點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為，則能反映與之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C=60°，利用∠B、∠C的正弦值即可求出△BDE中BE邊上的高，根據(jù)三角形面積公式可得y與x的關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式即可判定圖象的形狀，即可得答案．【詳解】過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，∴點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，∵等邊三角形中，∴∠B=∠C=60°，∵點(diǎn)D速度為每秒2個(gè)單位，點(diǎn)E速度為每秒1個(gè)單位，∴BD=2x，BE=x，∵AB=4，∴點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的時(shí)間為2秒，此時(shí)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)F，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，△BDE中BE邊上的高為BD·sin60°=2=x，∴的面積y=x·x=，∴圖象為拋物線，且y隨x的增大而增大，當(dāng)2<x≤4時(shí)，△BDE中BE邊上的高為CD·sin60°=（8-2x）·sin60°=（4-x），∴y=x·（4-x）=+，∴圖象是拋物線，且開口向下，y隨x的增大而減小，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及解直角三角形，熟練掌握二次函數(shù)點(diǎn)性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵6．（2020·新疆維吾爾自治區(qū)九年級(jí)期末）如圖，已知拋物線y1＝﹣x2+1，直線y2＝﹣x+1，當(dāng)x任取一值時(shí)，x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的較小值記為M；若y1＝y(tǒng)2，記M＝y(tǒng)1＝y(tǒng)2．例如：當(dāng)x＝2時(shí)，y1＝﹣3，y2＝﹣1，y1＜y2，此時(shí)M＝﹣3．下列判斷中：①當(dāng)x＜0時(shí)，M＝y(tǒng)1；②當(dāng)x＞0時(shí)，M隨x的增大而增大；③使得M大于1的x值不存在；④使得M＝的值是﹣或，其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先聯(lián)立兩函數(shù)解析式求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)M的定義結(jié)合圖形，利用二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)各小題分析判斷即可得解．【詳解】解：由題意得，解得，所以，拋物線與直線的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），（1，0），∵當(dāng)x任取一值時(shí)，x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的較小值記為M；若y1＝y(tǒng)2，記M＝y(tǒng)1＝y(tǒng)2．∴①當(dāng)x＜0時(shí)，由圖象可得y1＜y2，故M＝y(tǒng)1；故此選項(xiàng)正確；②當(dāng)1＞x＞0時(shí)，y1＞y2，M＝y(tǒng)2，直線y2＝﹣x+1中y隨x的增大而減小，故M隨x的增大而減小，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；③由圖象可得出：M最大值為1，故使得M大于1的x值不存在，故此選項(xiàng)正確；④當(dāng)﹣1＜x＜0，M＝時(shí)，即y1＝﹣x2+1＝，解得：x1＝﹣，x2＝（不合題意舍去），當(dāng)0＜x＜1，M＝時(shí)，即y2＝﹣x+1＝，解得：x＝，故使得M＝的值是﹣或，此選項(xiàng)正確．故正確的有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了兩函數(shù)的交點(diǎn)的求解，二次函數(shù)的增減性，以及二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題，讀懂題目信息并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2021·安徽淮南九年級(jí)月考）已知拋物線具有如下性質(zhì)：拋物線上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)F（0,2）的距離與到x軸的距離相等，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3,6），P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則△PMF周長的最小值是（）A．5 B．9 C．11 D．13【答案】C【分析】過點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)P，由PF=PE結(jié)合三角形三邊關(guān)系，即可得出此時(shí)△PMF周長最小，再由點(diǎn)F、M的坐標(biāo)即可得出MF、ME的長度，進(jìn)而得出△PMF周長的最小值.【詳解】如圖過點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)P，此時(shí)△PMF周長最小∵F（0,2）M（3,6），∴ME=6，F(xiàn)M∴△PMF周長的最小值=ME+FM=6+5=11故選C【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和最短路徑問題，熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.