直角三角形-2022年中考數(shù)學(xué)題源解密（解析版）

專題14直角三角形

考向1直角三角形及其性質(zhì)與判定

畫題呈現(xiàn)

【母題來源】（2021?浙江麗水）

【母題題文】如圖，在Rt/XABC紙片中，NACB=90°,AC=4,BC=3,點、D,E分別在AB,AC上，連

結(jié)OE,將△AQE沿?！攴?，使點A的對應(yīng)點F落在BC的延長線上，若FD平分NEFB,則AZ）的長

為（）

A.空B.空C.型D.空

9877

【分析】由翻折得出凡ZA=ZDFE,再根據(jù)尸。平分/EFB,得出然后借助相

似列出方程即可.

【解答】解：作。，_LBC于H,

在RtZXABC紙片中，ZACB=90°,

由勾股定理得：AB^yl32+^2=5,

:將△AQE沿DE翻折得

：.AD=DF,4A=NDFE，

,:FD平分NEFB,

:.NDFE=NDFH,

：.ZDFH=NA,

設(shè)DH=3x,

在RtZ\D"尸中，sinZDW=sinZA=—,

5

：.DF=5x,

：.BD=5-5.x,

■:/XBDHS^BAC,

?.?—BD―DHf

ABAC

???-5-5x二3x,

54

.4

??A----,

7

；.AO=5xh理?.

7

故選：D.

【母題來源】（2021?浙江寧波）

【母題題文】如圖，在△42C中，ZB=45Q,NC=60°,AOJ_8C于點Q,BD=M.若E,F分別為

AB,BC的中點，則EF的長為（）

A.返B.返C.1D.返

322

【分析】由直角三角形的性質(zhì)求出AD=8D=F，由銳角三角函數(shù)的定義求出OC=1,由三角形的中位

線定理可求出答案.

【解答】解：?.?ACBC,

AZADB=ZADC=90°,

；/B=45°,BD=M，

：.AD=BD=yj3,

VZC=60°,

￡>C=—些。=里=1.

tan60v3

：?AC=2DC=2,

VE,F分別為A5,BC的中點，

，EF=LC=1.

2

故選：c.

【母題來源】（2021?浙江金華）

【母題題文】如圖，在平面直角坐標系中，有一只用七巧板拼成的“貓”，三角形①的邊BC及四邊形②的

邊CD都在龍軸上，“貓”耳尖E在y軸上.若“貓”尾巴尖A的橫坐標是1,則“貓”爪尖尸的坐標

BO\cDx

【分析】如圖，作于”，過點尸作々_Ly軸于J交P。于K,延長尸。交08于T.設(shè)大正方形

的邊長為4〃,則OC=a,CQ=2a,根據(jù)點A的橫坐標為1,構(gòu)建方程求出”,解直角三角形求出F，,KT,可得

結(jié)論.

【解答】解：如圖，作軸于H,過點F作軸于1/交PQ于K,延長PQ交08于T.設(shè)大正方

形的邊長為4”,則0C=a,CD=2a,

在RtzXAZJH中，ZADH=45°,

：.AH=DH=a,

：.OH=4a,

?.?點A的橫坐標為1,

***4〃=1,

.,?67=—,

4

在RtZ\FPQ中，PF=FQ=2a=^,

：.PQ=^PF=—,

'CFKYPQ,

：.PK=KQ,

:.FK=PK=QK=q,

：KJ=LPT=1

4

刁=返+工,

、KT=PLPK噎冬與吟哼

44

（-返_JL,工+返）.

4424_

故答案為：（-返一上L返）.

4424

【母題來源】（2021?浙江杭州）

【母題題文】已知線段AB,按如下步驟作圖：①作射線AC,使ACL4B：②作/BAC的平分線AO；③以

點A為圓心，A8長為半徑作弧，交4。于點E；④過點E作EPJ_AB于點尸，則AP：AB=（）

A.1：V5B.1：2C.1：MD.1：V2

【分析】直接利用基本作圖方法得出AP=PE,再結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)表示出AE,4P的長，即可得

出答案.

