北京師大附屬實驗中學2025屆高二上數(shù)學期末復習檢測試題含解析

北京師大附屬實驗中學2025屆高二上數(shù)學期末復習檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的導數(shù)為（）A.B.CD.2．如圖，在平行六面體中，AC與BD的交點為M.設，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.3．函數(shù)的最小值是（）A.2 B.4C.5 D.64．某城市2017年的空氣質量狀況如下表所示：污染指數(shù)3060100110130140概率其中污染指數(shù)時，空氣質量為優(yōu)；時，空氣質量為良；時，空氣質量為輕微污染，該城市2017年空氣質量達到良或優(yōu)的概率為（）A. B.C. D.5．已知在四棱錐中，平面，底面是邊長為4的正方形，，E為棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.6．橢圓＝1的一個焦點為F，過原點O作直線（不經過焦點F）與橢圓交于A，B兩點，若△ABF的面積是20，則直線AB的斜率為（）A. B.C. D.7．圓與圓的位置關系為（）A.內切 B.相交C.外切 D.外離8．焦點坐標為（1，0）拋物線的標準方程是（）A.y2=-4x B.y2=4xC.x2=-4y D.x2=4y9．已知數(shù)列滿足，且，那么（）A. B.C. D.10．若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.11．雙曲線的離心率是，則雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.12．現(xiàn)要完成下列兩項調查：①從某社區(qū)70戶高收入家庭、335戶中等收入家庭、95戶低收入家庭中選出100戶，調查社會購買能力的某項指標；②從某中學的15名藝術特長生中選出3名調查學習負擔情況．這兩項調查宜采用的抽樣方法是（）A①簡單隨機抽樣，②分層抽樣 B.①分層抽樣，②簡單隨機抽樣C.①②都用簡單隨機抽樣 D.①②都用分層抽樣二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知莖葉圖記錄了甲、乙兩組各名學生在一次英語聽力測試中的成績（單位：分）．已知甲組數(shù)據的中位數(shù)為，乙組數(shù)據的平均數(shù)為，則的值為__________．甲組乙組14．等比數(shù)列的前項和為，則的值為_____15．已知函數(shù)f(x)=x3－3x2+2，則函數(shù)f(x)的極大值為______16．若數(shù)列的前n項和，則其通項公式________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調性；（2）當時，證明18．（12分）已知的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（1）求B；（2）若，求的面積的最大值19．（12分）在數(shù)列中，，是與的等差中項，（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列（2）令，求數(shù)列的前項的和20．（12分）如圖，一個湖的邊界是圓心為的圓，湖的一側有一條直線型公路，湖上有橋（是圓的直徑）.規(guī)劃在公路上選兩個點、，并修建兩段直線型道路、.規(guī)劃要求，線段、上的所有點到點的距離均不小于圓的半徑.已知點到直線的距離分別為和（為垂足），測得，，（單位：百米）.（1）若道路與橋垂直，求道路的長；（2）在規(guī)劃要求下，點能否選在處？并說明理由.21．（12分）已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上（1）求橢圓的標準方程；（2）若過定點的直線交橢圓于不同的兩點、(點在點、之間)，且滿足，求的取值范圍.22．（10分）設函數(shù)（1）求在處的切線方程；（2）求在上的最大值與最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由導數(shù)運算法則可求出.【詳解】，.故選：B.2、B【解析】根據代入計算化簡即可.【詳解】故選：B.3、C【解析】結合基本不等式求得所求的最小值.【詳解】，，當且僅當時等號成立.故選：C4、A【解析】根據互斥事件的和的概率公式求解即可.【詳解】由表知空氣質量為優(yōu)的概率是，由互斥事件的和的概率公式知，空氣質量為良的概率為，所以該城市2017年空氣質量達到良或優(yōu)的概率，故選：A【點睛】本題主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，屬于中檔題.5、B【解析】建立空間直角坐標系，以向量法去求直線與平面所成角的正弦值即可.【詳解】平面，底面是邊長為4的正方形，則有，而，故平面，以A為原點，分別以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系如圖：則，，，設直線與平面所成角為，又由題可知為平面的一個法向量，則故選：B6、A【解析】分情況討論當直線AB的斜率不存在時，可求面積，檢驗是否滿足條件，當直線AB的斜率存在時，可設直線AB的方程y＝kx，聯(lián)立橢圓方程，可求△ABF2的面積為S＝2代入可求k【詳解】由橢圓＝1，則焦點分別為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，不妨取F(5,0)①當直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x＝0，此時AB＝4，＝AB?5＝×5＝10，不符合題意；②可設直線AB的方程y＝kx，由，可得(4+9k2)x2＝180，∴xA＝6，yA＝，∴△ABF2的面積為S＝2＝2××5×＝20，∴k＝±故選：A7、C【解析】將圓的一般方程化為標準方程，根據圓心距和半徑的關系，判斷兩圓的位置關系.