13探索三角形全等的條件（二）（ASAAASHL十大題型）（原卷版）

（蘇科版）八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第1章全等三角形》1.3探索三角形全等的條件（二）“ASA”、“AAS”與“HL”知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)全等三角形的判定方法◆利用“ASA”判定兩個(gè)三角形全等1、文字語言：有兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）.2、幾何語言：在△ABC和△DEF中，∠∴△ABC≌△DEF(ASA).◆利用“AAS”判定兩個(gè)三角形全等1、文字語言：兩角和其中一角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”.2、幾何語言：在△ABC和△DEF中，∠∴△ABC≌△DEF(AAS).“ASA”與“AAS”的區(qū)別與聯(lián)系“S”的意義書寫格式聯(lián)系A(chǔ)SA“S”是兩角的夾邊.把夾邊相等寫在兩角相等的中間.由三角形內(nèi)角和定理可知，“ASA”與“AAS”可以互相轉(zhuǎn)化.AAS“S”是兩角的夾邊.把兩角相等寫在一起，邊相等放在最后.◆利用“HL”判定兩個(gè)三角形全等1、文字語言：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等(簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).2、幾何語言：∵∠C=∠C′=90°在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，AB∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).【注意】“SSA”可以判定兩個(gè)直角三角形全等，但是“邊邊”指的是斜邊和一直角邊，而“角”指的是直角.3、判定兩個(gè)直角三角形全等的方法：判定一般三角形全等的方法對(duì)判定兩個(gè)直角三角形全等全部適用，因此我們可以根據(jù)“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”這五種方法來判定兩個(gè)直角三角形全等.題型題型一全等三角形判定的條件【例題1】（2022秋?亳州期末）如圖，在Rt△ABC與Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，添加一個(gè)條件，不能使得Rt△ABC≌Rt△DCB的是（）A．AB＝DC B．AC＝DB C．∠ABC＝∠DCB D．BC＝BD解題技巧提煉判斷三角形全等的條件時(shí)，注意兩邊與其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等.解題時(shí)要根據(jù)已知條件的情況來考慮，對(duì)于非特殊的三角形，只具備SSA時(shí)一般是不能判定三角形全等的．【變式11】如圖，已知點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，若添加一個(gè)條件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的條件可以是（）A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．AB∥DE D．AD＝CF【變式12】下列語句中不正確的是（）A．斜邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形一定全等 B．有兩邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形不一定全等 C．有一直角邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形一定全等 D．有兩個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形不一定全等【變式13】如圖，已知AB＝DC，BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，有下列條件，其中，選擇一個(gè)就可以判斷Rt△ABE≌Rt△DCF的是（）①∠B＝∠C②AB∥CD③BE＝CF④AF＝DEA．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④【變式14】（2023春?高新區(qū)期末）如圖，AD和CB相交于點(diǎn)E，BE＝DE，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使△ABE≌△CDE，下列不正確的是（）A．∠B＝∠D B．∠A＝∠C C．AB＝CD D．AE＝CE【變式15】（2023春?南崗區(qū)期末）如圖，OB平分∠AOC，D、E、F分別是射線OA、射線OB、射線OC上的點(diǎn)，D、E、F與O點(diǎn)都不重合，連接ED、EF．若添加下列條件中的某一個(gè)，就能使△DOE≌△FOE．你認(rèn)為要添加的那個(gè)條件是（）A．OD＝OE B．DE＝FE C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE題型二題型二利用“ASA”直接判定兩三角形全等【例題2】（2022秋?亭湖區(qū)期末）已知：如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，點(diǎn)D在AC邊上．求證：△AEC≌△BED．?解題技巧提煉有兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）.【變式21】（2022秋?洪山區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，∠B＝∠ACD，AD∥CE．求證：△ACD≌△CBE．【變式22】（2023?呈貢區(qū)校級(jí)三模）如圖，在△ABC和△ADE中，∠C＝∠E，AC＝AE，∠CAD＝∠EAB．求證：△ABC≌△ADE．?【變式23】（2023?寧江區(qū)三模）已知：如圖，AC∥DF，點(diǎn)B為線段AC上一點(diǎn)，連接BF交DC于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AE∥BF分別交DC、DF于點(diǎn)G、點(diǎn)E，DG＝CH，求證：△DFH≌△CAG．