【解答】解：

...NC48=90°,

平分/84C,

；.NEA8=LX90°=45°,

2

'：EPLAB,

：.ZAPE=90°,

...NEAP=/AEP=45°,

：.AP=PE,

.?.設(shè)AP=PE=x,

^LAE=AB=y/2x,

：.AP：AB=x：y/2x=1：V2.

故選：D.

【母題來源】（2021?浙江麗水）

【母題題文】小麗在“紅色研學(xué)”活動中深受革命先烈事跡的鼓舞，用正方形紙片制作成圖1的七巧板，

設(shè)計拼成圖2的“奔跑者”形象來激勵自己.已知圖1正方形紙片的邊長為4,圖2中FM=2EM,則“奔

跑者”兩腳之間的跨度，即AB,CD之間的距離是空.

【分析】如圖2中，過點E作E/J_FK于/,過點M作M/J_FK于J.想辦法求出8M,MJ,FK與CD

之間的距離，可得結(jié)論.

【解答】解：如圖2中，過點E作E/_LFK于/,過點M作M/_LFK于l/.

由題意，ZXEFK都是等腰直角三角形，AB=8M=2,EK=EF=2&,FK=4,FK與CO之間

的距離為1,

；E1±FK,

:.KI=IF,

;.EI=LFK=2,

2

'：MJ//EI,

?肛=里=2

■,EfEF3"

.?.”/=生

3

'：AB//CD,

：.AB與CD之間的距離=2+2+1=23,

33

故答案為：

3

【母題來源】（2021?浙江衢州）

【母題題文】將一副三角板如圖放置在平面直角坐標系中，頂點4與原點O重合，AB在x軸正半軸上，且

AB=4火，點E在AQ上，DE=^AD,將這副三角板整體向右平移個單位，C,E兩點同時落在反

比例函數(shù)），=K的圖象上.

x

【分析】求得C、E的坐標，然后表示出平移后的坐標，根據(jù)％=不，得到關(guān)于f的方程，解方程即可求得.

【解答】解：?；A8=4百，

：.BD=y[3AB^\2,

：.C（45/3+6,6）,

'：DE=—AD,

4

的坐標為（3?,9）,

設(shè)平移f個單位后，則平移后C點的坐標為（4?+6+f,6）,平移后E點的坐標為（3?+f,9）,

?.?平移后C,E兩點同時落在反比例函數(shù)y=K的圖象上，

X

（473+6+/）X6=（W^+r）X9,

解得1=12-E，

故答案為12-

【母題來源】（2021?浙江嘉興）

【母題題文】如圖，在△ABC中，N8AC=30°,ZACB=45Q,A8=2,點P從點A出發(fā)沿AB方向運動,

到達點8時停止運動，連結(jié)CP,點A關(guān)于直線CP的對稱點為4',連結(jié)A'C,A'P.在運動過程中,

點A'到直線AB距離的最大值是；點?到達點B時，線段A'P掃過的面積為.

C

【分析】如圖1中，過點8作于和解直角三角形求出CA,當(dāng)CA'時，點A'到直線

42的距離最大，求出CA',CK.可得結(jié)論.如圖2中，點P到達點B時，線段A'尸掃過的面積=S

扇形AC4-2S^ABCI由此求解即可.

【解答】解：如圖1中，過點8作8〃_LAC于〃.

在中，84=A8?sin30°=1,AH=\f3BH=y/3,

在Rtz^BC”中，NBCH=45°,

：.CH=BH=\,

：.AC=CA'=1+V^

當(dāng)CA'時，點4'到直線A8的距離最大，//\\

設(shè)CA'交A8的延長線于K.CHA

o_1+73圖1

在Rt/^ACK中，CK=AC?sin30----------,

__2_

1W3-1W3

A'JT—CA'I-UA/O-

-rv-r

J22n,A、

如圖2中，點尸到達點B時，線段4'P掃過的面積=5扇形4CA-IS^ABC\、、

2

=.”?(1+?”X1X(i+V§）Xl=（1+返）TT-1-百.「\'\

3602

故答案為：二(|+返)TT-1

22圖2

【試題分析】以上試題考察了直角三角形的定義、性質(zhì)、以及判定三個考點;

