專題18平行線常見(jiàn)幾何模型（綜合練）-2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（浙教版）

專題1.8平行線常見(jiàn)幾何模型（綜合練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023下·河南平頂山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，把一個(gè)直角三角板如圖放置，使它的直角頂點(diǎn)落在直線和之間，已知，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．2．（2023下·遼寧鐵嶺·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線，用含的式子表示，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．3．（2023上·廣東廣州·八年級(jí)校考期中）如圖，已知，，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．4．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，,一副三角板按如圖所示的位置放置．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．（2023上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，直線，和的數(shù)量關(guān)系是（

）

A． B． C． D．6．（2024上·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小穎繪制一個(gè)潛望鏡原理示意圖，兩個(gè)平面鏡的鏡面與平行，入射光線與出射光線平行．若入射光線與鏡面的夾角，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．7．（2023下·浙江溫州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知，點(diǎn)，分別在，上，點(diǎn)，在兩條平行線，之間，與的平分線交于點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．8．（2022下·浙江寧波·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，，設(shè)，，則與之間的數(shù)量關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．與沒(méi)有數(shù)量關(guān)系9．（2022下·河北唐山·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，于點(diǎn)，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．10．（2023上·四川宜賓·七年級(jí)四川省宜賓市第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，已知：，，平分，，有下列結(jié)論：①；②；③；④.結(jié)論正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2024上·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，若，，則．12．（2020上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）潛望鏡中的兩面鏡子是互相平行放置的，如圖所示的光線經(jīng)過(guò)鏡子反射時(shí)，∠1=∠2，∠3=∠4，則可判斷進(jìn)入潛望鏡和離開(kāi)潛望鏡的光線是平行的，依據(jù)是：．13．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？计谥校┤鐖D，，，，則．14．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，若，，則．15．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線，，，則.16．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，，，表示圖中三個(gè)角的角度，則，，三者之間的數(shù)量關(guān)系是．17．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)?？计谥校┮阎喝鐖D，，的平分線與的平分線交于點(diǎn)M，，，，則．18．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知，點(diǎn)是上方一點(diǎn)，點(diǎn)分別在直線、上，連結(jié)、，平分，交的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，且，則度數(shù)為．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023下·河南駐馬店·七年級(jí)統(tǒng)考期中）【問(wèn)題背景】同學(xué)們，我們一起觀察小豬的豬蹄，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)我們熟悉的幾何圖形，我們就把這個(gè)圖形形象的稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊(yùn)含著角的數(shù)量關(guān)系．

（1）如圖①，，E為之間一點(diǎn)，連接，得到．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）請(qǐng)你利用上述“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的問(wèn)題：【類比探究】如圖②，，線段與線段相交于點(diǎn)E，，，平分交直線于點(diǎn)F，則°．20．（8分）（2022下·山東濟(jì)南·六年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）問(wèn)題呈現(xiàn)如圖1，，，，求的度數(shù)；（2）問(wèn)題遷移如圖2，，點(diǎn)在的下方，請(qǐng)?zhí)骄?，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）聯(lián)想拓展如圖3，在（2）的條件下，已知，的平分線和的平分線交于點(diǎn)，請(qǐng)你用含有的式子表示的度數(shù)，并說(shuō)明理由．21．（10分）（2019下·山西太原·七年級(jí)統(tǒng)考期中）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】在綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“一個(gè)含的直角三角尺和兩條平行線”為背景開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．如圖1，已知兩直線a，b且和，，，．

（1）在圖1中，，求的度數(shù)；【深入探究】（2）如圖2，創(chuàng)新小組的同學(xué)把直線a向上平移，并把的位置改變，發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)說(shuō)明理由；【拓展應(yīng)用】（3）縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，將圖2中的圖形繼續(xù)變化得到圖3，平分，此時(shí)發(fā)現(xiàn)與又存在新的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．22．（10分）（2023上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)．（1）【基礎(chǔ)問(wèn)題】如圖1，試說(shuō)明：．（完成下面的填空部分）證明：過(guò)點(diǎn)作直線，∵，∴_______①_______．∵，∴_______②_______．∵，∴_______③_______（_______④_______）．∴．（2）【類比探究】如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)寫出、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）【應(yīng)用拓展】如圖3，點(diǎn)與點(diǎn)重合，平分，且，，那么的度數(shù)為_(kāi)_______．23．（10分）（2023下·云南玉溪·七年級(jí)統(tǒng)考期末）世界上最早記載潛望鏡原理的古書，是公元前2世紀(jì)我國(guó)西漢初期的《淮南萬(wàn)畢術(shù)》，書中記載的現(xiàn)象：“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見(jiàn)四鄰矣．”即潛望鏡的雛形．如圖，是一個(gè)潛望鏡模型示意圖，光線經(jīng)過(guò)互相平行的鏡子和鏡子反射后，形成光線，人眼在點(diǎn)即可看到點(diǎn)的光線．已知，求證．請(qǐng)完成下面的證明，在括號(hào)內(nèi)的橫線上補(bǔ)充正確的結(jié)論或推理的依據(jù)．

