湘教 數(shù)學(xué) 八上 第2章 三角形《三角形》課件

2.1三角形第二章三角形學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1三角形的定義等腰三角形及相關(guān)概念三角形的三邊關(guān)系三角形的三條重要線段三角形的內(nèi)角和三角形按角分類三角形的外角逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)流程2知1－講感悟新知知識(shí)點(diǎn)三角形的定義11.三角形的定義：不在同一直線上的三條線段首尾相接所構(gòu)成的圖形叫作三角形.三角形的表示法：三角形可用符號(hào)“△”表示，如圖2.1-1中的三角形可記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”.字母的順序可以自由安排感悟新知知1－講特別解讀1.三角形的“三要素”：(1)三條線段；(2)三個(gè)頂點(diǎn)不在同一條直線上；(3)三條線段首尾順次相接.感悟新知2.三角形的“三元素”：(1)頂點(diǎn)：如圖2.1-1，點(diǎn)A，B，C叫作△ABC

的頂點(diǎn).(2)內(nèi)角：如圖2.1-1，∠A，∠B，∠C

叫作△ABC

的內(nèi)角.(3)邊：如圖2.1-1，線段AB，BC，CA叫作△ABC的邊.知1－講感悟新知知1－講2.三角形的邊是一條線段，既可用兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母表示，也可用邊所對(duì)的頂點(diǎn)的小寫字母表示.知1－練感悟新知[母題教材P44練習(xí)T1]如圖2.1-2，在△ABC

中，D，E

分別是BC，AC

上的點(diǎn)，連接BE，AD交于點(diǎn)F.(1)圖中共有多少個(gè)三角形？請(qǐng)寫出來.(2)△BDF

的三個(gè)頂點(diǎn)，三條邊，三個(gè)內(nèi)角分別是什么？(3)以AB

為邊的三角形有哪些？(4)以∠C

為內(nèi)角的三角形有哪些？例1知1－練感悟新知解題秘方：緊扣“三角形及其元素的定義”及幾何圖形計(jì)數(shù)的常用方法進(jìn)行解答.(1)圖中共有多少個(gè)三角形？請(qǐng)寫出來.(2)△BDF

的三個(gè)頂點(diǎn)，三條邊，三個(gè)內(nèi)角分別是什么？知1－練感悟新知解：圖中共有8個(gè)三角形，分別是△ABF，△AEF，△ABE，△ABD，△ACD，△ABC，△BDF，△BCE.△BDF的三個(gè)頂點(diǎn)是點(diǎn)B，D，F(xiàn)，三條邊是線段BD，DF，BF，三個(gè)內(nèi)角是∠FBD，∠FDB，∠BFD.知1－練感悟新知解：以AB

為邊的三角形有△ABF，△ABD，△ABE，△ABC.(3)以AB

為邊的三角形有哪些？(4)以∠C為內(nèi)角的三角形有哪些？以∠C

為內(nèi)角的三角形有△ACD，△BCE，△ACB.知1－練感悟新知1-1.如圖所示，圖中有_______個(gè)三角形；其中以AB

為邊的三角形有_______________________

；含∠ACB的三角形有______________

；在△BOC

中，OC

的對(duì)角是________，∠OCB

的對(duì)邊是________

．8△ABO，△ABC，△ABD△BOC，△ABC∠OBCOB感悟新知知2－講知識(shí)點(diǎn)等腰三角形及相關(guān)概念21.等腰三角形：兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形.在等腰三角形中，相等的兩邊叫作腰，另外一邊叫作底邊，兩腰的夾角叫作頂角，腰和底邊的夾角叫作底角.(如圖2.1-3)三邊都相等的三角形叫作等邊三角形(或正三角形)，它是腰和底邊相等的等腰三角形.感悟新知知2－講

知2－講感悟新知特別提醒◆等腰三角形中有關(guān)邊、角的名稱與三角形的擺放位置無關(guān).◆等腰三角形的頂角可以是銳角、直角或鈍角，而底角只能是銳角.感悟新知知2－練若△ABC

