福建省龍巖市上杭二中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

福建省龍巖市上杭二中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且滿足，若，則（）A.2 B.3C.4 D.52．已知半徑為2的圓經(jīng)過點(diǎn)（5，12），則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（）A.10 B.11C.12 D.133．一個(gè)盒子里有3個(gè)分別標(biāo)有號(hào)碼為1，2，3小球，每次取出一個(gè)，記下它的標(biāo)號(hào)后再放回盒子中，共取2次，則在兩次取得小球中，標(biāo)號(hào)最大值是3的概率為（）A. B.C. D.4．已知點(diǎn)是橢圓的左右焦點(diǎn)，橢圓上存在不同兩點(diǎn)使得，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.5．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若的面積為8，則的焦距的最小值為（）A.4 B.8C.16 D.326．已知點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．則以為直徑的圓除過定點(diǎn)外還過定點(diǎn)（）A. B.C. D.7．函數(shù)，的最小值為（）A.2 B.3C. D.8．直線分別交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，三角形OAB的內(nèi)切圓上有動(dòng)點(diǎn)P，則的最小值為（）A.16 B.18C.20 D.229．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.10．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右焦點(diǎn)為，過雙曲線上一點(diǎn)作軸的垂線足為，若，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.11．已知命題對(duì)任意，總有；是方程的根則下列命題為真命題的是A. B.C. D.12．如圖所示，為了測(cè)量A，B處島嶼的距離，小張?jiān)贒處觀測(cè)，測(cè)得A，B分別在D處的北偏西、北偏東方向，再往正東方向行駛10海里至C處，觀測(cè)B在C處的正北方向，A在C處的北偏西方向，則A，B兩處島嶼間的距離為（）海里.A. B.C. D.10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在長(zhǎng)方體中，設(shè)，，則異面直線與所成角的大小為______14．關(guān)于曲線C：1，有如下結(jié)論：①曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②曲線C關(guān)于直線x±y＝0對(duì)稱；③曲線C是封閉圖形，且封閉圖形的面積大于2π；④曲線C不是封閉圖形，且它與圓x2+y2＝2無(wú)公共點(diǎn)；⑤曲線C與曲線D：|x|+|y|＝2有4個(gè)公共點(diǎn)，這4點(diǎn)構(gòu)成正方形其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是_____15．已知拋物線C：y2＝2px過點(diǎn)P(1，1):①點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離為②過點(diǎn)P作過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)Q，則△OPQ的面積為③過點(diǎn)P與拋物線相切的直線方程為x－2y＋1＝0④過點(diǎn)P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，則直線MN的斜率為定值其中正確的是________.16．圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為底面中心，為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓錐底面內(nèi)（包括圓周）．若，則點(diǎn)形成的軌跡的長(zhǎng)度為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為4.（1）求拋物線E的方程；（2）點(diǎn)A、B為拋物線E上異于原點(diǎn)O的兩不同的點(diǎn)，且滿足.若直線AB與橢圓恒有公共點(diǎn)，求m的取值范圍.18．（12分）已知數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）如圖，已知橢圓的短軸端點(diǎn)為、，且，橢圓C的離心率，點(diǎn)，過點(diǎn)P的動(dòng)直線l橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N與，均不重合），連接，，交于點(diǎn)T（1）求橢圓C的方程；（2）求證：當(dāng)直線l繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)T總在一條定直線上運(yùn)動(dòng)；（3）是否存在直線l，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由20．（12分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差，前項(xiàng)和為，，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和21．（12分）已知命題：；：.