第十二章 三角形 綜合檢測

第十二章三角形綜合檢測(滿分100分，限時60分鐘)一、選擇題(每小題3分，共30分)1.下面和體育有關(guān)的圖案是軸對稱圖形的是() A B C D2.一個三角形的一個內(nèi)角等于另外兩個內(nèi)角的和，這個三角形是()A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.無法確定3.(2022青海西寧中考)若長度是4，6，a的三條線段能組成一個三角形，則a的值可以是()A.2 B.5 C.10 D.114.(2021內(nèi)蒙古赤峰中考)如圖，AB∥CD，點E在線段BC上，CD=CE.若∠ABC=30°，則∠D的度數(shù)為()A.85° B.75° C.65° D.30° 第4題圖 第5題圖5.如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B.下列結(jié)論中不一定成立的是()A.PA=PB B.PO平分∠APB C.OA=OB D.AB垂直平分OP6.(2023北京門頭溝期末)如圖，在正方形網(wǎng)格內(nèi)，A、B、C、D四點都在小方格的格點上，則∠BAC+∠DAC=()A.30° B.45° C.60° D.90°7.(2023北京一七一中月考)如圖，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A=30°，∠CGF=88°，則∠E的度數(shù)是()A.30° B.50° C.44° D.34°8.(2022山東淄博張店期末)如圖，BD是△ABC的中線，點E，F(xiàn)分別為BD，CE的中點，若△ABC的面積為8，則△AEF的面積是()A.2 B.3 C.4 D.69.(2023北京八中期中)如圖，在△ABC中，點D是邊BC的中點，CE=14AC，△ABC的面積是4，A.S1=S2 B.S1=2 C.S2=0.5 D.S1-S2=110.如圖，點P是∠AOB外的一點，點M，N分別是∠AOB兩邊OA，OB上的點，點P關(guān)于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關(guān)于OB的對稱點R恰好落在MN的延長線上.若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，則線段QR的長為()A.4.5cm B.5.5cm C.6.5cm D.7cm二、填空題(每小題3分，共24分)11.(2023北京日壇中學期中)如圖所示的是李老師去某地旅游拍攝的“山谷中的鐵架橋”，鐵架橋框架做成了三角形的形狀，該設(shè)計是利用三角形的.

12.(2022北京晉元中學月考)下列四個命題，其中是真命題的是.(填序號)

①兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等；②同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；③無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)；④負數(shù)沒有立方根.13.(2023北京朝陽期末)如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，AB=BD=CD，則∠C=°.

14.(2022北京延慶期末)等腰三角形一邊長為5，另一邊長為8，則其周長為.

15.在△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=60°，則BC邊上的高AD=cm.

16.(2022湖南株洲中考)如圖所示，點O在一塊直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°)，OM⊥AB于點M，ON⊥BC于點N，若OM=ON，則∠ABO=度.

17.一個圓柱形無蓋桶的底面半徑為5cm，高為24cm，將一根長為30cm的筷子放入此桶中，最多露出

cm，最少露出cm.

18.(2023北京大興期中)如圖，△ABC與△ADE都是等邊三角形，BD和CE相交于點P，連接AP.下面結(jié)論:①BD=CE；②∠EPD=60°；③PA不是∠BPE的平分線；④PE=PA+PD.其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題(共46分)19.(2022廣西貴港中考)(6分)尺規(guī)作圖(保留作圖痕跡，不要求寫出作法):如圖，已知線段m，n.求作△ABC，使∠A=90°，AB=m，BC=n.20.(2022廣西柳州中考)(6分)如圖，點A，D，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB=DE，BC=EF.有下列三個條件:①AC=DF，②∠ABC=∠DEF，③∠ACB=∠DFE.(1)請在上述三個條件中選取一個條件，使得△ABC≌△DEF.你選取的條件為(填寫序號)(只需選一個條件，多選不得分)，你判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是

(填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”)；

(2)利用(1)的結(jié)論△ABC≌△DEF.求證:AB∥DE.21.(6分)如圖所示，已知△ABC的角平分線BM、CN相交于點P，連接AP.(1)判斷AP是否平分∠BAC，請說明理由；(2)由此題可得到的結(jié)論是.

