2022北京中考數(shù)學(xué)一模分類《幾何綜合壓軸題》含答案解析

2022北京中考一模數(shù)學(xué)分類——幾何綜合壓軸題倍長八字一線三垂直三線合一手拉手共計5題1題1題5題12題一、倍長八字共5小題1.（2022朝陽一模27題）在△ABC中，D是所在的中點(diǎn)，且90，將線段沿AB，作CE//AB于點(diǎn)E．直線翻折，得到線段交直線（1）如圖，若ABAC，①依題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示線段,,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）若ABAC，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，簡述理由；若不成立，直接用等式表示線段,,之間新的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．△=CD（2022順義一模中，是斜邊ABEF垂直平分CD，分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，．（1）求∠EDF的度數(shù)；（2）用等式表示線段，BF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．.2022平谷一模ABC=90°BC點(diǎn)D為B作射線C，過點(diǎn)A作CD于，在線段AE上截取EF=EC，連接BF交CD于G.(1依題意補(bǔ)全圖形；(2求證：∠∠BCD(3)判斷線段BG與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.（202227ABCBAC=α,點(diǎn)D在邊BCB,C以點(diǎn)A為中心，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)180°-α得到線段AE,連接（1）∠BAC+∠DAE=°（2CD的中點(diǎn)F，連接，用等式表示線段AF與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明。.2022石景山一模27題）中，ACBCACB=90°DCCD＜，點(diǎn)E在的延長線上，且=ADBE，過點(diǎn)B作的垂線，交邊AC．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）求證：BEBF；（3）用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．BBDCDCAA二、一線三垂直共1小題（2022通州一模中，點(diǎn)，連接．將線段繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段．過點(diǎn)E作△==延長線上一，D是，交于點(diǎn)F．=E；（1）①直接寫出的度數(shù)是____________；②求證：（2）用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．三、三線合一共1小題7.（2022大興一模27題）已知：如圖，OBBA，∠OBA=150°，線段A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段ACBCOAOC，過點(diǎn)O作OD⊥于點(diǎn)D.（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）求∠DOC的度數(shù).四、手拉手共5小題8.（2022燕山一模題）如圖，在三角形ABC中，AB=AC，∠BAC<60°是邊的高線，將線段AC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，連接交AD．（1）依題意補(bǔ)全圖形，寫出∠CAE=°（2）求∠BAF+ABF和∠FBC的度數(shù)；（3）用等式表示線段，BFEF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2022門頭溝一模ABCA順時針旋轉(zhuǎn))線段AD，連接CD，作∠BAD的平分線AE，交于．（1根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；②請用等式寫出∠BAD與∠的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）分別延長和交于點(diǎn)，用等式表示線段AFCFDF的數(shù)量關(guān)系，并證明．AAABCBCBC10.2022房山一模27點(diǎn)B作的平行線lP為射線,B繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)60°交直線l于點(diǎn)D．與點(diǎn)重合），將射線（1）如圖1P在線段上時，依題意補(bǔ)全圖形；①求證：=；BC,,②用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2P在線段的延長線上，直接寫出線段BC,,之間的數(shù)量關(guān)系．△==D11.（2022海淀一模，，為邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)E在邊上，=．