第三章-系統(tǒng)的數(shù)學模型

3.1系統(tǒng)的微分方程3.2系統(tǒng)的傳遞函數(shù)3.3系統(tǒng)方塊框圖及其簡化3.4輸入和干擾同時作用下的系統(tǒng)傳遞函數(shù)第三章系統(tǒng)的數(shù)學模型本章主要內(nèi)容：3.1系統(tǒng)的微分方程3.1.1建立微分方程的基本步驟（1）確定系統(tǒng)或各組成元件的輸入、輸出量。（2）根據(jù)各變量所遵循的運動規(guī)律和物理定律，列寫出信號在傳遞過程中各環(huán)節(jié)的動態(tài)微分方程。（3）按照系統(tǒng)的工作條件，忽略一些次要因素，對已建立的原始動態(tài)微分方程進行數(shù)學處理，并考慮相鄰元件間是否存在負載效應。（4）消除所列動態(tài)微分方程的中間變量，得到描述系統(tǒng)的輸入、輸出量之間關系的微分方程。（5）整理所得的微分方程。3.1.2機械系統(tǒng)的微分方程在機械系統(tǒng)中，有些部件具有較大的慣性和剛度，而另一些部件則慣性較小、柔性較大。我們將前一類部件的彈性忽略，將其視為質(zhì)量塊；而把后一類部件的慣性忽略，將其視為無質(zhì)量的彈簧。這樣，機械系統(tǒng)可抽象為質(zhì)量—彈簧—阻尼系統(tǒng)。通過牛頓第二定律將質(zhì)量—彈簧—阻尼系統(tǒng)中的運動（位移、速度和加速度）與力聯(lián)系起來，建立機械系統(tǒng)的動力學方程，即機械系統(tǒng)的微分方程。為了分析這個系統(tǒng)，首先將動力滑臺連同銑刀抽象成如3.1(b)所示的質(zhì)量—彈簧—阻尼系統(tǒng)的力學模型(其中，m為受控質(zhì)量；k為彈性剛度；c為粘性阻尼系數(shù)；yo(t)為輸出位移)。根據(jù)牛頓第二定律

例3－1

如圖3.1(a)所示的組合機床動力滑臺銑平面時的情況。工件動力滑臺（a)(b)圖3.1組合機床動力滑臺及其動力學模型的運動方程。例3－2

如圖3.2(a)所示的機械位移系統(tǒng)。它由彈簧K、質(zhì)量塊m、阻尼器c所組成。試寫出在外力的作用下，質(zhì)量可得將輸出變量項寫在等號的左邊，將輸入變量項寫在等號的右邊，并將各階導數(shù)項按降冪排列，得上式就是組合機床動力滑臺銑平面時的機械系統(tǒng)的數(shù)學模型，即微分方程。塊m的位移圖3.2機械位移系統(tǒng)(a)(b);阻位移在本題中的輸入變量為外力，輸出變量為質(zhì)量塊m的，受控對象為質(zhì)量塊m。

取質(zhì)量塊m對其進行受力分析，作用在質(zhì)量塊m上的力有外力;彈簧的彈力

尼器的阻尼力。由牛頓第二定律得為阻尼比。

，即令，。，則上式可寫成（3.1）

式中，T稱為時間常數(shù)，單位為秒，顯然上式描述的質(zhì)量塊m的位移的運動方程是一個二階線性定常微分方程。齒輪1和齒輪2的原動轉(zhuǎn)矩及負載轉(zhuǎn)矩分別是、和、。其粘性摩擦系數(shù)及轉(zhuǎn)動慣量分別是、和、；例3－3

試列寫圖3.3(a)所示的齒輪系的運動方程。圖中齒輪1和齒輪2的轉(zhuǎn)速、齒數(shù)和半徑分別用、、和、、

表示；

(a)(b)圖3.3齒輪系解：

在齒輪傳動中，兩個嚙合齒輪的線速度相同，傳送的功率亦相同，因此齒數(shù)與半徑成正比，即可得齒輪1和齒輪2的運動方程為消去中間變量，可得

令則得齒輪系微分方程為解：當汽車沿著道路行駛時，輪胎的垂直位移作為一種運動激勵作用在汽車的懸浮系統(tǒng)上。該系統(tǒng)的運動由質(zhì)心的平移運動和圍繞質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)運動所組成。建立該系統(tǒng)的數(shù)學模型是相當復雜的。例3－4

圖3.4(a)表示了一個汽車懸浮系統(tǒng)的原理圖，試求汽車在行駛過程中的數(shù)學模型。質(zhì)心車體(a)(b)圖3.4汽車懸浮系統(tǒng)及其動力學模型根據(jù)牛頓第二定律，可得圖3.4(b)表示了經(jīng)簡化后的懸浮系統(tǒng)，只考慮車體在垂直方向的運動。

