山東省2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

山東省2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若函數(shù)是偶函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.2．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間（）A. B.C. D.3．下列各式中成立的是A. B.C. D.4．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B.C. D.5．在中，，，則的值為A. B.C.2 D.36．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）A. B.C. D.7．已知集合，，若，則A. B.C. D.8．已知函數(shù)，對(duì)于任意，且，均存在唯一實(shí)數(shù)，使得，且，若關(guān)于的方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是A. B.C. D.9．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)且時(shí).已知，若對(duì)恒成立，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是（）A B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為___12．某地為踐行綠水青山就是金山銀山的理念，大力開展植樹造林．假設(shè)一片森林原來(lái)的面積為畝，計(jì)劃每年種植一些樹苗，且森林面積的年增長(zhǎng)率相同，當(dāng)面積是原來(lái)的倍時(shí)，所用時(shí)間是年（1）求森林面積的年增長(zhǎng)率；（2）到今年為止，森林面積為原來(lái)的倍，則該地已經(jīng)植樹造林多少年？（3）為使森林面積至少達(dá)到畝，至少需要植樹造林多少年（精確到整數(shù)）？（參考數(shù)據(jù)：，）13．已知實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最小值為____________.14．若、是方程的兩個(gè)根，則__________.15．方程的解在內(nèi)，則的取值范圍是___________.16．設(shè)向量，若⊥，則實(shí)數(shù)的值為______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．△ABC中，A（3，－1），AB邊上的中線CM所在直線方程為：6x＋10y－59=0，∠B的平分線方程BT為：x－4y＋10=0，求直線BC的方程.18．已知集合（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時(shí)，，.（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）設(shè)，若區(qū)間滿足當(dāng)定義域?yàn)闀r(shí)，值域也為，則稱為的“和諧區(qū)間”.（i）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（ii）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值，最小值，設(shè).（1）求值；（2）若不等式在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．已知均為正數(shù)，且，證明：，并確定為何值時(shí)，等號(hào)成立.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】利用函數(shù)是偶函數(shù)，可得，解出．再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出單調(diào)區(qū)間【詳解】解：函數(shù)是偶函數(shù)，，，化為，對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，，解得；，利用二次函數(shù)的單調(diào)性，可得其單調(diào)遞增區(qū)間為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性的應(yīng)用，熟練掌握函數(shù)的奇偶性和二次函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.2、B【解析】，，零點(diǎn)定理知，的零點(diǎn)在區(qū)間上所以選項(xiàng)是正確的3、D【解析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算法則分別驗(yàn)證各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.【詳解】中，中，，中，；且等式不滿足指數(shù)運(yùn)算法則，錯(cuò)誤；中，，錯(cuò)誤；中，，則，錯(cuò)誤；中，，正確.故選：【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】由零點(diǎn)存在定理判定可得答案.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，，所以的零點(diǎn)所在區(qū)間為故選：B5、A【解析】如圖，，又，∴，故．選A6、D【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上為增函數(shù)；由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性知在區(qū)間上單調(diào)遞增；由在區(qū)間上為增函數(shù)，為增函數(shù)，可知在區(qū)間上為增函數(shù)；知在區(qū)間上為減函數(shù).故選：D7、A【解析】利用兩個(gè)集合的交集所包含的元素，求得的值，進(jìn)而求得.【詳解】由于，故，所以，故，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩個(gè)集合交集元素的特征，考查兩個(gè)集合的并集的概念，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】解：由題意可知f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，值域?yàn)閇m，+∞），∵對(duì)于任意s∈R，且s≠0，均存在唯一實(shí)數(shù)t，使得f（s）＝f（t），且s≠t，∴f（x）在（﹣∞，0）上是減函數(shù)，值域?yàn)椋╩，+∞），∴a＜0，且﹣b+1＝m，即b＝1﹣m∵|f（x）|＝f（）有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴0＜f（）＜﹣m，又m＜﹣1，∴0m，即0＜（1）m＜﹣m，∴﹣4＜a＜﹣2，∴則a的取值范圍是（﹣4，﹣2），故選A點(diǎn)睛：本題中涉及根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值，是高考經(jīng)常涉及的重點(diǎn)問(wèn)題，（1）利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問(wèn)題求解，如果涉及由幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.9、A【解析】由奇偶性分析條件可得在上單調(diào)遞增，所以，進(jìn)而得，結(jié)合角的范圍解不等式即可得解.