2025屆四川省綿陽(yáng)市東辰高中高二上數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

2025屆四川省綿陽(yáng)市東辰高中高二上數(shù)學(xué)期末考試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖所示，在三棱錐中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.2．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則=（）A.26 B.19C.11 D.93．“”是“直線與直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．若復(fù)數(shù)z滿足（其中為虛數(shù)單位），則（）A. B.C. D.5．已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），則3+2等于（）A.（5，8，3） B.（5，﹣6，4）C.（8，16，4） D.（16，0，4）6．閱讀程序框圖，該算法的功能是輸出A.數(shù)列的第4項(xiàng) B.數(shù)列的第5項(xiàng)C.數(shù)列的前4項(xiàng)的和 D.數(shù)列的前5項(xiàng)的和7．設(shè)兩個(gè)變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)為，回歸方程為，那么必有（）A.與符號(hào)相同 B.與符號(hào)相同C.與符號(hào)相反 D.與符號(hào)相反8．直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.相交或相切9．若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則該數(shù)列的第5項(xiàng)為（）A. B.C. D.10．已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則（）A.2 B.3C.4 D.511．橢圓中以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線斜率為（）A. B.C. D.12．若存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x，y，使得成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．總書記在2021年2月25日召開的全國(guó)脫貧攻堅(jiān)總結(jié)表彰大會(huì)上發(fā)表重要講話，莊嚴(yán)宣告，在迎來(lái)中國(guó)共產(chǎn)黨成立一百周年的重要時(shí)刻，我國(guó)脫貧攻堅(jiān)取得了全面勝利.在脫貧攻堅(jiān)過程中，為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，工作人員對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結(jié)論中所存確結(jié)論的序號(hào)是____________①該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%；②該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%；③估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬(wàn)元；④估計(jì)該地有一半以上農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間14．函數(shù)定義域?yàn)開__________.15．已知方程的兩根為和5，則不等式的解集是______16．已知數(shù)列滿足：，，，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓C上一點(diǎn).（1）當(dāng)P為橢圓C的上頂點(diǎn)時(shí)，求的余弦值；（2）直線與橢圓C交于A，B，若，求k18．（12分）如圖，在直三棱柱中，，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.（1）當(dāng)直線與平面所成角最大時(shí)，求線段的長(zhǎng)度；（2）是否存在這樣的點(diǎn)，使平面與平面所成的二面角的余弦值為，若存在，試確定點(diǎn)的位置，若不存在，說明理由.19．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓A：的圓心為A，過點(diǎn)B(，0)任作直線l交圓A于點(diǎn)C、D，過點(diǎn)B作與AD平行的直線交AC于點(diǎn)E.（1）求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程；（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)E的軌跡與y軸正半軸交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P且斜率為k1，k2的兩直線交動(dòng)點(diǎn)E的軌跡于M、N兩點(diǎn)(異于點(diǎn)P)，若，證明：直線MN過定點(diǎn).20．（12分）某外語(yǔ)學(xué)校的一個(gè)社團(tuán)中有7名同學(xué)，其中2人只會(huì)法語(yǔ)；2人只會(huì)英語(yǔ)，3人既會(huì)法語(yǔ)又會(huì)英語(yǔ)，現(xiàn)選派3人到法國(guó)的學(xué)校交流訪問（1）在選派的3人中恰有2人會(huì)法語(yǔ)的概率；（2）在選派的3人中既會(huì)法語(yǔ)又會(huì)英語(yǔ)的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望21．（12分）新高考取消文理分科，采用選科模式，這賦予了學(xué)生充分的自由選擇權(quán).新高考地區(qū)某校為了解本校高一年級(jí)將來(lái)高考選考物理的情況，隨機(jī)選取了100名高一學(xué)生，將他們某次物理測(cè)試成績(jī)（滿分100分）按照，，，，分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值并估計(jì)這100名學(xué)生本次物理測(cè)試成績(jī)的中位數(shù).