湖南省武岡二中2025屆數(shù)學高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

湖南省武岡二中2025屆數(shù)學高二上期末統(tǒng)考模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.《米老鼠和唐老鴨》這部動畫給我們的童年帶來了許多美好的回憶,令我們印象深刻.如圖所示,有人用3個圓構(gòu)成米奇的簡筆畫形象.已知3個圓方程分別為:圓圓,圓若過原點的直線與圓、均相切,則截圓所得的弦長為()A B.C. D.2.是雙曲線:上一點,已知,則的值()A. B.C.或 D.3.甲,乙、丙、丁、戊共5人隨機地排成一行,則甲、乙相鄰,丙、丁不相鄰的概率為()A. B.C. D.4.圓心在x軸負半軸上,半徑為4,且與直線相切的圓的方程為()A. B.C. D.5.如圖,將邊長為4的正方形折成一個正四棱柱的側(cè)面,則異面直線AK和LM所成角的大小為()A.30° B.45°C.60° D.90°6.已知實數(shù)a,b,c滿足,,則a,b,c的大小關(guān)系為()A. B.C. D.7.若曲線表示圓,則m的取值范圍是()A. B.C. D.8.命題“存在,使得”為真命題的一個充分不必要條件是()A. B.C. D.9.拋物線的準線方程是,則實數(shù)的值為()A. B.C.8 D.10.若動圓的圓心在拋物線上,且恒過定點,則此動圓與直線()A.相交 B.相切C.相離 D.不確定11.南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中,提出了一些新的垛積公式,他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,前后兩項之差并不相等,而是逐項差數(shù)之差或者高次差相等.對這類高階等差數(shù)列的研究,在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個高階等差數(shù)列,其前6項分別為1,5,11,21,37,61,則該數(shù)列的第7項為()A.95 B.131C.139 D.14112.已知等差數(shù)列中,,則()A.15 B.30C.45 D.60二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.隨機抽取某社區(qū)名居民,調(diào)查他們某一天吃早餐所花的費用(單位:元),所獲數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示,則這個數(shù)據(jù)的眾數(shù)是_________14.已知圓,若圓的過點的三條弦的長,,構(gòu)成等差數(shù)列,則該數(shù)列的公差的最大值是______.15.千年一遇對稱日,萬事圓滿在今朝,年月日又是一個難得的“世界完全對稱日”(公歷紀年日期中數(shù)字左右完全對稱的日期).數(shù)學上把這樣的對稱自然數(shù)叫回文數(shù),兩位數(shù)的回文數(shù)共有個(),其中末位是奇數(shù)的又叫做回文奇數(shù),則在內(nèi)的回文奇數(shù)的個數(shù)為___16.已知函數(shù).(1)當時,求曲線在點處的切線方程;(2)求的單調(diào)區(qū)間;三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)求函數(shù)在點處的切線方程;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值18.(12分)已知橢圓C:的左右焦點分別為,,點P是橢圓C上位于第二象限的任一點,直線l是的外角平分線,過左焦點作l的垂線,垂足為N,延長交直線于點M,(其中O為坐標原點),橢圓C的離心率為(1)求橢圓C的標準方程;(2)過右焦點的直線交橢圓C于A,B兩點,點T在線段AB上,且,點B關(guān)于原點的對稱點為R,求面積的取值范圍.19.(12分)在柯橋古鎮(zhèn)的開發(fā)中,為保護古橋OA,規(guī)劃在O的正東方向100m的C處向?qū)Π禔B建一座新橋,使新橋BC與河岸AB垂直,并設(shè)立一個以線段OA上一點M為圓心,與直線BC相切的圓形保護區(qū)(如圖所示),且古橋兩端O和A與圓上任意一點的距離都不小于50m,經(jīng)測量,點A位于點O正南方向25m,,建立如圖所示直角坐標系(1)求新橋BC的長度;(2)當OM多長時,圓形保護區(qū)的面積最???20.(12分)已知橢圓的左、右焦點分別為,且,直線過與交于兩點,的周長為8(1)求的方程;(2)過作直線交于兩點,且向量與方向相同,求四邊形面積的取值范圍21.(12分)已知拋物線,直線與交于兩點且(為坐標原點)(1)求拋物線的方程;(2)設(shè),若直線的傾斜角互補,求的值22.(10分)設(shè)函數(shù).(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;(2)函數(shù),若對任意的,總存在使得,求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】設(shè)直線,利用直線與圓相切,求得斜率,再利用弦長公式求弦長【詳解】設(shè)過點的直線.