18211矩形的性質-2021-2022學年八年級數學下學期訓練(人教版)

§18.2.1.1矩形的性質知識導航1.矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形注意：（1）矩形的定義有兩個要素：①是平行四邊形；②有一個角是直角，二者缺一不可；（2）矩形一定是平行四邊形，但平行四邊形不一定是矩形矩形的性質類別性質符號語言圖形角四個角都是直角四邊形是矩形對角線對角線相等四邊形是矩形對稱性矩形是軸對稱圖形，具有兩條對稱軸（對邊中點所連成的直線）重難點突破重點1利用矩形的性質求線段長度如圖，矩形的兩條對角線相交于點，已知，，則矩形對角線的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據矩形的性質得到OA=OB=OD，結合得到，進一步得到BD=2AB．【詳解】因為四邊形為矩形，所以，，，所以，所以，因為所以因為，所以，故．故選C．【點睛】本題考查了矩形的性質和含的直角三角形的邊角關系，本題也可用等邊三角形的性質和矩形的性質進行求解．變式11如圖，在矩形中，對角線，相交于點，點，分別是，的中點，連接，若，，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由勾股定理求出BD的長，根據矩形的性質求出OD的長，最后根據三角形中位線定理得出EF的長即可．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=OD=OB，∵，，∴AC=∴BD=10cm，∴，∵點，分別是，的中點，∴．故選：D．【點睛】本題考查矩形的性質、三角形的中位線定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．變式12如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，過對角線交點O作EF⊥AC交AD于點E，交BC于點F，則DE的長是（）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】連接CE，由矩形的性質得出∠ADC＝90°，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，OA＝OC，由線段垂直平分線的性質得出AE＝CE，設DE＝x，則CE＝AE＝6?x，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】連接CE，如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，OA＝OC，∵EF⊥AC，∴AE＝CE，設DE＝x，則CE＝AE＝6﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+42＝（6﹣x）2，解得：x＝，即DE＝；故選：D．重點點撥：在矩形中已知邊要求角的度數時需要利用矩形的性質和特殊三角形的性質找到角的關系，這些所求角度一般為45°，60°等特殊角度重點點撥：在矩形中已知邊要求角的度數時需要利用矩形的性質和特殊三角形的性質找到角的關系，這些所求角度一般為45°，60°等特殊角度重點2利用矩形的性質求角度如圖，四邊形ABCD是矩形，連接BD，，延長BC到E使CE=BD，連接AE，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，連接AC．只要證明CE=CA，推出∠E=∠CAE，求出∠ACE即可解決問題．【詳解】如圖，連接AC．∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD．∵EC=BD，∴AC=CE，∴∠AEB=∠CAE，易證∠ACB=∠ADB=30°．∵∠ACB=∠AEB+∠CAE，∴∠AEB=∠CAE=15°．故選A．【點睛】本題考查了矩形的性質、等腰三角形的判定和性質，三角形的外角的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造等腰三角形解決問題．變式21將三角尺按如圖所示放置在一張矩形紙片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝125°，則∠BFG的大小為（

）A．125° B．115° C．110° D．120°【答案】B【分析】根據矩形得出AD∥BC，根據平行線的性質得出∠1+∠BFE＝180°，求出∠BFE，根據三角形內角和定理求出∠EFG，即可求出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠1+∠BFE＝180°，∵∠1＝125°，∴∠BFE＝55°，∵在△EGF中，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∴∠EFG＝180°﹣∠EGF﹣∠FEG＝60°，∴∠BFG＝∠BFE+∠EFG＝55°+60°＝115°，故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質，矩形的性質，三角形的內角和定理等知識點，能靈活運用知識點進行推理是解此題的關鍵．變式22如圖，在矩形ABCD中，AC、BD交于點O，DE⊥AC于點E，若∠AOD＝110°，則∠CDE＝________°．【答案】35【分析】先根據三角形外角的性質和矩形的性質得到∠OCD的度數，再根據DE⊥AC即可得到∠CDE的度數．【詳解】∵∠AOD＝110°，∴∠ODC+∠OCD=110°，∵四邊形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD=55°，又∵DE⊥AC，∴∠CDE=180°∠OCD∠DEC=180°55°90°=35°，故答案為：35．