四川省合江縣馬街中學校2025屆高三上學期9月月考數(shù)學試卷

數(shù)學試題本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．第I卷1至2頁，第II卷3至4頁．共150分．考試時間120分鐘．第I卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上。1．函數(shù)的定義域為A．， B． C．， D．，2．已知集合，1，2，，集合，，則集合的子集個數(shù)為A．7 B．8 C．16 D．323．設，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸非負半軸重合，終邊經過點，則A． B． C． D．5．，都是復數(shù)，則下列命題中正確的是A．若，則 B． C． D．，則6．已知函數(shù)在上單調遞減，則的取值范圍為A．， B．， C．， D．，7．2023年的某一天某紅酒廠商為了在線出售其紅酒產品，聯(lián)合小哥直播間，邀請某“網紅”來現(xiàn)場帶貨．在帶貨期間，為吸引顧客光臨直播間、增加客流量，發(fā)起了這樣一個活動：如果在直播間進來的顧客中，出現(xiàn)生日相同的顧客，則獎勵生日相同的顧客紅酒1瓶．假設每個隨機來訪的顧客的出生日期都是相互獨立的，并且每個人都等可能地出生在一年天）中任何一天年共365天），在遠小于365時，近似地，，其中．如果要保證直播間至少兩個人的生日在同一天的概率不小于，那么來到直播間的人數(shù)最少應該為A．21 B．22 C．23 D．248．函數(shù)在區(qū)間，上所有零點的和等于A．2 B．4 C．6 D．8二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知，，，則下列結論正確的是A．若，則 B．若，則 C．若， D．的最小值為10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)在區(qū)間上單調遞減 C．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象 D．若，則11．關于函數(shù)，，下列說法正確的是A．對任意的， B．對任意的， C．函數(shù)的最小值為 D．若存在使得不等式成立，則實數(shù)的最大值為第II卷（非選擇題共92分）注意事項：（1）非選擇題的答案必須用0.5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上，作圖題可先用鉛筆繪出，確認后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，答在試題卷和草稿紙上無效．（2）本部分共8個小題，共92分．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分。12．已知函數(shù)．求在處的切線方程．13．已知函數(shù)，且（a），則的值為．14．已知二次函數(shù)，且，若不等式恒成立，則的取值范圍是．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的對稱軸；（Ⅱ）已知，，求的值．16．（15分）設函數(shù)，其中．（Ⅰ）若，且對任意的，，都有，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若對任意的，，，都有，求實數(shù)的取值范圍．17．（15分）已知等差數(shù)列的前項和為，且，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和；（Ⅲ）若，令，求數(shù)列的前項和．18．（17分）已知，，是自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）當時，求函數(shù)的極值；（Ⅱ）若關于的方程有兩個不等實根，求的取值范圍；（Ⅲ）當時，若滿足，求證：．19．（17分）已知正整數(shù)，集合，，，，，，，2，，．對于中的元素，，，，，，定義．令．（Ⅰ）直接寫出的兩個元素及的元素個數(shù)；（Ⅱ）已知，，，，滿足對任意，都有，求的最大值；（Ⅲ）證明：對任意，，，，總存在，使得．數(shù)學試題參考答案一．單選題1．2．3．4．5．6．7．8．二．多選題9．10．11．三．填空題12．13．14．，，四．解答題15．解：（1），令，，則，，故函數(shù)的對稱軸為，；（2）因為，，所以，，即，所以，則．16．解：因為，所以在區(qū)間，上單調減，在區(qū)間，上單調增，且對任意的，都有，（1）若，則，在區(qū)間，上單調遞減，在區(qū)間，上單調遞增．“對任意的，，都有”等價于“在區(qū)間，上，”．①當，即時，，，得，所以；②當，即時，，恒成立，故．綜上所述，，實數(shù)的取值范圍為區(qū)間，．（2）設函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為，最小值為，所以“對任意的，，，都有”等價于“”．①當時，（4），，由，得，因此；②當時，（4），，由，得，因此；③當時，，，由，得，因此；④當時，，（4），由，得，因此．綜上所述，實數(shù)的取值范圍為區(qū)間，．17．解：（1）設等差數(shù)列的公差為，由，，可得，解得，所以；（2）由（1）知，，，所以；（3）因為，，所以，①，②，①②得，所以．18．解：（1）當時，，定義域為，則，令，得，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以在處取到極小值0，無極大值；（2）方程，顯然當時，方程不成立，則，，若方程有兩個不等實根，即與有2個交點，則，當或時，，在區(qū)間和上單調遞減，并且時，，當時，，當時，，嚴格增，時，當時，取得最小值，（1），作出函數(shù)的圖象，如下圖所示：與有2個交點，則，即的取值范圍為；（3）證明：，令，可得，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，由題意，則，，要證，只需證，而，且函數(shù)在上單調遞減，故只需證，又，所以只需證，即證，令，即，，由均值不等式可得，當且僅當，即時，等號成立，所以函數(shù)在上嚴格增，由，可得，即，所以，又函數(shù)在上嚴格減，所以，即得證．19．解：（1），1，1，0，0，，，0，0，1，1，，，中6個分量中恰有3個1，的元素個數(shù)為．（2）對于的非空子集，，，，設，，，，，2，，，這里是的第個分量，定義，2，，，規(guī)定，0，，，設，，，，2，，，令，，，，，，，我們先證明引理：，2，，，．反證法：，2，，，，令，設，，，，滿足，其中，2，，，，，2，，，且，，，，這與矛盾，引理證畢，回到原題，由引理，解得，，1，1，0，0，，，0，0，1，1，，，1，0，0，1，，，0，1，1，0，，符合題意，綜上，當時，的最大值為4．（3）證明：，，，共有個非空子集，記為，，2，，，則在每分量得奇偶性下恰有2種不