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章末總結(jié)一、電場(chǎng)中的平衡問(wèn)題1.庫(kù)侖力實(shí)質(zhì)上就是電場(chǎng)力,與重力、彈力一樣,它也是一種基本力.帶電粒子在電場(chǎng)中的平衡問(wèn)題實(shí)際上屬于力學(xué)平衡問(wèn)題,只是多了一個(gè)電場(chǎng)力而已.2.求解這類(lèi)問(wèn)題時(shí),需應(yīng)用有關(guān)力的平衡知識(shí),在正確的受力分析的基礎(chǔ)上,運(yùn)用平行四邊形定則、三角形定則或建立平面直角坐標(biāo)系,應(yīng)用共點(diǎn)力作用下物體的平衡條件,靈活運(yùn)用方法(如合成分解法、矢量圖示法、相似三角形法、整體法等)去解決.例1(多選)如圖1所示,在一電場(chǎng)強(qiáng)度沿紙面方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)中,用一絕緣細(xì)線(xiàn)系一帶電小球,小球的質(zhì)量為m,電荷量為q.為了保證當(dāng)細(xì)線(xiàn)與豎直方向的夾角為60°時(shí),小球處于平衡狀態(tài),則勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小可能為()圖1A.eq\f(mgtan60°,q) B.eq\f(mgcos60°,q)C.eq\f(mgsin60°,q) D.eq\f(mg,q)答案ACD解析取小球?yàn)檠芯繉?duì)象,它受到重力mg、細(xì)線(xiàn)的拉力F和電場(chǎng)力Eq的作用.因小球處于平衡狀態(tài),則它受到的合外力等于零,由平衡條件知,F(xiàn)和Eq的合力與mg是一對(duì)平衡力.根據(jù)力的平行四邊形定則可知,當(dāng)電場(chǎng)力Eq的方向與細(xì)線(xiàn)拉力方向垂直時(shí),電場(chǎng)力最小,如圖所示,則Eq=mgsin60°,得最小場(chǎng)強(qiáng)E=eq\f(mgsin60°,q).所以,選項(xiàng)A、C、D正確.求解電場(chǎng)力的最小值的方法是對(duì)物體進(jìn)行受力分析,利用圖解法求最小值.針對(duì)訓(xùn)練1如圖2所示,質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電小球A用絕緣細(xì)線(xiàn)懸掛于O點(diǎn),帶有電荷量也為q的小球B固定在O點(diǎn)正下方絕緣柱上.其中O點(diǎn)與小球A的間距為l,O點(diǎn)與小球B的間距為eq\r(3)l.當(dāng)小球A平衡時(shí),懸線(xiàn)與豎直方向夾角θ=30°.帶電小球A、B均可視為點(diǎn)電荷.靜電力常量為k,則()圖2A.A、B間庫(kù)侖力大小F=eq\f(kq2,2l2)B.A、B間庫(kù)侖力大小F=eq\f(\r(3)mg,3)C.細(xì)線(xiàn)拉力大小T=eq\f(kq2,3l2)D.細(xì)線(xiàn)拉力大小T=eq\r(3)mg答案B解析由題意知∠ABO=30°,分析A球受力,如圖所示,將T、F合成,由幾何知識(shí)知F、T及合力F合組成的平行四邊形為菱形,則F=T=eq\f(mg,2cos30°)=eq\f(\r(3),3)mg.二、用等分法確定等勢(shì)線(xiàn)和電場(chǎng)線(xiàn)1.在勻強(qiáng)電場(chǎng)中電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系式為U=Ed,其中d為兩點(diǎn)沿電場(chǎng)線(xiàn)方向的距離.由公式U=Ed可以得到下面兩個(gè)結(jié)論:結(jié)論1:勻強(qiáng)電場(chǎng)中的任一線(xiàn)段AB的中點(diǎn)C的電勢(shì)φC=eq\f(φA+φB,2),如圖3甲所示.