【東南大學(xué)】《幾何與代數(shù)》總復(fù)習(xí)資料

幾何與代數(shù)總復(fù)習(xí)

主講:關(guān)秀翠

東南大學(xué)數(shù)學(xué)系東南大學(xué)線性代數(shù)課程

線性方程組Ax=b

加法和數(shù)乘

轉(zhuǎn)置:(AB)T=BTATA1:AB=BA=E分塊運(yùn)算:分塊轉(zhuǎn)置初等行(列)變換秩:r(A)=行(列)秩Ak,f(A)Eigenpair:A=(≠)相似:P1AP=B

計(jì)算

xR3時判別直線和平面的位置關(guān)系

b可由A的列向量組A1,A2,…,An線性表示方陣的特征值和特征向量

A=(≠)方陣的相似對角化問題

P1AP=

實(shí)對稱陣正交相似對角化Q1AQ=diag(

1,…,

n)正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形直角坐標(biāo)變換化二次曲面為標(biāo)準(zhǔn)形線性方程組的應(yīng)用矩陣的運(yùn)算一般矩陣方陣AB:交換律消去律|A|:Rnn

Rtr(A)=

aii:Rnn

RA*=(Aji):AA*=|A|E相合:PTAP=B正定:AT=A,xTAx>0(x≠)判別解:r1<r2無解r1=r2=n唯一解,r1=r2<n無窮多解(Ab)

rref基解:非主列變量=e1..enr特解:非主列變量=0

方陣

零矩陣

初等矩陣

對稱矩陣

對角矩陣單位矩陣

反對稱矩陣

正交矩陣

正定矩陣

可逆矩陣

數(shù)量矩陣

方陣《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)方陣的特殊形式

特殊矩陣行矩陣A1

n:只有一行,又名行向量.列矩陣An

1:只有一列,又名列向量.零矩陣:每個元素都是0,常記為Om

n或O.

初等矩陣:由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換所得.方陣:行數(shù)=列數(shù).

對稱矩陣:AT=A.

對角矩陣:diag{

1,

2,…,

n},常用表示.

數(shù)量矩陣:kE,kI,其中k為常數(shù).

單位矩陣:主對角線元素都是1,其余元素都是0,

常記為E或I.

反對稱矩陣:AT=

A.

正交矩陣:QTQ=QQT=E.

正定矩陣:AT=A且

x

有xTAx>0.可逆矩陣:AB=BA=E.《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)矩陣乘法消去率一般不成立.

矩陣乘法的交換律和消去率

矩陣乘法交換率一般不成立(AB)kAkBk

(A+B)2

A2

+B2+2AB

(A+B)(A

B)

A2

B2但是，消去率在A可逆時成立.矩陣乘積可交換的情況：1.方陣4.5.AkAl=AlAk

3.

(aEm)Am×n=

Am×n(aEn)2.對角矩陣

=

《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)非零子式的最高階數(shù)矩陣的秩6)r(A)

r(B)

r(A

B)

r(A)+r(B)

A中至少有一個r級子式0,任一k(>r)級子式=0.

r(Am

n)min{m,n}9)設(shè)A是n(2)階方陣,則2)A,B相抵

A,B同型,

r(A)=

r(B)=r(PAQ)

(P,Q可逆).3)

r(Am

n)=r

A

P,Q可逆,A=P

Q.

作用初等變換終止矩陣結(jié)果秩階梯陣r(A)=非0行數(shù)行變換極大無關(guān)組(基)階梯陣主列對應(yīng)原矩陣的列行變換行最簡形非主列的線性表示關(guān)系解線性方程組Ax=b(AX=B)(Ab)行變換(AB)行變換階梯陣判別解:r1<r2無解r1=r2=n唯一解,r1=r2<n無窮多解行最簡形基解:非主列變量為e1..enr特解:非主列變量為0逆矩陣行變換行最簡形(AE)

(EA

1)行列式行/列變換三角形某行(列)有一非0元素注意對角線方向的符號按此行(列)展開

二.用初等變換求逆矩陣(左行右列)(A

E)初等行變換(E

A

1)(A

B)初等行變換(EA

1B)解AX=B

X=A

1B解XA=B

X=BA

1一.初等陣與初等變換一次初等行變換

(左行右列)初等列變換ABE

BA

1

三.用初等變換解矩陣方程一次初等列變換

方陣的行列式

定義

性質(zhì)

