空間直線、平面的垂直

8.6.1空間直線、平面的垂直

【知識點一】直線與平面垂直的定義

如果直線1與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線/與平面a互相

定義

垂直

記法

直線/叫做平面a的垂線，平面a叫做直線/的垂面，它們唯一的公共點尸叫

有關(guān)概念

做垂足

/

圖示▲IT7

畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直

【知識點二】直線和平面垂直的判定定理

文字

一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直

語言

分上口

付萬

/_La,/±Z?,bUa,aGb=P=>/J_ct

語言

I

圖形

語言

【知識點三】直線與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語言垂直于同一個平面的兩條直線壬任

a.La

符號語言?^a//b

b_La,

圖形語言4f7

【知識點四】平面與平面垂直

（1）平面與平面垂直

①定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.

②畫法:

3/

③記作：aLp.

（2）判定定理

文字語言一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直

\

___________\

圖形語言/

，/n(----:

匚(

符號語言/±a,luga邛

【知識點五】平面與平面垂直的性質(zhì)定理

兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線,

文字語言

那么這條直線與另一個平面垂直

符號語言a_L￡,aC￡=l,aUa,

圖形語言ni:

=ii

【例1-1】（概念的理解）下列命題中，正確的序號是.

①若直線/與平面a內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則/，a；

②若直線/與平面a內(nèi)的一條直線垂直，則/J_a；

③若直線/不垂直于平面a,則a內(nèi)沒有與/垂直的直線；

④若直線I不垂直于平面a,則a內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與/垂直；

⑤過一點和已知平面垂直的直線有且只有一條.

【變式1】（1）若三條直線04,OB,OC兩兩垂直，則直線OZ垂直于（）

A.平面0/8B.平面O4C

C.平面08CD.平面Z8C

（2）如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊：③圓的兩條直徑；④正五邊

形的兩邊.能保證該直線與平面垂直的是.（填序號）

【變式2】下列說法中，正確的有（）

①如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線和這個平面垂直：

②過直線/外一點P,有且僅有一個平面與/垂直；

③如果三條共點直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面；

④垂直于角的兩邊的直線必垂直角所在的平面；

⑤過點A垂直于直線a的所有直線都在過點A垂直于a的平面內(nèi).

A.2個B.3個

C.4個D.5個

【例2-1](線面垂直的判定)在四棱錐P—A3C。中，ZABC=ZL4CD=90-ZBAC=ZCAD=60S

平面ABC。，E為尸。的中點，M為AO的中點，PA=2AB=4.

(1)取PC中點F,證明：PC_L平面AEF；

(2)求點。到平面ACE的距離.

【變式1】如圖，在三棱錐s-NBC中，ZABC=90°,。是ZC的中點，且SZ=S8=SC.

匚1

匚I-

(1)求證：SZ)_L平面/8C；

(2)若/8=BC,求證：8。_1平面“C

【變式2】將棱長為2的正方體ABCO-AgGA沿平面ABCR截去一半(如圖1所示)得到如圖2

所示的幾何體，點E，尸分別是3C，。。的中點.

(I)證明：EF_L平面4AC；

(II)求三棱錐A—。族的體積.

【例2-2】（線面垂直的性質(zhì)）如圖，在四棱錐尸一N8C。中，底面是矩形，平面RID,AD

=AP,5'是尸。的中點，M,N分別在PC上，且MNJL/8,MV_LPC證明：AE//MN.

【變式1】如圖，aC￡=l,PALa,PB邛,垂足分別為/,B,a^a,.求證：a//l.

/

/

【例3-1】（概念理解）下列不能確定兩個平面垂直的是（）

A.兩個平面相交，所成二面角是直二面角B.一個平面垂直于另一個平面內(nèi)的一條直線

C.一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線D.平面a內(nèi)的直線a垂直于平面￡內(nèi)的直線分

【例3-2】已知直線“，〃與平面a,仇給出下列三個結(jié)論：

①若加〃a,n//a,則機(jī)〃”；②若機(jī)〃a,則〃?_!_〃；③若m//p,則

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【變式1】過兩點與一個已知平面垂直的平面（）

A.有且只有一個B.有無數(shù)個

C.有且只有一個或無數(shù)個D.可能不存在

【例3-3](證明面面垂直)如圖，四棱錐P—ABQD中，底面ABCD是正方形，PD_L平面ABC。，

AB=2,PD=2娓,。為AC與BD的交點，E為棱PB上一點、.

(1)證明：平面平面PBD；

(2)若PD〃平面E4C,求三棱錐8-AEC的體積.

