數(shù)字圖像處理-4第四章圖像變換

幾何變換正交變換第四章圖像變換

圖像的幾何變換（GeometricTransformation）是指圖像處理中對(duì)圖像平移、旋轉(zhuǎn)、放大和縮小，這些簡(jiǎn)單變換以及變換中灰度內(nèi)插處理等。幾何變換可能改變圖像中各物體之間的空間位置關(guān)系。幾何變換不改變像素值，而可能改變像素所在的位置。1.幾何變換概念

空間變換灰度插值

空間變換（1）齊次坐標(biāo)幾何變換一般形式

根據(jù)幾何學(xué)知識(shí)，上述變換可以實(shí)現(xiàn)圖像各像素點(diǎn)以坐標(biāo)原點(diǎn)的比例縮放、反射、錯(cuò)切和旋轉(zhuǎn)等各種變換，但是上述2×2變換矩陣T不能實(shí)現(xiàn)圖像的平移以及繞任意點(diǎn)的比例縮放、反射、錯(cuò)切和旋轉(zhuǎn)等變換。

為了能夠用統(tǒng)一的矩陣線性變換形式，表示和實(shí)現(xiàn)這些常見的圖像幾何變換，就需要引入一種新的坐標(biāo)，即齊次坐標(biāo)。采用齊次坐標(biāo)可以實(shí)現(xiàn)上述各種幾何變換的統(tǒng)一表示。如圖所示，則新位置A1(x1，y1)的坐標(biāo)為：表示為如下形式即不能表示為如下形式：

由于矩陣T中沒有引入平移常量，無論a、b、c、d取什么值，都不能實(shí)現(xiàn)式平移功能。

不能實(shí)現(xiàn)平移變換功能，怎么辦?需要進(jìn)行改進(jìn)。

將T矩陣擴(kuò)展為如下2×3變換矩陣，其形式為：

根據(jù)矩陣相乘的規(guī)律，在坐標(biāo)列矩陣[xy]T中引入第三個(gè)元素，擴(kuò)展為3×1的列矩陣[xy1]T,就可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)的平移變換。變換形式如下：上述變換雖然可以實(shí)現(xiàn)圖像各像素點(diǎn)的平移變換，但為變換運(yùn)算時(shí)更方便，一般將2×3階變換矩陣T進(jìn)一步擴(kuò)充為3×3方陣，即采用如下變換矩陣：這樣一來,平移變換可以用如下形式表示：

空間變換（2）圖像的平移

注意：平移后的景物與原圖像相同，但“畫布”一定是擴(kuò)大了。否則就會(huì)丟失信息。用Matlab實(shí)現(xiàn)圖像的平移變換。解

Matlab程序如下：closeall;clearall;clc;I=imread(‘lena.bmp’);%讀取圖像a=50;b=50;%設(shè)置平移坐標(biāo)J1=move(I,a,b);%移動(dòng)原圖像a=-50;b=50;%設(shè)置平移坐標(biāo)J2=move(I,a,b);%移動(dòng)原圖像思考題：如何用FFT實(shí)現(xiàn)亞像素級(jí)圖像平移？（3）圖像的縮放

圖像的縮放[X,map]=imread(‘trees.tif’);%讀取圖像J1=imresize(X,0.25,’bilinear’);%設(shè)置縮放比例，實(shí)現(xiàn)縮放圖像并顯示J2=imresize(X,3.5,’bicubic’);1.圖像按比例縮?。鹤詈?jiǎn)單的是減小一半，這樣只需取原圖的偶（奇）數(shù)行和偶（奇）數(shù)列構(gòu)成新的圖像。

2.圖像不按比例縮?。哼@種操作因?yàn)樵趚方向和y方向的縮小比例不同，一定會(huì)帶來圖像的幾何畸變。圖像的減半縮小效果返回圖像的按比例縮小效果

返回圖像的不按比例任意縮小返回圖像的成倍放大效果返回圖像的不按比例放大返回（3）圖像的鏡像

水平鏡像垂直鏡像

空間變換0,0xy0,0xy水平鏡像的變換結(jié)果圖像的垂直鏡像（4）圖像的旋轉(zhuǎn)

