陜西旬陽中學2025屆高二數學第一學期期末監(jiān)測模擬試題含解析

陜西旬陽中學2025屆高二數學第一學期期末監(jiān)測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則（）A.22 B.19C.－20 D.－192．有7名同學參加百米競賽，預賽成績各不相同，取前3名參加決賽，小明同學已經知道了自己的成績，為了判斷自己是否能進入決賽，他還需要知道7名同學成績的（）A.平均數 B.眾數C.中位數 D.方差3．設函數，當自變量t由2變到2.5時，函數的平均變化率是（）A.5.25 B.10.5C.5.5 D.114．已知函數，在上隨機取一個實數，則使得成立的概率為（）A. B.C. D.5．“”是“直線和直線垂直”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件6．設是等差數列的前n項和，若，，則（）A.26 B.－7C.－10 D.－137．已知各項均為正數且單調遞減的等比數列滿足、、成等差數列.其前項和為，且，則（）A. B.C. D.8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作直線交雙曲線的右支于A，B兩點.若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.9．在等差數列中，為其前n項和，，則（）A.55 B.65C.15 D.6010．（）A. B.C. D.11．某學習小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經反射聚焦到焦點處（如圖②所示）．已知接收天線的口徑（直徑）為3.6m，深度為0.6m，則該拋物線的焦點到頂點的距離為（）A.1.35m B.2.05mC.2.7m D.5.4m12．設是函數的導函數，的圖象如圖所示，則的解集是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校老年、中年和青年教師的人數見如表，采用分層抽樣的方法調查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有人，則該樣本的老年教師人數為______.類別老年教師中年教師青年教師合計人數90018001600430014．六面體的所有棱長都為2，底面ABCD是正方形，AC與BD的交點是O，若，則___________.15．寫出一個公比為3，且第三項小于1的等比數列______16．關于曲線，給出下列三個結論：①曲線關于原點對稱，但不關于軸、軸對稱；②曲線恰好經過4個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；③曲線上任意一點到原點的距離都不大于.其中，正確結論的序號是________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數列和正項等比數列滿足（1）求的通項公式；（2）求數列的前n項和18．（12分）已知等差數列滿足：，（1）求數列的通項公式，以及前n項和公式；（2）若，求數列的前n項和19．（12分）已知圓心為的圓，滿足下列條件：圓心在軸上，與直線相切，且被軸截得的弦長為，圓的面積小于（1）求圓的標準方程；（2）設過點的直線與圓交于不同的兩點、，以、為鄰邊作平行四邊形．是否存在這樣的直線，使得直線與恰好平行？如果存在，求出的方程，如果不存在，請說明理由20．（12分）數列的前n項和為，（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前n項和21．（12分）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，離心率為，且過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若過點的直線與橢圓相交于，兩點（A、B非橢圓頂點），求的最大值.22．（10分）如圖，在三棱柱中，平面，，.（1）求證：平面；（2）點M在線段上，且，試問在線段上是否存在一點N，滿足平面，若存在求的值，若不存在，請說明理由？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】將所求進行變形可得，根據二項式定理展開式，即可求得答案.【詳解】由題意得所以.故選：C2、C【解析】根據中位數的性質，結合題設按成績排序7選3，即可知還需明確的成績數據信息.【詳解】由題設，7名同學參加百米競賽，要取前3名參加決賽，則成績從高到低排列，確定7名同學成績的中位數，即第3名的成績便可判斷自己是否能進入決賽.故選：C.3、B【解析】利用平均變化率的公式即得.【詳解】∵，∴.故選：B.4、B【解析】首先求不等式的解集，再根據區(qū)間長度，求幾何概型的概率.【詳解】由，得，解得，在區(qū)間上隨機取一實數，則實數滿足不等式的概率為故選：B5、A【解析】根據直線垂直求出值即可得答案.【詳解】解：若直線和直線垂直，則，解得或，則“”是“直線和直線垂直”的充分非必要條件.故選：A.6、C【解析】直接利用等差數列通項和求和公式計算得到答案.【詳解】，，解得，故.故選：C.7、C【解析】先根據，，成等差數列以及單調遞減，求出公比，再由即可求出，再根據等比數列通項公式以及前項和公式即可求出.【詳解】解：由，，成等差數列，得：，設的公比為，則，解得：或，又單調遞減，，，解得：，數列的通項公式為：，.故選：C8、A【解析】根據給定條件結合雙曲線定義求出，，再借助余弦定理求出半焦距c即可計算作答.