專題3.2 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（舉一反三）（新高考專用）（學生版） 2025年高考數(shù)學一輪復(fù)習專練（新高考專用）

專題3.2導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1不含參函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間】 2【題型2含參函數(shù)的單調(diào)性】 3【題型3根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】 4【題型4函數(shù)與導函數(shù)圖象之間的關(guān)系】 4【題型5函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用——比較大小】 6【題型6函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用——解不等式】 6【題型7導數(shù)關(guān)系構(gòu)造函數(shù)解不等式】 71、導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)結(jié)合實例，借助幾何直

觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系

(2)能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)

(3)會利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小，求參數(shù)的取值范圍等簡單應(yīng)用2022年新課標I卷：第7題，5分2022年全國甲卷：第12題，5分2023年新課標Ⅱ卷：第6題，5分2024年新課標I卷：第10題，6分導數(shù)與函數(shù)是高中數(shù)學的核心內(nèi)容，是高考常考的熱點內(nèi)容，從近三年的高考情況來看，本節(jié)內(nèi)容在高考中常涉及的問題有：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小、解不等式、求參數(shù)范圍等；此類問題體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想，此類問題在選擇、填空、解答題中都有考查，而在解答題中時往往在第一小問中呈現(xiàn)，此時試題整體難度較大.【知識點1導數(shù)中函數(shù)單調(diào)性問題的解題策略】1.確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟；(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；(4)解不等式f'(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.2.含參函數(shù)的單調(diào)性的解題策略：(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論.(2)若導函數(shù)為二次函數(shù)式，首先看能否因式分解，再討論二次項系數(shù)的正負及兩根的大??；若不能因式分解，則需討論判別式△的正負，二次項系數(shù)的正負，兩根的大小及根是否在定義域內(nèi).3.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路：(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y=f(x)在(a,b)上單調(diào)，則區(qū)間(a,b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.(2)f(x)為增(減)函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，f'(x)不恒為零，應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則會漏解.(3)函數(shù)在某個區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.【知識點2導數(shù)中函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用】1.比較大小：利用導數(shù)比較大小，其關(guān)鍵在于利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小的問題轉(zhuǎn)化為先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而根據(jù)單調(diào)性比較大小.2.解不等式：與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式，要充分挖掘條件關(guān)系，恰當構(gòu)造函數(shù)；題目中若存在f(x)與f'(x)的不等關(guān)系時，常構(gòu)造含f(x)與另一函數(shù)的積(或商)的函數(shù)，與題設(shè)形成解題鏈條，利用導數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，從而求解不等式.【解題方法與技巧】導數(shù)關(guān)系構(gòu)造函數(shù)的一些常見結(jié)構(gòu)：(1)對于不等式f'(x)+g'(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)+g(x).(2)對于不等式f'(x)-g'(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x).特別地，對于不等式f'(x)>k，構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-kx.(3)對于不等式f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)·g(x).(4)對于不等式f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=.(5)對于不等式xf'(x)+nf(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=.(6)對于不等式f'(x)+f(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=.(7)對于不等式f'(x)+kf(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=.【題型1不含參函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間】【例1】（2024·浙江·模擬預(yù)測）函數(shù)fx=ln2x?1?x2+x的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A．0,1 B．1C．1?22,【變式1-1】（2024·上海靜安·二模）函數(shù)y=xlnA．嚴格增函數(shù)B．在0,1eC．嚴格減函數(shù)D．在0,1e【變式1-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）下列函數(shù)是奇函數(shù)且在0,+∞上單調(diào)遞減的是（

A．fx=3C．fx=x?x【變式1-3】（2024·四川成都·三模）已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，且當x>0時，fx=x1?lnx，則當A．?∞,?eC．?∞,0 【題型2含參函數(shù)的單調(diào)性】【例2】（2024·遼寧鞍山·二模）已知函數(shù)fx=1(1)若曲線y=fx在x=2處的切線與y軸垂直，求實數(shù)a(2)討論函數(shù)fx【變式2-1】（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)fx=?a(1)討論fx(2)若y=fx的圖象與x【變式2-2】（2024·貴州·二模）已知函數(shù)fx(1)求曲線y=fx在點1,f(2)討論fx在0,+【變式2-3】（2024·陜西榆林·三模）已知函數(shù)fx=mln(1)討論fx(2)當m=1時，證明：f′【題型3根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】【例3】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）若函數(shù)?x=lnx?12aA．?∞,?1 B．?∞,?1 C．【變式3-1】（2024·江西宜春·三模）已知a>0，且a≠1，若函數(shù)f(x)=a(lnx?ax?1)在(1,+A．(0,1e] B．[1e,1)【變式3-2】（2024·山東濟寧·一模）若函數(shù)fx=logaax?x3(a>0且A．3,+∞ B．1,3 C．0,13【變式3-3】（23-24高三上·河北·期末）設(shè)函數(shù)fx=ax?alnx(a>0且a≠1)A．e,+∞ B．e2,+∞ 【題型4\t"/gzsx/zj166005/_blank"\o"函數(shù)與導函數(shù)圖象之間的關(guān)系"函數(shù)與導函數(shù)圖象之間的關(guān)系】【例4】（2023·安徽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=16x3+A．