題型三題型三利用“AAS”直接判定兩三角形全等【例題3】（2022?天津模擬）如圖，AC是∠BAE的平分線，點(diǎn)D是線段AC上的一點(diǎn)，∠C＝∠E，AB＝AD．求證：△BAC≌△DAE．解題技巧提煉兩角和其中一角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”.【變式31】（2022?太倉(cāng)市模擬）如圖，AB＝AC，BE⊥AC，CD⊥AB垂足分別為點(diǎn)E，點(diǎn)D．求證：△ABE≌△ACD；【變式32】（2023?盤龍區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于點(diǎn)E，且DE＝CB．求證：△CED≌△ABC．【變式33】（2023?長(zhǎng)沙）如圖，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E．求證：△ABE≌△ACD；題型四題型四利用“HL”直接判定兩三角形全等【例題4】（2022春?碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，線段AC、BD相交于點(diǎn)E，連接AB、CD，已知∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求證：BE＝CE．解題技巧提煉斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等(簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).【變式41】（2022秋?德惠市期中）如圖，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F，BF＝DE．求證：△BAE≌△DCF．【變式42】（2023春?興平市期中）如圖，已知AD，BC相交于點(diǎn)O，AB＝CD，AM⊥BC于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N，BN＝CM．求證：△ABM≌△DCN．【變式43】（2023春?城關(guān)區(qū)校級(jí)期中）如圖所示∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，且BE＝CF．求證：AF＝DE．題型五題型五判定三角形的全等求線段長(zhǎng)【例題5】（2023春?常熟市期末）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D．在射線CD上截取CE＝CA，過點(diǎn)E作EF⊥CE，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：△ABC≌△CFE；（2）若AB＝9，EF＝4，求BF的長(zhǎng)．解題技巧提煉先利用三角形全等判定的方法證明兩個(gè)三角形全等，再利用全等三角形的性質(zhì)確定兩個(gè)三角形中邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系即可求解.【變式51】（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC中，AD和BE是兩條高線，相交于點(diǎn)F，若AC＝BF，BD＝5，CD＝2，則AF＝．【變式52】（2023春?平陰縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．（1）求證：△ABD≌△EDC；（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的長(zhǎng)．【變式53】（2023?惠山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，E，F(xiàn)為直線AD上的點(diǎn)，連接BE，CF，且BE∥CF．（1）求證：△BDE≌△CDF；（2）若AE＝13，AF＝7，試求DE的長(zhǎng)．【變式54】（2023?營(yíng)口）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB的兩側(cè)，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．（1）求證：△ACE≌△BDF；（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的長(zhǎng)．題型六題型六判定三角形的全等求角度【例題6】（2022秋?長(zhǎng)沙期末）如圖，點(diǎn)A，D，B，E在同一直線上，AC＝EF，AD＝BE，∠C＝∠F＝90°．（1）求證：△ABC≌△EDF；（2）∠ABC＝57°，求∠ADF的度數(shù)．解題技巧提煉先利用三角形全等判定的方法證明兩個(gè)三角形全等,再利用全等三角形的性質(zhì)證明角相等，要注意挖掘圖形中隱含的條件，在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．【變式61】（2023?洞頭區(qū)二模）如圖，AB＝BD，DE∥AB，∠C＝∠E．（1）求證：△ABC≌△BDE．（2）當(dāng)∠A＝80°，∠ABE＝120°時(shí)，求∠EDB的度數(shù)．【變式62】（2022春?市南區(qū)期末）如圖，已知：∠A＝∠E，AB＝EB，點(diǎn)D在AC邊上，且∠ABE＝∠CBD．（1）△EBD和△ABC全等嗎？請(qǐng)說明理由．（2）若O為CD中點(diǎn)，∠BDE＝67°，求∠OBD的度數(shù)．【變式63】（2023?西湖區(qū)校級(jí)二模）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD＝AC，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使得AE＝AB，連結(jié)BE，CE．（1）求證：△ABD≌△AEC；（2）若∠BAC＝60°，求∠BCE的度數(shù)．題型七題型七利用三角形全等證明兩直線的位置關(guān)系【例題7】（2023春?東明縣期中）如圖，四邊形ABCD中，BC＝CD，AC＝DE，AB∥CD，∠B＝∠DCE＝90°，AC與DE相交于點(diǎn)F．