空間變換I=imread(‘office_2.jpg’);%讀取圖像J1=imrotate(I,30);%設(shè)置旋轉(zhuǎn)角度，實(shí)現(xiàn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°J2=imrotate(I,-30);%設(shè)置旋轉(zhuǎn)角度，實(shí)現(xiàn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°0,0xy圖旋轉(zhuǎn)前的圖像

圖旋轉(zhuǎn)15°并進(jìn)行插值處理的圖像

如圖所示，圖像經(jīng)過了兩次45o和135o旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)360o之后，圖像(b)的字跡發(fā)生了較明顯的變化，特別是字體的邊緣更為明顯?；叶炔逯?/p>

圖像的比例縮放、旋轉(zhuǎn)變換時(shí)等，變換過程需要兩個(gè)獨(dú)立的算法:

一個(gè)算法完成幾何變換；一個(gè)算法用于灰度級(jí)插值.

灰度插值最鄰近插值法雙線性插值（一階插值）高階插值數(shù)字圖像處理只能對(duì)坐標(biāo)網(wǎng)格點(diǎn)（離散點(diǎn)）的值進(jìn)行變換。而坐標(biāo)變換后產(chǎn)生的新坐標(biāo)值同網(wǎng)格點(diǎn)值往往不重合，因此需要通過內(nèi)插的方法將非網(wǎng)格點(diǎn)的灰度值變換成網(wǎng)格點(diǎn)的灰度值，這種算法稱為灰度內(nèi)插。

最鄰近插值法

計(jì)算與點(diǎn)P(x0，y0)臨近的四個(gè)點(diǎn);將與點(diǎn)P(x0，y0)最近的整數(shù)坐標(biāo)點(diǎn)(x，y)的灰度值取為P(x0，y0)點(diǎn)灰度近似值。雙線性插值根據(jù)點(diǎn)P(x0，y0)的四個(gè)相鄰點(diǎn)的灰度值，通過兩次插值計(jì)算出灰度值f(x0，y0)雙線性插值公式最鄰近插值法雙線性插值的特點(diǎn)

計(jì)算量大，但縮放后圖像質(zhì)量高，不會(huì)出現(xiàn)圖像不連續(xù)的情況。具有低通濾波器的性質(zhì)，使高頻分量減弱，所以使圖像的輪廓在一定程度上受損。卷積插值I=imread('cameraman.tif');J=imresize(I,0.25);%縮小圖像Z1=interp2(double(J),2,'nearest');%最鄰近插值法Z2=interp2(double(J),2,'linear');%雙線性內(nèi)插法Z3=interp2(double(J),2,'cubic');%立方卷積插值法

一.圖像正交變換

圖像變換的定義是將圖像從空域變換到其它域（如頻域）的數(shù)學(xué)變換圖像變換的作用我們?nèi)祟愐曈X所感受到的是在空間域和時(shí)間域的信號(hào)。但是，往往許多問題在頻域中討論時(shí)，有其非常方便分析的一面。

1.方便處理

2.便于抽取特性常用的變換傅立葉變換FourierTransform2.離散余弦變換DiscreteCosineTransform3.沃爾什－哈達(dá)瑪變換Walsh-HadamardTransform二.傅立葉變換

傅立葉變換的作用（1）可以得出信號(hào)在各個(gè)頻率點(diǎn)上的強(qiáng)度。（2）可以將卷積運(yùn)算化為乘積運(yùn)算。（3）傅氏變換和線性系統(tǒng)理論是進(jìn)行圖像恢復(fù)和重構(gòu)的重要手段。（4）傅立葉變換能使我們從空間域與頻率域兩個(gè)不同的角度來看待圖像的問題，有時(shí)在空間域無法解決的問題在頻域卻是顯而易見的。

