2025屆河北省保定市曲陽縣一中數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試試題含解析

2025屆河北省保定市曲陽縣一中數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在等差數(shù)列{an}中，a1=1，，則a7=（）A.13 B.14C.15 D.162．若橢圓的弦恰好被點(diǎn)平分，則所在的直線方程為（）A. B.C. D.3．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線．已知的頂點(diǎn)，，若其歐拉線的方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.4．在二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)、，線段、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱，若，，，，則這個(gè)二面角的大小為（）A. B.C. D.5．已知雙曲線的焦距為，且雙曲線的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.6．等比數(shù)列的第4項(xiàng)與第6項(xiàng)分別為12和48，則公比的值為（）A. B.2C.或2 D.或7．下面三種說法中，正確說法的個(gè)數(shù)為（）①如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合；②兩條直線可以確定一個(gè)平面；③若，，，則A.1 B.2C.3 D.08．概率論起源于賭博問題．法國著名數(shù)學(xué)家布萊爾帕斯卡遇到兩個(gè)賭徒向他提出的賭金分配問題：甲、乙兩賭徒約定先贏滿局者，可獲得全部賭金法郎，當(dāng)甲贏了局，乙贏了局，不再賭下去時(shí)，賭金如何分配？假設(shè)每局兩人輸贏的概率各占一半，每局輸贏相互獨(dú)立，那么賭金分配比較合理的是（）A.甲法郎，乙法郎 B.甲法郎，乙法郎C.甲法郎，乙法郎 D.甲法郎，乙法郎9．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)，分別帶著A、B、C、D、E五個(gè)不同的禮物參加“抽盲盒”學(xué)游戲，先將五個(gè)禮物分別放入五個(gè)相同的盒子里，每位同學(xué)再分別隨機(jī)抽取一個(gè)盒子，恰有一位同學(xué)拿到自己禮物的概率為（）A. B.C. D.10．命題“，使得”的否定形式是A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得11．已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)．其中M在第一象限．，則橢圓C的離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.12．直線在y軸上的截距是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為拋物線：的焦點(diǎn)，為拋物線上在第一象限的點(diǎn).若為的中點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)，則直線斜率的最大值為______.14．設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，則該橢圓的離心率為______15．設(shè)，分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓C上一點(diǎn)且在第一象限，若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為___________16．已知向量與是平面的兩個(gè)法向量，則__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在上有1個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍18．（12分）如圖，在正三棱柱中，，，，分別為，，的中點(diǎn)（1）證明：（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值19．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求不等式的解集.20．（12分）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在陽馬中，側(cè)棱底面，且，過棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接（1）證明：．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說明理由；（2）記陽馬的體積為，四面體的體積為，求的值；（3）若面與面所成二面角的大小為，求的值21．（12分）已知動點(diǎn)M到定點(diǎn)和的距離之和為4（1）求動點(diǎn)軌跡的方程；（2）若直線交橢圓于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積22．（10分）已知拋物線：，直線過定點(diǎn).（1）若與僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程；（2）若與交于A，B兩點(diǎn)，直線OA，OB（其中О為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為，，試探究在，，，中，運(yùn)算結(jié)果是否有為定值的？并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】利用等差數(shù)列的基本量，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，解得：，則.故選：A2、D【解析】判斷點(diǎn)M與橢圓的位置關(guān)系，再借助點(diǎn)差法求出直線AB的斜率即可計(jì)算作答.【詳解】顯然點(diǎn)橢圓內(nèi)，設(shè)點(diǎn)，依題意，，兩式相減得：，而弦恰好被點(diǎn)平分，即，則直線AB的斜率，直線AB：，即，所以所在的直線方程為.故選：D3、A【解析】設(shè)，計(jì)算出重心坐標(biāo)后代入歐拉方程，再求出外心坐標(biāo)，根據(jù)外心的性質(zhì)列出關(guān)于的方程，最后聯(lián)立解方程即可.【詳解】設(shè)，由重心坐標(biāo)公式得，三角形的重心為，，代入歐拉線方程得：，整理得：①的中點(diǎn)為，，的中垂線方程為，即聯(lián)立，解得的外心為則，整理得：②聯(lián)立①②得：，或，當(dāng)，時(shí)，重合，舍去頂點(diǎn)的坐標(biāo)是故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是求出外心，二是根據(jù)外心的性質(zhì)列方程.4、C【解析】設(shè)這個(gè)二面角的度數(shù)為，由題意得，從而得到，由此能求出結(jié)果.【詳解】設(shè)這個(gè)二面角的度數(shù)為，由題意得，，，解得，∴，∴這個(gè)二面角的度數(shù)為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的幾何運(yùn)算以及數(shù)量積研究面面角.5、B【解析】根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線漸近線斜率為±可求a，b關(guān)系，再結(jié)合a，b，c關(guān)系即可求解﹒【詳解】∵雙曲線1(a＞0，b＞0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0平行，∴，∴b＝2a，∵c2＝a2＋b2，∴a＝1，b＝2，∴雙曲線的方程為故選：B6、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得；詳解】解：依題意、，所以，即，所以；故選：C7、A【解析】對于①，有兩種情況，對于②考慮異面直線，對于③根據(jù)線面公理可判斷.【詳解】如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合或者是相交，故①不正確；兩條異面直線不能確定一個(gè)平面，故②不正確；若，，，可知必在交線上，則，故③正確；綜上所述只有一個(gè)說法是正確的.故選：A8、A【解析】利用獨(dú)立事件計(jì)算出甲、乙各自贏得賭金的概率，由此可求得兩人各分配的金額.【詳解】甲贏得法郎的概率為，乙贏得法郎的概率為，因此，這法郎中分配給甲法郎，分配給乙法郎.故選：A.9、D【解析】利用排列組合知識求出每位同學(xué)再分別隨機(jī)抽取一個(gè)盒子，恰有一位同學(xué)拿到自己禮物的情況個(gè)數(shù)，以及五人抽取五個(gè)禮物的總情況，兩者相除即可.