吉林省東北師大附屬中2025屆高二數(shù)學第一學期期末調(diào)研模擬試題含解析

吉林省東北師大附屬中2025屆高二數(shù)學第一學期期末調(diào)研模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設A＝37＋·35＋·33＋·3，B＝·36＋·34＋·32＋1，則A－B的值為()A.128 B.129C.47 D.02．設,,,則,,大小關系為A. B.C. D.3．有6本不同的書，按下列方式進行分配，其中分配種數(shù)正確的是（）A.分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有15種分法；B.分給甲、乙、丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有180種分法；C.分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，共有90種分法；D.分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有1080種分法；4．已知圓C過點，圓心在x軸上，則圓C的方程為（）A. B.C. D.5．在如圖所示的棱長為1的正方體中，點P在側(cè)面所在的平面上運動，則下列四個命題中真命題的個數(shù)是（）①若點P總滿足，則動點P的軌跡是一條直線②若點P到點A的距離為，則動點P的軌跡是一個周長為的圓③若點P到直線AB的距離與到點C的距離之和為1，則動點P的軌跡是橢圓④若點P到平面的距離與到直線CD的距離相等，則動點P的軌跡是拋物線A.1 B.2C.3 D.46．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的可能為（）A.9 B.5C.4 D.37．已知雙曲線C的離心率為，，是C的兩個焦點，P為C上一點，，若△的面積為，則雙曲線C的實軸長為（）A.1 B.2C.4 D.68．古希臘數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對這一定義歐幾里得沒有給出證明.經(jīng)過了500年，到了3世紀，希臘數(shù)學家帕普斯在他的著作《數(shù)學匯篇》中，完善了歐幾里得關于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定義進行了證明.他指出，到定點的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線；當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則的取值范圍為（）A. B.C. D.9．已知曲線C的方程為，則下列結(jié)論正確的是（）A.當時，曲線C為圓B.“”是“曲線C為焦點在x軸上的雙曲線”的充分而不必要條件C.“”是“曲線C為焦點在x軸上的橢圓”的必要而不充分條件D.存在實數(shù)k使得曲線C為雙曲線，其離心率為10．算盤是中國古代的一項重要發(fā)明．現(xiàn)有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1（如圖2中算盤表示整數(shù)51）．如果撥動圖1算盤中的兩枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為（）A.8 B.10C.15 D.1611．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項和為，若，，成等差數(shù)列，則n=（）A.6 B.8C.16 D.2212．今天是星期四，經(jīng)過天后是星期（）A.三 B.四C.五 D.六二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，滿足約束條件，則的最小值為______.14．已知橢圓的左、右焦點為，過作x軸垂線交橢圓于點P，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是___________.15．一個六棱錐的體積為，其底面是邊長為的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為.16．已知拋物線的焦點為F，過F的直線l交拋物線C于AB兩點，且，則p的值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）近年來某村制作的手工藝品在國內(nèi)外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴把質(zhì)量關，合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進行質(zhì)量把關，質(zhì)量把關程序如下：（ⅰ）若一件手工藝品3位行家都認為質(zhì)量過關，則該手工藝品質(zhì)量為A級；（ⅱ）若3位行家中僅有1位行家認為質(zhì)量不過關，再由另外2位行家進行第二次質(zhì)量把關．若第二次質(zhì)量把關這2位行家都認為質(zhì)量過關，則該手工藝品質(zhì)量為B級；若第二次質(zhì)量把關這2位行家中有1位或2位認為質(zhì)量不過關，則該手工藝品質(zhì)量為C級；（ⅲ）若3位行家中有2位或3位行家認為質(zhì)量不過關，則該手工藝品質(zhì)量為D級．