【變式1】如圖，在三棱錐P-ABC中，PALAB，PALBC,ABA.BC,PA=AB=BC=2,

O為線段AC的中點，E為線段PC上一點.

(1)求證：平面B￡)E_L平面PAC；

(2)當(dāng)B4//面3OE時，求三棱錐E—8CD的體積.

【例3-4】（面面垂直的性質(zhì)）如圖，在三棱錐產(chǎn)一Z8C中，平面平面以8_L平面P8C.

求證：BCLAB.

【變式1】如圖,邊長為2的正方形所在的平面與平面/8C垂直,與CE的交點為M,NCJ_BC.

求證：/A/_L平面E8C.

課后練習(xí)題

1.如圖，已知PA_L。。所在平面，48為。。的直徑，。是圓周上的任意一點，過力作AE_LPC于反求

證：AEJ_平面陽C

2.如圖，在正方體A5CD—44G2中，"為4A的中點，ACnBO=O.求證:

(1)4。，平面用8。2；

（2）OE//平面AC4.

3.如圖所示，在正方體ABC?！狝QCQI中，點。為底面ABC。的中心，點尸為CG的中點，求

證：4。，平面8。咒.

4.已知直三棱柱ABC-AAC中，ABAC=90°,AB^AC,。是BC中點，E是的中點.

(1)求證：AD1BC,；

(2)求證：OE//平面AGB.

5.如圖，在四棱錐P—ABC。中，Q4,底面ABCD,AB±AD,AC±CD,PA=AC,E是PC

的中點.

證明：(I)CD1AE；

(II)平面ABE.

6.如圖，邊長為2的正方形ABC。所在的平面與半圓弧C。所在平面垂直，M是上異于C,D

的點.證明：平面AMD1平面

7.如圖，在三棱錐A4%中，/%，平面/%且45=3。，D、K分別為小、/C的中點.

(1)求證：PA//平面BDE；

(2)求證：平面匝應(yīng)_1_平面用C

8.如圖，在棱長為2的正方體ABC?！?8GA中，E,尸分別為AA，4G的中點.

(1)求證：平面A4E〃平面8。尸；

(2)求平面與平面8。尸之間的距離.

8.6.1空間直線、平面的垂直

【知識點一】直線與平面垂直的定義

如果直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線/與平面a互相

定義

垂直

記法/_La

直線/叫做平面a的垂線，平面a叫做直線/的垂面，它們唯一的公共點P叫

有關(guān)概念

做垂足

4

圖示

畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直

【知識點二】直線和平面垂直的判定定理

文字

一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直

語言

KX口

付萬'

/±a,lA-b,aUa,bUa,aC6=P=>/_l_a

語言

圖形

語言

【知識點三】直線與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語言垂直于同一個平面的兩條直線壬任

符號語言\"a"b

h-La\

圖形語言

/TrTi7

【知識點四】平面與平面垂直

（1）平面與平面垂直

①定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.

②畫法：

3/

③記作：a邛.

（2）判定定理

文字語言一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直

圖形語言

符號語言Z±a,luga4

【知識點五】平面與平面垂直的性質(zhì)定理

兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線,

文字語言

那么這條直線與另一個平面垂直

符號語言a邛,aCi/3=l,gCg,a_LQa_l_6

圖形語言

【例1-1】（概念的理解）下列命題中，正確的序號是

①若直線/與平面a內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，貝

②若直線/與平面a內(nèi)的一條直線垂直，則/La；

③若直線/不垂直于平面a,則a內(nèi)沒有與/垂直的直線；

④若直線/不垂直于平面a,則a內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與/垂直；

⑤過一點和已知平面垂直的直線有且只有一條.

【答案】④⑤

【解析】當(dāng)直線/與平面a內(nèi)的無數(shù)條直線垂直時，/與a不一定垂直，所以①不正確；當(dāng)/與a內(nèi)的

一條直線垂直時，不能保證/與平面a垂直，所以②不正確；當(dāng)/與a不垂直時，/可能與a內(nèi)的無數(shù)

條平行直線垂直，所以③不正確，④正確；過一點有且只有一條直線垂直于已知平面，所以⑤正確.

【變式1】（1）若三條直線04,OB,OC兩兩垂直，則直線垂直于（）

A.平面OABB.平面OAC

C.平面08cD.平面/8C

（2）如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正五邊

形的兩邊.能保證該直線與平面垂直的是.（填序號）

【解析】0A1.0C,OBHOC=O,OB,OCU平面。8C,

平面OBC.