【詳解】先從五人中抽取一人，恰好拿到自己禮物，有種情況，接下來的四人分為兩種情況，一種是兩兩一對，兩個(gè)人都拿到對方的禮物，有種情況，另一種是四個(gè)人都拿到另外一個(gè)人的禮物，不是兩兩一對，都拿到對方的情況，由種情況，綜上：共有種情況，而五人抽五個(gè)禮物總數(shù)為種情況，故恰有一位同學(xué)拿到自己禮物的概率為.故選：D10、D【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故選D【考點(diǎn)】全稱命題與特稱命題的否定【方法點(diǎn)睛】全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題．對含有存在（全稱）量詞的命題進(jìn)行否定需要兩步操作：①將存在（全稱）量詞改成全稱（存在）量詞；②將結(jié)論加以否定11、D【解析】由題設(shè)易知四邊形為矩形，可得，結(jié)合已知條件有即可求橢圓C的離心率的取值范圍.【詳解】由橢圓的對稱性知：，而，又，即四邊形為矩形，所以，則且M在第一象限，整理得，所以，又即，綜上，，整理得，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由橢圓的對稱性及矩形性質(zhì)可得，由已知條件得到，進(jìn)而得到橢圓參數(shù)的齊次式求離心率范圍.12、D【解析】在y軸上的截距只需令x=0求出y的值即可得出.【詳解】令x=0，則y=-2，即直線在y周上的截距為-2，故選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】由題意，可得，設(shè)，，，根據(jù)是線段的中點(diǎn)，求出的坐標(biāo)，可得直線的斜率，利用基本不等式即可得結(jié)論【詳解】解：由題意，可得，設(shè)，，，，是線段的中點(diǎn)，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，直線的斜率的最大值為1故答案為：114、##【解析】求出、的值，即可求得橢圓的離心率.【詳解】在橢圓中，，，則，因此，該橢圓的離心率為.故答案為：.15、【解析】先計(jì)算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的橫坐標(biāo)為，代入橢圓C：求出.【詳解】橢圓C：,所以.因?yàn)镸在橢圓上,.因?yàn)镸在第一象限,故.為等腰三角形,則,所以,由余弦定理可得.過M作MA⊥x軸于A,則所以,即M的橫坐標(biāo)為.因?yàn)镸為橢圓C：上一點(diǎn)且在第一象限，所以，解得：所以M的坐標(biāo)為.故答案為：16、【解析】由且為非零向量可直接構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由題意知：，，解得：（舍）或，.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析；（2）.【解析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，按a值的正負(fù)分析討論導(dǎo)數(shù)值的符號計(jì)算作答.(2)求出函數(shù)的解析式并求導(dǎo)，再按在值的正負(fù)分段討論推理作答.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，得，若，即時(shí)，，則有在R上單調(diào)遞增，若，即時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則有在，上都單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，即時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則有在，上都單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在，上都單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在，上都單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】依題意，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，使得，而在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，若，即時(shí)，無零點(diǎn)，若，即時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，綜上可知，當(dāng)時(shí)，在有1個(gè)零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及含參的函數(shù)零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由已知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別表示出B、D、E、F點(diǎn)的坐標(biāo)，然后通過計(jì)算向量數(shù)量積來進(jìn)行證明；（2）由第（1）建立的空間直角坐標(biāo)系，分別表示出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后計(jì)算平面與平面的法向量，然后通過法向量去計(jì)算兩平面所成的銳二面角即可.【小問1詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，的方向分別為，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，，，分別為，，的中點(diǎn)，則，，證明：因?yàn)?，，所以，所以【小?詳解】設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以，令，得設(shè)平面的法向量為，則令，得因?yàn)樗云矫媾c平面所成銳二面角的余弦值為19、（1）（2）【解析】（1）利用與的關(guān)系求解即可；（2）首先利用裂項(xiàng)求和得到，從而得到，再解不等式即可.【小問1詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也符合上式，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由（1）得，則，所以故可化為：，故，故不等式的解集為.20、（1）證明見解析，是鱉臑，四個(gè)面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB（2）4（3）【解析】（1）由直線與直線，直線與平面的垂直的轉(zhuǎn)化證明得出PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF，即可判斷DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形，確定直角即可；（2）PD是陽馬P?ABCD的高，DE是鱉臑D?BCE的高，BC⊥CE，，由此能求出的值（3）根據(jù)公理2得出DG是平面DEF與平面ACBD的交線．利用直線與平面的垂直判斷出DG⊥DF，DG⊥DB，根據(jù)平面角的定義得出∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，轉(zhuǎn)化到直角三角形求解即可【小問1詳解】因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD為長方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD．而DE?平面PDC，所以BC⊥DE又因?yàn)镻D＝CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以DE⊥PC而PC∩CB＝C，所以DE⊥平面PBC．而PB?平面PBC，所以PB⊥DE又PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB；【小問2詳解】由已知，PD是陽馬P?ABCD的高，∴，由（Ⅰ）知，，在Rt△PDC中，∵PD＝CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，∴，∴【小問3詳解】如圖所示，在面BPC內(nèi)，延長BC與FE交于點(diǎn)G，則DG是平面DEF與平面ABCD的交線由（1）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG又因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB＝P，所以DG⊥平面PBD所以DG⊥DF，DG⊥DB故∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，設(shè)PD＝DC＝1，BC＝λ，有，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得，則，解得所以故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為時(shí)，21、（1）；（2）.【解析】（1）利用橢圓的定義即求；（2）由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可解得