2025屆重慶大學城第一中學校高三數(shù)學第一學期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2025屆重慶大學城第一中學校高三數(shù)學第一學期期末質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，平面四邊形中，，，，，現(xiàn)將沿翻折，使點移動至點，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．2．雙曲線C：（，）的離心率是3，焦點到漸近線的距離為，則雙曲線C的焦距為（）A．3 B． C．6 D．3．已知復(fù)數(shù)滿足，則=（）A． B．C． D．4．臺球是一項國際上廣泛流行的高雅室內(nèi)體育運動，也叫桌球（中國粵港澳地區(qū)的叫法）、撞球（中國臺灣地區(qū)的叫法）控制撞球點、球的旋轉(zhuǎn)等控制母球走位是擊球的一項重要技術(shù)，一次臺球技術(shù)表演節(jié)目中，在臺球桌上，畫出如圖正方形ABCD，在點E，F(xiàn)處各放一個目標球，表演者先將母球放在點A處，通過擊打母球，使其依次撞擊點E，F(xiàn)處的目標球，最后停在點C處，若AE=50cm．EF=40cm．FC=30cm，∠AEF=∠CFE=60°，則該正方形的邊長為（）A．50cm B．40cm C．50cm D．20cm5．設(shè)是虛數(shù)單位，，，則（）A． B． C．1 D．26．公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的公差等于()A．1 B．2 C．3 D．47．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則等差數(shù)列公差（）A．2 B． C．3 D．48．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．849．如圖，中，點D在BC上，，將沿AD旋轉(zhuǎn)得到三棱錐，分別記，與平面ADC所成角為，，則，的大小關(guān)系是（）A． B．C．，兩種情況都存在 D．存在某一位置使得10．設(shè)過定點的直線與橢圓：交于不同的兩點，，若原點在以為直徑的圓的外部，則直線的斜率的取值范圍為（）A． B．C． D．11．已知，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)的零點為m，若存在實數(shù)n使且，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則____.14．若存在直線l與函數(shù)及的圖象都相切，則實數(shù)的最小值為___________．15．在中，，點是邊的中點，則__________，________.16．在平面直角坐標系中,點在曲線：上,且在第四象限內(nèi)．已知曲線在點處的切線為,則實數(shù)的值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若，且，求證：；（2）若時，恒有，求的最大值.18．（12分）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，其面積記為，滿足.（1）求；（2）若，求的值.19．（12分）根據(jù)國家統(tǒng)計局數(shù)據(jù)，1978年至2018年我國GDP總量從0.37萬億元躍升至90萬億元，實際增長了242倍多，綜合國力大幅提升.將年份1978，1988，1998，2008，2018分別用1，2，3，4，5代替，并表示為；表示全國GDP總量，表中，.326.4741.90310209.7614.05（1）根據(jù)數(shù)據(jù)及統(tǒng)計圖表，判斷與（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適宜作為全國GDP總量關(guān)于的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由），并求出關(guān)于的回歸方程.（2）使用參考數(shù)據(jù)，估計2020年的全國GDP總量.線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，.參考數(shù)據(jù)：45678的近似值551484031097298120．（12分）已知數(shù)列，其前項和為，若對于任意，，且，都有.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列（2）若數(shù)列滿足，且等差數(shù)列的公差為，存在正整數(shù)，使得，求的最小值.21．（12分）在極坐標系中，已知曲線C的方程為（），直線l的方程為.設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點，且，求r的值.22．（10分）某動漫影視制作公司長期堅持文化自信，不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動漫題材，創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動漫影視作品，獲得市場和廣大觀眾的一致好評，同時也為公司贏得豐厚的利潤.該公司年至年的年利潤關(guān)于年份代號的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表（已知該公司的年利潤與年份代號線性相關(guān)）.年份年份代號年利潤（單位：億元）（Ⅰ）求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測該公司年（年份代號記為）的年利潤；（Ⅱ）當統(tǒng)計表中某年年利潤的實際值大于由（Ⅰ）中線性回歸方程計算出該年利潤的估計值時，稱該年為級利潤年，否則稱為級利潤年.將（Ⅰ）中預(yù)測的該公司年的年利潤視作該年利潤的實際值，現(xiàn)從年至年這年中隨機抽取年，求恰有年為級利潤年的概率.參考公式：，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由題意可得面，可知，因為，則面，于是.由此推出三棱錐外接球球心是的中點，進而算出，外接球半徑為1，得出結(jié)果.【詳解】解：由，翻折后得到，又，則面，可知．又因為，則面，于是，因此三棱錐外接球球心是的中點．計算可知，則外接球半徑為1，從而外接球表面積為．故選：C.【點睛】本題主要考查簡單的幾何體、球的表面積等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力及創(chuàng)新意識，屬于中檔題．2、A【解析】