【命題意圖】直角三角形是中考數(shù)學(xué)中比較重要的問題背景，不管是全等三角形還是特殊三角形以及后續(xù)

的相似三角形，牽涉或者轉(zhuǎn)化成了直角三角形，問題的突破口可能也就出來了。故，直角三角形是中考數(shù)

學(xué)必然會全面考察的一個兒何圖形;

【命題方向】浙江中考中，直角三角形的性質(zhì)或者判定可以以選擇題、填空題出題，也可以是簡單解答問

題，亦或者壓軸大題的問題背景，屬于考察較多的一個考點，分值占比也有7~15分之多，故要求考生在這

個點的復(fù)習(xí)上要特別認真，爭取把每個直角三角形的相關(guān)問題都掌握清楚。

【得分要點】

一.直角三角形的性質(zhì)與判定

直角三角形的兩個銳角互余

性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半

在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊長的一半

判定有一個角是90°的三角形時直角三角形

有兩個角互余的三角形是直角三角形

二.直角三角形攝影定理圖形常見的三個應(yīng)用方向

1.等積法（求斜邊上的高）

2.同角的余角相等（得NA=NBCD）

3.射影定理

在圓中因為直徑所對圓周角=90°,轉(zhuǎn)化得此圖形,

進而利用以上3個結(jié)論！

考向2勾股定理及其逆定理

「圖題呈現(xiàn)

【母題來源】（2021?浙江嘉興）

【母題題文】如圖，在△48C中，/BAC=90°,AB=AC=5,點。在AC上，且40=2,點E是AB上

的動點，連結(jié)OE,點凡G分別是BC和力E的中點，連結(jié)AG,尸G,當(dāng)AG=FG時，線段DE長為（）

B.羊C.年

A.V13D.4

【分析】法一：分別過點G,尸作AB的垂線，垂足為M,N,過點G作GPLFN于點P,由中位線定理

及勾股定理可分別表示出線段AG和FG的長，建立等式可求出結(jié)論.

法二：連接DF,AF,EF,利用中位線定理，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半求得△DFG是直角三

角形，然后再結(jié)合全等三角形的判定和性質(zhì)求勾股定理求解.

【解答】解：法一、如圖，分別過點G,尸作AB的垂線，垂足為N,過

點G作GPLFN于點P,

四邊形GMNP是矩形，

:.GM=PN,GP=MN,

MNEB

VZBAC=90°,AB=AC=5,

：.CA1,AB,

又?.?點G和點F分別是線段OE和8c的中點，

：.GM和FN分別是和△A8C的中位線，

.?.GM=LAD=I,AM=LE,

22

1R1R

FN=—AC=—,AN=—AB=—,

2222

:.MN=AN-AM=^--LE,

22

：.PN=l,FP=^~,

2

設(shè)

：.AM=^m,GP=MN=?-L,

222

在RtZkAGM中，AG2=(X?)2+l2,

2

在RtZ\GPF中，GF2=(A-1?〃?)2+(3)2,

222

：AG=GF,

22

(Am)2+]2=(A-XM)+(A),

2222

解得加=3,即4E=3,

在Rt^ADE中，DE={/+應(yīng)2=丘?

故選:A.

法二、如圖，連接。RAF,EF,

在△A3C中，AB=AC,NC48=90。,

：.ZB=ZC=45°,

???點G是?！甑闹悬c，點廠是BC的中點，

:.AG=DG=EG,AF=BF,AFLBC,ZDAF=45°,

：.ZDAF=ZB=45°,

■;FG=AG,

:?FG=DG=EG,

???△DFG是直角三角形，且NOFE=90°,

VZDFA-hZAFE=ZBFA+ZAFE=90°,

:?/DFA=NEFB,

在△■F￡>和△8FE中，

，ZDAF=ZB

<AF=BF

,ZDFA=ZEFB

：./\AFD^/\BFE(ASA),

：.AD=BE=2,

；.AE=3,

在中，

RtZ\AZ)EDE=^AD2+AE2=^/73.

