福建廈門松柏中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末考試模擬試題含解析

福建廈門松柏中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末考試模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．隨機(jī)抽取甲乙兩位同學(xué)連續(xù)9次成績（單位：分），得到如圖所示的成績莖葉圖，關(guān)于這9次成績，則下列說法正確的是（）A.甲成績的中位數(shù)為33 B.乙成績的極差為40C.甲乙兩人成績的眾數(shù)相等 D.甲成績的平均數(shù)低于乙成績的平均數(shù)2．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，若、、是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)到軸的距離為A B.4C. D.3．若某群體中成員只用現(xiàn)金支付的概率為，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為，則不用現(xiàn)金支付的概率為（）A. B.C. D.4．已知M、N為橢圓上關(guān)于短軸對(duì)稱的兩點(diǎn),A、B分別為橢圓的上下頂點(diǎn),設(shè)、分別為直線的斜率,則的最小值為()A. B.C. D.5．已知函數(shù)，則（）A. B.0C. D.16．執(zhí)行如圖所示的算法框圖，則輸出的結(jié)果是（）A. B.C. D.7．直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系為A.相切B.相交但直線不過圓心C.直線過圓心D.相離8．命題：，否定是（）A.， B.，C.， D.，9．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù)，則的虛部為（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（）A. B.C. D.11．已知橢圓上的一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離為（）A.1 B.3C.5 D.712．已知等差數(shù)列，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以下說法正確的是（）A.過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則的周長為8B.橢圓上存在點(diǎn)，使得C.橢圓的離心率為D.為橢圓上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)，的最大距離為314．已知直線，圓，若直線與圓相交于兩點(diǎn),則的最小值為______15．滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》中的“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而名傳千古，流芳后世.如圖，在滕王閣旁地面上共線的三點(diǎn)，，處測(cè)得閣頂端點(diǎn)的仰角分別為，，.且米，則滕王閣高度___________米.16．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬再回到軍營,怎樣走才能使總路程最短?在如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)軍營所在平面區(qū)域?yàn)閧(x,y)|x2+y2≤},河岸線所在直線方程為x+2y-4=0.假定將軍從點(diǎn)P(,)處出發(fā),只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營,當(dāng)將軍選擇最短路程時(shí),飲馬點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為______.最短總路程為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在長方體中，，，是棱的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長；若不存在，請(qǐng)說明理由18．（12分）已知等差數(shù)列}的公差為整數(shù)，為其前n項(xiàng)和，，（1）求{}的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求19．（12分）已知圓C過兩點(diǎn)，，且圓心C在直線上（1）求圓C的方程；（2）過點(diǎn)作圓C的切線，求切線方程20．（12分）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，，直線經(jīng)過點(diǎn)，且.(1)分別求直線，的方程；(2)設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，求外接圓的方程.21．（12分）有時(shí)候一些東西吃起來口味越好，對(duì)我們的身體越有害.下表給出了不同品牌的一些食品所含熱量的百分比記為和一些美食家以百分制給出的對(duì)此種食品口味的評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)記為：食品品牌12345678910所含熱量的百分比25342019262019241914百分制口味評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)88898078757165626052參考數(shù)據(jù)：，，，參考公式：，（1）已知這些品牌食品的所含熱量的百分比與美食家以百分制給出的對(duì)此種食品口味的評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)具有相關(guān)關(guān)系.試求出回歸方程（最后結(jié)果精確到）；（2）某人只能接受食品所含熱量百分比為及以下的食品.