專題5.1 平面向量的概念及線性運算（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題5.1平面向量的概念及線性運算【五大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平面向量的基本概念】 2【題型2向量加、減法的幾何意義】 3【題型3向量的線性運算】 3【題型4根據(jù)向量線性運算求參數(shù)】 4【題型5向量共線定理及其應(yīng)用】 41、平面向量的概念及線性運算考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義

(2)掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義

(3)了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義2022年新高考全國I卷：第3題，5分2023年全國甲卷（理數(shù)）：第4題，5分平面向量是高考的熱點內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，平面向量的概念和平面向量的線性運算主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易，考查形式比較穩(wěn)定.學(xué)生在高考復(fù)習(xí)中應(yīng)注意加強(qiáng)對向量的線性運算法則、向量共線定理的理解.【知識點1平行向量有關(guān)概念的歸納】1．平行向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān).(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.(4)非零向量與的關(guān)系：是與同方向的單位向量.【知識點2平面向量線性運算問題的解題策略】1．平面向量線性運算問題的求解思路：(1)解決平面向量線性運算問題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化；(2)在求向量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.2．向量線性運算的含參問題的解題策略：與向量的線性運算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.3．利用共線向量定理解題的策略：(1)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A,B,C三點共線共線.(3)若與不共線且，則.(4)(λ,μ為實數(shù))，若A,B,C三點共線，則λ+μ=1.【方法技巧與總結(jié)】1．中點公式的向量形式：若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則.2．(λ,μ為實數(shù))，若A,B,C三點共線，則λ+μ=1.3．解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.【題型1平面向量的基本概念】【例1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量a，b為非零向量，則“向量a，b的夾角為180°”是“a//b”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-1】（2024·北京·三模）若a,b為非零向量，則“aa=bA．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-2】（2023·江蘇鹽城·三模）已知ABCD是平面四邊形，設(shè)p：AB=2DC，q：ABCD是梯形，則p是q的條件（A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【變式1-3】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）下列有關(guān)四邊形ABCD的形狀判斷錯誤的是（

）A．若AD=BC，則四邊形B．若AD=13C．若AB=DC，且|ABD．若AB=DC，且AC⊥【題型2向量加、減法的幾何意義】【例2】（2024·河南開封·三模）在平面四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，則下列向量與AB+DC不相等的是（A．2EF B．AC+DB C．EB【變式2-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）等邊三角形ABC的垂心為O，點D是線段BC上靠近B的三等分點，則AD=（

A．OB+23C．OB+34【變式2-2】（2023·安徽淮南·一模）在△ABC中，AB=4,AC=6，點D，E分別在線段AB，AC上，且D為AB中點，AE=12EC，若AP=AD+A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【變式2-3】（2024·廣東·模擬預(yù)測）等腰△ABC中，∠B=∠C=30°,AB=1，D為線段AB上的動點，過D作DE∥BC交AC于E．過D作DF⊥BC交BC于F，則|2BF+DEA．3 B．23 C．33 【題型3向量的線性運算】【例3】（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）下列向量關(guān)系式中，正確的是（

）A．MN=NM C．AB+CA=【變式3-1】（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）已知向量a,b，則2aA．a(chǎn)+b C．3a+b【變式3-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）在△ABC中，NA+NC=A．NM=?13C．NM=?13【變式3-3】（2024·四川自貢·一模）如圖所示的△ABC中，點D是線段BC上靠近B的三等分點，點E是線段AB的中點，則DE=（

A．?13ABC．?56AB【題型4根據(jù)向量線性運算求參數(shù)】【例4】（2023·寧夏石嘴山·二模）如圖，已知△ABC中，D是AB邊上一點，若DB=12AD，3CD