即3.1.3電氣系統(tǒng)的微分方程

通過應用一種或同時應用兩種基爾霍夫定律，就可以得到電路系統(tǒng)的數(shù)學模型。

電氣系統(tǒng)所遵循的基本定律是基爾霍夫電流定律和電壓定律?；鶢柣舴螂娏鞫?也稱節(jié)點電流定律)表明，流入節(jié)點的電流之和等于流出同一節(jié)點的電流之和；基爾霍夫電壓定律(也稱環(huán)路電壓定律)表明，在任意瞬間，在電路中沿任意環(huán)路的電壓的代數(shù)和等于零。。輸入變量，中間變量為。，輸出變量為例3－5RLC無源網(wǎng)絡如圖3.5所示，圖中R、L、C分別為電阻、電感、電容。試列出以為輸入，為輸出的微分方程。RLC圖3.5RLC無源網(wǎng)絡解設網(wǎng)絡中的電流為忽略輸出端負載效應。解

：由基爾霍夫定律得，消去中間變量，得令，，則

（3.2）又式中，T為時間常數(shù)，單位為秒，為阻尼比。顯然上式描述的以為輸入電壓，為輸出電壓的網(wǎng)絡微分方程是一個二階線性定常微分方程。例3－6

圖3.6所示為兩個形式相同的RC網(wǎng)絡串聯(lián)而成的濾波網(wǎng)絡。試寫出以輸出電壓和輸入電壓為變量的濾波網(wǎng)絡微分方程。R2C2圖3.6兩級RC濾波網(wǎng)絡C1R1解：（1）考慮負載效應時根據(jù)基爾霍夫定律，得：消去中間變量后得（3.3）即濾波網(wǎng)絡微分方程。如果孤立地分別寫出R1C1和R2C2這兩個環(huán)節(jié)的微分方程。則對前一個環(huán)節(jié)，有（3.4）

（2）不考慮負載效應時式中，為此時前一個環(huán)節(jié)的輸出與后一個環(huán)節(jié)的輸入。

（3.5）

對后一個環(huán)節(jié)，有消去中間變量，得

（3.6）特別指出：負載效應是物理環(huán)節(jié)之間的信息反饋作用，相鄰環(huán)節(jié)的串聯(lián)，應該考慮它們之間的負載效應。對于電網(wǎng)絡系統(tǒng)而言，只有當后一個環(huán)節(jié)的輸入阻抗很大，對前面環(huán)節(jié)的影響可以忽略時，方可單獨分別列寫每個環(huán)節(jié)的微分方程。3.1.4機電系統(tǒng)的微分方程對于較復雜的控制系統(tǒng)，列寫系統(tǒng)微分方程可采用以下步驟：分析系統(tǒng)的組成結(jié)構和工作原理，將系統(tǒng)按照其組成結(jié)構和屬性劃分為各組成環(huán)節(jié)，并確定各環(huán)節(jié)的輸入、輸出變量；

(2)根據(jù)各組成環(huán)節(jié)的屬性和所遵循的運動規(guī)律和物理定律，例3－7

在圖3.7所示的機電系統(tǒng)中，在質(zhì)量塊上產(chǎn)生的電磁力為，為輸出為輸入電壓，列寫每一個環(huán)節(jié)的原始微分方程，并將其適當?shù)睾喕?3)按照系統(tǒng)的工作原理，根據(jù)信號在傳遞過程中能量的轉(zhuǎn)換形式，找出各組成環(huán)節(jié)的相關物理量，將各組成環(huán)節(jié)的微分方程聯(lián)立，消去中間變量，最后得到系統(tǒng)得微分方程。位移。R和L分別為鐵芯線圈的電阻與電感，m為質(zhì)量塊的質(zhì)量，k為彈簧的剛度，c為阻尼器的阻尼系數(shù)，功率放大器為一理想放大器，其增益為K。

假定鐵芯線圈的反電動勢為，線圈電流并設全部初始條件為零。試列寫該系統(tǒng)的輸入輸出微分方程。圖3.7機電系統(tǒng)RL功率放大器對于電氣系統(tǒng)這個環(huán)節(jié)，根據(jù)基爾霍夫定律，寫出原始方程：對于機械系統(tǒng)這個環(huán)節(jié)，根據(jù)牛頓第二定律，寫出原始方程，可得消去中間變量，并整理得即為該系統(tǒng)的輸入輸出微分方程。例3－8

試列寫圖3.8所示的電樞控制直流電動機的輸入輸出微分方程。電樞的輸入電壓為輸為輸入量，電動機轉(zhuǎn)速與激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比，方向

對于電樞回路，設電樞旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的反電動勢為動機軸上的總負載轉(zhuǎn)矩，設激磁磁通為常值。為折合到電出量，圖中R、L分別為電樞電路的電阻和電感，負載圖3.8電樞控制直流電動機原理圖RL，其大?。?.7）與電樞電壓相反，即根據(jù)基爾霍夫定律，得：（3.8）

解：對于負載而言，設f是電動機折合到電動機軸上的粘性摩擦系數(shù)，J是電動機和負載折合到電動機軸上的轉(zhuǎn)動慣量，則電動機軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程為

（3.10）將式（3.7）～（3.10）消去中間變量，可得到電樞控制直流電動機的微分方程

（3.11）在工程應用中，由于電樞電路電感L較小，通常忽略不動機的轉(zhuǎn)矩系數(shù)為，則電磁回路的轉(zhuǎn)矩方程（3.9）對于電磁回路，設電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩為，電式中，是電動機的時間常數(shù)，是電動機的傳遞系數(shù)。

