安徽省皖東縣中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題

數(shù)學(xué)試題考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)，選擇性必修第三冊(cè).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.雙曲線的焦距為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出即可求出焦距.【詳解】在雙曲線中，，，，所以焦距為．故選：B．2.設(shè)某制造公司進(jìn)行技術(shù)升級(jí)后的第x個(gè)月（）的利潤為y（單位：百萬元），根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若時(shí)的觀測(cè)值，則時(shí)的殘差為（）A. B.1 C.3 D.6【答案】B【解析】【分析】利用殘差的定義求解.【詳解】解：因?yàn)闀r(shí)的預(yù)測(cè)值為，所以殘差為．故選：B．3.的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A.15 B.20 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令，求解即可.【詳解】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令，得，所以的展開式的項(xiàng)的系數(shù)為．故選：A．4.李白的一句“煙花三月下?lián)P州”讓很多人對(duì)揚(yáng)州充滿向往．據(jù)統(tǒng)計(jì)，唐朝約有120名詩人寫下了400多首與揚(yáng)州有關(guān)的詩篇，某揚(yáng)州短視頻博主從中選取了7首，制作了分別賞析這7首詩的7個(gè)短視頻（含甲、乙），準(zhǔn)備在某周的周一到周日發(fā)布，每天只發(fā)布1個(gè)，每個(gè)短視頻只在其中1天發(fā)布，若甲、乙相鄰兩天發(fā)布，則這7個(gè)短視頻不同的發(fā)布種數(shù)為（）A.180 B.360 C.720 D.1440【答案】D【解析】【分析】元素相鄰的排列問題，利用捆綁法解決即可.【詳解】先將甲、乙排為一列，有種方法，再將其視為一個(gè)整體與其余5個(gè)視頻排成一列，有種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，甲、乙在相鄰兩天發(fā)布不同的發(fā)布種數(shù)為．故選：D．5.若隨機(jī)變量X的分布列為01則（）A. B. C. D.0【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)隨機(jī)變量的額概率之和等于1，求出，再根據(jù)期望的求法公式求期望.【詳解】由題意，得，所以，．故選：B6.從1，2，3，4，5，6，7，8，9中依次取出3個(gè)不同數(shù)字a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，則不同的取法種數(shù)為（）A.16 B.24 C.32 D.48【答案】C【解析】【分析】根據(jù)a，b，c成等差數(shù)列，所以a與c同為偶數(shù)或同為奇數(shù)，分情況討論即可.【詳解】若取出的3個(gè)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，則a與c同為偶數(shù)或同為奇數(shù)，所以a，b，c的不同的取法種數(shù)為．故選：C7.甲、乙兩人玩剪子包袱錘游戲，若每次出拳甲勝與乙勝的概率均為，且兩人約定連續(xù)3次平局時(shí)停止游戲，則第7次出拳后停止游戲的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意分析可知，后3局連續(xù)平局，第4局不是平局，前3局不是連續(xù)平局，再結(jié)合獨(dú)立事件概率公式，即可求解.【詳解】記第i次出拳是平局為事件，則，記第7次出拳后停止游戲?yàn)槭录嗀，則，所以．故選：D．8.若直線l與曲線、曲線分別切于點(diǎn)，，則取最大值時(shí)，的值為（）A.e B.1 C. D.0【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線斜率的概念，得到，用表示，得；設(shè)，求導(dǎo)，分析的單調(diào)性，求出最大值，即的最大值，并得到相應(yīng)的及的值.【詳解】因?yàn)椋?，直線l與曲線切于點(diǎn)，與曲線切于點(diǎn)，所以直線l的斜率，整理，得，設(shè)，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以的最大值為1，當(dāng)時(shí)，，，．故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)中的公切線問題，求解此類問題的基本思路是假設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)后，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義分別表示出兩函數(shù)切點(diǎn)處的切線方程，由兩方程形式一致可構(gòu)造方程組來求解相關(guān)問題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知某地10月份第x天的平均氣溫為y（單位：℃），x，y線性相關(guān)，由x，y的前7天樣本數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則下列說法正確的是（）A.x，y負(fù)相關(guān)B.第8天的平均氣溫為18℃C.前7天平均氣溫的平均數(shù)為19℃D.若剔除偏離經(jīng)驗(yàn)回歸直線最大的一個(gè)異常點(diǎn)，則相關(guān)系數(shù)變大【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)已知利用回歸直線的性質(zhì)依次判斷各選項(xiàng)即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以A正確；第8天的平均氣溫的預(yù)測(cè)值為18℃，但實(shí)際值不一定是18℃，B錯(cuò)誤；由，及在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上，得，C正確；因?yàn)閤，y負(fù)相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)，剔除偏離經(jīng)驗(yàn)回歸直線最大的一個(gè)異常點(diǎn)后，變大，但r變小，D錯(cuò)誤．