根據(jù)焦點到漸近線的距離，可得，然后根據(jù)，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：雙曲線的漸近線方程為取右焦點，一條漸近線則點到的距離為，由所以，則又所以所以焦距為：故選：A【點睛】本題考查雙曲線漸近線方程，以及之間的關(guān)系，識記常用的結(jié)論：焦點到漸近線的距離為，屬基礎(chǔ)題.3、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運算法則化簡即可得到結(jié)論.【詳解】由，得，所以，.故選：B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

過點做正方形邊的垂線，如圖，設(shè)，利用直線三角形中的邊角關(guān)系，將用表示出來，根據(jù)，列方程求出，進而可得正方形的邊長.【詳解】過點做正方形邊的垂線，如圖，設(shè)，則，，則，因為，則，整理化簡得，又，得，.即該正方形的邊長為.故選：D.【點睛】本題考查直角三角形中的邊角關(guān)系，關(guān)鍵是要構(gòu)造直角三角形，是中檔題.5、C【解析】

由，可得，通過等號左右實部和虛部分別相等即可求出的值.【詳解】解：，，解得：.故選:C.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算，考查了復(fù)數(shù)相等的涵義.對于復(fù)數(shù)的運算類問題，易錯點是把當成進行運算.6、B【解析】

設(shè)數(shù)列的公差為.由，成等比數(shù)列，列關(guān)于的方程組，即求公差.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，①.成等比數(shù)列，②，解①②可得.故選：.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出．【詳解】∵a1=12，S5=90，∴5×12+d=90，解得d=1．故選C．【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．8、B【解析】

畫出幾何體的直觀圖，計算表面積得到答案.【詳解】該幾何體的直觀圖如圖所示：故.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.9、A【解析】

根據(jù)題意作出垂線段，表示出所要求得、角，分別表示出其正弦值進行比較大小，從而判斷出角的大小，即可得答案．【詳解】由題可得過點作交于點，過作的垂線，垂足為，則易得，．設(shè)，則有，，，可得，．，，；，；，，，．綜上可得，．故選：．【點睛】本題考查空間直線與平面所成的角的大小關(guān)系，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．10、D【解析】

設(shè)直線：，，，由原點在以為直徑的圓的外部，可得，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達定理，即可求得答案.【詳解】顯然直線不滿足條件，故可設(shè)直線：，，，由，得，，解得或，，，，，，解得，直線的斜率的取值范圍為.故選：D.【點睛】本題解題關(guān)鍵是掌握橢圓的基礎(chǔ)知識和圓錐曲線與直線交點問題時，通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組，通過韋達定理建立起目標的關(guān)系式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題．11、A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，借助特殊值即可比較大小.【詳解】因為，所以.因為，所以，因為，為增函數(shù)，所以所以，故選：A.【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.12、D【解析】

易知單調(diào)遞增,由可得唯一零點,通過已知可求得,則問題轉(zhuǎn)化為使方程在區(qū)間上有解,化簡可得,借助對號函數(shù)即可解得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】易知函數(shù)單調(diào)遞增且有惟一的零點為，所以，∴，問題轉(zhuǎn)化為：使方程在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，而根據(jù)“對勾函數(shù)”可知函數(shù)在區(qū)間的值域為，∴.故選D．【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題,考查了方程有解問題,分離參數(shù)法及構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用,考查了利用“對勾函數(shù)”求參數(shù)取值范圍問題,難度較難.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由，得出，根據(jù)兩角和與差的正弦公式和余弦公式化簡，再利用齊次式即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查三角函數(shù)化簡求值，利用二倍角正切公式、兩角和與差的正弦公式和余弦公式，以及運用齊次式求值，屬于對公式的考查以及對計算能力的考查.14、【解析】