計(jì)算n元方程組Ax=b,|A|≠0

秩:r(A)=r

r級子式0,任一k(>r)級子式=0

特征多項(xiàng)式:|EA|

伴隨矩陣:A*=(Aji),AA*=|A|E

逆矩陣:A1=A*/|A|

應(yīng)用

克拉默法則:xj=Dj/D

面積/體積

矩陣

叉積/混合積

幾何

|AT|=|A|.|A|

|A|.|A||A|.1.化為三角形行列式

3.行列式按行(列)展開

2.箭形行列式的計(jì)算4.提公因子法5.降階遞推法

aikAjk=|A|ij,6.分解行列法m

n矩陣n階行列式定義加法數(shù)乘乘法符號行列式與矩陣的區(qū)別

||,初等變換時用=[]或(),初等變換時用

n階方陣A可逆

A與E相抵

A的行最簡形為E.

A為初等陣的乘積

多角度看可逆陣

A的行(列)向量組線性無關(guān)

任一n維向量

都可由行(列)向量組線性表示

A的特征值均不為零

A的行(列)向量組的秩都是n.(非退化陣)(滿秩)

A的行(列)向量組是Rn的基.

A為Rn的兩組基下的過渡矩陣.

A的解空間的維數(shù)為0.

A的列空間的維數(shù)為n.

ATA為正定陣.

方陣A與E相似

A=E

A與E相合

A正定

i>0

p=n

A=PTP

k>0

特征值

和

特征向量

|

E–A|=|

E–(P1AP)|

i=tr(A),

i=|A|A可逆

A的特征值≠0,1/

是A

1的特征值;|A|/

是A*的特征值.

|

E–A|=|

E–AT|A

=

f(A)

=f(

)

對應(yīng)于不同特征值的特征向量線性無關(guān)AT=A

R,對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交

性質(zhì)

應(yīng)用

計(jì)算

定義相似對角化

用A=P

P

1

計(jì)算f(A)=Pf(

)P1化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

|

E–A|=0

(

E–A)x=0

A

=

其中

P–1AP=diag(

1,…,

n)

A有n個l.i.的特征向量A(復(fù))

r(

iE

A)=n

ni

A有n個不同特征值

A

A的零化多項(xiàng)式的根可能是但未必都是A的特征值.

等價關(guān)系定義矩陣定義等價類代表不變量

Rn

nRm

n相抵相似正交相似Rn

n,實(shí)對稱相抵標(biāo)準(zhǔn)形為初等陣

i為特征值

①秩

②特征值,跡,行列式

①②

①秩

相合Rn

n③r,p,q,對稱性,①秩

③

實(shí)對稱若A可相似對角化

實(shí)對稱陣相似，特征值同，p,q同，必相合；反之不然.Ep

Eq

O

正定性

二次曲面f(x1,x2,x3)=xTAx+BTx+c=0x=Qy,作直角系的旋轉(zhuǎn)變換作坐標(biāo)軸的平移g(y)=yT

y+B’Ty+c=0y=z+

1z12+

2z22+

3z32=bzi+dQ正交一般方程表示的二次曲面即

1y12+

2y22+

3y32+b1

y1+b2

y2+b3

y3+c=0標(biāo)準(zhǔn)方程Q正交且|Q|=1右手系→右手系《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

條件方程p,qd二次曲面p=3,q=0r(g)=3,b=0橢球面球面p=2,q=1d>0p=0,q=3d<0單葉雙曲面d>0d<0雙葉雙曲面d=0二次錐面r(g)=2,b

0d=0p=2,q=0橢圓拋物面p=1,q=1雙曲拋物面r(g)=2,b=0d

0p=2,q=0橢圓柱面p=1,q=1雙曲柱面r(g)=1d=0p=1,q=0p=0,q=1拋物柱面

幾個概念之間的聯(lián)系

向量

向量

線性運(yùn)算

度量

內(nèi)積

線性映射

向量

向量組

矩陣

線性方程組

代數(shù)向量

幾何向量

線性組合

線性表示

線性相關(guān)性

基

維數(shù)

極大無關(guān)組

秩

向量空間

長度

夾角

單位向量

正交

線性變換

正交變換

正交矩陣Schmidt正交化方法《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)向量空間向量空間的例子基維數(shù)

VRn,對加法數(shù)乘封閉Rn本身{e1,e2,…,en}n零空間{

}無0齊次線性方程組的解空間{xRn|Ax=,ARm

n}Ax=

的基礎(chǔ)解系n

r(A)生成子空間L(

1,…,s)={k1

1+…+ks

s|k1,…,ks

R}

1,…,s的極大無關(guān)組

1,…,s的秩A的秩A的列向量組的極大無關(guān)組矩陣A的列空間,即L(A1,A2,…,An)n

r(A)Ax=

的基礎(chǔ)解系A(chǔ)的秩A的列向量組的極大無關(guān)組A的核空間或零空間K(A)={x

Rn|Ax=

}A的值域R(A)={Ax|x

Rn}=L(A1,A2,…,An)

x1

1+x2

2+…+xs

s=

只在x1=x2=…=xs=0時成立.