（2）根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，平面內(nèi)這兩條直線必須是相交的，①③④中給定的兩直線一定相

交，能保證直線與平面垂直，而②梯形的兩邊可能是上、下底邊，它們互相平行，不滿足定理條件.

【變式2】下列說法中，正確的有（）

①如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線和這個平面垂直；

②過直線/外一點P,有且僅有一個平面與/垂直；

③如果三條共點直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面；

④垂直于角的兩邊的直線必垂直角所在的平面：

⑤過點A垂直于直線?的所有直線都在過點A垂直于a的平面內(nèi).

A.2個B.3個

C.4個D.5個

【答案】B

【解析】①④不正確，其他三項均正確.

【例2-1］（線面垂直的判定）在四棱錐P-ABCD中，ZABC=ZACD=90.ABAC=ACAD=60-

PAJ_平面ABC。，E為PO的中點，M為AD的中點，PA=2AB=4.

（1）取PC中點尸，證明：PC_L平面AEF；

（2）求點。到平面ACE的距離.

【答案】（1）證明見解析；（2）273

【解析】（1）證明：因為PC中點產(chǎn)，

在中，A5=2,N5AC=6（r,則3c=2右,AC=4.

而F4=4,則在等腰三角形APC中，PCLAF①.

又在APCD中,PE=ED,PF=FC,則EF//CD，

因為平面ABC。，COu平面ABC。，則Q4LCD,

又NAC￡>=90，即AC_L8,ACoPA^A,

則CD_L平面PAC,因為PCu平面PAC,所以PC_LCD,因此乏：b_LPC②.

又比'0人尸=/，由①②知PC_L平面AEP；

⑵在HAACfH」，CO=46,AC=4,:.S&ACD=Sy/3,

又EMMPA,PA_L平面ABC。，

.?.EM_L平面ABCO，即￡N為三棱錐E—ACO的高，

.-.V￡ACD=-SACD-EM=--Sy/3-2=^^~，

￡-AC。3A/ICL/3"3

在△ACE中，AE=CE=2后,AC=4--??\ACE=8>

設(shè)點D到平面ACE的距離為h,

則%ACE~LACD='，S'h=

U-AL匕tZ-3AHALCEI3'",

/7=2百，即點D到平面ACE的距離為2下）.

【變式1】如圖，在三棱錐S-48C中，ZABC^90°,。是NC的中點，且S/=S8=SC.

(1)求證：S￡>_L平面/8C；

(2)若/8=8C,求證：8。_1_平面SZC.

【解析】證明(1)因為S/=SC,。是4C的中點，

所以SDUC.在RtAABC中，AD=BD,

由已知S4=S8,

所以△/OS<△8OS,

所以SZ)_L8D又40(18。=。，AC,B0U平面/BC,

所以SD_L平面Z8C

(2)因為/8=8C,力為/C的中點，

所以8￡>_L4C.由(1)知SD1BD.

又因為SDC/C=O,SD,/CU平面S/C,所以8。_1_平面”C.

【變式2】將棱長為2的正方體ABCO—dga，沿平面ABCR截去一半(如圖1所示)得到如圖2

所示的幾何體，點E，尸分別是BC,OC的中點.

(1)證明：石尸_L平面AAC；

(II)求三棱錐A—。E尸的體積.

【答案】(I)證明見解析；(II)1.

【解析】(I)如圖所示：

連接BD，易知30,AC，

因為平面ABCD，BDu平面ABCD，

所以4A_L8。，又AAIAC=A,

所以BO1平面4AC.

在ACSO中，點E，F(xiàn)分別是8C，0c的中點,

所以BD//EF.

所以三下_L平面4AC.

(II)；平面ABCO，

。。是三棱錐。一AE/在平面AEE上的高，且。。=2.

?.?點E，尸分別是5C,。。的中點,

/.DF=CF=CE=BE=1.

1113

2

/.S^AEF=2--ADDF--CFCE--ABBE=-.

113

=XX=

=「

^A-DtEFVDAEF—§-S&AEF-^1^'

【例2-2】（線面垂直的性質(zhì)）如圖，在四棱錐P—48C。中，底面是矩形，平面以。，AD

=AP,E是PD的中點，M,N分別在PC上，JIMNVAB,MALLPC證明：AE//MN.

【解析】證明平面均。，/Eu平面均。，.?.ZE_L/8,

又AB"CD、J.AEVCD.

；4D=4P,E是PO的中點，：.AELPD.

又CDCPD=D,CD,PDu平面PCD,

；.NE_L平面PCD.

,：MNLAB,AB//CD,:.MNLCD.

又,：MNLPC,PCQCD^C,PC,COu平面PC。，

平面PC。，J.AE//MN.