【點睛】本題考查了矩形的性質，三角形內角和，三角形外角的性質，掌握知識點是解題關鍵．重點點撥：重點點撥：矩形的每條對角線都將矩形分成兩個直角三角形，因此利用矩形的性質求線段的長度，可以轉化為在直角三角形中求線段的長度，利用勾股定理等來解答.重點3利用矩形與折疊的性質進行計算如圖，將矩形紙片沿折疊后，點D、C分別落在點、的位置，的延長線交于點G，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由矩形得到AD//BC，∠DEF=∠EFG，再由與折疊的性質得到∠DEF=∠GEF=∠EFG，用三角形的外角性質求出答案即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD//BC，∵矩形紙片沿折疊，∴∠DEF=∠GEF，又∵AD//BC，∴∠DEF=∠EFG，∴∠DEF=∠GEF=∠EFG=64?，∵是△EFG的外角，∴=∠GEF+∠EFG=128?故選：A．【點睛】本題考查了矩形的性質與折疊的性質，關鍵在于折疊得出角相等，再由平行得到內錯角相等，由三角形外角的性質求解．變式31將長方形ABCD紙片沿AE折疊，得到如圖所示的圖形，已知∠CED'=70°，則∠EAB的大小是(

)A．60° B．50° C．75° D．55°【答案】D【分析】首先根據折疊的性質得出∠DEA=∠D′EA=55°，然后由余角的性質得出∠DEA=∠EAD′=35°，進而得出∠D′AB=20°，最后即可得出∠EAB.【詳解】根據折疊的性質，∠CED'=70°，得∠DEA=∠D′EA=∵∠ADE=∠AD′E=90°∴∠DAE=∠EAD′=90°55°=35°∴∠D′AB=90°∠DAE∠EAD′=90°35°35°=20°∴∠EAB=∠EAD′+∠D′AB=35°+20°=55°故答案為D.【點睛】此題主要考查折疊的性質以及余角的性質，熟練掌握，即可解題.變式32如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點E為BC的中點,將ABE沿AE折疊,使點B落在矩形內點F處,連接CF,則CF的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接BF，由折疊可知AE垂直平分BF，根據勾股定理求得AE=5，利用直角三角形面積的兩種表示法求得BH=，即可得BF=，再證明∠BFC=90°，最后利用勾股定理求得CF=．【詳解】連接BF，由折疊可知AE垂直平分BF，∵BC=6，點E為BC的中點，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，∵，∴，∴BH=，則BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，∴CF==．故選B．【點睛】本題考查的是翻折變換的性質、矩形的性質及勾股定理的應用，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解題的關鍵．變式33如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點B落在點F處，折痕為AE，且EF=3，則AB的長為()A．3 B．4C．5 D．6【答案】D【分析】先根據矩形的特點求出BC的長，再由翻折變換的性質得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的長，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的長．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8﹣3=5，在Rt△CEF中，CF==4，設AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，故選：D．【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），勾股定理，解題的關鍵是利用勾股定理建立等式求解重點點撥：通過圖形的折疊分別找出折疊部分與原圖形之間線段和角的關系，將條件集中在一個直角三角形中，再利用勾股定理求解.重點點撥：通過圖形的折疊分別找出折疊部分與原圖形之間線段和角的關系，將條件集中在一個直角三角形中，再利用勾股定理求解.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D，E分別是AB，AC的中點，點F是AD的中點．若AB=8，則EF=_____．【答案】2【分析】根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答．【詳解】在Rt△ABC中，∵AD=BD=4，∴CD=AB=4，∵AF=DF，AE=EC，∴EF=CD=2，故答案為2.【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，熟記性質是解題的關鍵．變式41如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，點F是BC的中點，點D是AB的中點，連接AF和DF，若△DBF的周長是11，則AB＝_____．【答案】8【分析】根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DE=DF=AB，EF=BC，然后代入數據計算即可得解．【詳解】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中點，∴DE=DF=AB，∵AB=AC，AF⊥BC，∴點F是BC的中點，∴BF=FC=3，∵BE⊥AC，∴EF=BC=3，∴△DEF的周長=DE+DF+EF=AB+3=11，∴AB=8，故答案為8．