(

1,…,

s)x=

只有零解.

(

1,…,

s)x=Ax=

有非零解向量組

1,…,

s-1,

s線性相關(guān)向量組

1,…,

s-1,

s

線性無關(guān)

r(A)<

s

r(A)=

s=向量個數(shù)

某個向量

i可由其余的向量線性表示.共線共面的推廣唯一表示定理:Il.i.,{I,

}l.d.

可由I唯一線性表示.Th4.3大向量組由小向量組線性表示

大向量組l.d.Th4.5.若I可由II線性表示,則秩(I)

秩(II);且這兩個向量組等價

秩(I)=秩(II).反之不成立向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)

向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)其中

1,…,

s是維數(shù)相同的列向量(

1,

2,…,

s也是維數(shù)相同的列向量),則

1,…,

s也是線性相關(guān)的.

一些常用的結(jié)論

(1)含有零向量的向量組一定線性相關(guān).(2)單個向量

構(gòu)成的向量組線性相關(guān)

=

.(3)兩個向量

,

線性相關(guān)

與

的分量成比例.(4)若

1,…,

s線性相關(guān),則

1,…,

s,

s+1,…,

t也線性相關(guān).

若

1,…,

s,

s+1,…,

t線性無關(guān),則

1,…,

s也線性無關(guān).

(5)任意n+1個n維向量線性相關(guān).(6)如果向量組,…,線性相關(guān),

1

1

s

s

線性無關(guān).若

1,

2,…,

s線性無關(guān),則,…,

1

1

s

s

《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

則I0與I等價.(7)向量組

1,…,

s

(s

2)線性相關(guān)的充分必要條件是:其中至少有某一個向量可由其余的向量線性表示.(8)若向量組

1,…,

s線性無關(guān),而

1,…,

s,

線性相關(guān),則

一定能由

1,…,

s線性表示,且表示的方式是唯一的.(9)若向量組I:

1,…,

s可由向量組II:

1,…,

t

線性表示,并且s>t,則向量組I是線性相關(guān)的.(10)若

1,…,

s線性無關(guān),且可由

1,…,

t線性表示,則s

t.(11)若向量組

1,…,

s和

1,…,

t都線性無關(guān),并且這兩個向量組等價,則s=t.(12)設(shè)I0:

1,…,

r是向量組I:

1,…,

s的一個極大無關(guān)組,

一些常用的結(jié)論

《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)

這兩個向量組的秩都是2,但它們不等價.事實(shí)上,I中的不能由II線性表示.)例如:

一些常用的結(jié)論

(13)若向量組I:

1,…,

s可由向量組II:

1,…,

t線性表示,則秩(I)秩(II);若這兩個向量組等價,則秩(I)=秩(II).(注:一般情況下,兩個向量組的秩相等時,它們未必等價!,1000I:;0100II:,0010,00011000《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)向量的數(shù)量積、向量積和混合積數(shù)量積向量積混合積定義性質(zhì)性質(zhì)2

坐標(biāo)計(jì)算||

||=||

||||

||sin

=S□正定性,線性性,Schwartz不等式反對稱性

=

·

=0

⊥

×

=

//

·

=a1b1+a2b2+a3b3(,,)=(

)·

=V(平行六面體)輪換對稱性,(1),(2),(5)(,,)=0

共面

⊥

a1

a2

a3b1

b2

b3

c1

c2

c3

(,,)=

=i

j

ka1

a2

a3

b1

b2

b3第三章幾何空間§3.4空間的平面和直線一.平面的方程1.點(diǎn)法式方程

2.一般方程

3.特殊位置的平面方程

二.空間直線的方程2.標(biāo)準(zhǔn)(對稱)方程

3.一般方程

三.與直線、平面有關(guān)的一些問題1.夾角

2.距離

3.平面束方程重要信息:

重要工具:三個向量共面

重要信息:

P1P2d=||P0P

s||||s||d=|(P0P)n|

1(A1x+B1y+C1z+D1)+

2(A2x+B2y+C2z+D2)=0第三章幾何空間

平面方程

向量的內(nèi)積

過原點(diǎn):Ax+By+Cz=0平面方程

=0

向量的混合積

,

,

共面

(

,

,

)=0

平面的點(diǎn)法式方程

A(x

x0)+B(y

y0)+C(z

z0)=0

平面的三點(diǎn)式方程x

x1

y

y1

z

z1

x2

x1

y2

y1

z2

z1=0x3

x1

y3

y1

z3

z1

平面的一般方程

Ax+By+Cz+D=0

特殊位置的平面

//x軸:By+Cz+D=0

平面的截距式方程

x

y

za

b

c++=1

//y軸:Ax+Cz+D=0

//z軸:Ax+By+D=0

x軸:Ax+D=0

y軸:By+D=0

z軸:Cz+D=0《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

直線方程

向量的叉積直線方程

兩平面相交平面束

//

=0

a1

a2

a3b1

b2

b3==

直線的對稱式方程==

x

x0

y

y0

z

z0

l

m

n

直線的兩點(diǎn)式方程==

x

x1

y

y1

z

z1

x2

x1

y2

y1

z2

z1參數(shù)方程x=x0+lt

y=y0+mt

z=z0+nt

直線的一般方程A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0(A1,B1,C1)

(

A2,B2,C2)《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

位置關(guān)系

點(diǎn),線,面的位置關(guān)系

兩直線之間的夾角

(方向向量的夾角)

點(diǎn)到直線:

點(diǎn)到平面:

異面直線:距離

兩平面之間的夾角

(法向量的夾角)

直線與平面的夾角

(方向向量與法向量夾角的余角)夾角

三個平面A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0《幾何與代數(shù)》復(fù)習(xí)要點(diǎn)解：（01-02）六(12%)設(shè)A=求參數(shù)k;2.求一個4

2矩陣B,使得AB=O,且秩(B)=2;

因?yàn)橹?A)=2,所以k=0.秩(A)=2.3.問是否存在秩大于2的M使得AM=O?為什么?Ax=

的基礎(chǔ)解系中含有兩個線性無關(guān)的解向量,

可取解：（01-02）六(12%)設(shè)A=求參數(shù)k;2.求一個4

2矩陣B,使得AB=O,且秩(B)=2;

因?yàn)橹?A)=2,所以k=0.秩(A)=2.3.問是否存在秩大于2的M使得AM=O?為什么?Ax=

的基礎(chǔ)解系為

1,2.由于任何一個滿足AM=O的矩陣M的列向量組都可以由

1,2線性表示,因而不存在秩大于2的矩陣M使得AM=O.

所以這樣的矩陣M的秩一定

2.(2)探討變換問題的條件

例6.

設(shè)證明：(1)證：設(shè)x

是Ax

=

0的非零解.令B=(x,0,…,0),則(2)證1：設(shè)x1,x2,…,xn-r是Ax

=

0的基礎(chǔ)解系.令B=(x1,x2,…,xn-r,0,…,0),則(2)證2：則存在n階可逆陣P,Q,

使得令則3.培養(yǎng)發(fā)散思維(2)探討變換問題的條件

(2)探討變換問題的條件

例6.

設(shè)(3)證明：(2)證1：設(shè)x1,x2,…,xn-r是Ax

=

0的基礎(chǔ)解系.(2)證2：則存在n階可逆陣P,Q,

使得令則(3)證：則存在n階可逆陣P,Q,

使得令則3.培養(yǎng)發(fā)散思維(2)探討變換問題的條件

令B=(x1,x2,…,xn-r,0,…,0),則(08-09)若A,B為n階可逆陣,則

(01-02)5.設(shè)矩陣A及A+E均可逆,且G

=E

(A+E)

1,則G

1=

.E+A

1(A+E)

1A

G

1

=A

1(A+E)

.

若A滿足

,則1.關(guān)于逆矩陣（02-03）一6.若4階方陣A的秩為2,則伴隨矩陣A*的秩為

;

0

設(shè)A,B都是3階方陣,AB=O,r(A)

r(B)=2,則r(A)+r(B)=

;(A)5;(B)4;(C)3;(D)2;D3為偶數(shù)2.關(guān)于矩陣的秩

判斷正誤：設(shè)A23,B23,則|ATB|=O.r(ATB)

r(B)

min{2,3}=2,(ATB)33

法II：Bx=

有非零解,則ATBx=

也有非零解,

|ATB|=O.若4階矩陣A,B的秩都為1,則

r(A+B)20設(shè)3階矩陣A=(

1,2,3),B=(

2+3,1

2

3,1).若A的行列式|A|=3,則B的行列式|B|=

.

6設(shè)A=則|A2B

1|=

.