如果電樞電阻R和電動機的轉(zhuǎn)動慣量J都很小，可忽略不計時，式（3.12）還可進一步簡化為（3.13）成正比，于是，電與電樞電壓這時，電動機的轉(zhuǎn)速動機可作為測速發(fā)電機使用。（3.12）計，因而式（3.11）可簡化為，系統(tǒng)微分3.2系統(tǒng)的傳遞函數(shù)對線性定常系統(tǒng)，若輸入為

3.2.1傳遞函數(shù)的基本概念，輸出為（3.14）方程的一般形式可表示為在零初始條件下，即當外界輸入作用前，輸入、輸出的，，…，

初始條件和，，…，均為零時，對式（3.14）作拉氏變換得

（3.15）在外界輸入作用前，輸入、輸出的初始條件為零時，線的拉氏變換與輸?shù)睦献儞Q之比，稱為該系統(tǒng)（環(huán)節(jié)或元件）的表示。

入性定常系統(tǒng)（環(huán)節(jié)或元件）的輸出傳遞函數(shù)，用（3.16）則（3.17）將式（3.17）所表示的系統(tǒng)用方框圖表示為圖3.9所示。如無特別聲明，一般將外界輸入作用前的輸出的初始條件，，…，稱為系統(tǒng)的初始狀態(tài)。，圖3.9系統(tǒng)方框圖傳遞函數(shù)分母的階次與各項系數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的與外界無關的固有特性，而分子的階次與各項系數(shù)取決于系統(tǒng)與外界之間的關系。所以，傳遞函數(shù)的分母與分子分別反映了由系統(tǒng)的結(jié)構與參數(shù)所決定的系統(tǒng)的固有特性和系統(tǒng)與外界之間的聯(lián)系。由于已設初始狀態(tài)為零，而這一輸出與系統(tǒng)在輸入作用前的初始狀態(tài)無關。

（3.18）傳遞函數(shù)具有如下一些主要特點：(2)當系統(tǒng)在初始狀態(tài)為零時，對于給定的輸入，系統(tǒng)輸出的拉氏逆變換完全取決于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。式（3.17）通過拉氏逆變換，便可求得系統(tǒng)在時域中的輸出(3)傳遞函數(shù)分母中s的階次n不會小于分子中s的階次m,即n≥m。

(4)傳遞函數(shù)可以有量綱，也可以是無量綱的，這取決于系統(tǒng)輸出的量綱與輸入的量綱。

(5)物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)、環(huán)節(jié)或元件，可以具有相同類型的傳遞函數(shù)。

(6)傳遞函數(shù)非常適用于對單輸入、單輸出的線性定常系統(tǒng)的動態(tài)特性進行描述。

3.2.2傳遞函數(shù)的零點、極點和放大系數(shù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)是以復變量s作為自變量的函數(shù)。通過因式分解后，傳遞函數(shù)G(s)可以寫成如下的一般形式：

K為常數(shù)

（3.19）由復變函數(shù)可知，在式（3.19）中，當s=zj(j=1,2,…,m)時，均能使傳遞函數(shù)G(s)＝0，稱z1,z2,…,zm為傳遞函數(shù)G(s)的零點。當s=pi(i=1,2,…,n)時，均能使傳遞函數(shù)G(s)的分母等于零，即使傳遞函數(shù)G(s)取極值

(i=1,2,…,n)

（3.20）因此，稱p1,p2,…,pn為傳遞函數(shù)G(s)的極點，即系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點也就是系統(tǒng)微分方程的特征根。如果用拉氏變換求解系統(tǒng)的微分方程可得系統(tǒng)的瞬態(tài)響應，其瞬態(tài)響應由以下形式的分量所構成，，其中，p和是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點，也就是系統(tǒng)微分方程的特征根。假定所有的極點是負數(shù)或具有負實部的復數(shù)，即，當時，上述分量將趨近于零，瞬態(tài)響應是收斂的。在這種情況下，稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，也就是說系統(tǒng)是否穩(wěn)定由系統(tǒng)的極點性質(zhì)所決定。

同樣，根據(jù)拉氏變換求解系統(tǒng)的微分方程可知，當系統(tǒng)的輸入信號一定時，系統(tǒng)的零、極點決定著系統(tǒng)的動態(tài)性能，即零點對系統(tǒng)的穩(wěn)定性沒有影響，但它對瞬態(tài)響應曲線的形狀有影響。當s=0時若系統(tǒng)輸入為單位階躍信號，即，根據(jù)拉氏變換的終值定理，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出值為所以G(0)決定著系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出值，由式（3.16）可知，G(0)就是系統(tǒng)的放大系數(shù)。

由上述可知，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點、極點和放大系數(shù)決定著系統(tǒng)的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。

，可以用如下的形式3.2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)對于線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如果將上式進行因式分解，總可以分解為如下一些因式的有限組合：描述：（3.21），，，，，這些簡單因式可以構成獨立的控制單元，并具有各自獨特的動態(tài)性能，我們稱這些簡單因式作為傳遞函數(shù)所構成的控制單元為典型環(huán)節(jié)。式（3.21）所表示的典型環(huán)節(jié)分別為：比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和延時環(huán)節(jié)。