點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接BF，P為的中點(diǎn)，連接,,．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時，寫出線段與之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn),C不重合時，判斷（1）中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請舉出反例。12.（2022西城一模27已知正方形ABCD,B旋轉(zhuǎn)(0°＜90°),得到線段BE,EAEC.(1)E在正方形ABCD的內(nèi)部時,若平分∠ABCAB=4,則∠AEC=°,ABCE的面積為；(2)當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD的外部時,①在圖2中依題意補(bǔ)全圖形,并求∠AEC的度數(shù)；②作∠EBC的平分線BF交EC于點(diǎn)G交EA的延長線于點(diǎn)F連接CF用等式表示線段AEFB,之間的數(shù)量關(guān)系并證明.2022北京中考數(shù)學(xué)一模分類——幾何綜合壓軸題（教師版）倍長八字一線三垂直三線合一手拉手共計5題1題1題5題12題一、倍長八字共5小題1.（2022朝陽一模27題）在△ABC中，直線翻折，得到線段AB，作CE//AB交直線于點(diǎn)E．（1）如圖，若ABAC，D是的中點(diǎn)，且90，將線段沿所在①依題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示線段,,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）若ABAC，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，簡述理由；若不成立，直接用等式表示線段,,之間新的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．【答案】（）①如圖②法一：延長AD交延長線與F點(diǎn)（類似倍長中線）∵CE∥AB∴∠∠B∠2=∠F又∵D為BC中點(diǎn)∴∴△ABD≌△（AAS）∴AB=FC∴AB=EF+EC又∵AB與AB′關(guān)于AD對稱∴∠2=∠3∴∠3=∠F即：EF=AE∴AE+EC=AB②法二：補(bǔ)短法連接B′D與B′，∵D為AB中點(diǎn)，AB與′關(guān)于AD對稱∴BD=BD′=DC，∠∠B∴∠DB′∠DCB′又∵EC∥∴∠7∠B∴∠7=∠6∴∠1=∠2∴EC=EB′∴AB′=AE+EB′∴AE+EC=AB（2）不成立；AE=EC+AB或CE=AB+AE①AE=EC+AB證法一：（類倍長中線）延長AD交EC延長線與點(diǎn)F在△ABD與△FCD中∠1=∠F{∴△ABD≌△（AAS）∴AB=CF∠ADB=∠FDCBD=CD又∵AB與AB′關(guān)于AD對稱1∠∠3又∵EF=EC+CF∴AE=EC+AB∠∠F即EA=EFAE=EC+AB證法二：截長法連接B′D與B′C∵AB與AB′關(guān)于AD對稱∴△ABD≌△ABD∴BD=B′D∠∠AB′D又∵EC∥∴∠∠DCE=180°∴∠DCE=∠DBE又∵∠AB′D+∠DB′E=180°又∵D為AB中點(diǎn)∴BD=CD∴BD=CD=B′D7=∠8∴∠6=∠5即EB′=EC∴AE=EC+AB②CE=AB+AE,理由如下：如圖，連接BD,BC·∵將線段AB沿AD所在直線翻折，得到線段′又∵CE∥∴∠∠2∴AB′=AB6=∠7∵D為BC中點(diǎn)∴∠1=∠2′在△ABD和△KCD中{CD=BD∴△ABD≌△KCD(ASA）∴AB=CK∠3=∠4∵CE∥∴∠∠6又∵∠∠8∴∠∠8∴EA=EK∴CE=AB+AE（2022順義一?！髦?，=CD是斜邊分CD，分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，．（1）求∠EDF的度數(shù)；ABEF垂直平（2）用等式表示線段，BF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）解：解法（一）∵EF垂直平分CD∴EC=ED,FC=FD∴∠ECD=∠EDC,∠FCD=∠FDC∴∠ECF=∠EDF∵∠ACB=90°∴∠EDF=90°解法（二）∵EF垂直平分∴EC=ED,FC=FD∵EF=EF∴△ECF≌△EDF∴∠ECF=∠EDF∵∠ACB=90°∴∠EDF=90°（2）AE2+BF22證法（一）證明：延長FD到M，使DM=DF,連接AM,EM∵AD=BD,∠ADM=∠BDF∴△ADM≌△BDF∴∠MAD=B,AM=BF∵∠ACB=90°∴∠CAB+B=90°（這里也可以證∥BC得∠MAC+∠ACB=180°）∴∠EAM=90°∴+AM由（1）得∠EDF=90°又∵FD=DMEF=EM（本作法也可敘述為：過A點(diǎn)作AM∥CB,交FD的延長線于M，證法大同小異）2222∴+BF22證法（二）證明：延長ED到N,使,BN,FN∵AD=BD，∠ADE=∠BDN∴△ADE≌△BDN∴，∠A=∠∵∠ACB=90°∴∠ABC=90°（這里也可以證AC∥BN得∠NBC+ACB=180∴∠FBN=90°∴2+BF22由（1）得∠EDF=90°∴EF=NF∴AE2+BF22.2022平谷一模ABC=90°BC點(diǎn)D為B作射線C，過點(diǎn)A作CD于，在線段AE上截取EF=EC，連接BF交CD于G.