由直線與圓、圓均相切,得解得(1).設(shè)點到直線的距離為則(2).又圓的半徑直線截圓所得弦長結(jié)合(1)(2)兩式,解得2、B【解析】根據(jù)雙曲線定義,結(jié)合雙曲線上的點到焦點的距離的取值范圍,即可求解.【詳解】雙曲線方程為:,是雙曲線:上一點,,,或,又,.故選:B3、A【解析】先求出所有的基本事件,再求出甲、乙相鄰,丙、丁不相鄰的基本事件,根據(jù)古典概型的概率公式求解即可【詳解】甲,乙、丙、丁、戊共5人隨機地排成一行有種方法,甲、乙相鄰,丙、丁不相鄰的排法為先將甲、乙捆綁在一起,再與戊進行排列,然后丙、丁從3個空中選2個空插入,則共有種方法,所以甲、乙相鄰,丙、丁不相鄰的概率為,故選:A4、A【解析】根據(jù)題意,設(shè)圓心為坐標為,,由直線與圓相切的判斷方法可得圓心到直線的距離,解得的值,即可得答案【詳解】根據(jù)題意,設(shè)圓心為坐標為,,圓的半徑為4,且與直線相切,則圓心到直線的距離,解得:或13(舍,則圓的坐標為,故所求圓的方程為,故選:A5、D【解析】作出折疊后的正四棱錐,確定線面關(guān)系,從而把異面直線的夾角通過平移放到一個平面內(nèi)求得.【詳解】由題知,折疊后的正四棱錐如圖所示,易知K為的四等分點,L為的中點,M為的四等分點,,取的中點N,易證,則異面直線AK和LM所成角即直線AK和KN所成角,在中,,,故故選:D6、A【解析】利用對數(shù)的性質(zhì)可得,,再構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)判斷,再構(gòu)造,利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意可得均大于,因為,所以,所以,且,令,,當時,,所以在單調(diào)遞增,所以,所以,即,令,,當時,,所以在上單調(diào)遞減,由,,所以,所以,綜上所述,.故選:A7、C【解析】按照圓的一般方程滿足的條件求解即可.【詳解】或.故選:C.8、B【解析】“存在,使得”為真命題,可得,利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.再利用充要條件的判定方法即可得出.【詳解】解:因為“存在,使得”為真命題,所以,因此上述命題得個充分不必要條件是.故選:B.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、充要條件的判定方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.9、B【解析】化簡方程為,求得拋物線的準線方程,列出方程,即可求解.【詳解】由拋物線,可得,所以,所以拋物線的準線方程為,因為拋物線的準線方程為,所以,解得.故選:B.10、B【解析】根據(jù)題意得定點為拋物線的焦點,為準線,進而根據(jù)拋物線的定義判斷即可.【詳解】解:由題知,定點為拋物線的焦點,為準線,因為動圓的圓心在拋物線上,且恒過定點,所以根據(jù)拋物線的定義得動圓的圓心到直線的距離等于圓心到定點,即圓心到直線的距離等于動圓的半徑,所以動圓與直線相切.故選:B11、A【解析】利用已知條件,推出數(shù)列的差數(shù)的差組成的數(shù)列是等差數(shù)列,轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】由題意可知,1,5,11,21,37,61,……,的差的數(shù)列為4,6,10,16,24,……,則這個數(shù)列的差組成的數(shù)列為:2,4,6,8,……,是一個等差數(shù)列,設(shè)原數(shù)列的第7項為,則,解得,所以原數(shù)列的第7項為95,故選:A12、D【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),可知,從而可求出結(jié)果.【詳解】解:根據(jù)題意,可知等差數(shù)列中,,則,所以.故選:D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】將個數(shù)據(jù)寫出來,可得出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).【詳解】這個數(shù)據(jù)分別為、、、、、、、、、、、、、、,該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為.故答案為:.14、2【解析】根據(jù)題意,求得過點的直線截圓所得弦長的最大值和最小值,即可求得公差的最大值.【詳解】圓的圓心,半徑,設(shè)點為點,因為,故點在圓內(nèi),當直線過點,且經(jīng)過圓心時,該直線截圓所得弦長取得最大值;當直線過點,且與直線垂直時,該直線截圓所得弦長取得最小值,此時,則滿足題意的直線為,即,又,則該直線截圓所得弦長為;根據(jù)題意,要使得數(shù)列的公差最大,則,故最大公差.故答案為:.15、【解析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理,結(jié)合題中定義、組合的定義進行求解即可.