高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義第8章第03節(jié)空間中的平行關(guān)系

第三節(jié)空間中的平行關(guān)系考點(diǎn)高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)直線、平面平行的判定與性質(zhì)2017·全國卷Ⅰ·T6·5分線面平行的判定直觀想象邏輯推理2016·全國卷Ⅰ·T11·5分面面平行的性質(zhì)定理2016·全國卷Ⅲ·T19·12分線面平行的證明與體積計(jì)算命題分析高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查以直線與平面平行的判定和應(yīng)用，及平面與平面平行的判定和應(yīng)用為主，多以解答題的形式呈現(xiàn)，難度中等.1．直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定定理性質(zhì)定理文字語言若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么過該直線的任意一個(gè)平面與已知平面的交線與該直線平行圖形語言符號(hào)語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(leq\o(?,/)α，,bα，,l∥b))?l∥αeq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α，,lβ，,α∩β＝b))?b∥l2．平面與平面平行的判定與性質(zhì)判定定理性質(zhì)定理文字語言如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行圖形語言符號(hào)語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(aα，,bα，,a∩b＝A，,a∥β，,b∥β))?α∥βeq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β，,γ∩α＝a，,γ∩β＝b))?b∥a提醒：1.辨明三個(gè)易誤點(diǎn)(1)直線與平面平行的判定中易忽視“線在面內(nèi)”這一關(guān)鍵條件．(2)面面平行的判定中易忽視“面內(nèi)兩條相交線”這一條件．2．線面、面面平行的判定中所遵循的原則一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，不可過于“模式化”．1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥α.()(2)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面．()(3)若一條直線平行于一個(gè)平面，則這條直線平行于這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線．()(4)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．()(5)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2．(教材習(xí)題改編)下列命題中正確的是()A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C．平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，beq\o(?,/)α，則b∥α解析：選DA中，a可以在過b的平面內(nèi)；B中，a與α內(nèi)的直線可能異面；C中，兩平面可相交；D中，由直線與平面平行的判定定理知，b∥α，正確．3．(2017·全國卷Ⅰ)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()解析：選AA項(xiàng)，作如圖①所示的輔助線，其中D為BC的中點(diǎn)，則QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD與平面MNQ相交，∴直線AB與平面MNQ相交．B項(xiàng)，作如圖②所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又ABeq\o(?,/)平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.C項(xiàng)，作如圖③所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又ABeq\o(?,/)平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.D項(xiàng)，作如圖④所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥NQ.∴AB∥NQ.又ABeq\o(?,/)平面MNQ，NQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故選A．4．(教材習(xí)題改編)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E是DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為________解析：連接BD,設(shè)BD∩AC＝O,連接EO,在△BDD1中，點(diǎn)E,O分別是DD1,BD的中點(diǎn)，則EO∥BD1,又因?yàn)镋O平面ACE,BD1eq\o(?,/)平面AEC,所以BD1∥平面ACE.答案：平行5．如圖，在空間四邊形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是________．解析：在平面ABD中，eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，∴MN∥BD.又MNeq\o(?,/)平面BCD，BD平面BCD，∴MN∥平面BCD.答案：平行直線與平面平行的判定與性質(zhì)[明技法]證明直線與平面平行的3種方法(1)定義法：一般用反證法；(2)判定定理法：關(guān)鍵是在平面內(nèi)找(或作)一條直線與已知直線平行，證明時(shí)注意用符號(hào)語言敘述證明過程；(3)性質(zhì)判定法：即兩平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個(gè)平面．[提能力]【典例】如圖所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)D，D1分別為AC，A1C1(1)證明AD1∥平面BDC1；(2)證明BD∥平面AB1D1.證明：(1)∵D1，D分別為A1C1與AC的中點(diǎn)，四邊形ACC1A1為平行四邊形，∴C1D1∥DA，C1D1＝∴四邊形ADC1D1為平行四邊形，∴AD1∥C1D.