河北省衡水市第十三中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

河北省衡水市第十三中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知兩圓相交于兩點(diǎn)，，兩圓圓心都在直線上，則值為（）A. B.C. D.2．已知在空間直角坐標(biāo)系（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）中，點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，則z軸與平面OAB所成的線面角為（）A. B.C. D.3．已知拋物線，則拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C. D.4．已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為一條漸近線上的一點(diǎn)，且，則的面積為（）A. B.C. D.15．已知向量，，則以下說法不正確的是（）A. B.C. D.6．設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）A.3 B.1C.0 D.﹣17．現(xiàn)從名男醫(yī)生和名女醫(yī)生中抽取兩人加入“援鄂醫(yī)療隊(duì)”，用表示事件“抽到的兩名醫(yī)生性別相同”，表示事件“抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生”，則（）A. B.C. D.8．在正方體中，為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.9．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，則的最小值為（）A B.C. D.410．已知圓M的圓心在直線上，且點(diǎn)，在M上，則M的方程為（）A. B.C. D.11．一條直線過原點(diǎn)和點(diǎn)，則這條直線的傾斜角是（）A. B.C. D.12．我國(guó)古代銅錢蘊(yùn)含了“外圓內(nèi)方”“天地合一”的思想．現(xiàn)有一銅錢如圖，其中圓的半徑為r，正方形的邊長(zhǎng)為，若在圓內(nèi)隨即取點(diǎn)，取自陰影部分的概率是p，則圓周率的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則直線與平面所成角的正弦值為______.14．函數(shù)在處的切線方程為_________15．已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為，，則__________.16．曲線在點(diǎn)M(π，0)處的切線方程為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）(1)已知命題p：；命題q：，若“”為真命題，求x的取值范圍(2)設(shè)命題p：；命題q：，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍18．（12分）如圖，在四棱錐S?ABCD中，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)S在底面ABCD上的射影為底面ABCD的中心點(diǎn)O，點(diǎn)P在棱SD上，且△SAC的面積為1（1）若點(diǎn)P是SD的中點(diǎn)，求證：平面SCD⊥平面PAC；（2）在棱SD上是否存在一點(diǎn)P使得二面角P?AC?D的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說明理由19．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)F，C上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5（1）求C方程；（2）過F作直線l，交C于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1，求直線l的方程20．（12分）已知橢圓C對(duì)稱中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且，兩點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M、N分別為橢圓與x軸負(fù)半軸、y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，P為橢圓上在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，直線PM與y軸交于點(diǎn)S，直線PN與x軸交于點(diǎn)T，求證：四邊形MSTN的面積為定值21．（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求22．（10分）已知等差數(shù)列的公差，前3項(xiàng)和，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由相交弦的性質(zhì)，可得與直線垂直，且的中點(diǎn)在這條直線上；由與直線垂直，可得，解可得的值，即可得的坐標(biāo)，進(jìn)而可得中點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線方程可得；進(jìn)而將、相加可得答案【詳解】根據(jù)題意，由相交弦的性質(zhì)，相交兩圓的連心線垂直平分相交弦，可得與直線垂直，且的中點(diǎn)在這條直線上；由與直線垂直，可得，解可得，則，故中點(diǎn)為，且其在直線上，代入直線方程可得，1，可得；故；故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答圓和圓的位置關(guān)系時(shí)，要注意利用平面幾何圓的知識(shí)來分析解答.2、B【解析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的性質(zhì)，結(jié)合空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，設(shè)平面OAB的一個(gè)法向量為，則得所以，令，得，所以又z軸的一個(gè)方向向量為，設(shè)z軸與平面OAB所成的線面角為，則，所以所求的線面角為，故選：B3、D【解析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此確定的值即可.【詳解】由可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為.故選：D.4、A【解析】先表示出漸近線方程，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用，解出點(diǎn)坐標(biāo)，再按照面積公式求解即可.【詳解】由題意知，雙曲線漸近線方程為，不妨設(shè)在上，設(shè)，由得，解得，的面積為.故選：A.5、C【解析】可根據(jù)已知的和的坐標(biāo)，通過計(jì)算向量數(shù)量積、向量的模，即可做出判斷.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，故，所以選項(xiàng)A正確；，，所以，故選項(xiàng)B正確；，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，所以，，故，所以選項(xiàng)D正確.