的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，試判斷△

ABC的形狀.(1)三邊長(zhǎng)滿足(a

－b)2+|b

－c

|=0；(2)三邊長(zhǎng)滿足(a

－b)(b

－c)=0.例2

知2－練感悟新知解題秘方：要判斷三角形的形狀，可根據(jù)“是否有邊相等”來判斷，所以從條件中分析出三邊的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.解：因?yàn)?a

－b)2+|b

－c|=0，所以a

－b=0，b

－c

=0.所以a=b=c.所以△ABC

為等邊三角形.(1)三邊長(zhǎng)滿足(a

－b)2+|b

－c

|=0；知2－練感悟新知解：因?yàn)?a

－b)(b

－c)=0，所以a

－b=0或b

－c=0.所以a=b

或b=c.所以△ABC

為等腰三角形.(2)三邊長(zhǎng)滿足(a

－b)(b

－c)=0.知2－練感悟新知方法點(diǎn)撥：從邊的角度判斷三角形的形狀,若只能判斷出有兩條邊相等則此三角形是等腰三角形；若能判斷出三邊相等,則此三角形是等邊三角形.知2－練感悟新知2-1.有下列說法：①等邊三角形是等腰三角形；②等腰三角形也可能是直角三角形；③三角形按邊分類可分為等腰三角形、等邊三角形和三邊都不相等的三角形.其中正確的有(

)A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)C感悟新知知3－講知識(shí)點(diǎn)三角形的三邊關(guān)系31.三角形的三邊關(guān)系：文字語言數(shù)學(xué)語言圖形三角形的任意兩邊之和大于第三邊a+b>c，b+c>a，a+c>b三角形的任意兩邊之差小于第三邊a－b<c，b－c<a，a－c<b(a>b>c)

感悟新知知3－講2.拓展：已知三角形兩條邊的長(zhǎng)分別為a，b，求第三條邊的長(zhǎng)c的取值范圍.根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,可知第三條邊的長(zhǎng)c

的取值范圍是｜a

－b｜<c<a＋b.知3－講感悟新知特別提醒若兩條較短的線段之和大于最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)，則三條線段可以組成三角形；反之則不能組成三角形.知3－練感悟新知[期中·武漢青山區(qū)]用一條長(zhǎng)為20cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形．能圍成有一邊的長(zhǎng)是4cm的等腰三角形嗎？若能，請(qǐng)求出它的另兩邊；若不能，請(qǐng)說明理由．例3解題秘方：緊扣“長(zhǎng)為4cm的邊的可能性(腰或底邊)”進(jìn)行分類解答.知3－練感悟新知解：能．當(dāng)腰為4cm時(shí)，底邊長(zhǎng)為20－4－4＝12(cm)

.因?yàn)?+4＝8＜12，不符合三角形三邊的關(guān)系，故舍去.當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為4cm時(shí)，腰長(zhǎng)為12×(20－4)

＝8(

cm)，此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)為4，8，8，符合三角形的三邊關(guān)系.綜上所述，能圍成有一邊的長(zhǎng)是4cm的等腰三角形，另兩邊長(zhǎng)分別是8cm，8cm．得出邊長(zhǎng)后，必須根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證知3－練感悟新知3-1.小剛準(zhǔn)備用一段長(zhǎng)32米的籬笆圍成一個(gè)三角形形狀的場(chǎng)地，用于飼養(yǎng)雞，已知第一條邊長(zhǎng)為m