【詳解】圓的標準方程為，圓的標準方程為，兩圓的圓心距為，即圓心距等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，故選：C.8、B【解析】由題意設拋物線方程為y2=2px（p＞0），結合焦點坐標求得p，則答案可求【詳解】由題意可設拋物線方程為y2=2px（p＞0），由焦點坐標為（1，0），得，即p=2∴拋物的標準方程是y2=4x故選B【點睛】本題主要考查了拋物線的標準方程及其簡單的幾何性質的應用，其中解答中熟記拋物線的幾何性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題9、D【解析】由遞推公式得到，，，再結合已知即可求解.【詳解】解：由，得，，又，那么故選：D10、B【解析】由條件可得，即可得到答案.【詳解】方程表示焦點在y軸上的雙曲線所以，即故選：B11、B【解析】利用雙曲線的離心率，以及漸近線中，關系，結合找關系即可【詳解】解：，又因為在雙曲線中，，所以，故，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：B12、B【解析】通過簡單隨機抽樣和分層抽樣的定義辨析得到選項【詳解】在①中，由于購買能力與收入有關，應該采用分層抽樣；在②中，由于個體沒有明顯差別，而且數(shù)目較少，應該采用簡單隨機抽樣故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據中位數(shù)、平均數(shù)的定義，結合莖葉圖進行計算求解即可.【詳解】根據莖葉圖可知：甲組名學生在一次英語聽力測試中的成績分別；乙組名學生在一次英語聽力測試中的成績分別，因為甲組數(shù)據的中位數(shù)為，所以有，又因為乙組數(shù)據的平均數(shù)為，所以有，所以，故答案為：14、【解析】根據等比數(shù)列前項和公式的特點列方程，解方程求得的值.【詳解】由于等比數(shù)列前項和，本題中，故.故填：.【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列前項和公式的特點，考查觀察與思考的能力，屬于基礎題.15、2【解析】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間，從而得到極大值.【詳解】，令，解得：，00極大值極小值所以當時，函數(shù)取得極大值，即函數(shù)的極大值為.故答案為：16、【解析】由和計算【詳解】由題意，時，，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）求導得，進而分和兩種情況討論求解即可；（2）根據題意證明，進而令，再結合（1）得，研究函數(shù)的性質得，進而得時，，即不等式成立.【小問1詳解】解：函數(shù)的定義域為，，∴當時，在上恒成立，故函數(shù)在區(qū)間上單調遞增；當時，由得，由得，即函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，在上單調遞減；綜上，當時，在區(qū)間上單調遞增；當時，在區(qū)間上單調遞增，在上單調遞減；【小問2詳解】證明：因為時，證明，只需證明，由（1）知，當時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，在上單調遞減；所以.令，則，所以當時，，函數(shù)單調遞減；當時，，函數(shù)單調遞增，所以.所以時，，所以當時，18、（1）（2）【解析】（1）：根據正弦定理由邊化角和三角正弦和公式即可求解；（2）：根據余弦定理和均值不等式求得最大值，利用面積公式即可求解【小問1詳解】由正弦定理及，得，∵，∵，∴【小問2詳解】由余弦定理，∴，∴，當且僅當時等號成立，∴的面積的最大值為19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）求得，利用等差數(shù)列的定義可證得結論成立；（2）求出，可計算得出，利用并項求和法可求得數(shù)列的前項的和.小問1詳解】解：由題意知是與的等差中項，可得，可得，則，可得，所以，，又由，可得，所以數(shù)列是首項和公差均為的等差數(shù)列.【小問2詳解】解：由（1）可得：，，對任意的，，因此，.20、（1）15（百米）（2）點選在處不滿足規(guī)劃要求，理由見解析【解析】（1）建立適當?shù)淖鴺讼?，得圓及直線的方程，進而得解.（2）不妨點選在處，求方程并求其與圓的交點，在線段上取點不符合條件，得結論.【小問1詳解】如圖，過作，垂足為.以為坐標原點，直線為軸，建立平面直角坐標系.因為為圓的直徑，，所以圓的方程為.因為，，所以，故直線的方程為，則點，的縱坐標分別為3，從而，，直線的斜率為.因為，所以直線的斜率為，直線的方程為.令，得，，所以.因此道路的長為15（百米）.【小問2詳解】若點選在處，連結，可求出點，又，所以線段.由解得或，故不妨取，得到在線段上的點，因為，所以線段上存在點到點的距離小于圓的半徑5.因此點選在處不滿足規(guī)劃要求.21、（1）（2）【解析】（1）代入點坐標，結合離心率，以及即得解；（2）設直線方程，與橢圓聯(lián)立，轉化為，結合韋達定理和判別式，分析即得解【小問1詳解】由題意可知：，解得：橢圓的標準方程為：【小問2詳解】①當直線斜率不存在，方程為