2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)提練第11招構(gòu)造全等三角形的六種常用方法習(xí)題課件新版滬科版

滬科版八年級(jí)上第11招構(gòu)造全等三角形的六種常用方法01教你一招02典例剖析03分類訓(xùn)練目

錄CONTENTS在進(jìn)行幾何題的證明或計(jì)算時(shí)，需要在圖形中添加一些

輔助線，輔助線能使題目中的條件集中，能比較容易找到一

些量之間的關(guān)系，使數(shù)學(xué)問(wèn)題較輕松地解決.常見(jiàn)的輔助線

作法有翻折法、補(bǔ)形法、倍長(zhǎng)中線法、截長(zhǎng)(補(bǔ)短)法、作垂

線法和作平行線法，目的都是構(gòu)造全等三角形.

如圖，已知

AB

∥

CD

，

CE

，

BE

分別平分∠

BCD

和∠

CBA

，點(diǎn)

E

在

AD

上.求證：

BC

＝

AB

＋

CD

.

證明線段的和差關(guān)系，常采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法，即把兩

條較短線段中的一條補(bǔ)到另一條線段上，或把較長(zhǎng)的線段截

成兩條線段，構(gòu)造全等三角形來(lái)解決.

翻折法1.

如圖，在△

ABC

中，

BE

是∠

ABC

的平分線，

AD

⊥

BE

，垂足為

D

.

求證：∠2＝∠1＋∠

C

.

123456【證明】如圖，延長(zhǎng)

AD

交

BC

于點(diǎn)

F

.

(相當(dāng)于將

AB

邊向

下翻折，點(diǎn)

A

落在點(diǎn)

F

處，折痕為

BE

)∵

BE

平分∠

ABC

，∴∠

ABE

＝∠

CBE

.

∵

AD

⊥

BE

，垂足為

D

，123456∴∠

ADB

＝∠

FDB

＝90°.

∴△

ABD

≌△

FBD

(

ASA

).∴∠2＝∠

DFB

.

又∵∠

DFB

＝∠1＋∠

C

，∴∠2＝∠1＋∠

C

.

123456

補(bǔ)形法2.

如圖，在△

ABC

中，

AD

為中線，在

DA

的延長(zhǎng)線上取一

點(diǎn)

E

，連接

EC

，使∠

E

＝∠

BAD

.

過(guò)點(diǎn)

C

作

CF

⊥

AD

于

點(diǎn)

F

.

下列結(jié)論中正確的有(

D

)①

AF

＝

CF

；②

AB

＝

CE

；③

AE

＝2

DF

；④

S△

ABD

＝

S△

ACD

；⑤

S△

ABD

＋

S△

CDF

＝

S△

ECF

.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)123456【點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)

B

作

BG

⊥

ED

，交

ED

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

G

，如圖.∵

CF

⊥

AD

，∴∠

G

＝∠

CFD

＝∠

AFC

＝90°.∵

AD

為△

ABC

的中線，∴

BD

＝

CD

.

又∵∠

BDG

＝∠

CDF

，∴△

BDG

≌△

CDF

.

∴

DG

＝

DF

，

BG

＝

CF

，

S△

BDG

＝

S△

CDF

.

123456∵∠

E

＝∠

BAD

，∠

EFC

＝∠

AGB

＝90°，

CF

＝

BG

，∴△

CEF

≌△

BAG

.

∴

AB

＝

CE

，

AG

＝

EF

，

S△

ECF

＝

S△

BAG

.

①無(wú)法推出

AF

＝

CF

，故①錯(cuò)誤；②正確；③∵

AG

＝

EF

，

AG

＝

AF

＋

GF

，

EF

＝

AF

＋

AE

，123456∴

AE

＝

GF

.

∵

GF

＝

DG

＋

DF

，

DG

＝

DF

，∴

AE

＝2

DF

.

故③正確；④∵

AD

為△

ABC

的中線，∴

S△

ABD

＝

S△

ACD

.

故④正確；⑤

S△

ABD

＋

S△

CDF

＝

S△

ABD

＋

S△

BDG

＝

S△

ABG

＝

S△

ECF

.

故⑤正確.故選D.

【答案】D123456

倍長(zhǎng)中線法3.