1.比例環(huán)節(jié)

也稱為放大環(huán)節(jié)，無慣性環(huán)節(jié)，零階環(huán)節(jié)。凡輸出量與輸入量成正比，輸出不失真也不延遲，而按比例反映輸入量的環(huán)節(jié)稱為比例環(huán)節(jié)。其輸入輸出方程為（3.22）為比例環(huán)節(jié)的放大系數(shù)或式中，為輸出，為輸入，增益。其傳遞函數(shù)為：用方框圖表示圖3.10比例環(huán)節(jié)方框圖為輸出電壓；R1、R2為電阻。為輸入電壓，圖3.11運算放大器R2R1例3－9

求如圖3.11所示的運算放大器的傳遞函數(shù)。其中，的關系為解輸入電壓與輸出電壓經(jīng)拉氏變換后，得則運算放大器的傳遞函數(shù)若齒輪副無傳動間隙，且傳動系統(tǒng)的剛性為無窮大。那分別為輸入和輸出軸的轉(zhuǎn)速，z1、z2為齒輪的齒數(shù)。例3－10

求如圖3.12所示的齒輪傳動副的傳遞函數(shù)。、圖3.12齒輪傳動副解，故有，就會產(chǎn)生輸出轉(zhuǎn)速么，一旦有輸入轉(zhuǎn)速經(jīng)拉氏變換后，得則齒輪傳動副的傳遞函數(shù)式中，K為齒輪副的傳動比。2.慣性環(huán)節(jié)

也稱為一階慣性環(huán)節(jié)。凡在時域中，如果輸入、輸出量可表達為如下一階微分方程：形式的環(huán)節(jié)稱為慣性環(huán)節(jié)。設初始狀態(tài)為零，將上式兩邊同時進行拉氏變換，得則

（3.23）式中，K為慣性環(huán)節(jié)的增益或放大系數(shù)，T為慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。慣性環(huán)節(jié)的方框圖圖3.16微分環(huán)節(jié)方框圖在慣性環(huán)節(jié)中，總是含有一個儲能元件，對于突變形式的輸入，其輸出不能立即復現(xiàn)，輸出總是落后于輸入。例3－11

求如圖3.14所示的質(zhì)量—彈簧—阻尼系統(tǒng)的傳遞函為輸入位移，為輸出位移，k為彈簧的剛度，c為阻數(shù)。尼器的阻尼系數(shù)。圖3.14忽略質(zhì)量的阻尼—彈簧系統(tǒng)解若質(zhì)量塊的質(zhì)量m相對很小，可以忽略其影響。根據(jù)牛頓第二定律，有經(jīng)拉氏變換后，得電壓，為電流，R為電阻，C為電容。求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。為輸出故傳遞函數(shù)為：式中，T為慣性系統(tǒng)的時間常數(shù)，且。RC圖3.15無源濾波網(wǎng)絡例3－12

圖3.15為無源濾波網(wǎng)絡，

為輸入電壓，解根據(jù)基爾霍夫定律，有消去中間變量，得

正比于輸入量經(jīng)拉氏變換后，得

故傳遞函數(shù)為：式中，T＝RC為慣性系統(tǒng)的時間常數(shù)。凡在時域中，如果輸出量的微分，3.微分環(huán)節(jié)即具有形式的環(huán)節(jié)稱為微分環(huán)節(jié)。將上式兩邊同時進行拉氏變換，則傳遞函數(shù)為：式中，T為微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。微分環(huán)節(jié)的方框圖

（3.24）圖3.16微分環(huán)節(jié)方框圖

微分環(huán)節(jié)的輸出反映了輸入的微分關系，當輸入為單位階躍函數(shù)時，輸出在理論上將是一個幅值為無窮大而時間寬度為零的脈沖函數(shù)，這在實際中是不可能的。這也證明了傳遞函數(shù)中分子的階次不可能高于分母的階次。因此，微分環(huán)節(jié)不可能單獨存在，它是與其他環(huán)節(jié)同時存在的。因此，式（3.24）定義的微分環(huán)節(jié)稱為理想的微分環(huán)節(jié)。例3－13

圖3.17是機械液壓阻尼器的原理圖。圖中A為活塞面積，k為彈簧剛度，R為液體流過節(jié)流閥上阻尼小孔時的液阻，p1、p2分別為液壓缸左右腔單位面積上的壓力。輸入量是活塞，輸出量是液壓缸的位移。求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。位移圖3.17機械液壓阻尼器解液壓缸的力平衡方程為通過節(jié)流閥上阻尼小孔的流量方程為以上二式中消去p1、p2，得到為輸入電壓，即