又AD1eq\o(?,/)平面BDC1，C1D平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1.(2)連接D1D.∵BB1∥平面ACC1A1，BB1平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1∴BB1∥D1D.又D1，D分別為A1C1，AC中點(diǎn)，∴BB1＝DD1∴四邊形BDD1B1為平行四邊形，∴BD∥B1D1.又BDeq\o(?,/)平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，∴BD∥平面AB1D1.[母題變式1]將本例條件“D1，D分別為AC，A1C1上的中點(diǎn)”變?yōu)椤癉1，D分別為AC，A1C1上的點(diǎn)”．試問當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)等于何值時(shí)，BC1∥平面AB1D1?解：如圖，取D1為線段A1C1的中點(diǎn)，此時(shí)eq\f(A1D1,D1C1)＝1，連接A1B交AB1于點(diǎn)O，連接OD1，由棱柱的性質(zhì)知四邊形A1ABB1為平行四邊形，∴O為A1B的中點(diǎn)．在△A1BC1中，點(diǎn)O，D1分別為A1B，A1C1∴OD1∥BC1，又OD1平面AB1D1，BC1eq\o(?,/)平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.∴當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)＝1時(shí)，BC1∥平面AB1D1.[母題變式2]將本例條件“D，D1分別為AC，A1C1上的中點(diǎn)”變?yōu)椤癉，D1分別為AC，A1C1上的點(diǎn)且平面BC1D∥平面AB1D1”，試求eq\f(AD,DC)的值．解：由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O得BC1∥D1O，∴eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB).又eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD)，eq\f(A1O,OB)＝1，∴eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.平面與平面平行的判定與性質(zhì)[明技法]證明面面平行的方法(1)面面平行的定義；(2)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；(3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；(4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．[提能力]【典例】如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.解：(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1∴GH是△A1B1C1的中位線，∴GH∥B1C又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC∴B，C，H，G四點(diǎn)共面．(2)∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC.∵EFeq\o(?,/)平面BCHG，BC平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G∥EB且A1G＝∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1Eeq\o(?,/)平面BCHG，GB平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.[母題變式1]在本例條件下，若D為BC1的中點(diǎn)，求證：HD∥平面A1B1BA.證明：如圖所示，連接HD，A1B，∵D為BC1的中點(diǎn)，H為A1C1的中點(diǎn)，∴HD∥A1B又HDeq\o(?,/)平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.[母題變式2]在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，求證：平面A1BD1∥平面AC1D證明：如圖所示，連接A1C交AC1于點(diǎn)M∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴M是A1C連接MD，∵D為BC的中點(diǎn)，∴A1B∥DM.∵A1B平面A1BD1，DMeq\o(?,/)平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1BD，∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，∴DC1∥BD1.又DC1eq\o(?,/)平面A1BD1，BD1平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.直線、平面平行的綜合問題[明技法]解決與平行有關(guān)的存在性問題的基本策略先假定題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立)，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若能導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，說明假設(shè)成立，即存在，并可進(jìn)一步證明；若導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)果，則說明假設(shè)不成立，即不存在．[提能力]【典例】一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，G是DF上的一動(dòng)點(diǎn)．(1)求該多面體的體積與表面積；(2)當(dāng)點(diǎn)G在什么位置時(shí)，有GN∥平面BEF,給出證明．解：(1)由題中圖可知該多面體為直三棱柱，在△ADF中，AD⊥DF，DF＝AD＝DC＝a，所以該多面體的體積為eq\f(1,2)a3，表面積為eq\f(1,2)a2×2＋eq\r(2)a2＋a2＋a2＝(3＋eq\r(2))a2.(2)當(dāng)G是DF的中點(diǎn)時(shí)，有GN∥平面BEF,證明如下：連接BD.∵四邊形ABCD是平行四邊形，且N是AC的中點(diǎn)，∴N是BD的中點(diǎn)，∴GN∥BF，又BF平面BEF，GNeq\o(?,/)平面BEF，∴GN∥平面BEF.[母題變式]當(dāng)G是DF的中點(diǎn)