專題5.4 復(fù)數(shù)（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題5.4復(fù)數(shù)【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1復(fù)數(shù)的概念】 6【題型2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】 6【題型3復(fù)數(shù)的幾何意義】 7【題型4復(fù)數(shù)的相等】 7【題型5復(fù)數(shù)的?！?7【題型6復(fù)數(shù)的三角表示】 8【題型7復(fù)數(shù)與方程】 91、復(fù)數(shù)考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)通過(guò)方程的解，認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)

(2)理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義

(3)掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義2022年新高考全國(guó)I卷：第2題，5分、Ⅱ卷：第2題，5分2023年新高考I卷：第2題，5分2023年新高考Ⅱ卷：第1題，5分2024年新高考I卷：第2題，5分2024年新高考Ⅱ卷：第1題，5分2024年全國(guó)甲卷（文數(shù)）：第1題，5分、（理數(shù)）：第1題，5分復(fù)數(shù)是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，是高考的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來(lái)看，高考對(duì)復(fù)數(shù)的考查比較穩(wěn)定，往往以單選題、填空題的形式考查，考查內(nèi)容、難度變化不大，主要考查復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算及其幾何意義，屬于簡(jiǎn)單題.預(yù)測(cè)明年高考復(fù)數(shù)依舊以單選題、填空題形式呈現(xiàn)，比較簡(jiǎn)單.【知識(shí)點(diǎn)1復(fù)數(shù)的概念】1．復(fù)數(shù)的概念(1)復(fù)數(shù)的概念

我們把形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復(fù)數(shù)集.這樣，方程+1=0在復(fù)數(shù)集C中就有解x=i了.(2)復(fù)數(shù)的表示復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊說(shuō)明時(shí)，復(fù)數(shù)z=a+bi都有a,b∈R，其中的a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部.(3)復(fù)數(shù)的分類對(duì)于復(fù)數(shù)a+bi，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)0；當(dāng)b≠0時(shí)，它叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，它叫做純虛數(shù).顯然，實(shí)數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集，即RC.

復(fù)數(shù)z=a+bi可以分類如下：

復(fù)數(shù).

2．復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個(gè)數(shù)a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我們規(guī)定：a+bi與c+di相等當(dāng)且僅當(dāng)a=c且b=d，即當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部相等、虛部與虛部相等時(shí)，兩個(gè)復(fù)數(shù)才相等.【知識(shí)點(diǎn)2復(fù)數(shù)的幾何意義】1．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)平面

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，可得復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)，而有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，所以復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

如圖所示，點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z=a+bi可用點(diǎn)Z(a,b)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.(2)復(fù)數(shù)的幾何意義——與點(diǎn)對(duì)應(yīng)

由上可知，每一個(gè)復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng).復(fù)數(shù)集C中的數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，即復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)，這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.(3)復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對(duì)應(yīng)

在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)平面向量都可以用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示，而有序?qū)崝?shù)對(duì)與復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的.這樣就可以用平面向量來(lái)表示復(fù)數(shù).如圖所示，設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z=a+bi，連接OZ，顯然向量由點(diǎn)Z唯一確定；反過(guò)來(lái)，點(diǎn)Z(相對(duì)于原點(diǎn)來(lái)說(shuō))也可以由向量唯一確定.

因此，復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的(實(shí)數(shù)0與零向量對(duì)應(yīng))，即復(fù)數(shù)z=a+bi平面向量，這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義.2．復(fù)數(shù)的模向量的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模或絕對(duì)值，記作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一個(gè)實(shí)數(shù)a，它的模等于|a|(就是a的絕對(duì)值).由模的定義可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).3．共軛復(fù)數(shù)(1)定義

一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示，即若z=a+bi，則=a-bi.特別地，實(shí)數(shù)a的共軛復(fù)數(shù)仍是a本身.(2)幾何意義互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(如圖).特別地，實(shí)數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，且在實(shí)軸上.(3)性質(zhì)①=z.

②實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，即z=z∈R，利用這個(gè)性質(zhì)可證明一個(gè)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù).4．復(fù)數(shù)的模的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a,b)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，這是復(fù)數(shù)的模的幾何意義.(2)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，r表示一個(gè)大于0的常數(shù)，則滿足條件|z|=r的點(diǎn)Z組成的集合是以原點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓，|z|<r表示圓的內(nèi)部，|z|>r表示圓的外部.【知識(shí)點(diǎn)3復(fù)數(shù)的運(yùn)算】1．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加法法則

設(shè)=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(2)復(fù)數(shù)的減法法則類比實(shí)數(shù)減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+bi的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫做復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)減去復(fù)數(shù)c+di(c,d∈R)的差，記作(a+bi)-(c+di).

