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2.2命題與證明第二章三角形逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2定義命題真命題和假命題真命題和假命題命題的證明與反證法知1-講感悟新知知識(shí)點(diǎn)定義11.定義:對(duì)一個(gè)概念的含義加以描述說(shuō)明或作出明確規(guī)定的語(yǔ)句叫作這個(gè)概念的定義.感悟新知知1-講特別解讀在定義中,必須提示該事物與其他事物的本質(zhì)區(qū)別.定義的語(yǔ)句必須嚴(yán)密.定義有兩方面的運(yùn)用,一是確定該事物的性質(zhì);二是判定該事物的方法.感悟新知說(shuō)明:(1)定義是對(duì)一個(gè)概念的獨(dú)有的性質(zhì)的描述;(2)
定義既可以作為概念的性質(zhì),也可以作為概念的判定方法.在幾何推理中常常作為問(wèn)題求解的依據(jù);(3)
定義的常見(jiàn)句型是陳述句,定義的一般形式有:“……叫作……”“……稱為……”“……是指……”“……是……”等;(4)定義必須是嚴(yán)密的,語(yǔ)句不能含糊不清、模棱兩可.知1-講知1-練感悟新知下列語(yǔ)句不屬于定義的是()A.連接兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度叫作這兩點(diǎn)間的距離B.只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)是1的方程是一元一次方程C.兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等D.從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線,把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角,這條射線叫作這個(gè)角的平分線例1知1-練感悟新知解:選項(xiàng)A,B,D分別對(duì)兩點(diǎn)間的距離、一元一次方程、角的平分線的含義進(jìn)行描述,屬于定義;選項(xiàng)C是平行線的性質(zhì),不屬于定義.解題秘方:緊扣定義是對(duì)名詞或術(shù)語(yǔ)的含義進(jìn)行描述說(shuō)明或作出明確規(guī)定,進(jìn)行逐項(xiàng)識(shí)別.答案:C知1-練感悟新知1-1.下列語(yǔ)句中,是定義的是(
)A.兩點(diǎn)確定一條直線B.在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線叫作平行線C.三角形的角平分線是一條線段D.同角的余角相等B感悟新知知2-講知識(shí)點(diǎn)命題21.定義:一般地,對(duì)某一件事情作出判斷的語(yǔ)句(陳述句)叫作命題.說(shuō)明:(1)命題只是對(duì)事情進(jìn)行判斷,判斷的結(jié)果可能是正確的,也可能是錯(cuò)誤的;(2)命題必須是一個(gè)完整的句子,不能是一個(gè)詞語(yǔ);(3)
命題必須具有“判斷”作用,要對(duì)事情作出肯定或否定的判斷,故命題不能是祈使句或疑問(wèn)句.感悟新知知2-講2.命題的結(jié)構(gòu):命題由條件和結(jié)論兩部分組成.條件是已知事項(xiàng),結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).知2-講感悟新知特別解讀1.命題通常寫(xiě)成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是條件,“那么”引出的部分是結(jié)論.2.有些命題的條件和結(jié)論不明顯,可將它經(jīng)過(guò)適當(dāng)變形,改寫(xiě)成“如果……,那么……”的形式.感悟新知知2-講3.互逆命題:對(duì)于兩個(gè)命題,如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件,我們把這樣的兩個(gè)命題稱為互逆命題,其中一個(gè)叫作原命題,另一個(gè)叫作逆命題.注意:原命題和逆命題是相對(duì)的,可以把條件和結(jié)論互換的兩個(gè)命題中的任何一個(gè)作為原命題,另一個(gè)則是它的逆命題.感悟新知知2-練下列語(yǔ)句中,不是命題的是(
)A.兩點(diǎn)之間線段最短B.內(nèi)錯(cuò)角都相等C.連接A,B
兩點(diǎn)D.平行于同一直線的兩直線平行例2
知2-練感悟新知解題秘方:緊扣命題的定義進(jìn)行判斷.解:選項(xiàng)C是描述性語(yǔ)言,沒(méi)有作出判斷,選項(xiàng)A,B,D作出了判斷,是命題,故選C.答案:C知2-練感悟新知2-1.下列語(yǔ)句中,屬于命題的是(