B．

C．

D．

【變式4-1】（2024·四川成都·一模）函數(shù)fx=2ax

A．b<c<a B．b<a<c C．a(chǎn)<b<c D．a(chǎn)<c<b【變式4-2】（2023·云南曲靖·三模）已知函數(shù)fx與gx的部分圖象如圖所示，則（

A．g′?1<0<fC．g′3<f【變式4-3】（2024·北京海淀·一模）函數(shù)f(x)是定義在(?4,4)上的偶函數(shù)，其圖象如圖所示，f(3)=0.設(shè)f′(x)是f(x)的導函數(shù)，則關(guān)于x的不等式f(x+1)?fA．[0,2] B．[?3,0]∪[3,4) C．(?5,0]∪[2,4) D．(?4,0]∪[2,3)【題型5函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用——比較大小】【例5】（2024·江西宜春·三模）已知a=12e，b=ln222A．b<a<c B．b<c<a C．a(chǎn)<b<c D．c<b<a【變式5-1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知a=ln65,b=1A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．c>b>a D．c>a>b【變式5-2】（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=2x+2?x+cosA．c<b<a B．b<c<a C．c<a<b D．b<a<c【變式5-3】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知a=9798,b=A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．c>b>a【題型6函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用——解不等式】【例6】（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)?1A．(?∞,?2] B．C．[?2,43]【變式6-1】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知函數(shù)fx=x?13+A．0,+∞ B．1,+∞ C．2,+∞【變式6-2】（2024·山東聊城·三模）設(shè)函數(shù)fx的定義域為R，導數(shù)為f′x，若當x≥0時，f′x>2x?1，且對于任意的實數(shù)A．?∞,1 B．13,1 C．【變式6-3】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，gx=f′x?2exA．?∞,?1∪C．?1,3 D．?3,1【題型7導數(shù)關(guān)系構(gòu)造函數(shù)解不等式】【例7】（2024·山東濰坊·三模）已知函數(shù)fx的導函數(shù)為f′x，且f1=e，當x>0時，A．0,1 B．0,+∞ C．1,+∞ 【變式7-1】（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）設(shè)定義域為R的偶函數(shù)y=fx的導函數(shù)為y=f′x，若f′x+A．?∞,?1∪C．?3,1 D．?1,3【變式7-2】（2024·吉林·二模）已知函數(shù)fx的定義域為?∞,0，其導函數(shù)f′x滿足xA．?2025,?2024 B．?2024,0C．?∞,?2024 【變式7-3】（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知定義在0,+∞上的函數(shù)fx滿足f′x?fxA．0,+∞ B．1,+∞ C．?∞一、單選題1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）函數(shù)y=12xA．?1,1 B．?1,1 C．1,+∞ D．2．（2024·上?！と＃┰趨^(qū)間I上，f′x>0是函數(shù)y=fA．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要3．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知a=ln75，b=cos25，A．a(chǎn)>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b4．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=xα(x>0)，α為實數(shù)，f(x)的導函數(shù)為f′(x)，在同一直角坐標系中，f(x)A． B．C． D．5．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）若函數(shù)fx=12sin2x?acosA．?∞,?1 B．?1,+∞ C．?6．（2024·江西南昌·三模）已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f2=?1，對任意x∈R，f(x)+xfA．?∞,1 B．?∞,2 C．7．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知函數(shù)fx=x2?cosx，則fA．f?ln5C．f?ln58．（2024·寧夏銀川·三模）已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，f′(x)是f(x)的導函數(shù)，當x>0時，3f(x)+xf′(x)>0，且f(2)=2A．(1,+∞) C．(?∞,1) 二、多選題9．（2024·廣東茂名·一模）若fx=?13x3+A．?4 B．?3 C．3 D．410．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知fx為(0,+∞)上的可導函數(shù)，且x+1A．3f4<4f3 B．4f4>5f311．（2024·浙江臺州·一模）已知gx是定義域為R的函數(shù)fx的導函數(shù)，f0=1，f1=0，A．fB．f3>1e（C．存在x0∈D．若x0∈三、填空題12．（2024·河北邢臺·二模）若a=13，b=tanπ9，c=ln54，則13．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=x2+x?2e14．（2024·新疆·三模）設(shè)函數(shù)fx在R上存在導數(shù)f′x，對于任意的實數(shù)x，有fx?f?x+2x=0，當x∈?∞四、解答題15．（2024·重慶·三模）已知函數(shù)f