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.這就是復(fù)數(shù)的減法法則.(3)復(fù)數(shù)的乘法法則

設(shè)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+=(ac-bd)+(ad+bc)i.

可以看出，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，只要在所得的結(jié)果中把換成-1，并且把實(shí)部與虛部分別合并即可.(4)復(fù)數(shù)的除法法則(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).

由此可見(jiàn)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0)，所得的商是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).2．復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義(1)復(fù)數(shù)加法的幾何意義在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)對(duì)應(yīng)的向量分別為，，則=(a,b)，=(c,d).以，對(duì)應(yīng)的線段為鄰邊作平行四邊形(如圖所示)，則由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即對(duì)角線OZ對(duì)應(yīng)的向量就是與復(fù)數(shù)(a+c)+(b+d)i對(duì)應(yīng)的向量.(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義兩個(gè)復(fù)數(shù)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量分別是，，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)的差-對(duì)應(yīng)的向量是-，即向量.如果作=，那么點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就是-(如圖所示).

這說(shuō)明兩個(gè)向量與的差就是與復(fù)數(shù)(a-c)+(b-d)i對(duì)應(yīng)的向量.因此，復(fù)數(shù)的減法可以按照向量的減法來(lái)進(jìn)行，這是復(fù)數(shù)減法的幾何意義.3．復(fù)數(shù)運(yùn)算的常用技巧(1)復(fù)數(shù)常見(jiàn)運(yùn)算小結(jié)論①；②；③；④；⑤.(2)常用公式；；.【知識(shí)點(diǎn)4復(fù)數(shù)有關(guān)問(wèn)題的解題策略】1．復(fù)數(shù)的概念的有關(guān)問(wèn)題的解題策略(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部.若z為實(shí)數(shù)，則虛部b=0，與實(shí)部a無(wú)關(guān)；若z為虛數(shù)，則虛部b≠0，與實(shí)部a無(wú)關(guān)；若z為純虛數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a=0且b≠0.(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模記作或，即.(3)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的共軛復(fù)數(shù)為，則，即，若，則.2．復(fù)數(shù)的運(yùn)算的解題策略(1)復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算；(2)復(fù)數(shù)的除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共輪復(fù)數(shù).3．復(fù)數(shù)的幾何意義的解題策略由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，使問(wèn)題的解決更加直觀.4．復(fù)數(shù)的方程的解題策略(1)對(duì)實(shí)系數(shù)二次方程來(lái)說(shuō)，求根公式、韋達(dá)定理、判別式的功能沒(méi)有變化，仍然適用.(2)對(duì)復(fù)系數(shù)(至少有一個(gè)系數(shù)為虛數(shù))方程，判別式判斷根的功能失去了，其他仍適用.【方法技巧與總結(jié)】1．(1±i)2=±2i；；.2．.3．.4．復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面上表示的圖形(1)a≤|z|≤b表示以原點(diǎn)O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)為圓心，r為半徑的圓.【題型1復(fù)數(shù)的概念】【例1】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知z=i?1+2i，則z的虛部為（