【詳解】因，令，，而雙曲線實半軸長，由雙曲線定義知，，而，于是可得，在等腰中，，令雙曲線半焦距為c，在中，由余弦定理得：，而，，，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：A【點睛】方法點睛：求雙曲線的離心率的方法：(1)定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據離心率的定義求解離心率；(2)齊次式法：由已知條件得出關于的二元齊次方程，然后轉化為關于的一元二次方程求解；(3)特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.9、B【解析】根據等差數列求和公式結合等差數列的性質即可求得.【詳解】解析：因為為等差數列，所以，即，.故選:B10、B【解析】根據微積分基本定理即可直接求出答案.【詳解】故選：B.11、A【解析】根據題意先建立恰當的坐標系，可設出拋物線方程，利用已知條件得出點在拋物線上，代入方程求得p值，進而求得焦點到頂點的距離.【詳解】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標系xOy，使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）與原點O重合，焦點F在x軸上設拋物線的標準方程為，由已知條件可得，點在拋物線上，所以，解得，因此，該拋物線的焦點到頂點的距離為1.35m，故選：A.12、C【解析】先由圖像分析出的正負，直接解不等式即可得到答案.【詳解】由函數的圖象可知,在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間(0,2)上單調遞增，即當時,;當x∈(0,2)時,.因為可化為或，解得：0<x<2或x<0,所以不等式的解集為.故選:C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意，總體中青年教師與老年教師比例為；設樣本中老年教師的人數為x，由分層抽樣的性質可得總體與樣本中青年教師與老年教師的比例相等，即，解得.故答案為.考點：分層抽樣.14、【解析】結合空間向量運算求得.【詳解】，.所以.故答案為：15、（答案不唯一）【解析】由條件確定該等比數列的首項的可能值，由此確定該數列的通項公式.【詳解】設數列的公比為，則，由已知可得，∴，所以，故可取，故滿足條件的等比數列的通項公式可能為，故答案為：（答案不唯一）16、①③【解析】設為曲線上任意一點，判斷、、是否滿足曲線方程即可判斷①；求出曲線過的整點即可判斷②；由條件利用即可得，即可判斷③；即可得解.【詳解】設為曲線上任意一點，則，設點關于原點、軸、軸的對稱點分別為、、，因為；；；所以點在曲線上，點、點不在曲線上，所以曲線關于原點對稱，但不關于軸、軸對稱，故①正確；當時，；當，.此外，當時，；當時，.故曲線過整點，，，，，，故②錯誤；又，所以恒成立，由可得，當且僅當時等號成立，所以，所以曲線上任一點到原點的距離，故③正確.故答案為：①③.【點睛】本題考查了與曲線方程有關的命題真假判斷，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）根據條件列公差與公比方程組，解得結果，代入等差數列通項公式即可；（2）根據等比數列求和公式直接求解.【詳解】（1）設等差數列公差為，正項等比數列公比為，因為，所以因此；（2）數列的前n項和【點睛】本題考查等差數列以及等比數列通項公式、等比數列求和公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.18、（1），（2）【解析】（1）由，，列出方程組，求得，即可求得數列的通項公式，利用公式可得.（2）由（1）求得，結合“裂項法”求和，即可求解.【詳解】（1）設等差數列的公差為，因為，，可得，解得，所以數列的通項公式.（2）由（1）知，可得，所以數列的前項和：.【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了等差數列的通項公式的求解，以及“裂項法”求和的應用，解答本題的關鍵是將的通項裂成兩項的差，利用裂項相消求和，屬于中檔題.19、（1）；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）設圓心，設圓的半徑為，可得出，根據已知條件可得出關于實數的方程，求出的值，可得出的值，進而可得出圓的標準方程；（2）分析可知直線的斜率存在，可設直線的方程為，設點、，將直線的方程與圓的方程聯立，由可求得的取值范圍，列出韋達定理，分析可得，可求得點的坐標，由已知可得出，求出的值，檢驗即可得出結論.【小問1詳解】解：設圓心，設圓的半徑為，則，由題意可得，由勾股定理可得，則，由題意可得，解得，則，因此，圓的標準方程為.【小問2詳解】解：若直線的斜率不存在，此時直線與軸重合，則、、三點共線，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，可設直線的方程為，設點、，聯立，可得，，解得或，由韋達定理可得，，則，因為四邊形為平行四邊形，則，因為，則，則，解得，因為或，因此，不存直線，使得直線與恰好平行.20、（1）；（2）.【解析】(1)根據給定條件結合“當時，”計算作答.(2)由(1)求出，利用裂項相消法計算得解.【小問1詳解】數列的前n項和為，，當時，，當時，，滿足上式，則，所以數列的通項公式是【小問2詳解】由(1)知，，所以，所以數列的前n項和21、（1）（2）【解析】（1）根據離心率和點在橢圓上建立方程，結合，然后解出方程即可（2）設直線的斜率為，聯立直線與橢圓的方程，然后利用韋達定理表示出，兩點的坐標關系，并表示出為直線斜率的函數，然后求出的最大值【小問1詳解】由橢圓過點，則有：由可得：解得：則橢圓的方程為：【小問2詳解】由（1）得，，已知直線不過橢圓長軸頂點則直線的斜率不為，設直線的方程為：設，，聯立直線方程和橢圓方程整理可得：故是恒成立的根據韋達定理可得：，則有：由，可得：所以的最大值為：22、（