故選:A.

【試題分析】此題考察了直角三角形背景下勾股定理與中位線定理的結(jié)合問題；

【命題意圖】直角三角形勾股定理及其逆定理是在初中數(shù)學(xué)中求長度常用的等量關(guān)系，特別是勾股定理，

應(yīng)用范圍很廣泛；

【命題方向】勾股定理的考察在浙江中考中比較少單獨考察，主要是因為在一些綜合問題中勾股定義的應(yīng)

用已經(jīng)夠多了，故而勾股定理常作為壓軸問題中的中間步驟考察，而勾股定理的逆定理的考察較少，常在

一些小題里輔助得到直角三角形，進而用直角三角形的性質(zhì)。

【得分要點】

勾股定理及其逆定理

勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方

勾股定理逆定理如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三

角形

勾股數(shù)能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，成為勾股數(shù)

常見的勾股數(shù)：3,4,5及其倍數(shù)；5,12,13及其倍數(shù)；7,24,25及其倍數(shù)；8,15,17

及其倍數(shù)

1.（2021?寧波模擬）將一副三角尺如圖放置，AABC是等腰直角三角形，NC=/DBE=90°,NE=30°,

當(dāng)EC所在的直線與AC垂直時，/CBE的度數(shù)是（）

c

A.120°B.135°C.150°D.165°

【分析】延長EO交AC于R根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N5Q"NC3D=180°,由三角形的外角定理求得

NBDF,即可求出NCBQ,進而得到NCBE.

【解答】解：延長石。交AC于R

則EFA.AC,

.'.ZEFC=90°,

?；NC=NDBE=90。,

AZC+Z￡FC=180°,Q

:.EF〃BC，1%

：.ZBDF+ZCBD=\S0°,\

AZCBD=180°-NBDF,\\

?:/BDF=NBDE+/E,ZE=30°,

:?NBDF=90°+30°=120°,

AZCBD=180°-ZBDF=180°-120°=60°，

：.ZCBE=ZCBD+ZDBE=60°+90°=150°，

故選：c.

2.（2021?普陀區(qū)模擬）如圖，在RtZ\ABC中，NACB=90°,將邊BC沿斜邊上的中線CD折疊到CB',

若NB=48°,則/ACB'=

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/A的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)分別求出/BCD、NOC4的度

數(shù)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)求出N8'C。的度數(shù)，計算即可.

【解答】解：；NAC8=90°,/8=48°,

，/A=42°,

VZ4CB=90°,8是斜邊上的中線，

：.CD=BD,CD=AD,

.?.NBCO=NB=48°,ZDCA=ZA=42°,

由翻折變換的性質(zhì)可知，NB'CO=N8CO=48",

AZACB1=NB'CD-NDCA=6°,

故答案為：6°.

3.（2021?寧波模擬）如圖，在△ABC中，AOLBC于點。，點E,F分別是AB,AC邊的中點，請你在△

ABC中添加一個條件：,使得四邊形AED尸是菱形.

【分析】由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出。E=LB=AE,DF=^AC=AF,由AB=AC,得出。E

22

=DF=AE=AF,即可得出結(jié)論.

【解答】解：添加條件：AB^AC.理由如下：

?..4OL8C,點E,尸分別是AB,AC邊的中點，

：.DE=^AB=AE,DF=^-AC=AF,

22

'：AB=AC,

:.DE=DF=AE=AF,

...四邊形AED尸是菱形；

故答案為：AB^AC（答案不唯一）.

4.（2021?越城區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，AC=BC=4?ZC=90°,點。在BC上，且C￡）=3DB,

將△ABC折疊，使點A與點。重合，EF為折痕，貝!]tan/BED的值是.