已知每一次質(zhì)量把關中一件手工藝品被1位行家認為質(zhì)量不過關的概率為，且各手工藝品質(zhì)量是否過關相互獨立（1）求一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率；（2）求81件手工藝品中，質(zhì)量為C級的手工藝品件數(shù)的方差；（3）求10件手工藝品中，質(zhì)量為D級的手工藝品最有可能是多少件？18．（12分）已知圓的圓心為，且圓經(jīng)過點（1）求圓的標準方程；（2）若圓：與圓恰有兩條公切線，求實數(shù)的取值范圍19．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足，，求面積的最大值20．（12分）如圖，已知橢圓的焦點是圓與x軸的交點，橢圓C的長半軸長等于圓O的直徑（1）求橢圓C的方程；（2）F為橢圓C的右焦點，A為橢圓C的右頂點，點B在線段FA上，直線BD，BE與橢圓C的一個交點分別是D，E，直線BD與直線BE的傾斜角互補，直線BD與圓O相切，設直線BD的斜率為．當時，求k21．（12分）在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，且點在橢圓C上（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點的直線與橢圓C交于A，B兩點，試探究直線上是否存在定點Q，使得為定值．若存在，求出定點Q的坐標及實數(shù)的值；若不存在，請說明理由22．（10分）已知等差數(shù)列滿足（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】先化簡A－B，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果為二項式展開式，然后計算即可【詳解】A－B＝37－·36＋·35－·34＋·33－·32＋·3－1＝故選A.【點睛】本題主要考查了二項式定理的運用，關鍵是通過化簡能夠發(fā)現(xiàn)其結(jié)果在形式上滿足二項式展開式，然后計算出結(jié)果，屬于基礎題2、C【解析】由,可得,,故選C.考點：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)3、D【解析】根據(jù)題意，分別按照選項說法列式計算驗證即可做出判斷.【詳解】選項A，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有種分配方法，故該選項錯誤；選項B，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，一人4本，另兩人各1本，先將6本書分成4-1-1的3組，再將三組分給甲乙丙三人，有種分配方法，故該選項錯誤；選項C，6本不同的書分給甲乙每人各2本，有種方法，其余分給丙丁每人各1本，有種方法，所以不同的分配方法有種，故該選項錯誤；選項D，先將6本書分為2-2-1-14組，再將4組分給甲乙丙丁4人，有種方法，故該選項正確.故選：D.4、C【解析】設出圓的標準方程，將已知點的坐標代入，解方程組即可.【詳解】設圓的標準方程為，將坐標代入得:,解得，故圓的方程為，故選：C.5、C【解析】根據(jù)線面關系、距離關系可分別對每一個命題判斷.【詳解】若點P總滿足，又，，，可得對角面，因此點P的軌跡是直線，故①正確若點P到點A的距離為，則動點P的軌跡是以點B為圓心，以1為半徑的圓（在平面內(nèi)），因此圓的周長為，故②正確點P到直線AB的距離PB與到點C的距離PC之和為1，又，則動點P的軌跡是線段BC，因此③不正確點P到平面的距離（即到直線的距離）與到直線CD的距離（即到點C的距離）相等，則動點P的軌跡是以線段BC的中點為頂點，直線BC為對稱軸的拋物線（在平面內(nèi)），因此④正確故有①②④三個故選:C6、D【解析】根據(jù)輸出結(jié)果可得輸出時，結(jié)合執(zhí)行邏輯確定輸入k的可能值，即可知答案.【詳解】由，得，則輸人的可能為.∴結(jié)合選項知：D符合要求.故選：D.7、C【解析】由已知條件可得，，，再由余弦定理得，進而求其正弦值，最后利用三角形面積公式列方程求參數(shù)a，即可知雙曲線C的實軸長.【詳解】由題意知，點P在右支上，則，又，∴，，又，∴，則在△中，，∴，故，解得，∴實軸長為，故選：C.8、C【解析】對方程進行化簡可得雙曲線上一點到定點與定直線之比為常數(shù)，進而可得結(jié)果.【詳解】已知方程可以變形為，即，∴其表示雙曲線上一點到定點與定直線之比為常數(shù)，又由，可得，故選：C.9、C【解析】根據(jù)橢圓、雙曲線的定義及簡單幾何性質(zhì)計算可得；【詳解】解：由題意，曲線C的方程為，對于A中，當時，曲線C的方程為，此時曲線C表示橢圓，所以A錯誤；對于B中，當曲線C的方程為表示焦點在x軸上的雙曲線時，則滿足，解得，所以“”是“曲線C為焦點在x軸上的雙曲線”的必要不充分條件，所以B不正確；對于C中，當曲線C的方程為表示焦點在x軸上的橢圓時，則滿足，解得，所以“”是“曲線C為焦點在x軸上的雙曲線”的必要不充分條件，所以C正確；對于D中，當曲線C的方程為表示雙曲線，且離心率為時，此時雙曲線的實半軸長等于虛半軸長，此時，解得，此時方程表示圓，所以不正確.