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江西省九江市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.?dāng)?shù)列中,,,.當(dāng)時(shí),則n等于()A.2016 B.2017C.2018 D.20192.等差數(shù)列中,已知,,則的前項(xiàng)和的最小值為()A. B.C. D.3.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,當(dāng)時(shí),,,成等差數(shù)列,若,且,則的最大值為()A. B.C. D.4.若關(guān)于x的方程有解,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.5.已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合,過坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線,,與分別交于,則直線過定點(diǎn)()A. B.C. D.6.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,為軸上一點(diǎn),為正三角形,若,的中點(diǎn)恰好在橢圓上,則橢圓的離心率是()A. B.C. D.7.“楊輝三角”是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年,如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣,記為圖中虛線上的數(shù)1,3,6,10,…構(gòu)成的數(shù)列的第n項(xiàng),則的值為()A.1225 B.1275C.1326 D.13628.命題;命題.則A.“或”為假 B.“且”為真C.真假 D.假真9.下列問題中是古典概型的是A.種下一粒楊樹種子,求其能長(zhǎng)成大樹的概率B.擲一顆質(zhì)地不均勻的骰子,求出現(xiàn)1點(diǎn)的概率C.在區(qū)間[1,4]上任取一數(shù),求這個(gè)數(shù)大于1.5概率D.同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,求向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的概率10.已知直線經(jīng)過點(diǎn),且是的方向向量,則點(diǎn)到的距離為()A. B.C. D.11.過點(diǎn)且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為()A B.C. D.12.已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是()A.橢圓 B.直線C.線段 D.圓二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知點(diǎn),拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn),則周長(zhǎng)的最小值是__________.14.拋物線的準(zhǔn)線方程是________15.長(zhǎng)方體中,,已知點(diǎn)與三點(diǎn)共線且,則點(diǎn)到平面的距離為________16.寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件①②的圓C的一般方程______①圓心在第一象限;②圓C與圓相交的弦的方程為三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的離心率為,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)(1)求橢圓C的方程;(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn),,且以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn),求直線的斜率;(3)點(diǎn)是以長(zhǎng)軸為直徑的圓上一點(diǎn),圓在點(diǎn)處的切線交直線于點(diǎn),求證:過點(diǎn)且垂直于的直線過定點(diǎn)18.(12分)已知點(diǎn)F是拋物線和橢圓的公共焦點(diǎn),是與的交點(diǎn),.(1)求橢圓的方程;(2)直線與拋物線相切于點(diǎn),與橢圓交于,,點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.求的最大值及相應(yīng)的.19.(12分)已知函數(shù).(1)求的導(dǎo)數(shù);(2)求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程.20.(12分)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,,且,,(1)若(i)求;(ii)求證數(shù)列成等差數(shù)列(2)若數(shù)列為遞增數(shù)列,且,試求滿足條件的所有正整數(shù)的值21.(12分)籃天技校為了了解車床班學(xué)生的操作能力,設(shè)計(jì)了一個(gè)考查方案;每個(gè)考生從道備選題中一次性隨機(jī)抽取道題,按照題目要求獨(dú)立完成零件加工,規(guī)定:至少正確加工完成其中個(gè)零件方可通過.道備選題中,考生甲有個(gè)零件能正確加工完成,個(gè)零件不能完成;考生乙每個(gè)零件正確完成的概率都是,且每個(gè)零件正確加工完成與否互不影響(1)分別求甲、乙兩位考生正確加工完成零件數(shù)的概率分布列(列出分布列表);(2)試從甲、乙兩位考生正確加工完成零件數(shù)的數(shù)學(xué)期望及兩人通過考查的概率分析比較兩位考生的操作能力22.(10分)已知在長(zhǎng)方形ABCD中,AD=2AB=2,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),沿BE折起平面ABE,使平面ABE⊥平面BCDE.(1)求證:在四棱錐A-BCDE中,AB⊥AC.(2)在線段AC上是否存在點(diǎn)F,使二面角A-BE-F的余弦值為?若存在,找出點(diǎn)F的位置;若不存在,說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)已知條件用逐差法求得的通項(xiàng)公式,再根據(jù)裂項(xiàng)求和法求得,代值計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?,,則,即,則,故,又,即,解得.