)A.作∠ABCB.兩直線相交有幾個(gè)交點(diǎn)?C.畫(huà)線段AB
=3cmD.相等的角是對(duì)頂角D感悟新知知2-練把下列命題改寫(xiě)成“如果……,那么……”的形式.(1)對(duì)頂角相等;(2)垂直于同一條直線的兩條直線平行;(3)同角或等角的余角相等.例3知2-練感悟新知解題秘方:緊扣命題的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行改寫(xiě).解:(1)如果兩個(gè)角是對(duì)頂角,那么這兩個(gè)角相等.(2)如果兩條直線垂直于同一條直線,那么這兩條直線平行.(3)如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角或兩個(gè)相等的角的余角,那么這兩個(gè)角相等.知2-練感悟新知3-1.命題“絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)”.寫(xiě)成“如果……,那么……”的形式為_(kāi)_______________________________________________
.如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等,那么這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)感悟新知知2-練寫(xiě)出下列命題的逆命題.(1)如果a
>0,b<0,那么ab
<0;(2)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).例4
解題秘方:將每個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就可以寫(xiě)出這些命題的逆命題.知2-練感悟新知解:如果ab
<0,那么a
>0,b<0.(1)如果a
>0,b<0,那么ab
<0;(2)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行.知2-練感悟新知4-1.“如果兩個(gè)數(shù)相等,那么它們的絕對(duì)值相等”的逆命題是___________________________________________
.如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等,那么這兩個(gè)數(shù)相等感悟新知知3-講知識(shí)點(diǎn)真命題和假命題31.命題的種類:(1)真命題:正確的命題稱為真命題.(2)假命題:錯(cuò)誤的命題稱為假命題.2.證明:要判斷一個(gè)命題是真命題,常常要從命題的條件出發(fā),通過(guò)講道理(推理),得出其結(jié)論成立,從而判斷這個(gè)命題為真命題,這個(gè)過(guò)程叫證明.感悟新知知3-講3.舉反例:要判斷一個(gè)命題是假命題,只需舉出一個(gè)例子(反例),它符合命題的條件,但不滿足命題的結(jié)論,從而就可判斷這個(gè)命題為假命題.我們通常把這種方法稱為“舉反例”.知3-講感悟新知特別提醒原命題是真命題時(shí),它的逆命題不一定是真命題;反之,逆命題是真命題時(shí),它的原命題不一定是真命題.知3-練感悟新知指出下列命題的條件和結(jié)論,并判斷下列命題的真假.(1)互為補(bǔ)角的兩個(gè)角相等;(2)若a=b,則a+c=b+c.例5解題秘方:緊扣真命題和假命題的定義進(jìn)行判斷.知3-練感悟新知解:條件:兩個(gè)角互為補(bǔ)角;結(jié)論:這兩個(gè)角相等.假命題.條件:a=b;結(jié)論:a+c=b+c.真命題.(1)互為補(bǔ)角的兩個(gè)角相等;(2)若a=b,則a+c=b+c.知3-練感悟新知5-1.下列說(shuō)法:①三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和;②垂直于同一直線的兩直線平行;③兩條直線被第三條直線所截,若內(nèi)錯(cuò)角相等,則同位角必相等;④同旁內(nèi)角互補(bǔ),其中是真命題的有(
)
A.1個(gè)
B.2個(gè)C.3個(gè)
D.4個(gè)B知3-練感悟新知用“舉反例”的方法說(shuō)明命題“若a2=b2,則a=b”是假命題時(shí),這組反例可以是_____________________________.例6
a
=1,b
=-1(答案不唯一)解題秘方:舉反例說(shuō)明命題是假命題時(shí),在選取反例時(shí)要注意:反例一定要滿足命題的條件,而不能滿足命題的結(jié)論.知3-練感悟新知6-1.要說(shuō)明命題“若a<1,則a2
<1”是假命題,可以舉的反例是a
=_________.(寫(xiě)出一個(gè)即可)-2(答案不唯一)