經(jīng)拉氏變換后，得

故傳遞函數(shù)為：

令，得

、為電流，和為電阻，C為電容，例3－14

圖3.18也是一個具有慣性的微分環(huán)節(jié)。圖中R1、R2為輸出電壓。求其傳遞函數(shù)。CR1圖3.18具有慣性的微分環(huán)節(jié)R2解根據(jù)基爾霍夫定律，有代入將、中，得對、進行拉氏變換，分別得到消去中間變量則傳遞函數(shù)為式中，稱為時間常數(shù)。而當時，經(jīng)拉氏變換后，得故傳遞函數(shù)函數(shù)為式中，稱為時間常數(shù)。如對一比例環(huán)節(jié)Kp施加一速度函數(shù)，即單位斜坡函數(shù)作為輸入，則當Kp＝1時，此環(huán)節(jié)在時域中的輸出即為45°斜線，如圖3.19所示；若對此比例環(huán)節(jié)再并聯(lián)一個微分環(huán)節(jié)KpTs，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（如圖3.20(b)所示）:在控制系統(tǒng)中，微分環(huán)節(jié)主要用來改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，其控制作用如下所述：0圖3.19比例環(huán)節(jié)(Kp＝1)的輸入輸出曲線即系統(tǒng)并聯(lián)了微分環(huán)節(jié)（在Kp＝1時）它所增加的輸出（1）使系統(tǒng)的輸出提前，即對系統(tǒng)的輸入有預測作用。，故微分環(huán)節(jié)所增加的輸出為：因為原輸出(a)

(b)

0圖3.20微分環(huán)節(jié)的控制作用新輸出（2）增加系統(tǒng)的阻尼。如圖3.21(a)所示，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：(a)圖3.21微分環(huán)節(jié)增加系統(tǒng)的阻尼(b)

對系統(tǒng)的比例環(huán)節(jié)Kp并聯(lián)微分環(huán)節(jié)KpTds化簡后，其傳遞函數(shù)為：

G1(s)與G2(s)均為二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，其分母中的第二項s前的系數(shù)與阻尼有關，G1(s)的系數(shù)為1，而G2(s)的系數(shù)為1＋KpKTd>1。所以，采用微分環(huán)節(jié)后，系統(tǒng)的阻尼增加。（3）具有強化系統(tǒng)噪聲的作用。

4.積分環(huán)節(jié)凡在時域中，如果輸出量正比于輸入量的積分，即具有形式的環(huán)節(jié)稱為積分環(huán)節(jié)。顯然，其則傳遞函數(shù)為：

（3.25）式中，T為積分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。積分環(huán)節(jié)的方框圖如圖3.22所示。當系統(tǒng)的輸入為單位階躍信號時，經(jīng)拉氏逆變換后，積分環(huán)節(jié)的輸出圖3.22積分環(huán)節(jié)方框圖圖3.23積分環(huán)節(jié)的輸入輸出關系0對階躍輸入，輸出要在t=T時才能等于輸入，故有滯后作用。經(jīng)過一段時間的累積后，當輸入變?yōu)榱銜r，輸出量不再增加，但保持該值不變，具有記憶功能。其特點是輸出量為輸入量對時間的累積，輸出的幅值呈線性增長，如圖3.23所示。為輸出量。試求此機構的為輸入量，齒條的位移量例3－15

圖3.24示出了一齒輪齒條傳動機構。齒輪的轉(zhuǎn)速解齒輪齒條的轉(zhuǎn)速關系為傳遞函數(shù)。圖3.24齒輪齒條傳動機構式中，D為齒輪的節(jié)圓直徑。對上式取拉氏變換后，得其傳遞函數(shù)為時，這個環(huán)節(jié)變?yōu)楸壤h(huán)節(jié)。倍。若輸出為速度時，輸出上式表示，當輸入為轉(zhuǎn)速為輸入的積分的例3－16

圖3.25所示出為有源積分網(wǎng)絡，為輸出電壓，R為電阻，C為電容。求網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)。為輸入電壓，解由圖可得圖3.25有源積分網(wǎng)絡CR故其傳遞函數(shù)為：式中，

。振蕩環(huán)節(jié)也稱二階振蕩環(huán)節(jié)，它是一個二階環(huán)節(jié)。凡在時域中，如果輸出量與輸入量可用下列微分方程表示5.振蕩環(huán)節(jié)的環(huán)節(jié)稱為振蕩環(huán)節(jié)。將上式兩邊同時進行拉氏變換，得則傳遞函數(shù)為：令，式（3.26）可化為：（3.27）

（3.26）式中，為無阻尼固有頻率，T為振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，為阻尼比，且0≤<1。圖3.26振蕩環(huán)節(jié)方框圖（1）當0≤<1時，系統(tǒng)的輸出為一振蕩過程，此時二階環(huán)對于二階環(huán)節(jié)作階躍輸入時，系統(tǒng)的輸出有兩種情況：節(jié)為振蕩環(huán)節(jié)。即其輸出曲線如圖3.27(b)所示，是一條按指數(shù)衰減振蕩的曲線。0圖3.27振蕩環(huán)節(jié)中單位階躍輸入輸出曲線0(a)(b)（2）當≥1時，系統(tǒng)的輸出為一指數(shù)上升曲線而不振蕩，最后達到常值輸出。振蕩環(huán)節(jié)一般含有兩個儲能元件和一個耗能元件，由于兩個儲能元件之間有能量交換，使系統(tǒng)的輸出發(fā)生振蕩。