(1依題意補(bǔ)全圖形；(2求證：∠∠BCD(3)判斷線段BG與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.27.(1)補(bǔ)全圖形............................................1證明：∵∠∴∠∠ACD=90°............................................2∵AE⊥CD∴∠ACD=90°∴∠CAE=∠BCD............................................3（3）方法一：BG=FG.................4過B作BM⊥CD于M，∵∠CAE=∠BCD，，∠AEC=∠BMC=90°∴△AEC≌△CBM（）.................5∴BM=CE∵CE=EF∴BM=EF.................6∵∠AEG=∠BMG=90°∠EGF=∠BGM∴△EFG≌△BMG（AAS）∴FG=BG................................7方法二：證明：延長AE到HEH=FE，連接FC、CHBH.∵⊥CD于E,EF=EC△FEC是等腰直角三角形∵EF=EH∴FC=CH∠CFH=∠CHE=45°∴△FCH是等腰直角三角形.................5∵∠HCB+∠BCF=90°∠ACF+∠BCF=90°∴∠ACF=∠BCH∵AC=BC，CH=CF∴△AFC≌△CHB）.................6∴∠CHB=∠CFA=135°∴∠AHB=135°-45°=90°∴EG平行于HBFGFE11∴==BGEH∴FG=BG................................7（202227ABCBAC=α,點(diǎn)D在邊BCB,C以點(diǎn)A為中心，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)180°-α得到線段AE,連接（1）∠BAC+∠DAE=°（2CD的中點(diǎn)F，連接，用等式表示線段AF與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明?！即鸢浮剑?）∠BAC+∠DAE=α+°-α°.（2）BE=2AF證法一延長AF至，使FG=AF,連接CG∵DF=CF∠∠GFD∴△AFD≌△GFC∴AD=GC∠ADC=GCF設(shè)∠BAD=β∵AB=AC∠BAC=α∴∠ACB=∠180°?=90°-αα22α∠ADC=∠ABC+BAD=°-+β∠GCF2∴∠ACG=∠∠GCF=180°-α+β∵∠∠BAD+DAE=180°-α+β∴∠∠ACG∵AB=ACAE=AD=GC∴△≌△ACG∴BE=AG=2AF證法（二）延長DA到，使連接MC∵DF=CF∴CM=2AF∵∠BAC=α∠DAE=180-α∴∠MAE==∠BAC∴∠∠CAM∵AB=ACAE=AD=AM∴△ABE≌△ACM∴BE=CM=2AF證法三延長CA到使AN=AC連接DN∵DF=CF∴CM=2AF∵∠BAC=α∠DAE=180-α∴∠NAB=180°-α∠DAE∴∠∠NAD∵AB=AC=ANAE=AD∴△ABE≌△AND∴BE=ND=2AF.2022石景山一模27題）中，ACBCACB=90°DCCD＜，點(diǎn)E在的延長線上，且=ADBE，過點(diǎn)B作的垂線，交邊AC．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）求證：BEBF；（3）用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．BBDCDCAA證法一BKEDACF證明：(2)在DB上截取DK=DC,DE=DA得平行四邊形ACEK.于是CD=DK,CK=2CD,KE=CA=CB,KE∥AC,注意AC⊥BC,知KE⊥BC.因此∠EKB=∠ACD=90°.又由∠FBC+∠CBE=∠FBE=90°=∠BEK+∠CBE有∠FBC=∠CBE.在△BKE與△FCB中，∠BKE=∠FCB,KE=CB,∠KEB=∠CBF,所以△BKE?△FCB（ASA,所以BE=FB.(3)由（），△BKE?△，知BK=FC,BC=AC推出AF=CK=2CD.證法二BEDACFK證明：將等腰Rt△ABC沿BC翻折，得等腰Rt△KBC.則共線.△KBC△ABC.從而BK=BA,CK=CA,∠BKA=∠BAK=45°,∠CBK=∠CBA=45°,∠ABK=90°=∠FBE.所以∠ABF=∠KBE.連接EK.注意DE=AD,EK=2DC,EK∥DC.因BC⊥AK,故EK⊥AK，故∠BKE=45°=∠BAF.在△ABF與△KBE中，∠ABF=∠KBE,AB=KB,∠BAF=∠BKE,所以△ABF?△KBE（ASA所以BF=BE，(2)得證；得證.AF=KE=2DC,證法三BELDCAFK證明：如圖沿BF翻折△ABF,得△KBF；沿BC翻折△ABC,得△KBC.ACL.∠BKF=∠BLF=45°,BFKL共圓.EL=2CD,EL∥CD,EL⊥AL,BFLE共圓.BFKLE共圓.∠BEF=∠BLF=45°，BF=BE.（2）得證.∠FLK=∠FBK=∠FBA=∠LBE=∠LFE,KL∥FE,FK=EL,AF=2CD.(3)得證.二、一線三垂直共1小題△=，=D是延長線上一（2022通州一模中，點(diǎn)，連接．將線段繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段．過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F．