（1）若“”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若“”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由已知條件可得數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，然后根據(jù)結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求得答案【詳解】在等式中，令，可得，所以數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，，解得或（舍去），故選：B2、B【解析】由條件可得圓心的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓，然后可得答案.【詳解】因?yàn)榘霃綖?的圓經(jīng)過點(diǎn)（5，12），所以圓心的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓，所以圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為，故選：B3、C【解析】求出兩次取球都沒有取到3的概率，再利用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，每次取到標(biāo)號(hào)為3的球的事件為A，則，且每次取球是相互獨(dú)立的，在兩次取得小球中，標(biāo)號(hào)最大值是3的事件M，其對(duì)立事件是兩次都沒有取到標(biāo)號(hào)為3的球的事件，，則有，所以在兩次取得小球中，標(biāo)號(hào)最大值是3的概率為.故選：C4、C【解析】先設(shè)點(diǎn)，利用向量關(guān)系得到兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，再結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，代入方程，消去即得，根據(jù)題意，構(gòu)建的齊次式，解不等式即得結(jié)果.【詳解】設(shè)，由得，，，即，由在橢圓上，故，即，消去得，，根據(jù)橢圓上點(diǎn)滿足，又兩點(diǎn)不同，可知，整理得，故，故.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：圓錐曲線中離心率的計(jì)算，關(guān)鍵是根據(jù)題中條件，結(jié)合曲線性質(zhì)，找到一組等量關(guān)系（齊次式），進(jìn)而求解離心率或范圍.5、B【解析】因?yàn)?，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)的焦距的最小值：故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時(shí)，要檢驗(yàn)等號(hào)是否成立，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.6、D【解析】設(shè)垂直于直線，可知圓恒過垂足；兩條直線方程聯(lián)立可求得點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)垂直于直線，垂足為，則直線方程為：，由圓的性質(zhì)可知：以為直徑的圓恒過點(diǎn)，由得：，以為直徑的圓恒過定點(diǎn).故選：D.7、B【解析】求導(dǎo)函數(shù)，分析單調(diào)性即可求解最小值【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為故選：B.8、B【解析】由題意，求出內(nèi)切圓的半徑和圓心坐標(biāo)，設(shè)，則，由表示內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離的平方，從而即可求解最小值.【詳解】解：因?yàn)橹本€分別交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，所以設(shè)，則，因?yàn)?，所以三角形OAB的內(nèi)切圓半徑，內(nèi)切圓圓心為，所以內(nèi)切圓的方程為，設(shè)，則，因?yàn)楸硎緝?nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離的平方，且在內(nèi)切圓內(nèi)，所以，所以，,即的最小值為18，故選：B.9、D【解析】，∵函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，∴在區(qū)間上恒成立．∴，而在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴．∴取值范圍是．故選D考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.10、A【解析】根據(jù)條件可知四邊形為正方形，從而根據(jù)邊長(zhǎng)相等，列式求雙曲線的離心率.【詳解】不妨設(shè)在第一象限，則，根據(jù)題意，四邊形為正方形，于是，即，化簡(jiǎn)得，解得（負(fù)值舍去）.故選：A.11、A【解析】由絕對(duì)值的意義可知命題p為真命題；由于，所以命題q為假命題；因此為假命題，為真命題，“且”字聯(lián)結(jié)的命題只有當(dāng)兩命題都真時(shí)才是真命題，所以答案選A12、C【解析】分別在和中，求得的長(zhǎng)度，再在中，利用余弦定理，即可求解.【詳解】如圖所示，可得，所以，在中，可得，在直角中，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理可得，所?故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法即可求出異面直線與所成的角.【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以，因?yàn)?，所以，即，所以異面直線與所成的角為.