感悟新知知4-講知識(shí)點(diǎn)基本事實(shí)和定理41.概念:基本事實(shí)少數(shù)真命題定理經(jīng)過(guò)證明為真的命題推論由某定理直接得出的真命題逆定理一個(gè)定理的逆命題,它被證明是真命題互逆定理原定理與逆定理共同稱為互逆定理
感悟新知知4-講2.基本事實(shí)和定理的區(qū)別與聯(lián)系:真假性來(lái)源作用基本事實(shí)真命題實(shí)踐中總結(jié)出來(lái),不需要推理論證作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)定理真命題通過(guò)推理得出,能夠被證明作為判斷其他命題真假的依據(jù)
知4-講感悟新知特別提醒◆定理是真命題,但真命題不一定是定理.◆任何定理都有逆命題,但這個(gè)逆命題不一定是真命題,所以并不是每一個(gè)定理都有逆定理.感悟新知知4-練下列命題中屬于基本事實(shí)的是()A.同角的補(bǔ)角相等B.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直C.兩點(diǎn)之間線段最短D.三角形的任意兩邊之和大于第三邊例7解題秘方:緊扣基本事實(shí)的特征并結(jié)合課本知識(shí)進(jìn)行識(shí)別.知4-練感悟新知解:基本事實(shí)是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的,它不需要證明,而其他命題的正確性則需要推理證明.選項(xiàng)C中,“兩點(diǎn)之間線段最短”就是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的;而選項(xiàng)A,B,D都是利用基本事實(shí)或定理證明出來(lái)的.因此只有選項(xiàng)C是基本事實(shí).答案:C知4-練感悟新知7-1.如圖,小華同學(xué)的家在點(diǎn)P
處,他想盡快到公路邊,選擇沿線段PC
走,體現(xiàn)的數(shù)學(xué)基本事實(shí)是(
)
A.兩點(diǎn)之間,線段最短B.垂線段最短C.兩點(diǎn)確定一條直線D.兩點(diǎn)之間,直線最短B感悟新知知5-講知識(shí)點(diǎn)命題的證明與反證法51.命題的證明:數(shù)學(xué)上證明一個(gè)命題時(shí),通常從命題的條件出發(fā),運(yùn)用定義、基本事實(shí)以及已經(jīng)證明了的定理和推論,通過(guò)一步步的推理,最后證實(shí)這個(gè)命題的結(jié)論成立.說(shuō)明:(1)
證明一個(gè)命題是真命題的依據(jù)可以是已知條件,也可以是學(xué)過(guò)的定義、基本事實(shí)、定理等.(2)證明的每一步都必須要有根據(jù).感悟新知知5-講2.證明與圖形有關(guān)的命題時(shí)的一般步驟:(1)根據(jù)題意畫(huà)出圖形;(2)根據(jù)命題的條件和結(jié)論,結(jié)合圖形寫(xiě)出已知和求證;(3)通過(guò)分析,找出證明的途徑,寫(xiě)出證明的過(guò)程.感悟新知知5-講3.反證法:注意:反證法是一種間接證明的方法.當(dāng)直接證明一個(gè)命題為真有困難時(shí),可以用反證法證明.否定結(jié)論,提出假設(shè)推理論證,導(dǎo)出矛盾否定假設(shè),肯定結(jié)論可能產(chǎn)生的矛盾:①與已知條件矛盾;②與定義矛盾;③與基本事實(shí)矛盾;④與定理或推論矛盾知5-講感悟新知特別提醒在反證法的第一步否定結(jié)論時(shí),要注意“大于”的反面不是“小于”,而是“小于或等于”.類似地,“小于”的反面是“大于或等于”;“都是”的反面是“不都是”,不可寫(xiě)成“都不是”.感悟新知知5-練如圖2.2-1,在△ABC
中,CE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AB
于點(diǎn)F,AC∥ED,CE是∠ACB的平分線.求證:∠1=∠5.例8
知5-練感悟新知解題秘方:通過(guò)分析命題的條件和結(jié)論,找出證明的途徑.證明:∵CE⊥AB
于點(diǎn)E,DF⊥AB于點(diǎn)F,∴DF∥CE.∴∠5=∠3,∠1=∠2.∵AC∥ED,∴∠2=∠4.∵CE
是∠ACB
的平分線,∴∠4=∠3.∴∠1=∠5.知5-練感悟新知8-1.如圖,AE⊥BC,F(xiàn)G
⊥BC,∠1=∠2,求證:AB∥CD.證明:∵AE⊥BC,F(xiàn)G⊥BC,∴AE∥FG.
∴∠A=∠1.又∵∠2=∠1,∴∠A=∠2.∴AB∥CD.感悟新知知5-練[母題教材P57例2]已知△ABC,求證:在∠A,∠B,
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