故選:AC．10.已知某品牌一種型號(hào)的LED燈的使用壽命X（單位：小時(shí)）服從正態(tài)分布，則下列說法正確的是（）參考數(shù)據(jù)：若，則，．A.該型號(hào)LED燈的平均使用壽命是60000小時(shí)B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)，計(jì)算可判斷結(jié)論.【詳解】因?yàn)槭褂脡勖黊（單位：小時(shí)）服從正態(tài)分布，所以，可得該型號(hào)LED燈的平均使用壽命是60000小時(shí)，故A正確；所以，故B錯(cuò)誤；由，可得，故C正確；，故D正確．故選：ACD．11.已知四棱柱的所有棱長均為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，兩兩垂直，過點(diǎn)G的平面與直線，，分別交于點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.B.平面與平面夾角的余弦值為C.若平面，則線段的長度為D.當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，即可求解A，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求解兩個(gè)平面的法向量，即可利用法向量的夾角求解B,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得線線垂直，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解CD。【詳解】對(duì)于A，如圖所示，四邊形是邊長為2的菱形，所以，又，所以，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，，故A正確；對(duì)于B，以為原點(diǎn)，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由，，，，得，，設(shè)平面的法向量，則，即，取，得，因?yàn)椋?，設(shè)平面的法向量，則，即，取，得，所以平面與平面夾角的余弦值為，故B正確；對(duì)于C，，因?yàn)榉謩e在直線，上，所以可設(shè)，，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，平面，所以，，即，，解得，，所以，，，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，因?yàn)槠矫媾c直線交于點(diǎn)，設(shè)，則，，由，得，，故D錯(cuò)誤．故選:ABC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.小李同學(xué)準(zhǔn)備從4本講義類圖書與5本試卷類圖書中選3本購買，則講義類圖書與試卷類圖書至少各選1本的選擇方法種數(shù)為________．【答案】70【解析】【分析】根據(jù)排列組合，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】講義類圖書與試卷類圖書至少各選1本的選擇方法種數(shù)為．故答案為：7013.設(shè)隨機(jī)變量，其中且，，若，，則________．【答案】##【解析】【分析】由二項(xiàng)分布期望的性質(zhì)計(jì)算可求得，利用二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算可求得，由方差公式計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，，，由，得，所以，，由，得，即，解得，所以，．故答案為?4.一質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)每次只能向左或向右跳動(dòng)1個(gè)單位，且第1次向左跳動(dòng)．若前一次向左跳動(dòng)，則后一次向左跳動(dòng)的概率為；若前一次向右跳動(dòng)，則后一次向左跳動(dòng)的概率為．記第n次向左跳動(dòng)的概率為，則________；________．【答案】①.②.【解析】【分析】易得，，再利用全概率由求解；從而得到，利用等比數(shù)列求解.【詳解】解：由題意，得，，，由，設(shè)，則，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，，所以．故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知．（1）若，求的值；（2）若，求m的值．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）通過賦值法求系數(shù)和；（2）通過二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)求參數(shù)值．【小問1詳解】在中，取，得，取，得，以上兩式相減，得．【小問2詳解】的通項(xiàng)為，若，可得，所以，解得或．16.通過調(diào)查，某市小學(xué)生、初中生、高中生的肥胖率分別為，，．已知該市小學(xué)生、初中生、高中生的人數(shù)之比為，若從該市中小學(xué)生中，隨機(jī)抽取1名學(xué)生．（1）求該學(xué)生為肥胖學(xué)生的概率；（2）在抽取的學(xué)生是肥胖學(xué)生的條件下，求該學(xué)生為高中生的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通過全概率公式求解即可得；（2）通過條件概率公式求解即可得．【小問1詳解】記“任取1名中小學(xué)生是肥胖學(xué)生”，“學(xué)生為小學(xué)生”，“學(xué)生為初中生”，“學(xué)生為高中生”．則，且，，兩兩互斥，由題意得，，，，，，則，即隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該學(xué)生為肥胖學(xué)生的概率為0.025．【小問2詳解】“抽取的學(xué)生是肥胖學(xué)生且為高中生”，則，所以，即在抽取的學(xué)生是肥胖學(xué)生的條件下，該學(xué)生為高中生的概率為0.24.17.隨著互聯(lián)網(wǎng)的高速發(fā)展和新媒體形式的不斷豐富，微短劇作為一種新興的文化載體，正逐漸成為拓展文化消費(fèi)空間的重要途徑．某媒體為了了解微短劇消費(fèi)者的年齡分布，隨機(jī)調(diào)查了200名消費(fèi)者，得到如下列聯(lián)表：年齡不超過40歲年齡超過40歲合計(jì)是微短劇消費(fèi)者3045不是微短劇消費(fèi)者合計(jì)100200（1）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“是微短劇消費(fèi)者”與“年齡不超過40歲”有關(guān)聯(lián)？