傅立葉變換的定義

傅立葉變換若f(x)為一維連續(xù)實(shí)函數(shù)，則它的傅里葉變換可定義為：傅立葉逆變換定義如下：傅里葉變換的條件

傅里葉變換在數(shù)學(xué)上的定義是嚴(yán)密的，它需要滿足如下狄利克萊條件：(1)具有有限個(gè)間斷點(diǎn)；

(2)具有有限個(gè)極值點(diǎn)；

(3)絕對(duì)可積;

根據(jù)一維離散傅立葉變換的定義和二維連續(xù)傅立葉變換理論，對(duì)于一個(gè)具有M×N個(gè)樣本值的二位離散序列f(x，y)，（x=0,1,2,3,…,M-1；y=0,1,2,3,…,N-1）其傅立葉變換為：

(1)二維離散傅立葉正變換(2)二維離散傅立葉逆變換若已知頻率二維序列F(u，v)（u=0,1,2,3,…,M-1；v=0,1,2,3,…,N-1），則二維離散序列F(u，v)的傅立葉逆變換定義為：

二維傅立葉變換的可分離特性表明，一個(gè)二維傅立葉變換可通過二次一維傅立葉變換來完成，即：第一次先對(duì)y進(jìn)行一維傅立葉變換

在此基礎(chǔ)上對(duì)x進(jìn)行一維傅立葉變換變量分離步驟如圖所示

F(u)可以表示為如下形式：|F(u)|稱為F(u)的模，也稱為函數(shù)f(x)的傅立葉譜，稱為F(u)的相角。稱為函數(shù)f(x)的能量譜或功率譜。I=imread(‘lena.bmp’);%讀取圖像imshow(I);%顯示圖像F1=fft2(I);%計(jì)算二維傅里葉變換figure,imshow(log(abs(F1)+1),[]);%顯示對(duì)數(shù)變換后的頻譜圖F2=fftshift(F1);%將直流分量移到頻譜圖的中心figure,imshow(log(abs(F2)+1),[]);%顯示對(duì)數(shù)變換后中心化的頻譜圖I=imread(‘lena.bmp’);%讀取圖像J=dct2(I);%計(jì)算圖像的2-DCT變換figure,subplot(121),imshow(I);%顯示原圖像subplot(122),mesh(J);colormap(jet),colorbar;線性系統(tǒng)與傅立葉變換傅立葉變換在圖像濾波中的應(yīng)用首先，我們來看Fourier變換后的圖像，中間部分為低頻部分，越靠外邊頻率越高。因此，我們可以在Fourier變換圖中，選擇所需要的高頻或是低頻濾波。傅立葉變換在圖像壓縮中的應(yīng)用

變換系數(shù)剛好表現(xiàn)的是各個(gè)頻率點(diǎn)上的幅值。在小波變換沒有提出時(shí)，用來進(jìn)行壓縮編碼?？紤]到高頻反映細(xì)節(jié)、低頻反映景物概貌的特性。往往認(rèn)為可將高頻系數(shù)置為0，騙過人眼。傅立葉變換在卷積中的應(yīng)用直接進(jìn)行時(shí)域中的卷積運(yùn)算是很復(fù)雜的。傅立葉變換將時(shí)域的卷積變換為頻域的乘積。1.問題的提出：傅立葉變換的一個(gè)最大的問題是：它的參數(shù)都是復(fù)數(shù)，在數(shù)據(jù)的描述上相當(dāng)于實(shí)數(shù)的兩倍。為此，我們希望有一種能夠達(dá)到相同功能但數(shù)據(jù)量又不大的變換。在此期望下，產(chǎn)生了DCT變換。4.2.2.離散余弦變換2.正變換：3.逆變換：其中：I=imread('cameraman.tif');%讀取圖像J=dct2(I);%計(jì)算圖像的2-DCT變換七.哈達(dá)瑪正變換