1/70若A是正交矩陣,則|A3AT|=

;

1設(shè)3階方陣A滿足AT=

A,則|A|=

0設(shè)3階方陣A的特征值為1,2,3,則|A26A1+E|=

643.關(guān)于方陣的行列式設(shè)3階方陣A的特征值為1,2,3,則

4.關(guān)于方陣的跡(08-09)七(2)(4分)設(shè)A為n階實(shí)對稱陣，

i(i=1,…,n)是A的特征值,證明：

A的特征值是

1

,…,

n證明：所以A2的特征值是

12

,…,

n2

設(shè)

=(1,2),

=(1,

1),

則

T=

;(

T

)2010

=

15.關(guān)于方陣的正整數(shù)冪

T

=解：設(shè)XA=AB+X,A=求X99.

方程可化為X(A

E)=AB

.初等列變換可得X=AB(A

E)

1

解：方程可化為X(A

E)=AB

.可得X=AB(A

E)

1

X99=(X2)49X=

設(shè)XA=AB+X,A=求X99.

1.解：七(10)設(shè)3階實(shí)對稱陣A的秩為2,并且AB=C,

求A的所有特征值和特征向量;

2.求A及A9999.因而A有一個特征值為0.

所以|A|=0,A是3階矩陣,且秩為2,令由AB=C知,Ap1=

p1,Ap2=p2,

p1,p2分別是A的對應(yīng)于

=

1和

=1的特征向量.A實(shí)對稱,則對應(yīng)于0的特征向量p3與p1,p2正交,

1.解：七(10)設(shè)3階實(shí)對稱陣A的秩為2,并且AB=C,

求A的所有特征值和特征向量;

2.求A及A9999.令P=[p1,p2,p3],則P

1AP=

=

故A=P

P

1=

A9999=(P

P

1)9999

=P

9999P

1=P

P

1=A=

36.設(shè).(1)a,b滿足什么條件時

是A的特征向量？若

是A的特征向量，求相應(yīng)的特征值。(2)若

是A的特征向量，且A有一個二重特征值，求a,b的值.

并討論

A能否相似對角化？若能，求對角陣和相應(yīng)的相似變換矩陣。（共14分）解：(1)

=2，a+b

=

2(2)

=0,2,a36.設(shè).(1)a,b滿足什么條件時

是A的特征向量？若

是A的特征向量，求相應(yīng)的特征值。(2)若

是A的特征向量，且A有一個二重特征值，求a,b的值.

并討論

A能否相似對角化？若能，求對角陣和相應(yīng)的相似變換矩陣。（共14分）解：當(dāng)a=2時，(2)

=0,2,a

=2,a+b

=

2b=0，2是二重特征值，A能相似對角化.對應(yīng)2的特征向量是36.設(shè).(2)若

是A的特征向量，且A有一個二重特征值，求a,b的值.

并討論

A能否相似對角化？若能，求對角陣和相應(yīng)的相似變換矩陣。（共14分）解：當(dāng)a=2時，(2)

=0,2,a

=2,a+b

=

2b=0，2是二重特征值，A能相似對角化.對應(yīng)2的特征向量是對應(yīng)0的特征向量是36.設(shè).(2)若

是A的特征向量，且A有一個二重特征值，求a,b的值.

并討論

A能否相似對角化？若能，求對角陣和相應(yīng)的相似變換矩陣。（共14分）解：當(dāng)a=0時，(2)

=0,2,a

=2,a+b

=

2b=2，0是二重特征值，A不能相似對角化.當(dāng)a=2時，b=0，2是二重特征值，A能相似對角化.1.設(shè)A是6

5矩陣,若Ax=

的解空間是2維的,則ATx=

的解空間是

維的;

35r(A)=2632.設(shè)xR3,

r(A)=2,

是Ax=b的解,則Ax=b的通解是

；的基礎(chǔ)解系有1個解向量

則Ax=b的通解是3.設(shè)A=(A1,A2,A3,

A4),其中列向量A1,A2,A4線性無關(guān),A3=2A1

A2+A4,

則齊次線性方程組Ax=

的一個基礎(chǔ)解系是

r(A)=32A1

A2

A3+A4=0Ax=(A1,A2,A3,

A4)x=0

=(2,

1,

1,1)T;

4.設(shè)，則解：六(12)設(shè)3維向量與1.求的秩及一個極大無關(guān)組,并求a,b,c;

2.令,

求解AX=B.等價.兩向量組等價,線性無關(guān),是一個極大無關(guān)組.r3

ar1若矩陣滿足，則合同，如果矩陣與滿足條件

。則