故選：C.10、A【解析】根據(jù)給定條件分類探求出撥動兩枚算珠的結(jié)果計算得解.【詳解】撥動圖1算盤中的兩枚算珠，有兩類辦法，由于撥動一枚算珠有梁上、梁下之分，則只在一個檔撥動兩枚算珠共有4種方法，在每一個檔各撥動一枚算珠共有4種方法，由分類加法計數(shù)原理得共有8種方法，所以表示不同整數(shù)的個數(shù)為8.故選：A11、D【解析】利用累加法求得列的通項公式，再利用裂項相消法求得數(shù)列的前n項和為，再根據(jù)，，成等差數(shù)列，得，從而可得出答案.【詳解】解：因為，且，所以當時，，因為也滿足，所以.因為，所以.若，，成等差數(shù)列，則，即，得.故選：D.12、C【解析】求出二項式定理的通項公式，得到除以7余數(shù)是1，然后利用周期性進行計算即可【詳解】解：一個星期的周期是7，則，即除以7余數(shù)是1，即今天是星期四，經(jīng)過天后是星期五，故選：二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0【解析】作出約束條件對應的可行域，當目標函數(shù)過點時，取得最小值，求解即可.【詳解】作出約束條件對應的可行域，如下圖陰影部分，聯(lián)立，可得交點為，目標函數(shù)可化為，當目標函數(shù)過點時，取得最小值，即.故答案為：0.【點睛】本題考查線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想的應用，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.14、##【解析】以為等腰直角三角形列方程組可得之間的關系式，進而求得橢圓的離心率.【詳解】橢圓的左、右焦點為，點P由為等腰直角三角形可知，，即可化為，故或（舍）故答案為：15、【解析】判斷棱錐是正六棱錐，利用體積求出棱錐的高，然后求出斜高，即可求解側(cè)面積∵一個六棱錐的體積為，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，∴棱錐是正六棱錐，設棱錐的高為h，則棱錐斜高為該六棱錐的側(cè)面積為考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積16、3【解析】根據(jù)拋物線焦點弦性質(zhì)求解，或聯(lián)立l與拋物線方程，表示出，求其最值即可.【詳解】已知，設，，，則，∵，所以，，∴，當且僅當m=0時，取..故答案為：3.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）2件【解析】（1）根據(jù)相互獨立事件的概率公式計算可得；（2）首先求出一件手工藝品質(zhì)量為C級的概率，設81件手工藝品中質(zhì)量為C級的手工藝品是X件，則，再根據(jù)二項分布的方差公式計算可得；（3）首先求出一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率，設10件手工藝品中質(zhì)量為D級的手工藝品是ξ件，則，根據(jù)二項分布的概率公式求出的最大值，即可得解；【小問1詳解】解：一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率為【小問2詳解】解：一件手工藝品質(zhì)量為C級的概率為，設81件手工藝品中質(zhì)量為C級的手工藝品是X件，則，所以【小問3詳解】解：一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為，設10件手工藝品中質(zhì)量為D級的手工藝品是ξ件，則，則，由解得，所以當時，，即，由解得，所以當時，，所以當時，最大，即10件手工藝品中質(zhì)量為D級的最有可能是2件18、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出圓C的半徑，再直接寫出方程作答.(2)由給定條件可得圓C與圓O相交，由此列出不等式求解作答.【小問1詳解】依題意，圓C的半徑，所以圓的標準方程是：.【小問2詳解】圓：的圓心，半徑為，因圓與圓恰有兩條公切線，則有圓O與圓C相交，即，而，因此有，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.19、（1）（2）【解析】（1）由三角恒等變換公式化簡，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求解（2）由余弦定理與面積公式，結(jié)合基本不等式求解【小問1詳解】由己知可得，由，解得：，故的單調(diào)遞減區(qū)間是【小問2詳解】，，故，得，由余弦定理得：，得，當且僅當時等號成立，故，面積最大值為20、（1）；（2）-1【解析】（1）由題設可得，求出參數(shù)b，即可寫出橢圓C的方程；（2）延長線段DB交橢圓C于點，根據(jù)對稱性設B，為，，聯(lián)立橢圓方程，應用韋達定理并結(jié)合已知條件可得，直線與圓相切可得，進而求參數(shù)t，即可求直線BD的斜率.【小問1詳解】因為圓與x軸的交點分別為，，所以橢圓C的焦點分別為，，∴，根據(jù)條件得，∴，故橢圓C的方程為【小問2詳解】延長線段DB交橢圓C于點，因直線BD與直線BE的傾斜角互補，根據(jù)對稱性得由條件可設B的坐標為，