故選:B.2、B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為,而,可知數(shù)列是遞增數(shù),從而可求得結(jié)果【詳解】∵等差數(shù)列中,,∴,即.又,∴的前項(xiàng)和的最小值為故選:B3、A【解析】根據(jù)等差中項(xiàng)寫出式子,由遞推式及求和公式寫出和,進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】解:由,,成等差數(shù)列,可得,則,,,可得數(shù)列中,每隔兩項(xiàng)求和是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列.則,,則的最大值可能為.由,,可得.因?yàn)椋?,,即,所以,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,符合題意,故的最大值為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和遞推式的應(yīng)用,考查分析問題能力,屬于難題.4、C【解析】將對(duì)數(shù)方程化為指數(shù)方程,用x表示出a,利用基本不等式即可求a的范圍【詳解】,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故故選:C5、A【解析】由橢圓方程可求得坐標(biāo),由此求得拋物線方程;設(shè),與拋物線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式,根據(jù)可得,由此構(gòu)造方程求得,根據(jù)直線過定點(diǎn)的求法可求得定點(diǎn).【詳解】由橢圓方程知其焦點(diǎn)坐標(biāo)為,又拋物線焦點(diǎn),,解得:,則拋物線的方程為,由題意知:直線斜率不為,可設(shè),由得:,則,即,設(shè),,則,,,,,解得:或;又與坐標(biāo)原點(diǎn)不重合,,,當(dāng)時(shí),,直線恒過定點(diǎn).故選:A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:本題考查直線與拋物線綜合應(yīng)用中的直線過定點(diǎn)問題的求解,求解此類問題的基本思路如下:①假設(shè)直線方程,與拋物線方程聯(lián)立,整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式;②利用求得變量的取值范圍,得到韋達(dá)定理的形式;③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系,代入韋達(dá)定理可整理得到變量間的關(guān)系,從而化簡(jiǎn)直線方程;④根據(jù)直線過定點(diǎn)的求解方法可求得結(jié)果.6、A【解析】根據(jù)題意得,取線段的中點(diǎn),則根據(jù)題意得,,根據(jù)橢圓的定義可知,然后解出離心率的值.【詳解】因?yàn)闉檎切危?,取線段的中點(diǎn),連結(jié),則,所以,得,所以橢圓的離心率.故選:A.【點(diǎn)睛】求解離心率及其范圍的問題時(shí),解題的關(guān)鍵在于畫出圖形,根據(jù)題目中的幾何條件列出關(guān)于,,的齊次式,然后得到關(guān)于離心率的方程或不等式求解7、B【解析】觀察前4項(xiàng)可得,從而可求得結(jié)果【詳解】由題意可得,……,觀察規(guī)律可得,所以,故選:B8、D【解析】命題:可能為0,不為0,假命題,命題:,為真命題,所以“或”為真命題,“且”為假命題.選D.9、D【解析】A、B兩項(xiàng)中的基本事件的發(fā)生不是等可能的;C項(xiàng)中基本事件的個(gè)數(shù)是無(wú)限多個(gè);D項(xiàng)中基本事件的發(fā)生是等可能的,且是有限個(gè).故選D【考點(diǎn)】古典概型的判斷10、B【解析】求出,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的向量公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)椋瑸榈囊粋€(gè)方向向量,所以點(diǎn)到直線的距離.故選:B11、C【解析】設(shè)與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為,代入點(diǎn)的坐標(biāo),求出的值,即可的解.【詳解】設(shè)與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為,代入點(diǎn),得,解得,所以所求雙曲線方程為,即故選:C.12、C【解析】根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式的幾何意義即可判定出動(dòng)點(diǎn)軌跡.【詳解】由題意可知表示動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和等于,又因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)的距離等于,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段.故選:二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、##【解析】利用拋物線的定義結(jié)合圖形即得.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線的方程為,過點(diǎn)作,垂足為,則,所以的周長(zhǎng)為,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.故答案為:.14、【解析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式,從而得到準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線方程可化為:拋物線準(zhǔn)線方程為:故答案為【點(diǎn)睛】本題考查拋物線準(zhǔn)線的求解,易錯(cuò)點(diǎn)是未將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.15、【解析】利用坐標(biāo)法,利用向量共線及垂直的坐標(biāo)表示可求,即求.