（1）①直接寫出的度數(shù)是____________；②求證：=E；（2）用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】27）①的度數(shù)是；…1分AC②證明：∵∠90=，=，∴=B=，∠∵=，∴+=,…2分FEB∵EFBD∴=B=.∴+E=.=ED∴.…3分AF=.（2）線段和的數(shù)量關(guān)系是證明：延長交G.…4分∠=90∠=90∠AGE=90∵，∴，，…5分A∴=EGA在△DCA和△DCA=AGEEGFDAC=EAD=AE，DCB∴△DCA≌△AGE，…6分∴=∵=∴AF=2AG.…7分AF=.∴法二：在AC上截取CHCD，連接DH，證明△ADH≌△EAFASA）H2∠ACD=90°∴∠DHC=45∴DH=DC……………5分∴∠ADH+DAH=45（三角形的外角等于與它不相鄰內(nèi)角的兩個內(nèi)角和）∴∠EAF+DAH=45（由圖可得）∴∠ADH=EAF∵∠DAH=∠（由（1②可知）AD=AE(旋轉(zhuǎn))∴△ADH≌△AEF（AAS………………6分2∴DH=AF∴AF=CD………………7分法三：見下圖：過AAHACAHAC，連接EH。則△AEH≌△ADC，∴HE=DC。過點(diǎn)F作AH于點(diǎn)H，則可得矩形EFMH，∴MF=HE=DCAF=2MF，可得結(jié)論2CD。(注：最后一問添加輔助線的方法：截長補(bǔ)短和旋轉(zhuǎn))三、三線合一共1小題7.（2022大興一模27題）已知：如圖，OBBA，∠OBA=150°，線段A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段ACBCOAOC，過點(diǎn)O作OD⊥于點(diǎn)D.（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）求∠DOC的度數(shù).【答案】．（本小題滿分7分）（1）補(bǔ)全圖形如圖所示，（2）輔助線如圖所示：法1EOA=DOAA作OB12AB=1AC=DC,中點(diǎn)和垂足重合，三線合一得所求是15°】利用∠EBA=30AE=AD=2過點(diǎn)A作AE⊥BO于E．∴∠=90o，∵∠=150°，∴∠=30o，∠BAE=60o，又∵BA=BO，∴∠∠BOA=15o，∴∠=75o，∵∠=90°，∴∠∠BAC-∠BAO=90°-15°=75o，∴∠∠DAO，∵OD⊥于點(diǎn)D，∴∠∠ADO=90o，∴△AOE≌△AOD，..............................................................4分∴AE=AD，在Rt△中，∠ABE=30o，1∴=，2又∵AB=AC，11∴===，22∴AD=CD，又∵∠ADO∠=90o，∴△△CDO，.............................................................6分∴∠∠DAO=75o，∴∠=15o．..............................................................7分法2：【出現(xiàn)30°，利用30°所對直角邊等于斜邊一半，此時又出現(xiàn)了矩形ADEB,BE=AD=12AB=1AC=DC,中點(diǎn)和垂足重合，三線合一得所求是152過點(diǎn)B做BE⊥OD交于點(diǎn)E。∵OB=BA，∠OBA=150°∴∠=∵OD⊥于點(diǎn)D，線段繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，BE⊥∴BA//OD，四邊形BADE是矩形，=AC∴∠∠AOD=15o,BOE=30o，BE=AD12OB=1BA=1AC=DC∴BE=AD=22∴AD=DC..............................................................4分又∵∠ADO∠=90o，∴△△CDO，∴∠=15o．.............................................................6分.............................................................7分1法3：【與法2類似，構(gòu)造含有30°角的直角三角形，此時又出現(xiàn)了矩形ADOE,OE=AD=2BO=1BA=1AC=DC,中點(diǎn)和垂足重合，三線合一得所求是15°】22延長，過點(diǎn)O做OE垂直AB延長線于點(diǎn)E。則：AD//EO,EAO=∠∵OB=BA，∠OBA=150°∴∠=∠BAO=AOD=15o12OB=1BA∴∠=30o,=2∵OD⊥于點(diǎn)D，線段繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，OE⊥12OB=1BA=1AC=∴四邊形ADOE是矩形，=AD=22∴點(diǎn)D是△AOC底邊AC的中點(diǎn)和垂足....................................................4分由等腰三角形三線合一得，.............................................................6分∴∠=∠AOD=15o．.............................................................7分法4：【構(gòu)造平行四邊形含有30°角的直角三角形，結(jié)合∠ADO=90°，∠AED=30°,得到AD=1AE=1BO=1BA=1AC=DC,中點(diǎn)和垂足重合，三線合一得所求是15°】2222過點(diǎn)A做AE//BO,交OD于點(diǎn)E?！