設(shè)直線l與函數(shù)及的圖象分別相切于，，因為，所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，即，因為，所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，即，因為存在直線l與函數(shù)及的圖象都相切，所以，所以，令，設(shè)，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以實數(shù)的最小值為．15、2【解析】

根據(jù)正弦定理直接求出，利用三角形的邊表示向量,然后利用向量的數(shù)量積求解即可.【詳解】中，，，可得因為點是邊的中點，所以故答案為：；.【點睛】本題主要考查了三角形的解法，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題.16、【解析】

先設(shè)切點,然后對求導(dǎo),根據(jù)切線方程的斜率求出切點的橫坐標,代入原函數(shù)求出切點的縱坐標,即可得出切得,最后將切點代入切線方程即可求出實數(shù)的值.【詳解】解:依題意設(shè)切點,因為,則,又因為曲線在點處的切線為,,解得,又因為點在第四象限內(nèi),則,.則又因為點在切線上.所以.所以.故答案為:【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,以及導(dǎo)數(shù)的運算法則和已知切線斜率求出切點坐標,本題屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，并設(shè)，則，，將不等式等價轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，通過推導(dǎo)出來證得結(jié)論；（2）構(gòu)造函數(shù)，對實數(shù)分、、，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，再通過構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，可得出的最大值.【詳解】（1），，所以，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，當時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增.要證，即證.不妨設(shè)，則，，下證，即證，構(gòu)造函數(shù)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，即，即，，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，故結(jié)論成立；（2）由恒成立，得恒成立，令，則.①當時，對任意的，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，不符合題意；②當時，；③當時，令，得，此時，函數(shù)單調(diào)遞增；令，得，此時，函數(shù)單調(diào)遞減...令，設(shè)，則.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.所以，函數(shù)在處取得最大值，即.因此，的最大值為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)求代數(shù)式的最值，構(gòu)造新函數(shù)是解答的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于難題.18、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)三角形面積公式及平面向量數(shù)量積定義代入公式，即可求得，進而求得的值；（2）根據(jù)正弦定理將邊化為角，結(jié)合（1）中的值，即可將表達式化為的三角函數(shù)式；結(jié)合正弦和角公式與輔助角公式化簡，即可求得和，進而由正弦定理確定，代入整式即可求解.【詳解】（1）因為，所以由三角形面積公式及平面向量數(shù)量積運算可得，所以.因為，所以.（2）因為，所以由正弦定理代入化簡可得，由（1），代入可得，展開化簡可得，根據(jù)輔助角公式化簡可得.因為，所以，所以，所以為等腰三角形，且，所以.【點睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運算，正弦和角公式及輔助角公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19、（1），；（2）148萬億元.【解析】

（1）由散點圖知更適宜，對兩邊取自然對數(shù)得，令，，，則，再利用線性回歸方程的計算公式計算即可；（2）將代入所求的回歸方程中計算即可.【詳解】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)及圖表可以判斷，更適宜作為全國GDP總量關(guān)于的回歸方程.對兩邊取自然對數(shù)得，令，，，得.因為，所以，所以關(guān)于的線性回歸方程為，所以關(guān)于的回歸方程為.（2）將代入，其中，于是2020年的全國GDP總量約為：萬億元.【點睛】本題考查非線性回歸方程的應(yīng)用，在處理非線性回歸方程時，先作變換，轉(zhuǎn)化成線性回歸直線方程來處理，是一道中檔題.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）用數(shù)學歸納法證明即可；（2）根據(jù)條件可得，然后將用，，表示出來，根據(jù)是一個整數(shù)，可得結(jié)果．【詳解】解：（1）令，，則即∴，∴成等差數(shù)列，下面用數(shù)學歸納法證明數(shù)列是等差數(shù)列，假設(shè)成等差數(shù)列，其中，公差為，令，，∴，∴，即，∴成等差數(shù)列，∴數(shù)列是等差數(shù)列；（2），，若存在正整數(shù)，使得是整數(shù)，則，設(shè)，，∴是一個整數(shù)，∴，從而又當時，有，綜上，的最小值為．【點睛】本題主要考查由遞推關(guān)系得通項公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，關(guān)鍵