）A．2 B．?1 C．2i

D．?【變式1-1】（2024·寧夏銀川·一模）已知復(fù)數(shù)z=m2?1+m+iA．1 B．?1 C．1或?1 D．2【變式1-2】（2024·吉林白山·一模）復(fù)數(shù)z=i+2i2+3A．2i B．?2i C．2 【變式1-3】（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z=m2?7m+6+m2A．±6 B．1或6 C．?6 D．1【題型2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】【例2】（2024·西藏·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z=2?i，則zz?zA．?12+i B．12?【變式2-1】（2024·河南·三模）已知i為虛數(shù)單位，1+i31?A．1+i B．1?i C．?1+i【變式2-2】（2024·陜西西安·三模）已知復(fù)數(shù)z=3+i，則z?iz?1A．?3 B．?35 C．3 【變式2-3】（2024·北京·三模）若復(fù)數(shù)z=a?1+5a+1i為純虛數(shù)，其中a∈R，i為虛數(shù)單位，則a+iA．i B．?i C．1 D．【題型3復(fù)數(shù)的幾何意義】【例3】（2024·江西上饒·模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=12+iA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【變式3-1】（2024·重慶·二模）若復(fù)數(shù)z=2?a+2a?1ia∈RA．第一象限內(nèi) B．第二象限內(nèi)C．第三象限內(nèi) D．第四象限內(nèi)【變式3-2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）復(fù)平面內(nèi)A,B,C三點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1?i,2?i,3+i，若四邊形ABCDA．2 B．2+i C．1 D．【變式3-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知z1=2?i，z2=a?2i（a∈R，i為虛數(shù)單位）．若z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1，A．1 B．－1 C．4 D．－4【題型4復(fù)數(shù)的相等】【例4】（2023·全國(guó)·三模）已知i3=a?bia,b∈R，則A．?1 B．0 C．1 D．2【變式4-1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知x+yi1+i=2?i，x,y∈A．2 B．3 C．4 D．5【變式4-2】（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）設(shè)a(1+i)+b=?i，其中a，bA．a(chǎn)=?1,b=?1 B．a(chǎn)=?1,b=1 C．a(chǎn)=1,b=1 D．a(chǎn)=1,b=?1【變式4-3】（2023·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知i為虛數(shù)單位，x,y為實(shí)數(shù)，若x+yi+2=3?4i+2yA．2 B．3 C．4 D．5【題型5復(fù)數(shù)的?！俊纠?】（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z=i1?i，z表示z的共軛復(fù)數(shù)，則zA．24 B．12 C．22【變式5-1】（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z=3?4i，則z?i?A．2 B．5 C．52 D．【變式5-2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知a∈R，若z=a+i2i?1A．2 B．2 C．1 D．1【變式5-3】（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z1,z2,z1≠z2，若A．1 B．3 C．2 D．2【題型6復(fù)數(shù)的三角表示】【例6】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式(cosx+i?sinA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式6-1】（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）棣莫弗公式(cosx+isinx)n=cosnx+isinA．?ω B．1ω C．ω D．【變式6-2】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R,i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Z，設(shè)r=OZ,θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，以O(shè)Z所在的射線為終邊的角，則z=a+bi=rcosθ+isinθ，把rcosθ+isinθA．2cosπ12C．62cos5【變式6-3】（2023·湖北恩施·模擬預(yù)測(cè)）任意一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成三角形式，即a+bi=rcosθ+isinθ．棣莫弗定理是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667－1754年）創(chuàng)立的，指的是：設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)z1=r1A．12 B．12+32【題型7復(fù)數(shù)與方程】【例7】（2024·山西陽(yáng)泉·三模）已知2+i是實(shí)系數(shù)方程x2+px?q=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則p+q=A．?9 B．?1 C．1 D．9【變式7-1】（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程x2?2x+2=0的兩個(gè)根分別為x1，x2，則A．1 B．5 C．7 D．10【變式7-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知1+2i是方程x2+mx+5=0(m∈R)的一個(gè)根，則m=A．－2 B．2 C．i D．－1【變式7-3】（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知方程x2+ix+1=0（其中i為虛數(shù)單位）的兩根分別為z1A．z12=z22>0 B．一、單選題1．（2024·北京大興·三模）已知m?i2為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m=（A．0 B．1 C．?1 D．±12．（2024·新疆·三模）復(fù)數(shù)z滿足z+2i=z，則zA．?i B．i C．?1 D．3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z=10i1?3iA．5 B．10 C．5 D．104．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z滿足z+2z=3+i（i為虛數(shù)單位)，則zA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知z=?1+3i2，則A．1 B．3 C．2 D．36．（2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z滿足z2?2z+4=A．3 B．2 C．5 D．27．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足3?iz?i=3，則復(fù)數(shù)A．12?32i B．128．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e，虛數(shù)單位i，cosA．?1 B．0 C．1 D．i二、多選題9．（2024·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)z1,zA．z1z2C．若z1=z2，則z1210．（2024·湖北荊州·三模）已知復(fù)數(shù)z=m2?1+A．若z為純虛數(shù)，則m=±1B．若z為實(shí)數(shù)，則z=0C．若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y=2x上，則m=?1D．z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能在第三象限11．（2024·浙江舟山·模擬