，二、填空題8．（2021·陜西渭南市九年級(jí)月考）已知二次函數(shù)y＝2x2+bx，當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x增大而增大，則b的取值范圍為______．【答案】b≥﹣4【分析】先表示出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性列出不等式求解即可．【詳解】解：二次函數(shù)y＝2x2+bx對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝﹣，∵a＝2＞0，x＞1時(shí)，y隨x增大而增大，∴﹣≤1，解得b≥﹣4．故答案為：b≥﹣4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)與二次函數(shù)的對(duì)稱軸，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握二次函數(shù)的增減性．9．（2021·重慶市育才中學(xué)九年級(jí)一模）現(xiàn)有四張正面分別標(biāo)有數(shù)字﹣1、0、1、2的不透明卡片，它們除數(shù)字外其余完全相同，將它們背面朝上洗均勻，隨機(jī)抽取一張，記下數(shù)字后放回，再次背面朝上洗均勻，隨機(jī)抽取一張記下數(shù)字，前后兩次抽取的數(shù)字分別記為m、n，則點(diǎn)(m，n)在拋物線y＝x2+1上的概率為_____．【答案】．【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果在拋物線圖像上的情況，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，樹狀圖如下：∴共有16等可能的結(jié)果，前后兩次抽取的數(shù)字分別記為m、n，則點(diǎn)(m，n)在拋物線y＝x2+1上的可能有3種；分別為：（1，2），（0，1），（1，2）；∴概率為：；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．10．（2018·湖南武漢市九年級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)P（x，y），Q（x，y′），其中y′＝，則稱Q點(diǎn)是P點(diǎn)的可控點(diǎn)．若P（x，y）滿足y＝－x2＋16，其中（－5≤x≤a）時(shí)，可控點(diǎn)Q（x，y′）滿足－16≤y′≤16，則a的取值范圍為____．【答案】【分析】本題先理解定義，依據(jù)題意畫出函數(shù)圖象即可求解．【詳解】依題意，圖象上的點(diǎn)P的“可控變點(diǎn)”必在函數(shù)的圖象上（如圖），

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，∵，∴，∵，

當(dāng)，代入，解得：，當(dāng)，代入，解得：，∵時(shí)，可控點(diǎn)Q（，）滿足，

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象應(yīng)用問題，解決此類問題：首先根據(jù)題意，大致畫出函數(shù)圖象，依據(jù)圖象確定數(shù)值的取值范圍．11．（2021·上海靜安區(qū)九年級(jí)月考）將函數(shù)向上平移3個(gè)單位后，再繞新函數(shù)圖像的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°所得圖像的函數(shù)解析式為__________．【答案】【分析】根據(jù)“上加下減”得到平移后函數(shù)解析式，再根據(jù)繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°則a變?yōu)?a，即可求解．【詳解】解：將函數(shù)向上平移3個(gè)單位后，得到函數(shù)解析式為，新函數(shù)圖像繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°所得圖像形狀不變，開口向上，所以a變?yōu)橄喾磾?shù)-a，所以函數(shù)解析式為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的變換，函數(shù)的平移按照“左加右減，上加下減”法則進(jìn)行，二次函數(shù)解析式中a的符號(hào)決定函數(shù)圖象開口方向，a的絕對(duì)值決定函數(shù)圖象開口大?。?2．（2020·廣西貴港九年級(jí)模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線，直線，當(dāng)任取一值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為，若，取中的較小值記為；若，記，例如：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，下列判斷：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，值越大，值越小；③使得大于2的值不存在；④使得的值是或．其中正確的是_______________________．【答案】③④【分析】根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可得出答案.【詳解】由題可得，函數(shù)圖像如圖所示∴當(dāng)-1<x<0時(shí)，；當(dāng)x=-1時(shí)，；當(dāng)x<-1時(shí)，，故①錯(cuò)誤；由①可知，當(dāng)x<0時(shí)，拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)結(jié)合圖示，可知，當(dāng)-1<x<0時(shí)，M=，當(dāng)x越大時(shí)，M越大；當(dāng)x=-1時(shí)，M=；當(dāng)x<-1時(shí)，M=，當(dāng)x越大時(shí)，M越大，故②錯(cuò)誤；由以上分析可知，當(dāng)x≥0時(shí)，，則M=，此時(shí)，故；當(dāng)-1<x<0時(shí)，M=，解得0<M<2；當(dāng)x≤-1時(shí)，M=，解得M≤0，故③正確；由③可得M=1的情況有兩種：（1）當(dāng)x≥0時(shí)，即，解得x=；（2）當(dāng)-1<x<0時(shí)，2x+2=1，解得x=，故④正確；故答案為③④.