【分析】先根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得到△OEF也△4￡「，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)可

得到N8E￡>=NCOF,設(shè)CF=x,。廣=必=4\歷-X，再根據(jù)勾股定理即可求解.

【解答】解：???△OEF是△AEF翻折而成，

：./\DEF^/^AEF,ZA=ZEDF,

???△ABC是等腰直角三角形，

：.ZEDF=45°,

由三角形外角性質(zhì)得/C￡>"45°=N8EO+45”,

:.NBED=NCDF,

；4C=8c=4&,CD=3DB,

：.CD=3\[2'。8=衣，

設(shè)CF=x,

：.DF=FA=4y[2-x,

...在RtZ\COF中，由勾股定理得，

CF-+CD1=DF1,

即，+（3&）2=（4A/2-x）2,

解得X=N0,

8_

7近

.,.tanZfi￡D=tanZCDF=^-=—^=-=-2_.

CD3V224

故答案為_2_.

24

5.（2021?湖州一模）四巧板是一種類似七巧板的傳統(tǒng)智力玩具，它是由一個長方形按如圖1分割而成，

這幾個多邊形的內(nèi)角除了有直角外，還有45°、135。、2700角.小明發(fā)現(xiàn)可以將四巧板拼搭成如圖2

的T字形和V字形，那么T字形圖中高與寬的比值互為（）

1

【分析】如圖1中，設(shè)A8="，則AC=￡>￡=J5mCE=2加“，求出兒/,可得結(jié)論.

【解答】解：如圖1中，設(shè)A8=“，則AC=OE=&”，CE=2&a,

h—a+2\f^i?/—2^26/?

?h=a+2&a=4+\/^

*T2V2a

故選：C.

圖1圖2

6.（2021?湖州一模）我國古代數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形

和兩對全等的三角形，如圖所示，已知乙4=90°,2。=3,CF=10,則OE的長度是

【分析】設(shè)正方形A。。尸的邊長為x,在直角三角形AC8中，利用勾股定理可建立關(guān)于x的方程，解方

程即可，進而得出0￡的長.

【解答】解：設(shè)正方形AOOF的邊長為x,

由題意得：BE=BD=3,CE=CF=10,

.?.8C=BE+CE=BO+b=3+10=13,

在RtZkABC中，AC2+AB2=BC2,

即（3+x）2+（x+10）2=132,

整理得，7+13x-30=0,

解得：x—2,或x=-15（舍去），

即正方形ADOF的邊長是2,

,:△BDgABEO,

：.OE=OD=2.

故答案為：2.

7.（2021?濱江區(qū)一模）如圖，若/C4B=30°,AE=\,EF=3,AD=2,則E￡>2+"）2=

C

D

A

EB

【分析】過點。作于點H,由直角三角形的性質(zhì)得出￡W=LO=1,AH=M，求出EH,FH

2

的長，則由勾股定理可得出答案.

VZCAB=30°,AD=2,

:.DH=XAD^],AH=M，

2

在RtZ^OEH中，EFf-^Elf+DH1,

在RtZ\￡W尸中，F(xiàn)D1=HF1+DH1,

ED2+FD2=EH2+I+HF2+1,

'：AE=\,EF=3,

：.EH=y[3-1,

：.HF=EF-EH=3-1)=4-A/3-

22(^3-)2_^32

.-.ED+FD=1+1+(4)+1

=25-IOA/3.

故答案為：25-l(h/3.

8.（2021?上城區(qū)一模）如圖，在△4CB中，/C=90°,AC=8C=4,點E是BC中點，點。，尸分別在

邊AC,AB上（均包括端點），若使△OEF為直角三角形的點尸恰好有兩個，則CQ的長應(yīng)滿足的條件

【分析】如圖，當(dāng)。，E分別為直角頂點時，一定存在兩個點Q,仍滿足條件.以。E為直徑作圓，當(dāng)

圓與直線AB相切時，存在一個點F,使得NDFE=90°,此時CC=A￡>=2,觀察圖象可知，滿足條件

的C。的值為OWCOV2.當(dāng)點。與A重合時，也滿足條件，此時CO=4.