米，由于條件限制，第二條邊長(zhǎng)只能比第一條邊長(zhǎng)的2倍少3米.(1)請(qǐng)用含m

的式子表示第三條邊長(zhǎng).解：由題可知，第二條邊長(zhǎng)為(2m－3)米，所以第三條邊長(zhǎng)為32－m－(2m－3)＝(35－3m)(米)．知3－練感悟新知(2)第一條邊長(zhǎng)能否為10米？為什么？解：不能．理由：當(dāng)m＝10時(shí)，三角形的三邊長(zhǎng)分別為10米，17米，5米．因?yàn)?0＋5＝15(米)＜17米，所以不能構(gòu)成三角形．所以第一條邊長(zhǎng)不能為10米．感悟新知知4－講知識(shí)點(diǎn)三角形的三條重要線段4三角形的高線三角形的角平分線三角形的中線文字語言從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段在三角形中，一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段圖形語言

感悟新知知4－講符號(hào)語言(1)AD是△ABC的高；(2)

AD

是△ABC的BC

邊上的高；(3)

AD⊥BC

于點(diǎn)D；(4)∠ADC=90，∠ADB=90°(或∠ADC=∠ADB=90°)(1)AD

是△ABC

的角平分線；(2)

AD

平分∠BAC，交BC

于點(diǎn)D；(3)∠1=∠2=∠BAC(或∠BAC=2∠1=2∠2)(1)AD

是△ABC的中線；(2)

AD是△ABC的邊BC

上的中線；(3)

BD=DC=BC(或BC=2BD=2DC）；(4)點(diǎn)D

是BC

邊的中點(diǎn)推理語言因?yàn)锳D

是△ABC的高，所以AD⊥BC(或∠ADB=∠ADC=90°)因?yàn)锳D

是△ABC的角平分線，所以∠1=∠2=∠BAC(或∠BAC=2∠1=2∠2)因?yàn)锳D

是△ABC的中線，所以BD=DC=BC(或BC=2BD=2DC)

感悟新知知4－講

用途舉例(1)線段垂直；(2)角度相等角度相等(1)線段相等；(2)面積相等注意事項(xiàng)(1)與邊的垂線可能不同；(2)不一定在三角形內(nèi)(1)與角的平分線不同；(2)一定在三角形內(nèi)部一定在三角形內(nèi)部重要特征三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)一個(gè)三角形有三條角平分線，它們相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這三條中線的交點(diǎn)叫作三角形的重心

知4－講感悟新知拓展1.三角形三條高所在的直線的交點(diǎn)叫作三角形的垂心.2.三角形三條角平分線的交點(diǎn)叫作三角形的內(nèi)心.3.三角形的角平分線與角的平分線是兩個(gè)不同的概念：三角形的角平分線是一條線段；角的平分線是一條射線

.感悟新知知4－練如圖2.1-5.(1)在△ABC

中，BC

邊上的高是_____．(2)在△AEC

中，AE

邊上的高是_____．(3)在△FEC

中，EC

邊上的高是_______

.(4)若AB=CD=2cm，AE=3cm，則S△AEC=_____cm2，CE=_____cm．例4

ABCDEF33知4－練感悟新知解題秘方：(1)(2)(3)緊扣“三角形高的定義”進(jìn)行判斷；(4)分清某條底邊上的高的“對(duì)應(yīng)”關(guān)系，利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算.知4－練感悟新知

知4－練感悟新知4-1.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD

⊥AB

于點(diǎn)D，AC

=5，BC

=12，AB=13，則CD=_______．知4－練感悟新知方法點(diǎn)撥找三角形某邊上的高的方法：1.找出該邊所對(duì)的頂點(diǎn)；2.過此頂點(diǎn)作該邊的垂線，垂線段為該邊上的高.感悟新知知4－練[母題教材P48練習(xí)T2]如圖2.1-6，在△ABC中，BD

是△ABC

的角平分線，已知∠ABC＝80°，則∠DBC

＝_____

°．例540知4－練感悟新知解題秘方：本題主要考查了角平分線的定義，根據(jù)角平分線的定義得出∠ABD=∠DBC

是解題關(guān)鍵.