（2）根據(jù)調(diào)查，本次物理測(cè)試成績(jī)不低于60分的學(xué)生，高考將選考物理科目；成績(jī)低于60分的學(xué)生，高考將不選考物理科目.按分層抽樣的方法從測(cè)試成績(jī)?cè)冢膶W(xué)生中選取5人，再?gòu)倪@5人中任意選取2人，求這2人中至少有1人高考選考物理科目的概率.22．（10分）設(shè)橢圓的焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的距離為.（1）求橢圓的離心率；（2）如圖所示，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以，，所以，故選：D2、D【解析】先求得，然后求得.【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以.故選：D3、A【解析】求出兩直線垂直的充要條件后再根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】由,得,即或所以,反之,則不然所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.故選:A4、B【解析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】，因此，.故選：B5、A【解析】直接根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，即可得到答案；【詳解】，故選：A6、B【解析】分析：模擬程序的運(yùn)行,依次寫出每次循環(huán)，直到滿足條件,退出循環(huán),輸出A的值即可詳解：模擬程序的運(yùn)行,可得:

A=0,i=1執(zhí)行循環(huán)體,,

不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,滿足條件,退出循環(huán),輸出A的值為31.觀察規(guī)律可得該算法的功能是輸出數(shù)列{}的第5項(xiàng).所以B選項(xiàng)是正確的.點(diǎn)睛：模擬程序的運(yùn)行,依次寫出每次循環(huán)得到的A,i的值,當(dāng)i=6時(shí)滿足條件,退出循環(huán),輸出A的值,觀察規(guī)律即可得解.7、A【解析】利用相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，分析即得解【詳解】相關(guān)系數(shù)r為正，表示正相關(guān)，回歸直線方程上升，r為負(fù)，表示負(fù)相關(guān)，回歸直線方程下降，與r的符號(hào)相同故選：A8、A【解析】由直線恒過定點(diǎn)，且定點(diǎn)圓內(nèi)，從而即可判斷直線與圓相交.【詳解】解：因?yàn)橹本€恒過定點(diǎn)，而，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，故選：A.9、C【解析】直接根據(jù)通項(xiàng)公式，求；【詳解】，故選：C10、C【解析】依據(jù)橢圓和雙曲線定義和題給條件列方程組，得到關(guān)于橢圓的離心率和雙曲線的離心率的關(guān)系式，即可求得的值.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，令，不妨設(shè)則，解之得代入，可得整理得，即，也就是故選：C11、A【解析】先設(shè)出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入橢圓方程，兩式相減后整理即可求得弦所在的直線的斜率【詳解】設(shè)弦的兩端點(diǎn)為，，代入橢圓得兩式相減得，即，即，即，即，弦所在的直線的斜率為，故選:A12、D【解析】將給定等式變形并構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)的圖象與垂直于y軸的直線有兩個(gè)公共點(diǎn)推理作答.【詳解】因，令，則存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x，y，使得，即存在垂直于y軸的直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，，，而，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則垂直于y軸的直線與函數(shù)的圖象最多只有1個(gè)公共點(diǎn)，不符合要求，當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，令，，令，則，即在上單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞增，則有當(dāng)時(shí)，，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，取，則，而，因此，存在垂直于y軸的直線()，與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及雙變量的等式或不等式問題，把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②④【解析】利用頻率分布直方圖中頻率的求解方法，通過求解頻率即可判斷選項(xiàng)①，②，④，利用平均值的計(jì)算方法，即可判斷選項(xiàng)③【詳解】解：對(duì)于①，該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率為，故選項(xiàng)①正確；對(duì)于②，該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率為，故選項(xiàng)②正確；對(duì)于③，估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為萬(wàn)元，故選項(xiàng)③錯(cuò)誤；對(duì)于④，家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間的頻率為，故估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間，故選項(xiàng)④正確故答案為：①②④14、【解析】根據(jù)函數(shù)定義域的求法，即可求解.