【變式1】如圖，aCQ=i,PAVa,PB邛,垂足分別為4,B,〃Ua,a_L/5.求證：a//L

【解析】證明Ya,，刃，/.同理PBL

；B4CPB=P,PA,P8U平面必18,.1_L平面/MB.

又,.,/54J_a,aUa,'.PAYa.

:aUB,PAnAB^A,PA,Z8U平面以2,

.?.a_L平面PAB.

：.a//l.

【例3-1】（概念理解）下列不能確定兩個平面垂直的是（）

A.兩個平面相交，所成二面角是直二面角B.一個平面垂直于另一個平面內(nèi)的一條直線

C.一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線D.平面a內(nèi)的直線。垂直于平面口內(nèi)的直線b

【答案】D

【解析】如圖所示，在正方體/8C。-48C1D1中，平面小8CZ）內(nèi)的直線小9垂直于平面488內(nèi)

的一條直線BC,但平面A\B\CD與平面ABCD顯然不垂直.

【例3-2】已知直線機(jī)，〃與平面a,p,給出下列三個結(jié)論:

①若”?〃a,n//a,則機(jī)〃〃；②若機(jī)〃a,“J_a,則機(jī)_1_〃；③若機(jī)J_a,機(jī)〃4，則a_L夕.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】①若加〃a,”〃a,則與〃可能平行、相交或異面，故①錯誤；易知②③正確.所以正確

結(jié)論的個數(shù)是2.

【變式1】過兩點與一個已知平面垂直的平面（）

A.有且只有一個B.有無數(shù)個

C.有且只有一個或無數(shù)個D.可能不存在

【答案】C

【解析】若過兩點的直線與已知平面垂直時，此時過這兩點有無數(shù)個平面與已知平面垂直，若過兩點

的直線與已知平面不垂直時，則有且只有一個過這兩點的平面與已知平面垂直.

【例3-3］（證明面面垂直）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面AB8是正方形，PDJ_平面

AB=2,PD=2>/6,。為AC與BD的交點，E為棱PB上一點、.

（1）證明：平面E4CJ■平面

（2）若〃平面E4C,求三棱錐3-AEC的體積.

/7

【答案】（1）證明見解析；（2）=9四.

3

【解析】（1）因為四邊形ABC。為正方形，則AC，比>,

?.?PO_L底面ABC。，4。(=平面筋。。，，4。，尸。,

;PZ)c=￡＞，..AC，平面P3D,

；ACu平面E4C,；.平面E4C_L平面P8￡)；

(2)如下圖所示，連接OE,

P

R-

-識

?.?四邊形ABC。為正方形，且ACnB￡>=O,則。為6。的中點，

因為PD〃平面AEC,PDu平面PBD,平面PBOn平面A￡C=OE,.?.OE//PD,

?.?。為8。的中點，為的中點，

?.?P￡>_1平面438,，0七，平面438,且OE=，PO=新，

2

1,

△ABC的面積為S^ABC=萬x2?=2,

所以，VBAEC=VEABC=_S&ABC，0E=—x2x瓜=2#-.

【變式1】如圖，在三棱錐P—ABC中，PALAB，PA±BC,ABA.BC,PA=AB=BC=2,

。為線段AC的中點，E為線段PC上一點.

B

（1）求證：平面BDE_L平面PAC；

（2）當(dāng)PA//而BDE時，求三棱錐E—BCO的體積.

【答案】（1）證明見解析；（2）

3

【解析】（1）證明：由A3=3C,。為線段AC的中點，

可得BD_LAC，

山Q4_LAB，PA±BC.ABcBC=B,

可得PAL平面ABC,

又6Du平面ABC,

可得PAA.BD,

又24nAe=A

所以30L平面PAC,BDu平面BDE,

所以平面BDE，平面尸4C；

（2）解：PA//平面BDE，PAu平面PAC，

且平面P4CD平面BDE=DE，

可得PA//DE,

又。為AC的中點，

可得E為PC的中點，且。E=,PA=1,

2

由平面ABC，可得。平面4BC，

可得S=——x—x2x2=l,

ADRDCC2AA6C22

則三棱錐E-88的體積V=-￡>￡SBDC=-xlxl=l.

333

【例3-4］（面面垂直的性質(zhì)）如圖，在三棱錐P-/18C中，平面/8C,平面刃8_L平面P8C.

P

求證：BCLAB.

【解析】證明如圖，在平面R/8內(nèi),

作4Z)_LP8于點D.

?.?平面以5_L平面PBC,

且平面R48rl平面PBC=PB,

NOU平面PAB,

.?.4Z)_L平面PBC.