【詳解】兩位數(shù)的回文奇數(shù)有,共個,三位數(shù)的回文奇數(shù)有,四位數(shù)的回文奇數(shù)有,所以在內(nèi)的回文奇數(shù)的個數(shù)為,故答案為:16、(1)(2)詳見解析【解析】(1)分別求得和,從而得到切線方程;(2)求導后,令求得兩根,分別在、和三種情況下根據(jù)導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】(1),,,,又,在處的切線方程為.(2),令,解得:,.①當時,若和時,;若時,;的單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為;②當時,在上恒成立,的單調(diào)遞增區(qū)間為,無單調(diào)遞減區(qū)間;③當時,若和時,;若時,;的單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為;綜上所述:當時,的單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為;當時,的單調(diào)遞增區(qū)間為,無單調(diào)遞減區(qū)間;當時,的單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為.【點睛】本題考查利用導數(shù)的幾何意義求解曲線在某一點處的切線方程、利用導數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的問題,屬于常考題型.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)+1;(2)單調(diào)增區(qū)間,單調(diào)減區(qū)間是和,極大值為,極小值為【解析】(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義可求出切線斜率,求出后利用點斜式即可得解;(2)求出函數(shù)導數(shù)后,解一元二次不等式分別求出、時的取值范圍即可得解.【詳解】(1)因為,所以,∴切線方程為,即+1;(2),所以當或時,,當時,,所以函數(shù)單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是和,極大值為,極小值為18、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)題意可得到的值,結(jié)合橢圓的離心率,即可求得b,求得答案;(2)由可得,進一步推得,于是設(shè)直線方程和橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系,求得弦長,表示出三角形AOB的面積,利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求其范圍.【小問1詳解】由題意可知:為的中點,為的中點,為的中位線,,,又,故,即,,又,,,橢圓的標準方程為;【小問2詳解】由題意可知,,,①當過的直線與軸垂直時,,,②當過的直線不與軸垂直時,可設(shè),,直線方程為,聯(lián)立,可得:.,,,由弦長公式可知,到距離為,故,令,則原式變?yōu)?,令,原式變?yōu)楫敃r,故,由①②可知.【點睛】本題考查了橢圓方程的求解,以及直線和橢圓相交時的三角形的面積問題,考查學生的計算能力和數(shù)學素養(yǎng),解答的關(guān)鍵是計算三角形面積時要理清運算的思路,準確計算.19、(1)80m;(2).【解析】(1)根據(jù)斜率的公式,結(jié)合解方程組法和兩點間距離公式進行求解即可;(2)根據(jù)圓的切線性質(zhì)進行求解即可.【小問1詳解】由題意,可知,,∵∴直線BC方程:①,同理可得:直線AB方程:②由①②可知,∴,從而得故新橋BC得長度為80m【小問2詳解】設(shè),則,圓心,∵直線BC與圓M相切,∴半徑,又因為,∵∴,所以當時,圓M的面積達到最小20、(1);(2).【解析】(1)根據(jù)給定條件直接求出半焦距,及長半軸長即可作答.(2)根據(jù)給定條件結(jié)合橢圓的對稱性可得四邊形為平行四邊形,設(shè)出直線l的方程,與橢圓C的方程聯(lián)立,借助韋達定理、對勾函數(shù)性質(zhì)計算作答.【小問1詳解】依題意,橢圓半焦距,由橢圓定義知,的周長,解得,,因此橢圓的方程為.【小問2詳解】依題意,直線的斜率不為0,設(shè)直線的方程為,,由消去并整理得:,則,,因與方向相同,即,又橢圓是以原點O為對稱中心的中心對稱圖形,于是得,即四邊形為平行四邊形,其面積,則,令,則,則,顯然在上單調(diào)遞增,則當時,,即,從而可得,所以四邊形面積的取值范圍為.【點睛】結(jié)論點睛:過定點的直線l:y=kx+b交圓錐曲線于點,,則面積;過定點直線l:x=ty+a交圓錐曲線于點,,則面積21、(1);(2).【解析】(1)利用韋達定理法即求;(2)由題可求,,再結(jié)合條件即得.【小問1詳解】設(shè),,由,得,故,由,可得,即,∴,故拋物線的方程為:;【小問2詳解】設(shè)的傾斜角為,則的傾斜角為,∴由,得,∴,∴,同理,由,得,∴,即,故.22、(1)答案見解析;(2).【解析】(1)求導,根據(jù)導函數(shù)的正負性分類討論進行求解即可;(

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