【詳解】解：,解得,故函數(shù)的定義域?yàn)?.故答案為：.15、【解析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次不等式的解法即可解出【詳解】由題意可知，，解得，所以即為，解得或，所以不等式的解集是故答案為：16、.【解析】運(yùn)用累和法，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，有，因此有：，即，當(dāng)時(shí)，適合上式，所以，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用余弦定理可求頂角的余弦值.（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元后利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長(zhǎng)公式可求的值.【小問1詳解】當(dāng)為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，，在中，由余弦定理知.【小問2詳解】設(shè)，，將直線與橢圓:聯(lián)立得：，因?yàn)橹本€過焦點(diǎn)，故恒成立，又，由弦長(zhǎng)公式得，化簡(jiǎn)整理得：，解得.18、（1）（2）存在，A1P=【解析】（1）作出線面角，因?yàn)閷?duì)邊為定值，所以鄰邊最小時(shí)線面角最大；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求二面角列方程可得.【小問1詳解】直線PN與平面A1B1C1所成的角即為直線PN與平面ABC所成角，過P作,即PN與面ABC所成的角，因?yàn)镻H為定值，所以當(dāng)NH最小時(shí)線面角最大，因?yàn)楫?dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，,此時(shí)NH最小，即PN與平面ABC所成角最大，此時(shí).【小問2詳解】以AB,AC,AA1為x,y,z軸建立空間坐標(biāo)系，則：A（0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1)設(shè)=，，，設(shè)平面PMN的法向量為，則，即，解得，平面AC1C的法向量為,.所以P點(diǎn)為A1B1的四等分點(diǎn)，且A1P=.19、（1）（2）證明見解析【解析】(1)作出圖象，易知|EB|＋|EA|為定值，根據(jù)橢圓定義即可判斷點(diǎn)E的軌跡，從而寫出其軌跡方程；(2)設(shè)，當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為：，聯(lián)立MN方程和E的軌跡方程得根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)解出k與m的關(guān)系即可以判斷MN過定點(diǎn)；最后再考慮MN斜率不存在時(shí)是否也過該定點(diǎn)即可.【小問1詳解】由圓A：可得(，∴圓心A(－，0)，圓的半徑r＝8，，，可得，，，由橢圓的定義可得：點(diǎn)E的軌跡是以A(，0)、B(，0)為焦點(diǎn)，2a＝8的橢圓，即a＝4，c＝，∴＝16－7＝9，∴動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程為；【小問2詳解】由(1)知，P(0，3)，設(shè)，當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為：，由，可得，∴，，∵，∴，即，整理可得：，∴k＝m＋3或m＝3，當(dāng)m＝3時(shí)，直線MN的方程為：，此時(shí)過點(diǎn)P(0，3)不符合題意，∴k＝m＋3，∴直線MN的方程為：此時(shí)直線MN過點(diǎn)(－1，－3)，當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，，，解得，此時(shí)直線MN的方程為：，過點(diǎn)(－1，－3)，綜上所述：直線MN過定點(diǎn)(－1，－3).20、（1）（2）分布列見解析；【解析】（1）利用組合的知識(shí)計(jì)算出基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式求得結(jié)果；（2）確定所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可計(jì)算出每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而得到分布列和數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】名同學(xué)中，會(huì)法語(yǔ)的人數(shù)為人，從人中選派人，共有種選法；其中恰有人會(huì)法語(yǔ)共有種選法；選派的人中恰有人會(huì)法語(yǔ)的概率.【小問2詳解】由題意可知：所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學(xué)期望為21、（1），中位數(shù)為；（2）.【解析】（1）由頻率和為1求參數(shù)a，根據(jù)直方圖及中位數(shù)性質(zhì)求中位數(shù)即可.（2）首先由分層抽樣原則求選取的5人在、的人數(shù)分布情況，再應(yīng)用列舉法求古典概型的概率即可.【小問1詳解】由圖知：，解得.學(xué)生成績(jī)?cè)诘念l率為；學(xué)生成績(jī)?cè)诘念l率為.設(shè)這100名學(xué)生本次物理測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)為，則，解得，故估計(jì)這100名學(xué)生本次物理測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)為.【小問2詳解】由（1）知，學(xué)生成績(jī)?cè)诘念l數(shù)為，學(xué)生成績(jī)?cè)诘念l數(shù)為.按分層抽樣的方法從中選取5人，則成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生被抽取人，分別記為，，成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生被抽取人，分別記為，，.從中任意選取2人，有，，，，，，，