現(xiàn)在他想從這些食品中隨機(jī)選取兩種購買，求他所選取的兩種食品至少有一種是美食家以百分制給出的對(duì)此種食品口味的評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)為分以上的概率.22．（10分）已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，是與的等差中項(xiàng)（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】按照莖葉圖所給的數(shù)據(jù)計(jì)算即可.【詳解】由莖葉圖可知，甲的成績?yōu)椋?1，22，23，24，32，32，33，41，52，其中位數(shù)為32，眾數(shù)為32，平均數(shù)為；乙的成績?yōu)椋?0，22，31，32，35，42，42，50，52，極差為52-10=42，眾數(shù)為42，平均數(shù)為；由以上數(shù)據(jù)可知，A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤，D正確；故選：D.2、D【解析】設(shè)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)為根據(jù)橢圓方程求得c，進(jìn)而判斷出，即得或令，進(jìn)而可得點(diǎn)P到x軸的距離【詳解】解：設(shè)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M由于，，；，只能或令，得，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的基本應(yīng)用考查了學(xué)生推理和實(shí)際運(yùn)算能力是基礎(chǔ)題3、A【解析】利用對(duì)立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由對(duì)立事件概率公式可知，該群體中的成員不用現(xiàn)金支付的概率為.故選：A.4、A【解析】利用為定值即可獲解.【詳解】設(shè)則又,所以所以當(dāng)且僅當(dāng),即,取等故選:A5、B【解析】先求導(dǎo)，再代入求值.詳解】，所以.故選：B6、B【解析】列舉出循環(huán)的每一步，利用裂項(xiàng)相消法可求得輸出結(jié)果.【詳解】第一次循環(huán)，不成立，，；第二次循環(huán)，不成立，，；第三次循環(huán)，不成立，，；以此類推，最后一次循環(huán)，不成立，，.成立，跳出循環(huán)體，輸出.故選：B.7、B【解析】求出圓心到直線的距離d，與圓的半徑r比較大小即可判斷出直線與圓的位置關(guān)系，同時(shí)判斷圓心是否在直線上，即可得到正確答案解：由圓的方程得到圓心坐標(biāo)（0，0），半徑r=1則圓心（0，0）到直線y=x+1的距離d==＜r=1，把（0，0）代入直線方程左右兩邊不相等，得到直線不過圓心所以直線與圓的位置關(guān)系是相交但直線不過圓心故選B考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系8、D【解析】根據(jù)給定條件利用全稱量詞命題的否定是存在量詞命題直接寫出作答.【詳解】命題：，是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題：，的否定是：，.故選：D9、D【解析】先設(shè)，代入化簡(jiǎn)，由純虛數(shù)定義求出，即可求解.【詳解】設(shè)，所以，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得，所以的虛部為：.故選：D.10、B【解析】根據(jù)已知條件求得以及，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)在區(qū)間上的最小值.【詳解】因?yàn)?，故可得，則，又，令，解得，令，解得，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，故在區(qū)間上的最小值為.故選：.11、D【解析】由橢圓的定義可以直接求得點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離.【詳解】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,由已知條件得，由橢圓定義得,其中，則.故選：.12、A【解析】求出通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，，，所以，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、ABD【解析】結(jié)合橢圓定義判斷A選項(xiàng)的正確性，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算判斷B選項(xiàng)的正確性，直接法求得橢圓的離心率，由此判斷C選項(xiàng)的正確性，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：由橢圓定義可得：，因此的周長為，所以選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：設(shè)，則，且，又，，所以，，因此，解得，，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)椋?，所以，即，所以離心率，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：設(shè)，，則點(diǎn)到圓的圓心的距離為，因?yàn)椋?，所以選項(xiàng)正確，故選：ABD14、【解析】求出直線過的定點(diǎn)，當(dāng)圓心和定點(diǎn)的連線垂直于直線時(shí)，取得最小值，結(jié)合即可求解.【詳解】由題意知，圓，圓心，半徑，直線，，，解得，故直線過定點(diǎn)，設(shè)圓心到直線的距離為，則，可知當(dāng)距離最大時(shí)，有最小值，由圖可知，時(shí)，最大，此時(shí)，此時(shí).故的最小值為.故答案為：.15、【解析】設(shè)，由邊角關(guān)系可得，，，在和中，利用余弦定理列方程，結(jié)合可解得的值，進(jìn)而可得長.