22.(2021廣東潮州饒平期末)(8分)如圖，在△ABC中，AB=AC，DE是過點A的直線，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E.(1)如圖1，若B、C在DE的同側(cè)，且AD=CE.求證:AB⊥AC；(2)如圖2，若B、C在DE的兩側(cè)，且AD=CE，AB與AC仍垂直嗎?若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由. 圖1 圖223.(2022北京五十七中期末)(10分)在△ABC和△DCE中，CA=CB，CD=CE，∠CAB=∠CED=α.(1)如圖1，將AD、EB延長，延長線相交于點O.①求證:BE=AD；②用含α的式子表示∠AOB的度數(shù)(直接寫出結(jié)果)；(2)如圖2，當α=45°時，連接BD、AE，作CM⊥AE于M點，延長MC與BD交于點N，求證:N是BD的中點.24.(2023北京三十五中期中)(10分)問題提出:(1)我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角形，如圖1，△ABC中，AC=7，BC=9，AB=10，P為AC上一點，當AP=時，△ABP與△CBP是偏等積三角形；

問題探究:(2)如圖2，△ABD與△ACD是偏等積三角形，AB=2，AC=6，且線段AD的長度為正整數(shù)，過點C作CE∥AB交AD的延長線于點E，求AD的長度；問題解決:(3)如圖3，四邊形ABED是一片綠色花園，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°(0°<∠BCE<90°).△ACD與△BCE是偏等積三角形嗎?請說明理由.