（1）求證：△ABC≌△ECD；（2）判斷線段AC與DE的位置關(guān)系，并說明理由．解題技巧提煉先根據(jù)全等三角形的判定方法得出兩個(gè)三角形全等，然后再利用全等三角形的性質(zhì)得出兩直線的位置關(guān)系（平行或垂直）.【變式71】（2022春?源城區(qū)期末）如圖，∠C＝∠D，AC＝BD，點(diǎn)O在AD，BC的交點(diǎn)，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，連接OE．（1）求證：△AOC≌△BOD．（2）判斷OE和AB的位置關(guān)系，并說明理由．【變式72】如圖所示，點(diǎn)B、E、F、C在同一條直線上，有AE⊥BC．DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E、F，且AC＝DB，BE＝CF，求證：（1）AC∥BD；（2）AB∥CD．【變式73】（2022春?駐馬店期末）如圖，在△ADC中，DB是高，點(diǎn)E是DB上一點(diǎn)，AB＝DB，EB＝CB，M，N分別是AE，CD上的點(diǎn)，且AM＝DN．（1）試說明：△ABE≌△DBC；（2）探索BM和BN的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由．題型八題型八三角形全等的開放探究題【例題8】（2023春?市北區(qū)期末）如圖，已知∠1＝∠2，請(qǐng)你添加一個(gè)條件：，使△ABD≌△ACD．解題技巧提煉三角形全等中的開放題，主要是根據(jù)全等三角形的判定方法添加適當(dāng)?shù)臈l件證明三角形全等，方法比較靈活，答案不唯一,熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.【變式81】（2023春?徐匯區(qū)期末）如圖，已知∠OCB＝∠OBC，如果要說明△AOB≌△DOC，那么還需要添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是．?【變式82】如圖，在△ABC與△ADC中，已知∠BAC＝∠DAC，在不添加任何輔助線的前提下，要使△ABC≌△ADC，（1）若以“SAS”為依據(jù)，則需添加一個(gè)條件是．（2）若以“AAS”為依據(jù)，則需添加一個(gè)條件是．（3）若以“ASA”為依據(jù)，則需添加一個(gè)條件是．【變式83】（2023春?黃浦區(qū)期末）如圖，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點(diǎn)H，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件使△AEH≌△CEB．你添加的條件是．【變式84】（2023?貴州模擬）如圖，點(diǎn)D在BC上，∠ADB＝∠B，∠BAD＝∠CAE．（1）添加條件：（只需寫出一個(gè)），使△ABC≌△ADE；（2）根據(jù)你添加的條件，寫出證明過程．題型九題型九利用三角形全等解決實(shí)際問題【例題9】如圖，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A，B的距離，可以再AB的垂直線BF上取兩點(diǎn)C，D．使BC＝CD，再畫出BF的垂線DE，使E與A，C在一條直線上，這時(shí)測(cè)得DE的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng)．它的理論依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS解題技巧提煉全等三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用：一般方法是把實(shí)際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．【變式91】如圖所示，海島上有A、B兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方，海島C在觀測(cè)點(diǎn)A的正北方，海島D在觀測(cè)點(diǎn)B的正北方，從觀測(cè)點(diǎn)A看海島C、D的視角∠CAD與從觀測(cè)點(diǎn)B看海島C，D的視角∠CBD相等，那么海島C、D到觀測(cè)點(diǎn)A、B所在海岸的距離相等嗎？為什么？【變式92】（2022?鐵嶺三模）如圖，小虎用10塊高度都是3cm的相同長(zhǎng)方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點(diǎn)C在DE上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為cm．【變式93】（2022秋?永城市校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在直線l上（點(diǎn)F，C之間不能直接測(cè)量），點(diǎn)A，D在l的異側(cè)，AB∥DE，∠A＝∠D，測(cè)得AB＝DE．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10cm，BF＝3cm，求FC的長(zhǎng)．【變式94】如圖，操場(chǎng)上有兩根旗桿間相距12m，小強(qiáng)同學(xué)從B點(diǎn)沿BA走向A，一定時(shí)間后他到達(dá)M點(diǎn)，此時(shí)他測(cè)得CM和DM的夾角為90°，且CM＝DM，已知旗桿AC的高為3m，小強(qiáng)同學(xué)行走的速度為0.5m/s，則：（1）請(qǐng)你求出另一旗桿BD的高度；（2）小強(qiáng)從M點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)還需要多長(zhǎng)時(shí)間？題型十題型十全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例題10】（2022秋?綏棱縣校級(jí)期末）如圖，AD∥BC，AD＝BC，AC與BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O并分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，