為輸入位移，例3－17

求圖3.28所示的質(zhì)量—阻尼—彈簧系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。為輸出位移，k為彈簧的剛度，m為質(zhì)量塊的質(zhì)量，c為質(zhì)量塊與支撐面間的阻尼系數(shù)。解根據(jù)牛頓第二定律，寫出系統(tǒng)的動力學方程如下經(jīng)拉氏變換后，得故傳遞函數(shù)為式中，，。當0≤<1時，系統(tǒng)為一振蕩環(huán)節(jié)。

圖3.28質(zhì)量—阻尼—彈簧系統(tǒng)為輸入電壓，例3－18

圖3.29所示為電感L、電阻R與電容C的串、并聯(lián)電路，解根據(jù)基爾霍夫定律，有為輸出電壓。試求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。而將后兩式代入第一式并整理，得經(jīng)拉氏變換后，得C圖3.29RLC電路RL延時環(huán)節(jié)也稱延遲環(huán)節(jié)。凡在時域中，如果輸出量滯后輸入時間而不失真地反映輸入量的環(huán)節(jié)稱為延時環(huán)節(jié)。具有延時環(huán)節(jié)的系統(tǒng)稱為延時系統(tǒng)。傳遞函數(shù)為：式中，為電路的固有振蕩頻率，為電路的阻尼比。

6.延時環(huán)節(jié)延時環(huán)節(jié)的輸入量與輸出量之間有如下的關系：式中，為延遲時間。

（3.28）

延時環(huán)節(jié)也是線性環(huán)節(jié)，它符合疊加原理。根據(jù)式（3.28）,可得延時環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：

（3.29）延時環(huán)節(jié)的方框圖如圖3.30所示。圖3.30延時環(huán)節(jié)方框圖。內(nèi)并無輸出，在時刻起就已有了輸出。而延時環(huán)節(jié)在輸入開始之初的時間

延時環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)不同。慣性環(huán)節(jié)的輸出需要延遲一段時間才接近于所要求的輸出量，但它從輸入開始后，輸出就完全等于從一開始起的輸入，且不再有其他滯后過程；即輸出等于輸入，只是在時間上延遲了一段時間間隔。當輸入階躍信號時，延時環(huán)節(jié)的輸入輸出特性如圖3.31所示。0圖3.31延時環(huán)節(jié)的輸入輸出關系1（圖中為。若測厚儀與機架的距離為L，帶鋼的速度為v，則延遲想厚度）。但是，這一厚度偏差在到達B點時才被測厚儀所檢測到。測厚儀檢測到的帶鋼厚度偏差為例3－19

圖3.32所示為軋鋼時的帶鋼厚度檢測示意圖。帶鋼，h為要求的理，即為其輸出信號。故測厚儀輸出信號與厚度偏差這一輸入信號之間有如下關系：在A點軋出時，產(chǎn)生厚度偏差時間因而有圖3.32軋鋼時帶鋼厚度檢測示意圖控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)列寫的一般方法如下：（1）首先列寫出控制系統(tǒng)的輸入輸出微分方程。

（2）對所列寫出的控制系統(tǒng)輸入輸出微分方程的兩邊分別對輸入量和輸出量進行拉氏變換，并整理、化簡成傳遞函數(shù)的標準形式，即可得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。（1）傳遞函數(shù)框圖中的環(huán)節(jié)是根據(jù)運動微分方程來劃分的，一個環(huán)節(jié)并不一定代表一個具體的物理元件，一個具體的物理元件也不一定就是一個傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)；

在列寫系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時，還有幾點需要強調(diào)是：（2）不要把表示系統(tǒng)結(jié)構情況的物理框圖與分析系統(tǒng)的傳遞函數(shù)框圖混淆起來。

所示的物理框圖表示。為輸入，例如，對于圖3.6所示的兩級RC濾波網(wǎng)絡，其結(jié)構可用圖3.33為輸出時，它的正確的

（3.30）傳遞函數(shù)由式（3.3）可知為：但不考慮負載效應，R1與C1的子系統(tǒng)R2與C2的子系統(tǒng)圖3.33兩級RC網(wǎng)絡的物理框圖R2C2圖3.6兩級RC濾波網(wǎng)絡C1R1（3.31）

（3.32）直接將式（3.31）和式（3.32）代入到圖3.33中，由此作出的系統(tǒng)傳遞函數(shù)框圖如圖3.34所示，并由此得到的系統(tǒng)傳（3.33）顯然是錯誤的。只有組成整個系統(tǒng)的物理元件（物理環(huán)節(jié)或子系統(tǒng)）之間無負載效應時，上述代入才是正確的。物理框圖與傳遞函數(shù)框圖才是一致的。

圖3.34兩級RC網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)框圖（未考慮負載效應）遞函數(shù)為：

，取速度，則有如果輸入為位移作為輸入例如，微分環(huán)節(jié)的微分方程和傳遞函數(shù)分別為：顯然，該環(huán)節(jié)就成為一個比例環(huán)節(jié)。（3）同一個物理元件（物理環(huán)節(jié)或子系統(tǒng)）在不同系統(tǒng)中的作用不同時，其傳遞函數(shù)也可能不同，因為傳遞函數(shù)同所選擇的輸入、輸出物理量的類型有關，并不是不可改變的。3.3系統(tǒng)方塊框圖及其簡化一個系統(tǒng)可由若干個環(huán)節(jié)按一定的關系所組成，將這些環(huán)節(jié)用方框來表示，其間用相應的變量及其信號流向聯(lián)系起來，這就構成了系統(tǒng)的方框圖。根據(jù)系統(tǒng)方框圖，通過一定的運算變換可求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