逴B=BA，∠OBA=150°∴∠=∠BAO=15o∵OD⊥于點(diǎn)D，線段繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC∴BA//OD,=BA=AC∴四邊形AEOB是平行四邊形，∠BOA=∠=AOD=15o∴∠=∠AED=30o12AE=1OB=1BA=1AC∴AD=222∴點(diǎn)D是△AOC底邊AC的中點(diǎn)和垂足....................................................4分由等腰三角形三線合一得，.............................................................6分∴∠=∠AOD=15o．.............................................................7分法5BOE是等邊三角形，得到∠EOC=∠ECO=EC//ODDOC=∠OCE=15°】過點(diǎn)B做BE//AC，與的垂線CE交于點(diǎn)E?！呔€段BA繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC∴BA⊥AC，BA=AC∵BE//AC∴∠=90o又∵AC⊥CE∴四邊形ABEC是正方形∴BE=AC=AB=BO∵∠OBA=150°∴∠=60o∴三角形EOB是等邊三角形,EO==EC∴∠=0o∵∠=∠ECO=15o...................................................4分∴OD⊥AC,∠=90o∴OD//EC.....6分....................................................∴∠=∠EOC=15o．............................................................7分法6：【利用△ABO外角等于30°，構(gòu)造含有30°的直角△ABFAF等于BF的一半；同理，F(xiàn)D等于OF的一半；利用AD和AC的一半關(guān)系，即中點(diǎn)，三線合一得∠DOC=∠OCE=15°】延長CAOB交于點(diǎn)F?！?BA，∠OBA=150°∴∠=∠BAO=15o,∠FBA=30o123∴AF=BF,=BO=AF2∵OD⊥，線段BA繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC∴BA//OD,∠BOA=BAO=∠=15o,AB==3AF212OF=13∴∠=30o,=AF=AD=1(OBBF)=AF＋=FA＋AD243∴AC42∴點(diǎn)D是△AOC底邊AC的中點(diǎn)和垂足....................................................4分由等腰三角形三線合一得，.............................................................6分∴∠=∠AOD=15o．.............................................................7分法7AB上取一點(diǎn)K°的直角△ADKADKDKDC=BOD=30°得到四邊形BKDO是等腰梯形，從而得到AD等于BO（＝BAAC）一半，三線合一得∠DOC=OCE=15在AB上取一點(diǎn)，使得∠AKD＝30°∵線段BA繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC1∴∠=90o,=KD,BA=AC2∵OD⊥∴BA//OD∴∠=°∵=BA，∠OBA=150°，BA//OD∴∠=∠BAO=∠=15o∴∠=30o∴四邊形BKDO是等腰梯形∴KD=2AD=OB=BA=AC∴點(diǎn)D是△AOC底邊AC的中點(diǎn)和垂足....................................................4分由等腰三角形三線合一得，.............................................................6分∴∠=∠AOD=15o．.............................................................7分四、手拉手共5小題8.（2022燕山一模題）如圖，在三角形ABC中，AB=AC，∠BAC<60°是邊的高線，將線段AC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，連接交AD．（1）依題意補(bǔ)全圖形，寫出∠CAE=°（2）求∠BAF+ABF和∠FBC的度數(shù)；（3）用等式表示線段，BFEF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，補(bǔ)全圖形即可；12（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，求得∠BAD=∠BAC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ABE=∠，由三角形內(nèi)角和定理在△ABE中，∠ABE+∠∠BAC=180°-∠，便可求得∠∠ABF，再由三角形外角的性質(zhì)可得∠FBC；（3上取點(diǎn)EM=BFABF≌△AEM求得AF=AMBAF=∠EAMCAE=60°可得△AFM是等邊三角形，便可解答；【小問1詳解】解：如圖分別以AC為圓心，以AC為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，則∠CAE=60°；【小問2法（）詳解】解：∵=，是邊的高線，1=∴，2∵線段A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，又==，∴=E，在中，+E+=?