證明：（已知），（）（已知），（）（等式的性質(zhì)）．，（平角的定義），，（）．24．（12分）（2018下·江蘇南京·七年級(jí)校聯(lián)考期中）模型與應(yīng)用.【模型】（1）如圖①，已知AB∥CD，求證∠1＋∠MEN＋∠2＝360°.【應(yīng)用】（2）如圖②，已知AB∥CD，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度數(shù)為．如圖③，已知AB∥CD，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n的度數(shù)為．（3）如圖④，已知AB∥CD，∠AM1M2的角平分線M1O與∠CMnMn－1的角平分線MnO交于點(diǎn)O，若∠M1OMn＝m°．在（2）的基礎(chǔ)上，求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n－1的度數(shù)．（用含m、n的代數(shù)式表示）參考答案：1．B【分析】如圖，設(shè)相應(yīng)點(diǎn)的為，過(guò)作，利用平行線的性質(zhì)求解即可．解：直角三角板的直角頂點(diǎn)為，兩直角邊分別與、交于，過(guò)作，如下圖：

則∴，∵∴∵∴故選：B【點(diǎn)撥】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的有關(guān)性質(zhì)．2．C【分析】過(guò)角的頂點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，即可求解．解：如圖所示，過(guò)角的頂點(diǎn)作，

∴∵，∴，∴∴故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．3．C解：本題考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．∵，∴，∴∴，∴，故選C．4．B【解析】略5．C【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)．熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過(guò)作，則，則，根據(jù)，計(jì)算求解即可．解：如圖，過(guò)作，則，

∴，∵，∴，即，故選：C．6．B【分析】本題考查了平行性的性質(zhì)．熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．由題意知，，，由，可得，進(jìn)而可求．解：由題意知，入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角，即，，∵，∴，∴，故選：B．7．D【分析】過(guò)點(diǎn)，，作的平行線，容易得出，和是角平分線，所以，進(jìn)一步求即可．解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)，，作，，，．，．，，，，，，，，和是角平分線，，，，，，，，即．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及平角的定義等知識(shí)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)，正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．8．A【分析】過(guò)C作∥，得到∥，因此，，由垂直的定義得到，由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可得到答案．解：過(guò)C作∥，∥，，，，，，，，，

故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是過(guò)C作，得到，由平行線的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題．9．C【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)H作，過(guò)點(diǎn)F作，根據(jù)平行線的性質(zhì)定理進(jìn)行解答即可．解：如圖，過(guò)點(diǎn)H作，過(guò)點(diǎn)F作，∴，，∵，∴，∴，∵，，，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10．D【分析】①根據(jù)平行線的傳遞性可以判斷出來(lái)；②所以，然后根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得，即，聯(lián)立可求得結(jié)果；③根據(jù)以及，可求得結(jié)果；④根據(jù)即以及，可求得結(jié)果．解：∵，∴，∵平分，∴，即，①∵，，∴，故①正確；②∵，∴，∴，即，∵，∴，即，故②正確；③由①可得，∴，∴，即，又，∴，即，將代入，化簡(jiǎn)可得：，故③正確；④∵，，∴，∵，∴，故④正確；正確的個(gè)數(shù)共有4個(gè)，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、平行線的傳遞性、兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等、兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)、角平分線的有關(guān)計(jì)算，準(zhǔn)確找到角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11．/75度【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)定理，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求解.解：∵,∴，∵∴，故答案為：．12．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定即可求解．解：∵ABCD，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠EFG＝∠FGH，∴EFGH（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．故答案為：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【點(diǎn)撥】此題主要是綜合考查了平行線的判定和性質(zhì)，牢記內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．13．/65度【分析】過(guò)點(diǎn)作，得到，進(jìn)而得到，再利用計(jì)算即可．本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是過(guò)拐點(diǎn)作平行線．解：過(guò)點(diǎn)作，