3.3.1系統(tǒng)傳遞函數(shù)的方框圖表示（1）函數(shù)方框

1.方框圖的結(jié)構要素函數(shù)方框是傳遞函數(shù)的圖解表示。

圖3.35系統(tǒng)傳遞函數(shù)框圖指向方框的箭頭表示輸入信號的拉氏變換；離開方框的箭頭表示輸出信號的拉氏變換；方框中表示的是該環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。所以，方框輸出的拉氏變換等于方框中的傳遞函數(shù)乘以其輸入的拉氏變換，即輸出信號的量綱等于輸入信號的量綱與傳遞函數(shù)量綱的乘積。相加點是信號之間代數(shù)求和運算的圖解表示。在相加點處，輸出信號等于各輸入信號的代數(shù)和，每一個指向相加點的箭頭前方（2）相加點圖3.36相加點示意圖的＋號或－號表示該輸入信號在代數(shù)運算中的符號。在相加點處加減的信號必須是同種變量，運算時的量綱也要相同。相加點可以有多個輸入，但輸出是唯一的。分支點表示同一信號向不同方向的傳遞。在分支點引出的信號不僅量綱相同，而且量值也相同。（3）分支點圖3.37分支點示意圖（1）根據(jù)系統(tǒng)的工作原理和特性將系統(tǒng)劃分為若干個環(huán)節(jié)；（2）建立各個環(huán)節(jié)的原始微分方程；（3）對所建立的各個環(huán)節(jié)原始微分方程進行拉氏變換，分別建立其傳遞函數(shù)和繪制環(huán)節(jié)的方框圖；（4）按照信號在系統(tǒng)中傳遞、變換的關系，依次將各傳遞函2.系統(tǒng)方框圖的建立建立系統(tǒng)方框圖的一般步驟為：數(shù)方框圖連接起來（同一變量的信號通路連接在一起），系統(tǒng)輸入量置于左端，輸出量置于右端，便可得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖。方框圖中的方框與實際系統(tǒng)的物理元部件并非一一對應。

強調(diào)指出：

R2C2圖3.38兩級RC濾波網(wǎng)絡C1R1例3－20

圖3.38所示的兩級RC濾波網(wǎng)絡的方框圖。（1）將整個系統(tǒng)作為一個環(huán)節(jié)解

根據(jù)基爾霍夫定律可列寫出系統(tǒng)的微分方程：（3.34）

在零初始條件下對上式取拉氏變換消去中間變量

（3.35）其中，分母的項就是由于兩級RC電路之間的負載效應而產(chǎn)生的。圖3.39兩級RC網(wǎng)絡的方框圖（2）將整個系統(tǒng)劃分為若干個無負載效應的環(huán)節(jié)由式（3.34）可將該系統(tǒng)劃分為若干個無負載效應的環(huán)節(jié)取拉氏變換并令初始條件等于零，則可得各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

或

環(huán)節(jié)Ⅰ：

環(huán)節(jié)Ⅱ：

環(huán)節(jié)Ⅲ：

環(huán)節(jié)Ⅳ：

環(huán)節(jié)Ⅴ：

圖3.40兩級RC電路的另一種形式的方框圖(a)(b)(d)(c)(e)(f)繪制各環(huán)節(jié)的方框圖，分別如圖3.40(a)-(e)所示。將各環(huán)節(jié)的方框圖按照信號的傳遞關系聯(lián)接起來，即可得到系統(tǒng)的方框圖如圖3.40(f)所示，

結(jié)論：

（1）系統(tǒng)的方框圖不是唯一的。

（2）各環(huán)節(jié)的方框圖間應無負載效應。

3.3.2傳遞函數(shù)方框圖的化簡等效變換原則是：變換前后前向通道中的傳遞函數(shù)的乘積應保持不變，回路中傳遞函數(shù)的乘積應保持不變。即變換前后整個系統(tǒng)的輸入輸出傳遞函數(shù)保持不變。前一環(huán)節(jié)的輸出為后一環(huán)節(jié)的輸入的聯(lián)接方式稱為環(huán)節(jié)的串聯(lián)。當各環(huán)節(jié)之間不存在（或可忽略）負載效應時，則串聯(lián)聯(lián)接后的傳遞函數(shù)為：1.串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效變換規(guī)則（3.36）

故環(huán)節(jié)串聯(lián)時等效傳遞函數(shù)等于各串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之積。圖3.41串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換2.并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效變換規(guī)則各環(huán)節(jié)的輸入相同，輸出為各環(huán)節(jié)輸出的代數(shù)和，這種聯(lián)接方式稱為環(huán)節(jié)的并聯(lián)，如圖3.42所示。則并聯(lián)聯(lián)接后的傳遞函數(shù)為：圖3.42并聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換

