浙江省臺(tái)金七校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

【新結(jié)構(gòu)】20232024學(xué)年浙江省臺(tái)金七校聯(lián)盟高二年級(jí)第二學(xué)期數(shù)學(xué)試卷?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.的值是（）A.20 B.40 C. D.【答案】B【解析】【分析】由排列、組合數(shù)公式求解即可．【詳解】．故選：B．2.4名男生分別報(bào)名參加學(xué)校的足球隊(duì)、籃球隊(duì)、乒乓球隊(duì)，每人限報(bào)其中的一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)，不同報(bào)法的種數(shù)是（）A.6 B.24 C.64 D.81【答案】D【解析】【分析】每名同學(xué)有3種不同的選擇，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理解答即可.【詳解】由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：不同報(bào)法的種數(shù)是；故選：D.3.已知雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意結(jié)合雙曲線的性質(zhì)確定a,b的關(guān)系式，據(jù)此即可確定雙曲線的漸近線方程.【詳解】由離心率的定義可知：，則雙曲線的漸近線方程為：.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線的漸近線的求解方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.4.8個(gè)人分成3人、3人、2人三組，共有（）種不同的分組方法.A.1120 B.840 C.560 D.280【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平均分組求法即可求解.【詳解】根據(jù)題意，分組方法數(shù)為種故選：D.5.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)的基本公式計(jì)算即可．【詳解】，故選：A.6.設(shè)…，則（）A B. C.800 D.640【答案】B【解析】【分析】要得到分兩種情況討論再結(jié)合二項(xiàng)式定理展開式計(jì)算即可求解；【詳解】因?yàn)?/p>

，要得到分兩種情況討論：①5個(gè)因式取1個(gè)，取4個(gè)，即②5個(gè)因式取2個(gè)，取3個(gè)，即所以二項(xiàng)展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：B.7.將三顆骰子各擲一次，記事件“三個(gè)點(diǎn)數(shù)互不相同”，事件“至少出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)”，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出、同時(shí)發(fā)生的概率以及發(fā)生的概率，再由條件概率公式計(jì)算可得．【詳解】依題意可得，，所以.故選：C8.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，令函?shù)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，又因?yàn)?，所?故選：B.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.隨機(jī)變量X的分布列如下：X01Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則可以為（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由隨機(jī)變量X的分布列的性質(zhì)得，且a，b，由a，b，c成等差數(shù)列，得，可以求出c的取值范圍，從而能求出的可以取的值．【詳解】解：隨機(jī)變量X的分布列如下：X01Pabc，且a，b，①，b，c成等差數(shù)列，，②聯(lián)立①②，得，，所以，，可以