【解答】解：如圖，當(dāng)。，E分別為直角頂點時，一定存在兩個點為，乃滿足條件.

以力E為直徑作圓，當(dāng)圓與直線A8相切時，存在一個點尸，使得/￡>FE=90°,此時CO=AD=2,

觀察圖象可知，滿足條件的CD的值為0WCDV2,

另外當(dāng)點。與A重合時，也滿足條件，此時CC=4,

綜上所述，CD=4或OWCOV2.

故答案為：CO=4或0WCCV2.

9.(2021?嘉善縣一模)在RtZVIBC中，N4CB=90°，點。在直線4c上，連接BD,以BD為邊作等腰

直角/XBDE(點E在直線BD右側(cè))，連接CE.

(1)如圖1,若乙4=45°,且點。在AC邊上，求證：XABDsMCBE、

(2)如圖2,若0°<乙4<45°,且BC=12,CD=5,求CE的長；

(3)如圖3,若點。在AC的延長線上，BD,CE相交于點F,設(shè)△CDF的面積為Si,的面積為

S2,aBCF的面積為S3,則工8c2=2S2-S1+S3,請說明理由.

2

圖1圖2圖3

【分析】(1)根據(jù)NA=45°可得RtZ^ABC是等腰直角三角形，根據(jù)角的和差得出NABD=NCBE,根

據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得里即可判定△ABOS/KCBE；

BDBA2

(2)點。在線段AC上時，過點上作￡：知_12€：于M,EN1AC,交AN的延長線于點N,設(shè)OE、BC

交于點F,易得ADCFS/\BEF,空可推出△"￡＞尸s△￡：(了,/3=/4=45°,可得四邊形CMEN

EFBF

是正方形，設(shè)EM=x,證明△DENgABEM,得出BM=DN,即5+x=12-x,求出x,即可得CE的長，

同理，可得出點。在線段AC的延長線上時，CE的長；

(3)作/C8O=45°交AC于點0,則△08C是等腰直角三角形，證明△O8Os/\CBE,可得

12

npKBC+S1

也SAE陋S=叫2=2,即_?________/+SO

=2,即可得出結(jié)論.

S/kCBEEBS2+S3

【解答】(1)證明：：NA=45°,ZACB=90°,

...NA8C=45°,RtZ\ABC是等腰直角三角形，

.BCV2

??->

BA2

?.?△8DE是等腰直角三角形，

AZDBE=45°,星

BD2

:./ABC-NDBC=NDBE-/DBC,即/ABO=NC8E,此

BABD

:AABDSACBE；

(2)點O在線段AC上時，過點E作EM_LBC于M,作用V_LAC,交AN的延長線于點M設(shè)。E、BC

交于點F,

圖2

,：ZACB=90a,△8DE是等腰直角三角形，

.../OCF=NBEF=90°,/3=45°,Nl=/2,

:.MDCFsMBEF,

.CFDF

??,

EFBF

?:NBFD=/EFC,

:.ABDFSAECF,

???N3=N4=45°,

VZACB=90°,EMLBC,EN1.AC,

，四邊形CMEN是正方形，NBME=NN=90°,

:.CN=EM=CM=NE,

在△￡)￡?/和△8EM中，

rBE=DE

<ZBME=ZN，

ME=NE

:.△DEN^ABEM,

:.BM=DN,

設(shè)EM=x,

：8C=12,CO=5,

；.5+x=12-x,解得：x——,

2

在Rt/XCA/E中，N4=45°,

：.CE=yf2EM=^^-.

2

同理，點￡＞在線段AC的延長線上時，CE=^2..

2

(3)作NCBO=45°交AC于點。，

圖3

VZACB=90°,

??.△O8C是等腰直角三角形,

AZ1=45°,-1^-=V2-

???△8OE是等腰直角三角形,

???N3=45。，IF

DE

/.Z1+Z2=Z3+Z2,即/OBO=/C3E,理?段，

BCBE

SDsXCBE、

12

.?.2=（嗎