【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，難度較大，需要熟練掌握并靈活運(yùn)用相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí).三、解答題13．（2021·山東文登九年級(jí)期末）如圖，有四張背面完全相同的卡片，，，，其中正面分別寫著四個(gè)不同的函數(shù)表達(dá)式，將四張卡片洗勻正面朝下隨機(jī)放在桌面上．（1）從四張卡片中隨機(jī)摸出一張，摸出的卡片上的函數(shù)隨的增大而減小的概率是______；（2）小亮和小強(qiáng)用這四張卡片做游戲，規(guī)則如下：兩人同時(shí)從四張卡片中各隨機(jī)抽出一張，若抽出的兩張卡片上的函數(shù)增減性相同，則小亮勝；若抽出的兩張卡片上的函數(shù)增減性不同，則小強(qiáng)勝．這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）不公平，見解析【分析】（1）先判斷出A、B、C、D四個(gè)卡片上的函數(shù)增減性，在結(jié)合概率的定義即可求解（2）根據(jù)題意用列表法分別求出小亮和小強(qiáng)同時(shí)抽到函數(shù)增減性相同的概率，和增減性不同的概率，二者進(jìn)行比較即可【詳解】（1）卡片A上的函數(shù)為，為減函數(shù)，隨的增大而減??；卡片B上的函數(shù)為，為增函數(shù)，隨的增大而增大；卡片C上的函數(shù)為，為增函數(shù)，隨的增大而增大；卡片D上的函數(shù)為，為減函數(shù)，隨的增大而減??；所以從四張卡片中隨機(jī)摸出一張，摸出的卡片上的函數(shù)隨的增大而減小的概率為（2）不公平．理由如下，根據(jù)題意列表得：卡片A卡片B卡片C卡片D卡片AABACAD卡片BABBCBD卡片CACBCCD卡片DADBDCD卡片A，卡片D上的函數(shù)為減函數(shù)，卡片B，卡片C上的函數(shù)為增函數(shù)，由表可知總共有12中等可能的結(jié)果，抽出的兩張卡片上的函數(shù)增減性相同的概率為；抽出的兩張卡片上的函數(shù)增減性不同的概率是，，∴不公平．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，概率和游戲的公平性，掌握列表或樹狀圖法展示等可能的結(jié)果是解題關(guān)鍵．14．（2020·北京市第二十二中學(xué)九年級(jí)月考）附加題：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，（1）求拋物線的對(duì)稱軸；（2）求點(diǎn)坐標(biāo)（用含的式子表示）；（3）已知點(diǎn)，，若拋物線與線段恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖像，求的取值范圍．【答案】（1）直線x=0；（2）B（0，）；（3）≤a≤或≤a≤【分析】（1）根據(jù)拋物線的表達(dá)式直接得出對(duì)稱軸即可；（2）根據(jù)題意得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律得出點(diǎn)B坐標(biāo)；（3）分a＞0和a＜0兩種情況分別討論，畫圖圖像，求出a的范圍.【詳解】解：（1）在拋物線中，，∴對(duì)稱軸為直線x=0，即y軸；（2）∵拋物線與軸交于點(diǎn)，∴A（0，），∵點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，∴B（0，）；（3）當(dāng)a＞0時(shí)，點(diǎn)A（0，）在y軸負(fù)半軸上，當(dāng)點(diǎn)P恰好在拋物線上時(shí)，代入得：，解得：或（舍），當(dāng)點(diǎn)Q恰好在拋物線上時(shí)，代入得：，解得：或（舍），∴當(dāng)≤a≤時(shí)，拋物線與線段PQ恰有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)a＜0時(shí)，點(diǎn)A（0，）在y軸正半軸上，同理可知：當(dāng)點(diǎn)P恰好在拋物線上時(shí)，代入得：，解得：（舍）或，當(dāng)點(diǎn)Q恰好在拋物線上時(shí)，代入得：，解得：（舍）或，∴當(dāng)≤a≤時(shí)，拋物線與線段PQ只有一個(gè)公共點(diǎn)；綜上：若拋物線與線段恰有一個(gè)公共點(diǎn)，a的取值范圍是≤a≤或≤a≤.【點(diǎn)睛】本題是一道二次函數(shù)的綜合題目，主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象，利用分類討論的方法和數(shù)形結(jié)合的思想解答．15．（2019·四川成都九年級(jí)二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP＝，現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)P重合，得折痕EF（點(diǎn)E、F為折痕與矩形邊的交點(diǎn)），再將紙片還原．（1）當(dāng)＝0時(shí)，折痕EF的長為；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，折痕EF的長為；（2）請(qǐng)寫出使四邊形EPFD為菱形的的取值范圍，并求出當(dāng)＝2時(shí)菱形的邊長；（3）令EF2＝，當(dāng)點(diǎn)E在AD、點(diǎn)F在BC上時(shí)，寫出與的函數(shù)關(guān)系式．當(dāng)取最大值時(shí)，判斷△EAP與△PBF是否相似？若相似，求出的值；若不相似，請(qǐng)說