知4－練感悟新知

D感悟新知知4－練[母題教材P49習(xí)題T3]如圖2.1-7，在△ABC

中，AD，BE分別是△ABC，△ABD

的中線.(1)若△ABD

與△ADC

的周長(zhǎng)之差為3，AB=8，求AC的長(zhǎng).(2)若S△ABC=8，求S△ABE.例6

知4－練感悟新知解題秘方：利用由中線將三角形分成的兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)之間的關(guān)系和面積之間的關(guān)系解題.知4－練感悟新知解：因?yàn)锳D為BC

邊上的中線，所以BD=CD.所以△ABD

與△ADC的周長(zhǎng)之差=(

AB+AD+BD)－(

AC+AD+CD)

=AB

－AC.因?yàn)椤鰽BD

與△ADC

的周長(zhǎng)之差為3，AB=8，所以8－AC=3，解得AC=5.(1)若△ABD

與△ADC

的周長(zhǎng)之差為3，AB=8，求AC的長(zhǎng).知4－練感悟新知

(2)若S△ABC=8，求S△ABE.知4－練感悟新知6-1.已知BD

是△ABC的中線，AB=5，BC=3，且△ABD的周長(zhǎng)為12，則△BCD

的周長(zhǎng)是______

.10感悟新知知5－講知識(shí)點(diǎn)三角形的內(nèi)角和51.三角形的內(nèi)角和等于180°.幾何語言：在△ABC

中，∠A+∠B+∠C=180°.知5－講感悟新知特別解讀三角形的三個(gè)內(nèi)角中最多有一個(gè)鈍角或直角，或者說至少有兩個(gè)銳角.感悟新知知5－講2.證明思路：思路一：利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角及同位角相等”將三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角.如圖2.1-8①②.思路二：利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”將三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為兩平行線間的一組同旁內(nèi)角.如圖2.1-9①②.知5－講感悟新知特別提醒主要是利用平行線作為橋梁，先將三個(gè)內(nèi)角“轉(zhuǎn)移”集中成一個(gè)角或兩個(gè)角，再說明這一個(gè)角或兩個(gè)角的和是180°即可.知5－練感悟新知在△ABC

中，已知∠B

是∠A

的3倍，∠C比∠A

大10°，求∠A的度數(shù)．例7知5－練感悟新知解題秘方：緊扣“三角形的內(nèi)角和等于180°”建立方程求解.解：設(shè)∠A

＝x，則∠B

＝3x，∠C

＝x+10°.因?yàn)椤螦+∠B+∠C

＝180°，所以x+3x+x+10°＝180°，解得x

＝34°.所以∠A=34°.知5－練感悟新知三角形中求角的度數(shù)問題一般用方程思想求解.當(dāng)角之間存在數(shù)量關(guān)系時(shí)，一般根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°列方程（組）求解.知5－練感悟新知7-1.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4.求∠A，∠B，∠C的度數(shù).知5－練感悟新知

[期中·邯鄲]如圖2.1-10，它是一個(gè)大型模板，設(shè)計(jì)要求BA與CD相交成20°角，DA

與CB相交成40°角，現(xiàn)測(cè)得∠A＝145°，∠B＝75°，∠C

＝85°，∠D

＝55°，就斷定這個(gè)模板是合格的.為什么？例8

知5－練感悟新知解題秘方：建立三角形模型，利用三角形內(nèi)角和求出角度，再用三角形內(nèi)角和進(jìn)行驗(yàn)證.解：如圖2.1-10，延長(zhǎng)DA，CB，相交于點(diǎn)F，因?yàn)椤螩+∠ADC

＝85°+55°＝140°，所以∠F

＝180°－140°＝40°.如圖2.1-10，延長(zhǎng)BA，CD，相交于點(diǎn)E，因?yàn)椤螩+∠ABC=85°+75°=160°，所以∠E

＝180°－160°＝20°.故合格．知5－練感悟新知8-1.如圖所示，考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)在地下A處有一座古墓，古墓上方是煤氣管道，為了不影響管道，準(zhǔn)備在B

和C

處開工挖出“V”字形通道，若∠DBA＝120°，∠ECA＝125°，則∠A的度數(shù)是(

)A．65°B．80°C．85°D．90°A感悟新知知6－講知識(shí)點(diǎn)三角形按角分類6

知6－講感悟新知特別提醒等腰三角形可以是銳角三角形，也可以是直角三角形或鈍角三角形.感悟新知知6－講2.