故選：C.6、C【解析】線性規(guī)劃問題，作出可行域后，根據(jù)幾何意義求解【詳解】作出可行域如圖所示，，數(shù)形結(jié)合知過時(shí)取最小值故選：C7、A【解析】先求出抽到的兩名醫(yī)生性別相同的事件的概率，再求抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生事件的概率，然后代入條件概率公式即可【詳解】解：由已知得,，則，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查條件概率問題，屬于基礎(chǔ)題8、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面的法向量，利用線面角的向量公式即得解【詳解】不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，由于平面，平面，故又正方形，故平面故平面，所以為平面的一個(gè)法向量，故直線與平面所成角正弦值為.故選：D9、B【解析】由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得，令，化為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案【詳解】解：根據(jù)題意可得，、，所以，令，由約束條件作出可行域如下圖所示，由得，即，由，得，由圖可知，當(dāng)直線過時(shí)，直線在軸上的截距最小，有最小值為，即，所以故選：B10、C【解析】由題設(shè)寫出的中垂線，求其與的交點(diǎn)即得圓心坐標(biāo)，再應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式求半徑，即可得圓的方程.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，在M上，所以圓心在的中垂線上由，解得，即圓心為，則半徑，所以M的方程為故選：C11、C【解析】求出直線的斜率，結(jié)合傾斜角的取值范圍可求得所求直線的傾斜角.【詳解】設(shè)這條件直線的傾斜角為，則，，因此，.故選：C.12、B【解析】根據(jù)圓和正方形的面積公式結(jié)合幾何概型概率公式求解即可.【詳解】由可得故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)與的夾角為，直線與平面所成角為，所以，故答案為：14、【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到且，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，則且，所以函數(shù)在處的切線方程為，即，即切線方程為.故答案為：.15、##【解析】根據(jù)截距定義，分別令，可得.【詳解】由直線，令得，即令，得，即，故.故答案為：16、【解析】由題意可得，據(jù)此可得切線的斜率，結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo)即可確定切線方程.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，所求切線的斜率為：，由于切點(diǎn)坐標(biāo)為，故切線方程為：.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問題一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆二是直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)三是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是分清函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式．由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為兩層導(dǎo)數(shù)之積.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】根據(jù)復(fù)合命題的真值表知：p真q假；非q是非p的充分不必要條件，等價(jià)于p是q的充分不必要條件，等價(jià)于p是q的真子集【詳解】命題p：，即；命題，即；由于“”為真命題，則p真q假，從而由q假得，，所以x的取值范圍是命題p：，即命題q：，即由于是的充分不必要條件，則p是q的充分不必要條件即有，【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合命題及其真假屬基礎(chǔ)題18、（1）證明見解析（2）存在，點(diǎn)P為棱SD靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)【解析】（1）由的面積為1，得到，，由，點(diǎn)P為SD的中點(diǎn)，所以，同理可得，根據(jù)線面垂直的判斷定理可得平面PAC，再由面面垂直的判斷定理可得答案；（2）存在，分別以O(shè)B，OC，OS所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)在棱SD上存在點(diǎn)P，設(shè)，求出平面PAC、平面ACD的一個(gè)法向量，由二面角的向量法可得答案.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)S在底面ABCD上的射影為O，所以平面ABCD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長(zhǎng)為的正方形，所以，又因?yàn)榈拿娣e為1，所以，，所以，因?yàn)椋c(diǎn)P為SD的中點(diǎn)，所以，同理可得，因?yàn)?，AP，平面PAC，所以平面PAC，又平面SCD，∴平面平面PAC【小問2詳解】存在，連接，由平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，又，可得兩兩垂直，分別以所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，假設(shè)在棱SD上存在點(diǎn)P使二面角的余弦值為，設(shè)，，，所以，，設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為，則，因?yàn)?，，所以，令，得，，因?yàn)槠矫鍭CD的一個(gè)法向量為，所以，化簡(jiǎn)得，解得或（舍），所以存在P點(diǎn)符合題意，點(diǎn)P為棱SD靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)19、（1）；（2）.【解析】（1）由拋物線的定義，結(jié)合已知有求p，寫出拋物線方程.（2）由題意設(shè)直線l為，聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理可得，由中點(diǎn)公式有，進(jìn)而求k值，寫出直線方程.【詳解】（1）由題意知：拋物線的準(zhǔn)線為，則，可得，∴C的方程為.（2）由（1）知：，由題意知：直線l的斜率存在，令其方程為，∴聯(lián)立拋物線方程，得：，，若，則，而線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1，∴，即，得，∴直線l的方程為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）利用拋物線定義求參數(shù)，寫出拋物線方程；（2）由直線與拋物線相交，以及相交弦的中點(diǎn)坐標(biāo)值，應(yīng)用韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式求直線斜率，并寫出直線方程.20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)橢圓方程為，利用待定系數(shù)法求得的值，即可得出答案；（2）設(shè)，，，易得，分別求出直線PM和直線PN的方程，從而可求出的坐標(biāo)，再根據(jù)即可得出答案.【小問1詳解】解：依題意設(shè)橢圓方程為，將，代入得，解得得，，∴所求橢圓方程為；【小問2詳解】證明：設(shè)，，，，P點(diǎn)坐標(biāo)滿足，即，直線PM：，可得，直線PN：，可得，.21、（1）（2）9【解析】（1）根