2024-2025學(xué)年上海市浦東新區(qū)川沙中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年上海市浦東新區(qū)川沙中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若實(shí)數(shù)a、b滿足a>b>0，下列不等式中恒成立的是(

)A.a+b>2ab B.a+b<2ab C.2.設(shè)a∈R，則“a=1”是“直線ax+2y=0與直線x+(a+1)y+2=0平行”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.設(shè){an}是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是A.若a1+a2>0，則a2+a3>0 B.若a1+a34.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)P，Q分別是線段AB1，A1C1上的點(diǎn)(不為端點(diǎn))，給出如下兩個(gè)命題：①對(duì)任意點(diǎn)P，均存在點(diǎn)Q，使得A.①②均正確 B.①②均不正確

C.①正確，②不正確 D.①不正確，②正確二、填空題：本題共12小題，共54分。5.已知集合A=(?1,3)，B=(1,4)，則A∩B=______．6.不等式|x?1|<2的解集為______．7.已知z1=1+i，z2=2+3i(其中i為虛數(shù)單位)，則8.已知二項(xiàng)式(x+a)5展開式中，x2的系數(shù)為80，則a=9.已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，9，m的平均數(shù)是8，則這組數(shù)據(jù)的方差是______．10.若數(shù)列{an}為首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，則S611.某船在海平面A處測(cè)得燈塔B在北偏東30°方向，與A相距6.0海里．船由A向正北方向航行8.1海里達(dá)到C處，這時(shí)燈塔B與船相距______海里(精確到0.1海里)12.已知函數(shù)f(x)=ax2+|x+a+1|為偶函數(shù)，則不等式f(x)>013.在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若△ABC的面積S△ABC=23，a+b=6，acosB+bcosAc=2cosC，則c=14.雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F1(2215.已知a，b，c是平面向量，a與c是單位向量，且<a，c>=π2，若b2?8b16.已知定義在R上的函數(shù)f(x)存在導(dǎo)數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f(x)?f(?x)=2x，且當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f′(x)>1恒成立，若不等式f(a)?f(1?a)≥2a?1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

如圖，在三棱錐A?BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點(diǎn)．

(1)求證：AO⊥CD；

(2)若BD⊥DC，BD=DC，AO=BO，求異面直線BC與AD所成的角的大?。?8.(本小題14分)

設(shè)x∈R，函數(shù)f(x)=cosx+sinx，g(x)=cosx?sinx．

(1)求函數(shù)F(x)=f(x)?g(x)+f2(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若f(x)=2g(x)19.(本小題14分)

已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查．

(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？

(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查．

(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(ii)設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率．20.(本小題18分)

設(shè)常數(shù)t>2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F(2,0)，直線l：x=t，曲線Γ：y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l與x軸交于點(diǎn)A、與Γ交于點(diǎn)B.P、Q分別是曲線Γ與線段AB上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)用t表示點(diǎn)B到點(diǎn)F的距離；

(2)設(shè)t=3，|FQ|=2，線段OQ的中點(diǎn)在直線FP上，求△AQP的面積；

(3)設(shè)t=8，是否存在以FP、FQ為鄰邊的矩形FPEQ，使得點(diǎn)E在Γ上？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．21.(本小題18分)

已知函數(shù)f(x)=x?1?alnx，a∈R．

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求f(x)的嚴(yán)格增區(qū)間；

(2)若f(x)≥0恒成立，求a的值；

(3)對(duì)于任意正整數(shù)n，是否存在整數(shù)m，使得不等式(1+12)(1+12參考答案1.A

2.A

3.D

4.D

5.(1,3)

6.(?1,3)

7.3?2i

8.2

9.2

10.189

11.4.2

12.(?1,0)∪(0,1)

13.214.215.1716.[117.(1)證明：∵AB=AD，O為BD的中點(diǎn)，

∴AO⊥DB，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO?平面ABD，

∴AO⊥平面BCD，又CD?平面BCD，

∴AO⊥CD；

(2)解：由(1)知AO⊥平面BCD，作OE/?/CD交BC于E，

∵CD⊥BD，∴OE⊥BD，

∴以O(shè)E、OD、OA分別為x軸、y軸和z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

如圖，由題可設(shè)AO=BO=a，BD=DC=2a，

則A(0,0,a)，B(0,?a,0)，D(0,a,0)，C(2a,a,0)，

∴BC=(2a,2a,0),AD=(0,a,?a)

設(shè)異面直線BC與AD所成的角為θ，

∴cosθ=|BC?AD||BC|?|18.解：(1)F(x)=(cosx+sinx)(cosx?sinx)+(cosx+sinx)2

=cos2x?sin2x+1+2sinxcosx=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π4)+1，

∴函數(shù)F(x)的最小正周期為π．

由2kπ?π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z)，得19.解：(1)單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.人數(shù)比為：3：2：2，

從中抽取7人現(xiàn)，應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3，2，2人．

(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查．

(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，

隨機(jī)變量X的取值為：0，1，2，3，P(X=k)=C4k?C33?kC73，

X01

23

P1

12

18

4隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127；

(ii)設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，

設(shè)事件B為：抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人，事件C為抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人，

則：A=B∪C，且P(B)=P(X=2)20.解：(1)由題意可設(shè)B(t,22t)，

由拋物線的性質(zhì)可知：|BF|=t+p2=t+2，∴|BF|=t+2；

(2)F(2,0)，|FQ|=2，t=3，則|FA|=1，∴|AQ|=3，

∴不妨設(shè)Q(3,3)，設(shè)OQ的中點(diǎn)D，D(32,32)，

kPF=32?032?2=?3，則直線PF方程：y=?3(x?2)，

聯(lián)立y=?3(x?2)y2=8x，整理得：3x2?20x+12=0，

解得：x=23，x=6(舍去)，∴△AQP的面積S=12×3×73=736；

(3)存在，設(shè)P(y21.解：(1)當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)=x?1?lnx，x∈(0,+∞)，

則f′(x)=1?1x，

令f′(x)>0，解得x>1，

則f(x)的嚴(yán)格增區(qū)間為(1,+∞)．

(2)函數(shù)f(x)=x?1?alnx的定義域?yàn)?0,+∞)，求導(dǎo)得f′(x)=1?ax=x?ax，

①當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)<0，得x∈(0,a)，f′(x)>0，得x∈(a,+∞)，

則函數(shù)f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+∞)上單調(diào)遞增，f(x)min=f(a)=a?1?alna，

由f(x)≥0恒成立，得a?1?alna≥0恒成立，令g(a)=a?1?alna，

求導(dǎo)得g′(a)=?lna，當(dāng)0<a<1時(shí)，g′(a)>0，當(dāng)a>1時(shí)，g′(a)<0，

于是函數(shù)g(a)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減，g(a)max=g(1)=0，

因此g(a)=0=g(1)，

所以a=1．