A．?2 B．2 C．?1 D．3【變式4-1】（2023·貴州·模擬預(yù)測）已知在△ABC中，點D為邊BC的中點，若AD+BC=λAB+μA．1 B．－1 C．2 D．－2【變式4-2】（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形ABCD中，M為BC的靠近點C的三等分點，AC與MD相交于點P，若AP=xAB+yAD，則A．23 B．916 C．34【變式4-3】（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）在△ABC中，D是線段BC上一點，滿足BD=2DC,M是線段AD的中點，設(shè)BM=xAB+yA．x?y=?12 C．x?y=12 【題型5向量共線定理及其應(yīng)用】【例5】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知平面向量a，b，則“a//b”是“存在λ∈R，使得a=λA．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式5-1】（2024·上海崇明·一模）設(shè)O為△ABC所在平面上一點.若實數(shù)x、y、z滿足xOA+yOB+zOC=0x2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件.【變式5-2】（2023·北京海淀·二模）已知a,b是平面內(nèi)兩個非零向量，那么“a∥b”是“存在λ≠0，使得|a+λbA．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式5-3】（2023·甘肅武威·一模）已知正三角形ABC的邊長為6，AP=λAB+μAC，λ∈0,1，μ∈0,1且3λ+4μ=2，則點A．23 B．3 C．33 一、單選題1．（2023·北京大興·三模）設(shè)a，b是非零向量，“aa=bb”是“A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023·福建南平·模擬預(yù)測）已知正方形ABCD的邊長為1，點M滿足AB+BC=2AM，則A．12 B．1 C．22 3．（2023·四川南充·一模）已知正方形ABCD的邊長為1，則AB+BC?A．0 B．2 C．22 4．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）在梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，點M是BC的中點，則AM=A．23AB?C．AB+125．（2024·廣西·模擬預(yù)測）在△ABC中，AB=4AD，CE=2ED.若A．λ+μ=5 B．λ?μ=1 C．λμ=6 D．λ6．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知e1?,e2?是兩個不共線的向量，若A．λμ=?2 B．λμ=?2 C．λμ7．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知向量e1，e2是平面上兩個不共線的單位向量，且AB=e1+2eA．A、B、C三點共線 B．A、B、D三點共線C．A、C、D三點共線 D．B、C、D三點共線8．（2024·全國·二模）點O,P是△ABC所在平面內(nèi)兩個不同的點，滿足OP=OA+OB+OC，則直線A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心二、多選題9．（23-24高一下·新疆克孜勒蘇·期中）下列說法中正確的是（

）A．若a與b都是單位向量，則aB．零向量的長度為零，方向是任意的C．若a與b是平行向量，則aD．若a+b=010．（2024·遼寧·二模）△ABC的重心為點G，點O，P是△ABC所在平面內(nèi)兩個不同的點，滿足OP=OA+A．O,P,G三點共線 B．OPC．2OP=AP+BP+11．（2023·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)與生活存在緊密聯(lián)系，很多生活中的模型多源于數(shù)學(xué)的靈感．已知某建筑物的底層玻璃采用正六邊形為主體，再以正六邊形的每條邊作為正方形的一條邊構(gòu)造出六個正方形，如圖所示，則在該圖形中，下列說法正確的是（

）

A．GH=23C．GB=33三、填空題12．（2023·黑龍江·模擬預(yù)測）在平行四邊形ABCD中，3BE→=ED→，13．（23-24高一下·上海浦東新·期中）下列關(guān)于向量的命題，序號正確的是.①零向量平行于任意向量；②對于非零向量a,b，若a//③對于非零向量a,b，若a=±④對于非零向量a,b，若a//b，則14．（2024·山西太原·三模）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”(以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形).類比“趙爽弦圖”，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，且DF=AF，點P在AB上，BP=2AP，點Q在△DEF內(nèi)(含邊界)一點，若PQ=λPD+PA，則四、解答題15．（23-24高一下·新疆喀什·期中）化簡下列各式：(1)(AB(2)AB?(3)OA?16．（24-25高二·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）如圖，E、F、G依次是正三角形ABC的邊AB、BC、AC的中點.(1)在以A、B、C、E、F、G為起點或終點的向量中，找出與向量EF共線的向量；(2)在以A、B、C為起點，以E、F、G為終點的向量中，找出與向量GF模相等的向量；(3)在以E、F、G為起點，以A、B、C為終點的向量中，找出與向量EG相等的向量.17．（23-24高一下·河南周口·階段