，，

，故選：ABC10.如圖，直線與曲線相切于兩點(diǎn)，則有（）A.2個(gè)極大值點(diǎn) B.3個(gè)極大值點(diǎn) C.2個(gè)極小值點(diǎn) D.3個(gè)極小值點(diǎn)【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)條件，有3個(gè)極大值點(diǎn)，設(shè)為，2個(gè)極小值點(diǎn)，設(shè)為，且，，結(jié)合圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及極值的定義即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，由圖知，有3個(gè)極大值點(diǎn)，設(shè)為，2個(gè)極小值點(diǎn)，設(shè)為，且，在左側(cè)時(shí)，，所以，在右側(cè)時(shí)，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，，所以，故為的三個(gè)極大值點(diǎn)，在左側(cè)時(shí)，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，，即，在右側(cè)時(shí)，，所以，故為的2個(gè)極小值點(diǎn)，故選：BC.11.一個(gè)不透明的口袋中有8個(gè)大小相同的球，其中紅球5個(gè)，白球2個(gè)，黑球1個(gè)，則下列選項(xiàng)正確的有（）A.從該口袋中任取3個(gè)球，設(shè)取出的紅球個(gè)數(shù)為，則數(shù)學(xué)期望B.每次從該口袋中任取一個(gè)球，記錄下顏色后放回口袋，先后取了3次，設(shè)取出的紅球次數(shù)為，則方差C.從該口袋中任取3個(gè)球，設(shè)取出的球的顏色有X種，則數(shù)學(xué)期望D.每次從該口袋中任取一個(gè)球，不放回，拿出紅球即停，設(shè)拿出的白球的個(gè)數(shù)為Y，則數(shù)學(xué)期望【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)選項(xiàng)A，的可能取值為0，1，2，3，求出概率，再由公式求得；對(duì)選項(xiàng)B，，再由二項(xiàng)分布的方差公式求得；對(duì)選項(xiàng)C，X的可能取值為1，2，3，求出概率，再由公式求得；對(duì)選項(xiàng)D，Y的可能取值為0，1，2，求出概率，再由公式求得【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，從該口袋中任取3個(gè)球，取出的紅球個(gè)數(shù)的可能取值為0，1，2，3，則，，，，則，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，每次從該口袋中任取一個(gè)球，是紅球的概率為，則取出的紅球次數(shù)為，則方差，故B正確;對(duì)選項(xiàng)C，從該口袋中任取3個(gè)球，取出的球的顏色有X種，X的可能取值為1，2，3，則，，則，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，每次從該口袋中任取一個(gè)球，不放回，拿出紅球即停，拿出白球的個(gè)數(shù)Y的可能取值為0，1，2，則，，，則，故D正確；故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)變量，且，則__________.【答案】##【解析】【分析】依題意可得相應(yīng)的正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，結(jié)合，即可求得結(jié)論．【詳解】，相應(yīng)的正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，，故答案為：13.若直線與直線平行，則__________，它們之間的距離為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行的條件，求出的值，再利用兩條平行直線間的距離公式即可得解.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得，所以直線的方程可化簡(jiǎn)，而直線，即直線，它們之間的距離為，故答案為：；.14.甲乙兩人輪流投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，規(guī)定誰先擲出6點(diǎn)為勝者；前一場(chǎng)的勝者，則下一場(chǎng)后擲分出勝者算一場(chǎng)若第一場(chǎng)時(shí)是甲先擲，則第2場(chǎng)甲勝的概率為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意先求得一場(chǎng)中先擲的人贏的概率為，后擲的人贏的概率為，再由第一場(chǎng)時(shí)是甲先擲且第二場(chǎng)甲勝，有兩種情況：第一場(chǎng)甲贏第二場(chǎng)甲贏和第一場(chǎng)乙贏第二場(chǎng)甲贏，再計(jì)算即可.【詳解】一場(chǎng)中先擲的人贏的概率為，，由，，，所以當(dāng)時(shí)，，所以一場(chǎng)中先擲的人贏的概率為，后擲的人贏的概率為，若第一場(chǎng)時(shí)是甲先擲且第二場(chǎng)甲勝，有兩種情況：第一場(chǎng)甲贏第二場(chǎng)甲贏和第一場(chǎng)乙贏第二場(chǎng)甲贏，記甲先擲且第二場(chǎng)甲贏的事件為A，所以，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知的二項(xiàng)展開式中，僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且各項(xiàng)系數(shù)之和為（1）求實(shí)數(shù)a和n的值；（2）求展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由題得到，再令，即可求出a；（2）寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，則，即可求解.【小問1詳解】?jī)H有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則令，則，又，則【小問2詳解】二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為：，假設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大，由通項(xiàng)可得：，解得：故二項(xiàng)展開式中第6項(xiàng)和第7項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大.又展開式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為正，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，故展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)是第6項(xiàng)：16.如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊所在的平面垂直于矩形所在的平面，，為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）若為直線上一點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直性質(zhì)證明線面垂直進(jìn)而得到線線垂直;（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量夾角余弦公式求出直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫嫠浴拘?詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸，依題意，可得，，，，，所以，，，，又，為的中點(diǎn).，所以，設(shè)為平面的法向量，因?yàn)?，，則，即，取，可得，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為17.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足，，記的前項(xiàng)和為，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，解得，，從而得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)題意有，可得，故可得，利用二項(xiàng)式系數(shù)和可得結(jié)論.【小問1詳解】由題意得：解得：，，【小問2詳解】由題意得：，由于所以18.某商場(chǎng)擬在周年店慶進(jìn)行促銷活動(dòng)，對(duì)一次性消費(fèi)超過200元的顧客，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動(dòng)，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若向上點(diǎn)數(shù)不超過4點(diǎn)，獲得1分，否則獲得2分，進(jìn)行若干輪游戲，若累計(jì)得分為9分，則游戲結(jié)束，可得到200元禮券，若累計(jì)得分為10分，則游戲結(jié)束，可得到紀(jì)念品一份，最多進(jìn)行9輪游戲.（1）當(dāng)進(jìn)行完3輪游戲時(shí)，總分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若累計(jì)得分為的概率為，初始分?jǐn)?shù)為0分，記（i）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（ii）求活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率.【答案】（1）分布列見解析，期望為（2）（i）證明見解析；（ii）【解析】【分析】解：由題意得每輪游戲獲得1分的概率為，獲得2分的概率為，得出隨機(jī)變量可能取值為3，4，5，6，求得相應(yīng)的概率，得出分布列，利用期望的公式求得期望；（2）（?。┊?dāng)，即累計(jì)得分為1分，是第1次擲骰子，向上點(diǎn)數(shù)不超過4點(diǎn)的概率得到，得到，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可求解；（ⅱ）由（?。┑玫?，利用疊加法得到，進(jìn)而求得活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率.【小問1詳解】解：由題意得每輪游戲獲得1分概率為，獲得2分的概率為所以隨機(jī)變量可能取值為3，4，5，6，可得，，所以的分布列：3456所以期望.【小問2詳解】解：（?。┳C明：，即累計(jì)得分為1分，是第1次擲骰子，向上點(diǎn)數(shù)不超過4點(diǎn)的概率則，累計(jì)得分為分的情況有兩種：①，即前一輪累計(jì)得分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)超過4點(diǎn)得2分，其概率為，②，即前一輪累計(jì)得分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)沒超過4點(diǎn)得1分，其概率為，所以，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（ⅱ）因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，，…，，各式相加，得：，所以所以活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率為.19.已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)與函數(shù)有相同的最小值，求a的值；（3）證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)【答案】（1）答案見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求，討論導(dǎo)數(shù)正負(fù)，可得函數(shù)單調(diào)性；（2）由（1）得：，且，討論正負(fù)，可得函數(shù)最值，則有，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)即可求得的值；（3）由（1）分析得，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算與裂項(xiàng)相消法求和，可證不等式.【小問1詳解】的定義域：，，①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；綜上可得：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問2詳解】由（