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則,因?yàn)辄c(diǎn)與三點(diǎn)共線且,,設(shè),即,∴,∴,∴,即,∴點(diǎn)到平面的距離為.故答案為:.16、(答案不唯一)【解析】設(shè)所求圓為,由圓心在第一象限可判斷出,只需取特殊值,即可得到答案.【詳解】可設(shè)所求圓為,即只需,解得:,不妨取,則圓的方程為:.故答案為:(答案不唯一)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2);(3).【解析】(1)由題意中離心率和長(zhǎng)軸長(zhǎng)可求出,即可求出橢圓方程.(2)設(shè)出與的坐標(biāo)即直線的方程,把直線與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立寫出韋達(dá)定理,由題意以為直徑圓經(jīng)過原點(diǎn)可得,化簡(jiǎn)即可求出直線的斜率.(3)由題意可得圓的方程,設(shè),由和直線的方程化簡(jiǎn),即可得到答案.【小問1詳解】,,橢圓C的方程為.【小問2詳解】由題意知直線的斜率存在且不為0,設(shè)直線的方程為.設(shè).把直線的方程與橢圓的方程進(jìn)行聯(lián)立得:..由以為直徑圓經(jīng)過原點(diǎn)知,..經(jīng)檢驗(yàn),滿足,所以.【小問3詳解】由題意可得圓的方程為,設(shè),由得.①.當(dāng)時(shí),,直線的方程為.直線過橢圓的右焦點(diǎn).當(dāng)時(shí),直線的斜率為且過,②把①代入②中得.故直線過橢圓的右焦點(diǎn).綜上所述,直線過橢圓的右焦點(diǎn).18、(1);(2),.【解析】(1)根據(jù)題意可得,然后根據(jù),,計(jì)算可得,最后可得結(jié)果.(2)假設(shè)直線的方程為,根據(jù)與拋物線相切,可得,然后與橢圓聯(lián)立,計(jì)算,然后計(jì)算點(diǎn)到的距離,計(jì)算,利用函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】(1)由題意知:,.,得:,所以.所以的方程為.(2)設(shè)直線的方程為,則由,得得:所以直線的方程為.由,得得.又,所以點(diǎn)到的距離為..令,則,.此時(shí),即【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓錐曲線的綜合以及三角形面積問題,本題著重考查對(duì)問題分析能力以及計(jì)算能力,屬難題.19、(1);(2).【解析】(1)利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則直接計(jì)算作答.(2)求出,再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程作答.【小問1詳解】函數(shù)定義域?yàn)?,所以函?shù).【小問2詳解】由(1)知,,而,于是得,即,所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是.20、(1);詳見解析;(2)5.【解析】(1)由題可得,由條件可依次求各項(xiàng),即得;猜想,用數(shù)學(xué)歸納法證明即得;(2)設(shè),由題可得,進(jìn)而可得,結(jié)合條件即求.【小問1詳解】(i)∵,且,,,∴,,,∴,,,又,,,∴,∴,解得,,解得,,解得,,解得,∴;(ii)由,,,,猜想數(shù)列是首項(xiàng),公差為的等差數(shù)列,,用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)時(shí),,成立;假設(shè)時(shí),等式成立,即,則時(shí),,∴,∴當(dāng)時(shí),等式也成立,∴,∴數(shù)列是首項(xiàng),公差為的等差數(shù)列.【小問2詳解】設(shè),由,,即,∴,又,,,∴,,,,,,∴,,,∴,又?jǐn)?shù)列為遞增數(shù)列,∴,解得,由,∴,解得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:第一問的關(guān)鍵是由條件猜想,然后數(shù)學(xué)歸納法證明,第二問求出,,即得.21、(1)分布列見解析(2)甲的試驗(yàn)操作能力較強(qiáng),理由見解析【解析】(1)設(shè)考生甲、乙正確加工完成零件的個(gè)數(shù)分別為、,則的可能取值有、、,的可能取值有、、、,且,計(jì)算出兩個(gè)隨機(jī)變量在不同取值下的概率,可得出這兩個(gè)隨機(jī)變量的概率分布列;(2)計(jì)算出、、、的值,比較、的大小,以及、的大小,由此可得出結(jié)論.【小問1詳解】解:設(shè)考生甲、乙正確加工完成零件的個(gè)數(shù)分別為、,則的可能取值有、、,的可能取值有、、、,且,,,,所以,考生甲正確加工完成零件數(shù)的概率分布列如下表所示:,,,,所以,考生乙正確加工完成零件數(shù)的概率分布列如下表所示:【小問2詳解】解:,,,,所以,,從做對(duì)題的數(shù)學(xué)期望分析,兩人水平相當(dāng);從通過考查的概率分析,甲通過的可能性大,因此可以判斷甲的試驗(yàn)操作能力較強(qiáng).22、(1)證明見解析(2)點(diǎn)F為線段AC的中點(diǎn)【解析】(1)由平面幾何知識(shí)證得CE⊥BE,再根據(jù)面面垂直的性質(zhì),線面垂直的判定和性質(zhì)可得證;(2)取BE的中點(diǎn)O,以O(shè)為原點(diǎn),分別以的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,假設(shè)在線段AC上存在點(diǎn)F,設(shè)=λ,運(yùn)用二面角的向量求解方法可求得,可得點(diǎn)F的位置.【小問1詳解】證明:因?yàn)樵陂L(zhǎng)方形ABCD中,AD=2AB=2,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),所以BE=CE=2,又BC=2,所以,所以CE⊥BE,又平面ABE⊥平面BCDE,面面,所以CE⊥平面ABE,所以AB⊥CE.又AB⊥AE,,所以AB⊥平面AEC,即得AB⊥AC.【小問2詳解】解:存在點(diǎn)F,F(xiàn)為線段AC的中點(diǎn).由(1)得△ABE和△
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