1.一維哈達(dá)瑪正變換

設(shè)f(x)表示N點(diǎn)的一維離散序列，則一維哈達(dá)瑪變換如下：u=0,1,2,3,…,N-1其中，g(x，u)是一維哈達(dá)瑪變換的核，定義如下：式中，

u=0，1，2，…，N-1；x=0，1，2，…，N-1,N是哈達(dá)瑪變換的階數(shù)，bi(z)是z的二進(jìn)制數(shù)的第i位數(shù)值，取值為0或1。

2.一維哈達(dá)瑪逆變換

h(x，u)是一維哈達(dá)瑪逆變換的核逆變換核與正變換核相等，即哈達(dá)瑪變換的階數(shù)具有規(guī)律性，即按照

規(guī)律遞升，高階哈達(dá)瑪矩陣可以通過低階哈達(dá)瑪矩陣的克羅尼科積運(yùn)算求得，也就是說，哈達(dá)瑪矩陣具有如下關(guān)系：

(1)(2)(3)(4)

采用上述規(guī)律求哈達(dá)瑪變換矩陣要比直接用哈達(dá)瑪變換核求矩陣快得多，此結(jié)論提供了一種快速哈達(dá)瑪變換，也可以稱為FHT。

例如，根據(jù)哈達(dá)瑪矩陣的運(yùn)算規(guī)律，可以得出8階哈達(dá)瑪矩陣如下：I=imread('peppers.png');%讀取RGB圖像I=rgb2gray(I);%轉(zhuǎn)換為灰度圖像I=im2double(I);h1=size(I,1);%圖形的行h2=size(I,2);%圖形的列H1=hadamard(h1);%Hadamard矩陣H2=hadamard(h2);%HadamardJ=H1*I*H2/sqrt(h1*h2);%Hadamard變換8*8圖像的空間域基8*8圖像的Haar小波基8*8圖像的哈達(dá)瑪基8*8圖像的離散余弦基DCT圖像的DCT8*8圖像的空間域基8*8圖像的離散余弦基可參數(shù)化不能參數(shù)化§K-L變換以矢量信號(hào)X的協(xié)方差矩陣Ф的歸一化正交特征矢量q所構(gòu)成的正交矩陣Q，來對(duì)該矢量信號(hào)X做正交變換Y=QX，則稱此變換為K-L變換（K-LT或KLT），K-LT是Karhuner-Loeve變換的簡(jiǎn)稱，有的文獻(xiàn)資料也寫作KLT。要實(shí)現(xiàn)KLT，首先要從信號(hào)求出其協(xié)方差矩陣Ф，再由Ф求出正交矩陣Q。Ф的求法與自相關(guān)矩陣求法類似§協(xié)方差矩陣自相關(guān)矩陣協(xié)方差

反映的是兩個(gè)序列的相關(guān)程度相關(guān)系數(shù)如果XY均為歸一化的序列（均值為0，方差為1），則§協(xié)方差矩陣自相關(guān)矩陣協(xié)方差相關(guān)系數(shù)相關(guān)矩陣？§K-L變換協(xié)方差令X是輸入樣本（如果是圖像，轉(zhuǎn)化成向量形式），Y是線性變換結(jié)果我們希望生成的特征之間是不相關(guān)的（沒有信息冗余）即是對(duì)角矩陣？§K-L變換我們假設(shè)了E(X)=0，則E(Y)=0這里是對(duì)稱矩陣，因此它的特征向量是正交的。如果選擇矩陣的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量q

組成變換矩陣Q，則變換特征對(duì)應(yīng)的相關(guān)矩陣是對(duì)角矩陣對(duì)角線上的元素是RX的特征值在非零均值情況下，用協(xié)方差矩陣代替相關(guān)矩陣，對(duì)應(yīng)§K-L變換的特性去相關(guān)特性：變換后的