=，1(ABE+E+BAC)=∴2∴+=又∵是邊的高線，∴=∵∠BFD=BAF+∠ABF，F(xiàn)BC=90?BAF+ABF=．()∴【小問2法（）圖解】思路：構(gòu)造輔助圓【小問3法（）詳解】解：如圖，在上取點(diǎn)，使EM=BF，連接，∵AB=AE，∠ABF=∠AEMBF=EM，∴△ABF≌△AEMSAS），∴AF=AM，∠BAF=∠EAM，∵∠DAC=BAF，∴∠DAC=∠EAM，∵∠CAE=60°，∴∠FAM=60°，∴△AFM是等邊三角形，∴FM=AF，∴AF+BF=EF；【小問3法（）圖解】EF上截取EM=BF,構(gòu)造△ABF≌△AEM（AF+BF=EF【小問3法（）圖解】思路連接CEFE上截取FG=FC,構(gòu)造等邊三角形FCG;證△ABF≌△ACF;證△ACF≌△ECG;進(jìn)而轉(zhuǎn)化結(jié)論：AF+BF=EF【小問3法（）圖解】思路：延長FD到點(diǎn)G,FG=FB,構(gòu)造等邊三角形BFG;證△ABG≌△ECF;進(jìn)而轉(zhuǎn)化結(jié)論：AF+BF=EF【小問3法（）圖解】思路：連接CE;倍長FD使得DG=FD,證△BFD≌△CGD;可證；△FCG是等邊三角形；再證△ACG≌△ECF;進(jìn)而轉(zhuǎn)化結(jié)論：AF+BF=EF【小問3法（）圖解】思路：在線段上截取FG=FA,構(gòu)造等邊三角形證△ABG≌△AEF;進(jìn)而轉(zhuǎn)化結(jié)論：AF+BF=EF等邊三角形的判定和性質(zhì)；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（2022門頭溝一模ABCA順時針旋轉(zhuǎn))線段AD，連接CD，作∠BAD的平分線AE，交于．（1根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；②請用等式寫出∠BAD與∠的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）分別延長和交于點(diǎn)，用等式表示線段AFCFDF的數(shù)量關(guān)系，并證明．AAABCBCBC解：（1）①略；………………2分②=2，理由如下：………………3分∵是等邊三角形，A∴==.=∵AC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)(060)，EBC∴，.DF∴=?=?，+D=?.又∵，180?1∴ACD=D==90?.221212∴BCD=ACD?ACB=90??60=30?.∴=2.……………5分（2）AF，，DF的數(shù)量關(guān)系是=+，證明如下：將線段CF繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°交AF于點(diǎn)G.A∵是等邊三角形，G∴==，.=EBC∴=.DF∴?=?.即=.∵AE平分，=2∴==.∵=，∴??=??.即=.=∵=，60∴是等邊三角形.∴∴.==≌∴∵∴∴∴∴∴=.AB.，≌=..==.…………………7分10.2022房山一模27B作的平行線lP為射線與點(diǎn),B重合），將射線繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)60°交直線l于點(diǎn)D．（1）如圖1P在線段上時，依題意補(bǔ)全圖形；①求證：=；②用等式表示線段BC,,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2P在線段的延長線上，直接寫出線段BC,,【答案】．（本小題滿分7分）之間的數(shù)量關(guān)系．27.（1）①補(bǔ)全圖形如圖所示，AlPBECD…………………1分證明：設(shè)PD交于點(diǎn)E∵是等邊三角形∴===∵將射線PCP順時針旋轉(zhuǎn)°∴=∵l∴==∴==∵=∴=……………………3分=+②法160°和旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等，使得BQ=BP】AlP在BC上取一點(diǎn)Q使得，連接PQ∵=BEQC∴是等邊三角形∴PB=PQ，∠BPQ=60°D∴=又∵=∴∴=∵=+∴=+…………………5分法2：【利用“四點(diǎn)共圓”和出現(xiàn)60°和旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等，截取BD=BG】在BC上取一點(diǎn)G使得，連接DG∵==∴是等邊三角形，=60°，BD=GD由上問知：=∴四邊形四點(diǎn)共圓（同底同側(cè)的頂角相等的兩個三角形，四點(diǎn)共圓）。∴=在△BDP與△中：∵BD=GD，=，∠DBP=∠DGC=120°∴∴=∵=+∴=+…………………5分…………………7分（2）=+證明：在BC上截取一點(diǎn)E使得BE=BP，連接PE.∵是等邊三角形∴==