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以當(dāng)且時(shí)，根據(jù)的任意性，即的任意性可判斷在上單調(diào)遞增，所以，若對(duì)恒成立，則，整理得，所以，由，可得，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，本題解題關(guān)鍵是利用，結(jié)合變量的任意性，可判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.10、B【解析】利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)可知，，從而可得函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，再賦值即可得答案【詳解】令，，解得：，.所以函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，.當(dāng)時(shí)，就是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故選：B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解析】當(dāng)x≤0時(shí)，令函數(shù)值為零解方程即可；當(dāng)x＞0時(shí)，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可.【詳解】當(dāng)x≤0時(shí)，，∵，故此時(shí)零點(diǎn)為；當(dāng)x＞0時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)x＝1時(shí)，y＜0，當(dāng)x＝2時(shí)，y＞0，故在(1,2)之間有唯一零點(diǎn)；綜上，函數(shù)y在R上共有2個(gè)零點(diǎn).故答案為：2.12、（1）；（2）5年；（3）17年.【解析】（1）設(shè)森林面積的年增長(zhǎng)率為，則，解出，即可求解；（2）設(shè)該地已經(jīng)植樹造林年，則，解出的值，即可求解；（3）設(shè)為使森林面積至少達(dá)到畝，至少需要植樹造林年，則，再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)森林面積的年增長(zhǎng)率為，則，解得【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)該地已經(jīng)植樹造林年，則，，解得，故該地已經(jīng)植樹造林5年【小問(wèn)3詳解】解：設(shè)為使森林面積至少達(dá)到畝，至少需要植樹造林年，則，，，，即取17，故為使森林面積至少達(dá)到畝，至少需要植樹造林17年13、【解析】利用基本不等式可得，即求.【詳解】依題意，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.故答案為：.14、【解析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，再由

，運(yùn)算求得結(jié)果【詳解】、是方程的兩個(gè)根，，，，，故答案為：15、【解析】先令，按照單調(diào)性求出函數(shù)的值域，寫出的取值范圍即可.【詳解】令，顯然該函數(shù)增函數(shù)，，值域?yàn)?，?故答案為：.16、【解析】∵，∴，，又⊥∴∴故答案為三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、.【解析】設(shè)則的中點(diǎn)在直線上和點(diǎn)在直線上,得,求得,再根據(jù)到角公式，求得，進(jìn)而求得直線的方程試題解析：設(shè)則的中點(diǎn)在直線上,則,即…①,又點(diǎn)在直線上,則…②聯(lián)立①②得,,有直線平分,則由到角公式得,得的直線方程為:.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)集合的運(yùn)算法則計(jì)算；（2）由得，然后分類和求解【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，中不等式為，即，∴或，則（2）∵，∴，①當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí).綜上的取值范圍為.19、（1）證明見解析（2）（i）不存在“和諧區(qū)間”，理由見解析（ii）存在，有唯一的“和諧區(qū)間”【解析】（1）利用來(lái)證得結(jié)論成立.（2）（i）通過(guò)證明方程只有一個(gè)實(shí)根來(lái)判斷出此時(shí)不存在“和諧區(qū)間”.（ii）對(duì)的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合的單調(diào)性以及（1）的結(jié)論求得唯一的“和諧區(qū)間”.【小問(wèn)1詳解】由已知當(dāng)時(shí)，，得，所以當(dāng)時(shí)，.【小問(wèn)2詳解】（i）時(shí)，假設(shè)存在，則由知，注意到，故，所以在單調(diào)遞增，于是，即是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，易知不是方程的根，由已知，當(dāng)時(shí)，，令，則有時(shí)，，即，故方程只有一個(gè)實(shí)根0，故不存在“和諧區(qū)間”.（ii）時(shí)，假設(shè)存在，則由知若，則由，知，與值域是矛盾，故不存在“和諧區(qū)間”，同理，時(shí)，也不存在，下面討論，若，則，故最小值為，于是，所以，所以最大值為2，故，此時(shí)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，符合題意.若，當(dāng)時(shí)，同理可得，舍去，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，于是，若即，則，故，與矛盾；若，同理，矛盾，所以，即，由（1）知當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，從而，，從而，矛盾，綜上所述，有唯一的“和諧區(qū)間”.【點(diǎn)睛】對(duì)于“新定義”的題目，關(guān)鍵是要運(yùn)用新定義的知識(shí)以及原有的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)進(jìn)行求解.本題有兩個(gè)“新定義”，一個(gè)是泰勒發(fā)現(xiàn)的公式，另一個(gè)是“和諧區(qū)間”.泰勒發(fā)現(xiàn)的公式可以直接用于證明，“和諧區(qū)間”可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求解.20、（1）；（2）.【解析】（1）利用二次函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求