（2）記2020~2024年的年份代碼依次為1，2，3，4，5，下表為2020~2023年中國微短劇市場(chǎng)規(guī)模及2024年中國微短劇預(yù)測(cè)的市場(chǎng)規(guī)模（單位：億元）與的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份代碼x12345市場(chǎng)規(guī)模y9.436.8101.7373.9m根據(jù)上表數(shù)據(jù)求得關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，求相關(guān)系數(shù)，并判斷該經(jīng)驗(yàn)回歸方程是否有價(jià)值．參考公式：，其中，．回歸方程，其中，，，相關(guān)系數(shù)．若，則認(rèn)為經(jīng)驗(yàn)回歸方程有價(jià)值．【答案】（1）認(rèn)為“是微短劇消費(fèi)者”與“年齡不超過40歲”有關(guān)聯(lián)（2），該經(jīng)驗(yàn)回歸方程有價(jià)值．【解析】【分析】（1）補(bǔ)全列聯(lián)表，根據(jù)公式求出，再通過獨(dú)立性檢驗(yàn)與臨界值比較判斷即可；（2）通過給出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程公式求相關(guān)系數(shù)，再判斷．【小問1詳解】補(bǔ)全列聯(lián)表如下：

年齡不超過40歲年齡超過40歲合計(jì)是微短劇消費(fèi)者301545不是微短劇消費(fèi)者7085155合計(jì)100100200假設(shè)“是微短劇消費(fèi)者”與“年齡不超過40歲”無關(guān)聯(lián)，因?yàn)?，根?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為“是微短劇消費(fèi)者”與“年齡不超過40歲”有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05．【小問2詳解】由x的取值依次為1，2，3，4，5，可得，，因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程為，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以該?jīng)驗(yàn)回歸方程有價(jià)值．18.2024年4月25日—4月29日，“與輝同行”開啟了一場(chǎng)深入中原的文化之旅，讓河南文旅打開了流量密碼．某景區(qū)趁此時(shí)機(jī)，舉行五一游該景區(qū)網(wǎng)上購票抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在網(wǎng)上購買該景區(qū)門票的游客，可通過掃景區(qū)提供的二維碼進(jìn)入抽獎(jiǎng)活動(dòng)頁面，每張門票可從6個(gè)減免紅包中隨機(jī)抽取2個(gè)，6個(gè)紅包的金額分別為5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知該景區(qū)門票每張120元，全部實(shí)行網(wǎng)上購票．（1）記購買1張門票的游客通過抽獎(jiǎng)獲得的紅包金額之和為X，求X的分布列與期望；（2）已知每位游客除門票外平均在該景區(qū)消費(fèi)30元、40元、60元的概率分別為，，，舉行此抽獎(jiǎng)活動(dòng)后預(yù)計(jì)可使該景區(qū)五一期間客流量增加40%，假設(shè)每位購票游客都進(jìn)行了抽獎(jiǎng)，回答下列問題并說明理由：①舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)后該景區(qū)在五一期間的門票收入是增加了，還是減少了？②舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)后該景區(qū)在五一期間的總收入是增加了，還是減少了？【答案】（1）分布列見解析，40（2）①減少了；②增加了【解析】【分析】（1）問先求隨機(jī)變量的分布列，再求期望；（2）問通過隨機(jī)變量的期望求總收入，再判斷總收入是否增加．【小問1詳解】由題意得X的取值可以是10，15，20，35，40，65，70，90．，，，，，，，，所以X的分布列為X1015203540657090P【小問2詳解】①假設(shè)不舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，該景區(qū)在五一期間客流量為n人，則門票收入為120n元，舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)后該景區(qū)在五一期間門票收入為，所以舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)后該景區(qū)在五一期間門票收入減少了．②每位游客除門票外平均在該景區(qū)消費(fèi)30元、40元、60元的概率分別為，，，則期望值為．不舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，該景區(qū)在五一期間總收入為，舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)后該景區(qū)在五一期間總收入為，所以舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)后該景區(qū)在五一期間總收入增加了19.從中選取個(gè)不同的數(shù)，按照任意順序排列，組成數(shù)列，稱數(shù)列為的子數(shù)列，當(dāng)時(shí)，把的所有不同值按照從小到大順序排成一列構(gòu)成數(shù)列，稱數(shù)列為的子二代數(shù)列．（1）若的子數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，求的子二代數(shù)列的前8項(xiàng)和；（2）若的子數(shù)列是遞增數(shù)列，且子二代數(shù)列共有項(xiàng)，求證：是等差數(shù)列；（3）若，求的子二代數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的最大值．【答案】（1）86（2）證明見解析（3）4950．【解析】【分析】（1）通過子二代數(shù)列的概念求數(shù)列的前8項(xiàng)和；（2）通過子二代數(shù)列的概念和遞增數(shù)列，以及子二代數(shù)列中共有項(xiàng)判斷