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等腰三角形三線合一的性質，熟記各性質是解題的關鍵．變式42如圖，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中點，連接AO、DO．若AO＝3，則DO的長為_____．【答案】3【分析】根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求解即可.【詳解】∵在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中點，∴,,∴DO=AO=3.故答案為3.【點睛】本題考查了直角三角形的性質，熟練掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半是解答本題的關鍵.重點點撥：含兩直角的四邊形中，若出現一條對角線將該四邊形分割成兩個直角三角形的情形，且已知斜邊上的中點，一半可作斜邊上的中線重點點撥：含兩直角的四邊形中，若出現一條對角線將該四邊形分割成兩個直角三角形的情形，且已知斜邊上的中點，一半可作斜邊上的中線在矩形中,點在上,,⊥，垂足為.（1）求證.（2）若,且,求.【分析】（1）利用“AAS”證△ADF≌△EAB即可得；（2）由∠ADF+∠FDC=90°、∠DAF+∠ADF=90°得∠FDC=∠DAF=30°，據此知AD=2DF，根據DF=AB可得答案．【詳解】（1）證明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAF，又∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∴∠DFA=∠B，又∵AD=EA，∴△ADF≌△EAB，∴DF=AB．（2）∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠FDC=∠DAF=30°，∴AD=2DF，∵DF=AB，∴AD=2AB=8．【點睛】本題主要考查矩形的性質，解題的關鍵是掌握矩形的性質和全等三角形的判定與性質及直角三角形的性質．變式51已知：如圖，在矩形ABCD中，點E在邊AB上，點F在邊BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求證：BF=CD．【分析】由四邊形ABCD為矩形，得到四個角為直角，再由EF與FD垂直，利用平角定義得到一對角互余，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用ASA得到三角形BEF與三角形CFD全等，利用全等三角形對應邊相等即可得證．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是矩形∴∠B=∠C=90°∵EF⊥DF∴∠EFD=90°∴∠EFB+∠CFD=90°∵∠EFB+∠BEF=90°∴∠BEF=∠CFD在△BEF和△CFD中，∴△BEF≌△CFD（ASA）∴BF=CD．【點睛】考點：（1）矩形的性質；（2）全等三角形的判定與性質重點點撥：重點點撥：矩形的對邊平行且相等，對角線相等且互相平分，這些性質都可以用來證明線段相等或線段的倍分問題.提升訓練下列說法正確的是（）A．矩形的對角線互相垂直且平分B．矩形的鄰邊一定相等C．對角線相等的四邊形是矩形D．有三個角為直角的四邊形為矩形【答案】D【分析】根據矩形的性質可知：A、B兩個選項錯誤；根據對角線互相平分且相等的四邊形是矩形這個判定知，C選項錯誤；三個角為直角，則第四個也為直角，根據有四個角是直角的四邊形是矩形判定得，故D選項正確．【詳解】A：矩形的對角線的性質是：矩形的對角線互相平分且相等，故此說法錯誤；B：矩形的鄰邊不一定相等，但對邊一定相等，故此說法錯誤；C：對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，由此判定知，此說法錯誤；D：當有三個角是直角時，根據四邊形內角和定理，第四個角也是直角，從而判定是矩形，此說法正確．故選：D【點睛】本題考查了矩形的判定和性質，必須準確而熟練地掌握矩形的判定和性質．如圖，E為矩形ABCD的邊AB上一點，將矩形沿CE折疊，使點B恰好落在ED上的點F處，若BE=1，BC=3，則CD的長為（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】先根據翻折變換的性質得出EF=BE=1，BC=CF=AD=3，可證得△AED≌△FDC進而求得CD的長．【詳解】解：由題意得：E為矩形ABCD的邊AB上一點，將矩形沿CE折疊，使點B恰好落在ED上的點F處，可得BE=EF=1，CF=BC=3，∠EFC=∠B=，ABCD為矩形，可得∠AED=∠CDF，在△AED與△FDC中，AD=CF，∠A=∠DFC=，∠AED=∠CDF，△AED≌△FDC，ED=CD，設CD的長為x，在Rt△EAD中，有，即，解得x=5，故選：B．【點睛】本題主要考查矩形的性質和翻折變換后的性質，靈活證三角形全等是解題的關鍵．如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠EAO＝15°，則∠BOE的度數為（）．A．85° B．80° C．75° D．70°【答案】C【分析】由矩形的性質得出OA＝OB，再由角平分線得出△ABE是等腰直角三角形，得出AB＝BE，證明△AOB是等邊三角形，得出∠ABO＝60°，OB＝AB，得出OB＝BE，由三角形內角和定理和等腰三角形的性質即可得出結果．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∵∠EAO＝15°，∴∠BAO＝45°+15°＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴∠ABO＝60°，OB＝AB，∴∠OBE＝90﹣60°＝30°，OB＝BE，∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°．故選：C．【點睛】本題考查了矩形的性質、等腰直角三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、三角形內角和定理；熟練掌握矩形的性質，并能進行推理論證與計算是解決問題的關鍵．如圖，將矩形紙條折疊，折痕為，折疊后點C，D分別落在點，處，與交于點G．已知，則的度數是（