故答案為：90°.14、4【解析】直接利用曲線的性質(zhì)，對(duì)稱性的應(yīng)用可判斷①②；求出可判斷③；聯(lián)立方程，解方程組可判斷④⑤的結(jié)論【詳解】對(duì)于①，將方程中的x換為﹣x，y換為﹣y，方程不變，曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故①正確；對(duì)于②，將方程中的x換為﹣y，把y換成﹣x，方程不變，曲線C關(guān)于直線x±y＝0對(duì)稱，故②正確；對(duì)于③，由方程得，故曲線C不是封閉圖形，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，曲線C：，不是封閉圖形，聯(lián)立整理可得：，方程無(wú)解，故④正確；對(duì)于⑤，曲線C與曲線D：由于，解得，根據(jù)對(duì)稱性，可得公共點(diǎn)為，故曲線C與曲線D有四個(gè)交點(diǎn)，這4點(diǎn)構(gòu)成正方形，故⑤正確故答案為：415、②③④【解析】由拋物線過點(diǎn)可得拋物線的方程，求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，由拋物線的性質(zhì)可判斷①；求出直線的方程與拋物線聯(lián)立切線的坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形的面積，判斷②；設(shè)直線方程為y－1＝k(x－1)，與y2＝x聯(lián)立求得斜率，進(jìn)而可得在處的切線方程，從而判斷③；設(shè)直線的方程為拋物線聯(lián)立求出的坐標(biāo)，同理求出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的斜率，從而可判斷④【詳解】解：由拋物線過點(diǎn)，所以，所以，所以拋物線的方程為：；可得拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，準(zhǔn)線方程為：，對(duì)于①，由拋物線的性質(zhì)可得到焦點(diǎn)的距離為，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，可得直線的斜率，所以直線的方程為：，代入拋物線的方程可得：，解得，所以，故②正確；對(duì)于③，依題意斜率存在，設(shè)直線方程為y－1＝k(x－1)，與y2＝x聯(lián)立，得：ky2－y＋1－k＝0，＝1－4k(1－k)＝0，4k2－4k＋1＝0，解得k＝，所以切線方程為x－2y＋1＝0，故③正確；對(duì)于④，設(shè)直線的方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，所以，所以，代入直線中可得，即，，直線的方程為：，代入拋物線的方程，可得，代入直線的方程可得，所以，，所以為定值，故④正確故答案為：②③④.16、【解析】建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，，，，于是，，因?yàn)椋?，從而，，此為點(diǎn)形成的軌跡方程，其在底面圓盤內(nèi)的長(zhǎng)度為三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由焦半徑公式可得，求解即可得答案；（2）由題意，直線AB斜率不為0，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線的方程，由韋達(dá)定理及可得，從而可得直線AB恒過定點(diǎn)，進(jìn)而可得定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上即可求解.【小問1詳解】解：因?yàn)閽佄锞€上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為4，所以，解得，所以拋物線E的方程為；【小問2詳解】解：由題意，直線AB斜率不為0，設(shè)，，由，可得，所以，因?yàn)?，即，所以，所以，即，所以，所以直線，所以直線AB恒過定點(diǎn)，因?yàn)橹本€AB與橢圓恒有公共點(diǎn)，所以定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上，即，所以.18、（1）（2）【解析】（1）由條件因式分解可得，從而得到，即可得出答案.（2）由（1）可得，由錯(cuò)位相減法求和得到，由題意即即對(duì)恒成立，分析數(shù)列的單調(diào)性，得出答案.【小問1詳解】由，得∵∴∴∴數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.∵，∴.【小問2詳解】由（1）知，∴∴①∴②①-②得∴∴由對(duì)恒成立得對(duì)恒成立即對(duì)恒成立，又是遞減數(shù)列∴時(shí)得到最大值∴，即∴的取值范圍是.19、（1）（2）證明見解析；（3）不存在直線l，使得成立，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得，即可求得橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組求得，設(shè)，根據(jù)和在同一條直線上，列出方程求得的值，即可求解；（3）設(shè)直線的為，把轉(zhuǎn)化為，聯(lián)立方程組求得，代入列方程，求得，即可得到結(jié)論.【小問1詳解】解：由題意可得，解得，所以所求橢圓的方程為.【小問2詳解】解：由題意，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程組，整理得，可得，因?yàn)橹本€與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，解得，設(shè)，因?yàn)樵谕粭l直線上，則，①又由在同一條直線上，則，②由①+②3所以，整理得，解得，所以點(diǎn)在直線，即當(dāng)直線l繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)T總在一條定直線上運(yùn)動(dòng).【小問3詳解】解：由（2）知，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，即，設(shè)直線的方程為，且，又由且，可得，即，聯(lián)立方程組，整理得，可得，代入可得，解得，即，此時(shí)直線的斜率不存在，不合題意，所以不存在直線l，使得成立.20、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)成等比數(shù)列，有，即求解.（2）由（1）可得，，∴，再利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）由成等比數(shù)列，得，即，整理得，∵，∴，∴，即（2）由（1）可得，，∴，故【點(diǎn)睛】本題主要考查等