第十二章三角形綜合檢測答案全解全析1.B根據(jù)軸對稱圖形的概念可知，選項B中的圖案是軸對稱圖形.故選B.2.A設(shè)這個三角形的最大的內(nèi)角的度數(shù)為x°，由題可知，另外兩個內(nèi)角的和為x°，∴x+x=180，∴x=90，∴這個三角形的最大的內(nèi)角的度數(shù)為90°，故這個三角形是直角三角形.故選A.3.B∵長度是4，6，a的三條線段能組成一個三角形，∴6-4<a<6+4，∴2<a<10，∴只有選項B符合題意.故選B.4.B∵AB∥CD，∴∠C=∠ABC=30°，∵CD=CE，∴∠D=∠CED，∵∠C+∠D+∠CED=180°，∴30°+2∠D=180°，∴∠D=75°.故選B.5.D∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，∴PB=PA，故A中的結(jié)論正確；易證得△AOP≌△BOP，∴OA=OB，∠APO=∠BPO，∴PO平分∠APB，故B、C中的結(jié)論正確；根據(jù)題中條件無法推出AB垂直平分OP，故D中的結(jié)論不一定成立.故選D.6.B設(shè)每個小正方形的邊長為1，如圖，作點B關(guān)于AC的對稱點B'，連接B'A，B'D，則∠BAC=∠B'AC.∵AB'2=12+32=10，B'D2=12+32=10，AD2=42+22=20，∴AB'=B'D，AB'2+B'D2=AD2，∴△AB'D是等腰直角三角形，∴∠B'AD=45°，∴∠BAC+∠DAC=∠B'AC+∠DAC=∠B'AD=45°.故選B.7.D∵CD平分∠BCA，∴∠ACD=∠BCD=12∠BCA∵△ABC≌△DEF，∴∠D=∠A=30°，∵∠CGF=∠D+∠BCD，∴∠BCD=∠CGF-∠D=58°，∴∠BCA=116°，∴∠B=180°-30°-116°=34°，∵△ABC≌△DEF，∴∠E=∠B=34°.故選D.8.A∵E為BD的中點，∴S△ABE=S△ADE，S△CBE=S△CDE，∴S△ACE=S△ADE+S△CDE=12S△ABD+12S△BCD=12S△ABC=4，∵F為CE的中點，∴S△AEF=12S△9.D如圖，設(shè)AD與BE相交于點O，連接OC，過點A作AF⊥BE，垂足為F，過點C作CG⊥BE，交BE的延長線于點G，設(shè)△BOD的面積為x，∵點D是邊BC的中點，∴△BOD的面積=△COD的面積=x，△ABD的面積=△ACD的面積，∴△ABD的面積-△BOD的面積=△ADC的面積-△COD的面積，∴△AOB的面積=△AOC的面積，∵CE=14AC，∴CE=13∴△AOE的面積=3△COE的面積，∴AF=3CG，∴△AOB的面積=3△BOC的面積=3·2x=6x，∴△AOC的面積=△AOB的面積=6x，∴△AOE的面積=34△AOC的面積=92x，△COE的面積=14△AOC的面積=∴S1=△AOB的面積=6x，S2=△DOC的面積+△OEC的面積=52x，∴S1≠S2∵△ABC的面積是4，∴2△ABD的面積=4，∴2(△AOB的面積+△BOD的面積)=4，∴2(6x+x)=4，∴x=27∴S1=6x=127，S2=52x=57，∴S1-S2=12故選D.10.A∵點P關(guān)于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關(guān)于OB的對稱點R恰好落在MN的延長線上，∴PM=MQ，PN=RN.∵PM=2.5cm，PN=3cm，∴RN=3cm，MQ=2.5cm，∵MN=4cm，∴NQ=MN-MQ=4-2.5=1.5(cm)，∴QR=RN+NQ=3+1.5=4.5(cm).故選A.11.答案穩(wěn)定性12.答案②③解析①兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，故原命題是假命題，不符合題意；②同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，原命題是真命題，符合題意；③無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)，原命題是真命題，符合題意；④負數(shù)有立方根，原命題是假命題，不符合題意.真命題有②③.13.答案36解析設(shè)∠C=α，∵BD=CD，∴∠CBD=∠C=α，∴∠ADB=∠CBD+∠C=2α.∵AB=BD，∴∠A=∠ADB=2α.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=α，在△ABD中，∵∠ABD+∠A+∠ADB=180°，∴α+2α+2α=180°，∴α=36°，∴∠C=36°.14.答案18或21解析分兩種情況討論:①當5為底邊長時，腰長為8，此時三邊長為5，8，8，滿足三角形的三邊關(guān)系，則這個等腰三角形的周長=5+8+8=21；②當8為底邊長時，腰長為5，此時三邊長為8，5，5，滿足三角形的三邊關(guān)系，則這個等腰三角形的周長=5+5+8=18.綜上，這個等腰三角形的周長為18或21.15.答案33解析如圖，∵AB=AC=6cm，∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BC=AB=AC=6cm，∵AD⊥BC，∴BD=DC，∴BD=12在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∴AD=AB2-BD2=616.答案15解析解法一:∵OM⊥AB，ON⊥BC，∴∠OMB=∠ONB=90°，在Rt△OMB和Rt△ONB中，OB=OB,∴Rt△OMB≌Rt△ONB(HL)，∴∠OBM=∠OBN，∵∠ABC=30°，∴∠ABO=15°.解法二:∵OM⊥AB，ON⊥BC，OM=ON，∴BO平分∠ABC，∴∠OBM=∠OBN，∵∠ABC=30°，∴∠ABO=15°.17.答案6；4解析當筷子與桶底垂直時，露出的最多，最多露出30-24=6(cm).當筷子按如圖所示的方式放置時，露出的最少，此時露出30-1018.答案①②④解析如圖，設(shè)AD與CE交于點N，∵△ABC與△ADE都是等邊三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD=CE，故①正確；∵△BAD≌△CAE，∴∠AEC=∠ADB，∵∠ANE=∠DNP，∴∠EPD=∠DAE=60°，故②正確；如圖，過點A作AH⊥BD，AF⊥CE，垂足分別為H，F(xiàn)，∵△BAD≌△CAE，∴S△BAD=S△CAE，∴12BD·AH=12CE·∵BD=CE，∴AH=AF，∵AH⊥BD，AF⊥CE，∴PA是∠BPE的平分線，故③錯誤；如圖，在線段PE上截取OE=PD，連接AO，∵△BAD≌△CAE，∴∠BDA=∠CEA，∵OE=PD，AE=AD，∴△AOE≌△APD(SAS)，∴AP=AO，∠PAD=∠OAE，∴∠PAO=∠DAE=60°，∴△APO是等邊三角形，∴AP=PO，∵PE=PO+OE，∴PE=AP+PD，故④正確.19.解析如圖，△ABC為所作.20.解析(1)答案不唯一.在△ABC和△DEF中，AC=DF,∴△ABC≌△DEF(SSS).選取的條件為①，判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是SSS.(2)證明:∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠EDF，∴AB∥DE.21.解析(1)AP平分∠BAC.理由如下:如圖，過點P作PQ⊥BC、PK⊥AB、PL⊥AC，∵△ABC的角平分線BM、CN相交于點P，∴PK=PQ，PL=PQ，∴PK=PL，∴AP平分∠BAC.(2)三角形的三條角平分線相交于一點.22.解析(1)證明:∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB=∠AEC=90°，在Rt△ABD和Rt△CAE中，∵AB=AC,AD=CE,∴Rt△ABD≌Rt△∴∠DBA=∠EAC.∵∠DAB+∠DBA=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°.∴∠BAC=180°-(∠BAD+∠CAE)=90°.∴AB⊥AC.(2)AB⊥AC.證明如下:易證Rt△ABD≌Rt△CAE.∴∠DAB=∠ECA，∵∠CAE+∠ECA=90°，∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，∴AB⊥AC.23.解析(1)①證明:∵CA=CB，CD=CE，∠CAB=∠CED=α，∴∠ACB=180°-2α，∠DCE=180°-2α，∴∠ACB=∠DCE，∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC,∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴BE=AD.②∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE=α+∠BAO，∵∠ABE=∠AOB+∠BAO，∴∠CBE+α=∠AOB+∠BAO，∴∠BAO+α+α=∠AOB+∠BAO，∴∠AOB=2α.(2)證明:如圖，作BP⊥MN交MN的延長線于P，作DQ⊥MN于Q，易知∠ACB=∠DCE=90°，∵∠BCP+∠BCA=∠CAM+∠AMC，∠BCA=∠AMC，∴∠BCP=∠CAM，在△CBP與△ACM中，∠BPC=∠CMA,∴△CBP≌△ACM(AAS)，∴MC=BP，同理可得，CM=D