）A．30° B．45° C．74° D．75°【答案】D【分析】依據平行線的性質，即可得到的度數，再根據折疊的性質，即可得出的度數．【詳解】∵矩形紙條中，，∴，∴，由折疊可得，，故選：D．【點睛】本題主要考查了折疊問題，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．如圖，矩形中，、交于點，、分別為、的中點．若，則的長為__．【答案】16.【分析】根據中位線的性質求出長度，再依據矩形的性質進行求解問題．【詳解】、分別為、的中點，，四邊形是矩形，，故答案為．【點睛】本題考查了矩形的性質以及三角形中位線的定理，解題的關鍵是找到線段間的倍分關系．如圖，是矩形的對角線的中點，是的中點．若，，則四邊形的周長為_______.【答案】20【分析】先由，得到，然后結合矩形的性質得到，再結合點和點分別是和的中點得到和的長，最后得到四邊形的周長．【詳解】，，，，，點和點分別是和的中點，，，是的中位線，，．故答案為：20．【點睛】本題考查了矩形的性質、三角形的中位線定理，解題的關鍵是熟知矩形的性質．如圖，E是矩形ABCD的對角線的交點，點F在邊AE上，且DF=DC，若∠ADF=25°，則∠BEC=________．【答案】115°【分析】由∠ADF求出∠CDF，再由等腰三角形的性質得出∠DFC，從而求出∠BCE，最后用等腰三角形的性質即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠BCD=90°，BE=CE．∵∠ADF=25°，∴∠CDF=∠ADC﹣∠ADF=90°﹣25°=65°．∵DF=DC，∴∠DFC=∠DCA=（180°∠CDF）÷2=（180°65°）÷2=，∴∠BCE=∠BCD﹣∠DCA=90°﹣=．∵BE=CE，∴∠BEC=180°﹣2∠BCE=180°﹣65°=115°．故答案為：115°【點睛】本題是矩形的性質，主要考查了矩形的性質，等腰三角形的性質和判定，解答本題的關鍵是求出∠DFC．是一道中考?？嫉暮唵晤}．如圖，四邊形ABCD是矩形，點E在線段CB的延長線上，連接DE交AB于點F，∠AED=2∠CED，點G是DF的中點，若BE=2，DF=8，則AB的長為______．【答案】2【分析】先證明∠ADE=∠DEC，設∠CED=x，則∠AED=2x，∠ADE=x，證明∠AED=∠AGE=2x，則AE=AG=4，由勾股定理計算AB的長即可【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠BAD=90°，∴∠ADE=∠DEC，設∠CED=x，則∠AED=2x，∠ADE=x，在Rt△FAD中，G是DF的中點，DF=8，∴AG=DG=4，∴∠GAD=∠ADE=x，∴∠AGE=∠GAD+∠ADE=2x，∴∠AGE=∠AED=2x，∴AE=AG=4，由勾股定理得：AB==2故答案為:

2【點睛】本題考查了矩形的性質，還考查了等腰三角形、直角三角形斜邊中線的性質，設未知數，分別表示相關的角，根據等角對等邊證明邊相等，從而可以利用勾股定理計算邊的長度．如圖，延長矩形ABCD的邊BC至點E，使CE＝BD，連接AE，如果∠ADB＝38°，則∠E等于_____度．【答案】19【分析】由矩形性質可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=38°，可得∠E度數．【詳解】解：如圖，記矩形的對角線的交點為，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC=BD，∠E=∠DAE，∠ADB=∠CAD=38°，

又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=38°，即∠E=19°．故答案為：19．【點睛】本題主要考查矩形性質，等腰三角形的性質，平行線的性質，熟練掌握矩形對角線相等且互相平分、對邊平行是解題關鍵．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=3，動點P滿足=，則PA+PB的最小值為_____．【答案】【分析】首先由=，得出動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，作A關于直線l的對稱點E，連接AE，連接BE，則BE的長就是所求的最短距離．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．【詳解】解：設△ABP中AB邊上的高是h，∵=，∴，∴，∴動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，如圖，作A關于直線l的對稱點E，連接AE，連接BE，則BE的長就是所求的最短距離．在Rt△ABE中，∵AB=8，AE=2+2=4，∴BE=，即PA+PB的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱最短路線問題，三角形的面積，矩形的性質，勾股定理，兩點之間線段最短的性質．根據面積關系得出動點P所在的位置是解題的關鍵．如圖，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上，當B在邊ON上運動時，