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，，，所以，，?在中，，即①.，在中，，即②，因?yàn)?，所以①②兩式相加可得：，解得：，則，故答案為：.16、①.②.【解析】求出P(,)關(guān)于直線x+2y4=0對(duì)稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)，再求出線段OP'與直線x+2y-4=0的交點(diǎn)A,再利用圓的幾何性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】設(shè)P(,)關(guān)于直線x+2y4=0的對(duì)稱點(diǎn)為P'(m,n),則解得因?yàn)閺狞c(diǎn)P到軍營總路程最短,所以A為線段OP'與直線x+2y4=0的交點(diǎn),聯(lián)立得y=(42y),解得y=.所以“將軍飲馬”的最短總路程為=，故答案為，.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)稱問題以及圓的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.解析幾何中點(diǎn)對(duì)稱問題，主要有以下三種題型：（1）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，利用，且點(diǎn)在對(duì)稱軸上，列方程組求解即可；（2）直線關(guān)于直線對(duì)稱，利用已知直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)以及直線上特殊點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)（利用（1）求解），兩點(diǎn)式求對(duì)稱直線方程；（3）曲線關(guān)于直線對(duì)稱，結(jié)合方法（1）利用逆代法求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析（2）（3）存點(diǎn)，【解析】(1)先證明平面，由平面，可證明結(jié)論.(2)以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的法向量，利用向量法求求解即可.(3)設(shè)，,則，則由向量法結(jié)合條件可得答案.【詳解】（1）在長方體中，,又，所以平面又平面,所以.(2)以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系因?yàn)椋?，是棱的中點(diǎn)則則為平面的一個(gè)法向量.設(shè)為平面的一個(gè)法向量.,所以，即取，可得所以如圖平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為.(3)設(shè)，，則由（2）平面的一個(gè)法向量設(shè)與平面所成角為則解得，取所以存在點(diǎn)，滿足條件.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出方程，即可解得答案；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，求出的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和的方法求得答案.小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列{}的公差為d，則,整理可得：，∵d是整數(shù)，解得，從而，所以數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為：;【小問2詳解】由（1）知，，所以19、（1）．（或標(biāo)準(zhǔn)形式）（2）或【解析】（1）根據(jù)題意，求出中垂線方程，與直線聯(lián)立，可得圓心的坐標(biāo)，求出圓的半徑，即可得答案；（2）分切線的斜率存在與不存在兩種情況討論，求出切線的方程，綜合可得答案【小問1詳解】解：根據(jù)題意，因?yàn)閳A過兩點(diǎn)，，設(shè)的中點(diǎn)為，則，因?yàn)?，所以的中垂線方程為，即又因?yàn)閳A心在直線上，聯(lián)立，解得，所以圓心，半徑，故圓的方程為，【小問2詳解】解：當(dāng)過點(diǎn)P的切線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線與圓C相切當(dāng)過點(diǎn)P的切線斜率k存在時(shí)，設(shè)切線方程為即（*）由圓心C到切線的距離，可得將代入（*），得切線方程為綜上，所求切線方程為或20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)式即可求出直線l1的方程，根據(jù)直線垂直的關(guān)系即可求l2的方程；（2）先求出C點(diǎn)坐標(biāo)，通過三角形的長度關(guān)系知道三角形是以AC為斜邊長的直角三角形，故AC的中點(diǎn)即為外心，AC即為直徑.解析：(1)∵直線經(jīng)過點(diǎn)，，∴，設(shè)直線的方程為，∴，∴.(2)，即：，∴，的中點(diǎn)為，∴的外接圓的圓心為，半徑為，∴外接圓的方程為：.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是已知兩直線位置關(guān)系求參的問題，還考查了三角形外接圓的問題．對(duì)于三角形為外接圓，圓心就是各個(gè)邊的中垂線的交點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外側(cè)，銳角三角形圓心在三角形內(nèi)部，直角三角形圓心在直角三角形斜邊的中點(diǎn)21、（1）（2）【解析】（1）首先求出、、，即可求出，從而求出回歸直線方程；（2）由表可知某人只能接受的食品共有種，評(píng)價(jià)為分以上的有種可記為，，另外種記為，，，，用列舉法列出所有的可能結(jié)果，再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；【小問1詳解】解：設(shè)所求的回歸方程為，由，，，，所求的回歸方程為：.【小問2詳解】解：由表可知某人只能接受的食品共有種，其中美食家以百分制給