如圖，

AD

是△

ABC

的中線，

BM

分別交

AD

，

AC

于點(diǎn)

G

，

M

，∠

AGM

＝∠

MAG

.

求證：

BG

＝

AC

.

123456

123456又∵∠

AGM

＝∠

MAG

，∠

AGM

＝∠

BGF

，∴∠

BGF

＝∠

CAD

＝∠

F

.

過(guò)點(diǎn)

B

作

BE

⊥

FG

，垂足為點(diǎn)

E

，則∠

BEF

＝∠

BEG

＝90°.又∵∠

F

＝∠

BGF

，

BE

＝

BE

，∴△

BEF

≌△

BEG

(

AAS

).∴

BG

＝

BF

.

∴

BG

＝

AC

.

123456

截長(zhǎng)(補(bǔ)短)法4.

如圖，在四邊形

ABCD

中，

AB

＝

AD

，∠

BAD

＝120°，∠

B

＝∠

D

＝90°.

E

，

F

分別是

BC

，

CD

上的點(diǎn)，且

∠

EAF

＝60°.探究圖中線段

BE

，

EF

，

FD

之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.123456【解】

EF

＝

FD

＋

BE

.

證明：如圖，延長(zhǎng)

FD

至點(diǎn)

G

，使

DG

＝

BE

，連接

AG

.

∵∠

B

＝∠

ADC

＝90°，∴∠

B

＝∠

ADG

＝90°.

∴△

ABE

≌△

ADG

(

SAS

).∴

AE

＝

AG

，∠

BAE

＝∠

DAG

.

123456∵∠

BAD

＝120°，∠

EAF

＝60°，∴∠

BAE

＋∠

FAD

＝60°，∴∠

DAG

＋∠

FAD

＝60°，即∠

GAF

＝60°.∴∠

EAF

＝∠

GAF

.

∴△

EAF

≌△

GAF

(

SAS

).∴

EF

＝

GF

＝

FD

＋

DG

.

∴

EF

＝

FD

＋

BE

.

123456

作垂線法5.

[2024·淮北五校聯(lián)考期中]如圖，在△

ECF

中，∠

ECF

＝

90°，點(diǎn)

C

(－3，3)，

CE

交

x

軸負(fù)半軸于點(diǎn)

A

，

CF

交

y

軸負(fù)半軸于點(diǎn)

B

，則

OA

－

OB

的值為

?.6

123456如圖，過(guò)點(diǎn)

C

分別作

x

軸與

y

軸的垂線，垂足分別為

M

，

N

.

由題易知

CM

＝

CN

＝

ON

＝

OM

＝3，∠

MCN

＝

90°.【點(diǎn)撥】又∵∠

ECF

＝90°，∴∠

ECF

＝∠

MCN

.

∴∠

ACM

＝∠

ECF

－∠

MCF

＝∠

MCN

－∠

MCF

＝∠

BCN

.

123456由題易知∠

AMC

＝∠

BNC

＝90°.∴△

AMC

≌△

BNC

(

ASA

).∴

AM

＝

BN

.

∴

OA

－

OB

＝(

AM

＋

OM

)－(

BN

－

ON

)＝

AM

＋

OM

－

BN

＋

ON

＝

AM

＋3－

AM

＋3＝6.故答案為6.123456

作平行線法6.

如圖，在△

ABC

中，∠

BAC

＝60°，∠

C

＝40°，

AP

平分∠

BAC

交

BC

于點(diǎn)

P

，

BQ

平分∠

ABC

交

AC

于點(diǎn)

Q

.

求證：

AB

＋

BP

＝

BQ

＋

AQ

.

123456【證明】如圖，過(guò)點(diǎn)

Q

作

QE

⊥

BC

于點(diǎn)

E

，則∠

BEQ

＝

∠

CEQ

＝90°.∵∠

BAC

＝60°，∠

C

＝40°，∴∠

ABC

＝80°.∵

BQ

平分∠

ABC

，

∴∠

CBQ

＝∠

C

.

123456

∴△

BQE

≌△

CQE

(

AAS

).∴

BQ

＝

CQ

.

∴

BQ

＋

AQ

＝

CQ

＋

AQ

＝

AC

.

①過(guò)點(diǎn)

P