∵，∴，∴，∴；故答案為：．14．【解析】略15．140°【解析】略16．【解析】略17．/88度【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等，解題的關(guān)鍵是會(huì)添加常用輔助線（即過(guò)“拐點(diǎn)”作平行線），一般而言，有幾個(gè)“拐點(diǎn)”就需要作幾條平行線，從而利用“拐點(diǎn)”模型的基本結(jié)論解決問(wèn)題；過(guò)點(diǎn)、、分別作，根據(jù)平行線的傳遞性得出，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等以及角平分線的定義即可求解；解：過(guò)點(diǎn)、、分別作，∵，，平分，平分，，，，，，，故答案為：．18．/52度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)作，設(shè)，，利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義即可得出結(jié)論，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，利用平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系進(jìn)行推算．解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)作，

設(shè)，，∵，交于，平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，平分，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，故答案為：．19．（1），理由見(jiàn)分析；（2）58【分析】（1）過(guò)E作，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的概念求解即可．解：（1），理由如下：過(guò)E作，如圖，

∵，∴，∴，∴，即；（2）同（1）方法可知：，∵，，∴，∴，∵平分，∴．【點(diǎn)撥】題目主要考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的計(jì)算，理解題意，熟練掌握運(yùn)用平行線的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．20．（1）∠EPF=70°；（2）∠PEA=∠PFC+∠EPF．理由見(jiàn)分析；（3）∠EGP=90°+α．理由見(jiàn)分析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PQAB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠FPQ=40°，∠BEP=∠EPQ=30°，進(jìn)而可求解；（2）過(guò)P點(diǎn)作PNAB，則PNCD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠PEA=∠NPE，即可得∠NPE=∠FPN+∠EPF，結(jié)合PNCD可求解；（3）過(guò)點(diǎn)G作AB的平行線GH．由平行線的性質(zhì)可得∠HGE=∠AEG，∠HGF=∠CFG，結(jié)合角平分線的定義，利用角的和差可求解．解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PQAB，∵PQAB，ABCD，∴CDPQ．∴∠FPQ=∠DFP=40°，又∵PQAB，∴∠BEP=∠EPQ=30°，∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=30°+40°=70°；（2）∠PEA=∠PFC+∠EPF．理由：如圖2，過(guò)P點(diǎn)作PNAB，則PNCD，∴∠PEA=∠NPE，∵PN∥CD，∴∠FPN=∠PFC，∵∠NPE=∠FPN+∠EPF，∴∠PEA=∠PFC+∠EPF；（3）∠EGP=90°+α．理由：如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PNAB．∴PNABCD，同（1）得，∠EGP=∠BEP+∠EPN，∵∠BEP的平分線和∠EPF的平分線交于點(diǎn)G，∴同（2）得，∠EGP=90°+∠CFP=90°+α．【點(diǎn)撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（1）；（2）見(jiàn)分析；（3），理由見(jiàn)分析．【分析】（1）根據(jù)及的和為可求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答；（2）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，結(jié)合圖形計(jì)算，證明結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)計(jì)算即可．（1）解：如答圖1，

∵，，∴．∵，∴；（2）解：理由如下：如答圖2，過(guò)點(diǎn)B作．

∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴；（3）解：．理由如下：如答圖3，過(guò)點(diǎn)C作．

∴．∵平分，，∴．∵，∴，．∴．∵，∴．∴．∴．【點(diǎn)撥】本題考查的是角平分線定義、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)定理．22．（1）；；；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；（2），理由見(jiàn)分析；（3）【分析】（）過(guò)點(diǎn)作直線，根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定即可求解；（）過(guò)點(diǎn)作直線，同理可得，，則；（）利用平行線的性質(zhì)求出的值，再利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平行公理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行線的性質(zhì).解：（1）過(guò)點(diǎn)作直線，∵，∴（平行于同一條直線的兩條直線平行），，∴，∵，∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴；故答案為：；；；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作直線，又∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（3）如圖所示，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴．23．；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；等量代換；；；；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.【分析】先根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可得，又由于，可得，由平角的定義可得，，由此可得，根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”即可證明．解：證明：（已知），（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）（已知），（等量代換）（等式的性質(zhì)）．，（平角的定義），，（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）故答案為：；兩直線平行，