又8CU平面P3C,：.AD1BC.

又平面Z8C,8CU平面/8C,：.PAVBC,

又「■R4n"0=4二臺。，平面為8.

又48U平面以8,:.BCLAB.

【變式1】如圖,邊長為2的正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直,49與CE的交點為M,ACLBC.

求證：/加上平面血。.

【解析】證明I,平面/C￡>E_L平面/8C,平面/CDEC平面X8C=XC,8CU平面/5C,BCLAC,

，8CJL平面/CAE.

又4V/U平面/CDE,J.BCLAM.

?..四邊形/CDE是正方形，C.AMLCE.

又BCCCE=C,BC,ECU平面EBC,

.,.月M_L平面EBC.

課后練習(xí)題

1.如圖，已知E4J_。。所在平面，四為G）。的直徑，。是圓周上的任意一點，過1作4E_LPC于反求

證：M_L平面陽C

【答案】證明見解析.

【解析】證明：由力6是。。的直徑,

得8CJ_AC.

又B4，。。所在平面

8Cu。。所在平面內(nèi)

所以BC_LP4,又4CcB4=A,

所以BCJ_面分GAEu面序C

所以3C_LAE,又AE_LPC，BCcPC=C，

所以4“,平面PBC.

2.如圖，在正方體ABC。-A,4GA中，￡為瓦烏的中點，47080=0.求證:

（1）4。_￡平面48。。|；

（2）OE〃平面AC4.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】（1）:在正方體中,BB,1平面ABCD.

4。＜=平面48。，BB]±AC,

vACABD,BDcBB]=B,

ACJ_平面與8。。；

(2)連接。耳，

???在正方體中，BB、MDD、且BB】=DR,

.??四邊形8BQQ是平行四邊形，.?.8。//旦。且3。=用Q,

???O,E分別為BD,與A中點，；.DO=鶴,

四邊形OEBQ是平行四邊形，；.DE//OBi,

?/OE<Z平面4c耳，。與u平面ACM,

???DE”平面ACB一

3.如圖所示，在正方體A8C。一A4G。中，點。為底面A8CD的中心，點F為CG的中點，求

證：4。，平面8DE.

【答案】證明見解析.

【解析】證明：在正方形ABCD中，AC1BD.

A4,_L平面ABCD,BDu平面ABCD,可得A4,_L3。,

而ACAA4,=A,可得BO_L平面AAG。，

而AOu平面A41G。，則8。，A。，

在直角三角形4AO和直角三角形FCO中，

v^=—=V2,.-.△AAO-AOCF,ZAA,O=Z.COF,

COCF

ZAA.0+NAOA=90,NCOF+ZAOA,=90,即ZA.OF=90,即OF

又6O_L4。，而=則4。，平面廠.

4.已知直三棱柱ABC—A5G中，ZBAC=90°,AB^AC,。是8c中點，E是的中點.

(1)求證：AD±BC,；

（2）求證：OE//平面4aB.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】證明：（1）?.?A8=AC，，AABC為等腰三角形

QO為3C中點，.?.4）_L3C，

ABC-AB.C,為直棱柱，二平面ABC_L平面BC],

?.■平面A8CCI平面BG=BC,4)u平面ABC，

r.45_1_平面BG，

AD1BC1.

（2）取CG中點/，連結(jié)OF，EF,

QD,E，尸分別為BC，CG，AA,的中點

EF//4G，DF//BQ,

???AGnBC1=C1,DFp\EF^F

二平面。砂//平面Acs,

?.￡>Eu平面OEE

.,.￡>￡//平面AG8.

5.如圖，在四棱錐尸一ABCO中，PA_L底面ABC。，AB±AD,AC±CD,PA=AC,E是PC

的中點.

證明：（I）CD±A￡；

（II）PDL平面ABE.

【答案】（I）詳見解析；（H）詳見解析.

【解析】（I）因為B4J_底面ABC。，CDu底面A8CO,

所以24,CD,

又AC_LCO,PAQAC=A,

所以CDJ_平面F4E，

又AEu平面/^AE

所以CDLAE：

(H)因為B4=AC,E是PC的中點，

所以PC1.AE,又C￡>J_AE,CD±PC=C，

所以平面PCD,又PDu平面PCD，

所以PD±AE,

又因為AB_L49,45_LR4且A￡>_LP4=A，

所以ABJ_平面?AD，

又。Du平面PAD，

所以AB_LPD，又AEIAB=A,

所以PZ)J_平面ABE.

6.如圖，邊長為2