（3.37）故環(huán)節(jié)并聯(lián)時等效傳遞函數(shù)等于各并聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之和。3.反饋聯(lián)接及其等效變換規(guī)則圖3.43反饋環(huán)節(jié)等效變換圖3.43中，G(s)稱為前向通道傳遞函數(shù)，它是輸出Xo(s)與偏差E(s)之比，即

（3.38）H(s)稱為反饋回路傳遞函數(shù)，即

（3.39）前向通道傳遞函數(shù)G(s)與反饋回路傳遞函數(shù)H(s)之積定義為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)，它也是反饋信號B(s)與偏差E(s)之比，即（3.40）開環(huán)傳遞函數(shù)可以理解為：

封閉回路在相加點斷開以后，以E(s)作為輸入，經(jīng)G(s)、H(s)而產(chǎn)生輸出B(s)，此時，輸出與輸入的比值B(s)/E(s)，可以認為是一個無反饋的開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。由于B(s)與E(s)在相加點的量綱相同，因此，開環(huán)傳遞函數(shù)無量綱，而且H(s)的量綱是G(s)的量綱的倒數(shù)。

輸出信號Xo(s)與輸入信號Xi(s)之比，定義為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)GB(s)，即（3.41）由圖3.43可知

由此可得（3.42）故反饋聯(lián)接時，其等效傳遞函數(shù)等于前向通道傳遞函數(shù)除以1加（或減）前向通道傳遞函數(shù)與反饋回路傳遞函數(shù)的乘積。注意：若相加點的B(s)處為負號，則此時，式（3.42）變?yōu)?/p>

若相加點的B(s)處為正號，則此時，式（3.42）變?yōu)?/p>

但是，閉環(huán)系統(tǒng)的反饋是正反饋還是負反饋，與反饋信號在相加點取正號還是負號是兩回事。

閉環(huán)傳遞函數(shù)的量綱決定于Xo(s)與Xi(s)的量綱，兩者可以相同也可以不相同。

若反饋回路傳遞函數(shù)H(s)＝1，稱為單位反饋。此時的系統(tǒng)稱為單位反饋系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)：（3.43）

4.分支點移動規(guī)則若分支點由方框之后移到該方框之前，為了保持移動后分支信號X3(s)不變，應在分支路上串入具有相同傳遞函數(shù)的方框，如圖3.44(a)所示。若分支點由方框之前移到該方框之后，為了保持移動后分支信號X3(s)不變，應在分支路上串入具有相同傳遞函數(shù)的倒數(shù)的方框，如圖3.44(b)所示。5.相加點移動規(guī)則若相加點由方框之前移到該方框之后，為了保持總的輸出信號X3(s)不變，應在移動的支路上串入具有相同傳遞函數(shù)的方框，如圖3.45(a)所示。若相加點由方框之后移到該方框之前，應在移動的支路上串入具有相同傳遞函數(shù)的倒數(shù)的方框，如圖3.45(b)所示。分支點、相加點間的相互移動，均不改變原有的傳遞函數(shù)關系，因此，可以相互移動，如圖3.46(a)、(b)所示，但分支點相加點之間不能相互移動，因為這種移動不是等效移動。

6.分支點之間、相加點之間相互移動規(guī)則序號原方框圖等效方框圖12345表3.1常用傳遞函數(shù)方框圖的等效簡化規(guī)則序號原方框圖等效方框圖6789或例3－21

運用方框圖簡化規(guī)則化簡圖3.47(a)所示的方框圖，并求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。解

（4）最后消去單位反饋回路，得到單一向前傳遞函數(shù)，即系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。（1）相加點前移;

（2）將小回路化為單一向前傳遞函數(shù);

（3）再消去第二個閉環(huán)回路，使之成為單位反饋的單環(huán)回路;圖3.47傳遞函數(shù)框圖簡化說明：方框圖的簡化途經(jīng)并不是唯一的。

傳遞函數(shù)簡化的一般步驟：（1）確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量。

（2）若方框圖中有無交叉的多個回路，則按照先里后外的原則，逐個化簡，直到簡化成一個方框的形式為止。

則可以直接用下列公式求得：（3.44）

若方框圖中有交叉的聯(lián)接：方法一：若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖同時滿足以下兩個條件條件1，整個系統(tǒng)方框圖中只有一條前向通道；條件2，各局部反饋回路間存在公共的傳遞函數(shù)方框。方法二：若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖不同時滿足以上兩個條件，通過相加點、分支點的前后移動等規(guī)則，將系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖化為同時滿足以上兩個條件的形式，然后應用公式

（3.44）即可。

方法三：對于更為復雜的系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖，可利用梅森增益公式進行簡化。

例3－22簡化圖3.48所示的方框圖，并求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。

(a)圖3.48傳遞函數(shù)方框圖的簡化系統(tǒng)有兩個獨立的局部反饋回路，其間沒有公共的方框。若直接用式（3.44），則會錯誤地得出傳遞函數(shù)：

應先將兩局部反饋回路分別簡化成兩個方框圖，然后，將這兩個方框串聯(lián)：，才是正確的傳遞函數(shù)。(b)

圖3.48傳遞函數(shù)方框圖的簡化系統(tǒng)的兩個反饋