直角三角形的相關(guān)概念：直角三角形可用符號(hào)“Rt△”來表示.例如直角三角形ABC可以記作“Rt△ABC”.在直角三角形中，夾直角的兩邊叫作直角邊，直角的對(duì)邊叫作斜邊.兩條直角邊相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.感悟新知知6－練根據(jù)下列所給條件，判斷△ABC

的形狀.(1)∠A=45°，∠B=65°；(2)∠C=120°；(3)∠C=90°；(4)

AB=BC=4，AC=5.例9解題秘方：根據(jù)三角形的分類方法進(jìn)行判斷.知6－練感悟新知解：因?yàn)椤螦=45°，∠B=65°，所以∠C=180°－∠A－∠B=70°.所以∠A<∠B<∠C<90°.所以△ABC是銳角三角形.(1)∠A=45°，∠B=65°；(2)∠C=120°；因?yàn)椤螩=120°>90°，所以△ABC

是鈍角三角形.知6－練感悟新知解：因?yàn)椤螩=90°，所以△ABC

是直角三角形.(3)∠C=90°；(4)

AB=BC=4，AC=5.因?yàn)锳B=BC=4，AC=5，所以△ABC是等腰三角形.知6－練感悟新知

解：設(shè)∠A＝x，則∠B＝2x，∠C＝3x.因?yàn)椤螦＋∠B＋∠C＝180°，所以x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°.所以∠C＝3x＝90°.

所以△ABC是直角三角形．感悟新知知7－講知識(shí)點(diǎn)三角形的外角71.定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線所組成的角，叫作三角形的外角.知7－講感悟新知特別解讀1.位置：在三角形的外部.2.與相鄰內(nèi)角是鄰補(bǔ)角.3.三角形每一個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角，且兩個(gè)外角互為對(duì)頂角，因此三角形共有六個(gè)外角，通常每一個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角．感悟新知知7－講2.外角性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.常見應(yīng)用：(1)

已知一個(gè)外角及與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角中的一個(gè)，可求另一個(gè)內(nèi)角；(2)證明一個(gè)角等于另兩個(gè)角的和或差；(3)作為中間量證明兩個(gè)角相等.感悟新知知7－講3.拓展性質(zhì)：(1)三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角.(2)三角形的外角和等于360°.知7－練感悟新知如圖2.1-12，CE

是△ABC的外角∠ACD

的平分線，且CE

交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．例10知7－練感悟新知(1)若∠B

＝35°，∠E

＝25°，求∠BAC

的度數(shù)；解：因?yàn)椤螧

＝35°，∠E

＝25°，所以∠ECD＝∠B+∠E

＝60°.因?yàn)镃E

平分∠ACD，所以∠ACE

＝∠ECD

＝60°.所以∠BAC

＝∠ACE+∠E

＝85°.解題秘方：利用三角形外角的性質(zhì)，將∠BAC

轉(zhuǎn)化為∠E+∠ACE

進(jìn)行求解；知7－練感悟新知(2)試說明：∠BAC

＝∠B+2∠E．解：因?yàn)椤螮CD

＝∠ACE，所以∠BAC

＝∠E+∠ACE

＝∠E+∠ECD.因?yàn)椤螮CD

＝∠B+∠E，所以∠BAC

＝∠E+∠B+∠E＝∠B+2∠E．解題秘方：將∠BAC

和∠ECD利用外角的性質(zhì)表示為兩個(gè)角的和，再利用等量代換得出結(jié)論．知7－練感悟新知方法技巧：從相對(duì)復(fù)雜的圖形中，找出包含外角的三角形，以便于應(yīng)用三角形的外角的性質(zhì).知7－練