甲乙圖3結(jié)論2:勻強(qiáng)電場(chǎng)中若兩線(xiàn)段AB∥CD,且AB=CD,則UAB=UCD(或φA-φB=φC-φD),如圖乙所示.2.確定電場(chǎng)方向的方法:先由等分法確定電勢(shì)相等的點(diǎn),畫(huà)出等勢(shì)線(xiàn),然后根據(jù)電場(chǎng)線(xiàn)與等勢(shì)面垂直畫(huà)出電場(chǎng)線(xiàn),且電場(chǎng)線(xiàn)的方向由電勢(shì)高的等勢(shì)面指向電勢(shì)低的等勢(shì)面.例2如圖4所示,A、B、C表示勻強(qiáng)電場(chǎng)中的三點(diǎn),它們的電勢(shì)分別為φA=-5V,φB=9V,φC=2V.試在圖中畫(huà)出過(guò)A、B、C點(diǎn)的三條等勢(shì)線(xiàn),并畫(huà)出一條過(guò)C點(diǎn)的電場(chǎng)線(xiàn).圖4答案見(jiàn)解析解析由題中給定三點(diǎn)的電勢(shì)可知:UBA=14V,UBC=7V.由于是勻強(qiáng)電場(chǎng),故AB連線(xiàn)的中點(diǎn)D與C點(diǎn)是等勢(shì)點(diǎn),而勻強(qiáng)電場(chǎng)中等勢(shì)面為一平面,故DC連線(xiàn)為等勢(shì)線(xiàn),再過(guò)A、B點(diǎn)分別作平行于CD的直線(xiàn)即為所求的過(guò)A、B、C點(diǎn)的三條等勢(shì)線(xiàn),如圖所示,過(guò)C作垂直于CD的直線(xiàn)即為過(guò)C點(diǎn)的電場(chǎng)線(xiàn).針對(duì)訓(xùn)練2如圖5所示,A、B、C、D是勻強(qiáng)電場(chǎng)中的四個(gè)點(diǎn),D是BC的中點(diǎn),A、B、C構(gòu)成一個(gè)直角三角形,AB長(zhǎng)為1m,電場(chǎng)線(xiàn)與三角形所在的平面平行,已知φA=5V、φB=-5V、φC=15V,由此可以判斷()圖5A.場(chǎng)強(qiáng)的方向由C指向BB.場(chǎng)強(qiáng)的方向垂直AD連線(xiàn)斜向上C.場(chǎng)強(qiáng)的大小為10V/mD.場(chǎng)強(qiáng)的大小為eq\f(20\r(3),3)V/m答案D解析由于φB=-5V,φC=15V,則BC中點(diǎn)D的電勢(shì)為φD=5V,即A點(diǎn)和D點(diǎn)電勢(shì)相等,則電場(chǎng)方向垂直AD連線(xiàn)斜向下,A、B選項(xiàng)均不正確;場(chǎng)強(qiáng)大小為E=eq\f(UAB,\x\to(AB)cos30°)=eq\f(10,1×\f(\r(3),2))V/m=eq\f(20\r(3),3)V/m,故D選項(xiàng)正確.三、E-x、φ-x圖像的分析例3(多選)某靜電場(chǎng)沿x方向的電勢(shì)分布如圖6所示,則()圖6A.在O~x1之間不存在沿x方向的電場(chǎng)B.在O~x1之間存在著沿x方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)C.在x1~x2之間存在著沿x方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)D.在x1~x2之間存在著沿x方向的非勻強(qiáng)電場(chǎng)答案AC解析由電場(chǎng)的性質(zhì)可知:E=eq\f(UAB,d)=eq\f(φA-φB,d),所以在φ-x圖像中,斜率k表示在x方向上的場(chǎng)強(qiáng)Ex.所以O(shè)~x1沿x方向場(chǎng)強(qiáng)為0,A對(duì),B錯(cuò);x1~x2之間電勢(shì)均勻減小,斜率不變,即Ex不變,x1~x2之間存在沿x方向的勻強(qiáng)電場(chǎng),C對(duì),D錯(cuò).針對(duì)訓(xùn)練3(多選)靜電場(chǎng)在x軸上的場(chǎng)強(qiáng)E隨x的變化關(guān)系如圖7所示,x軸正向?yàn)閳?chǎng)強(qiáng)正方向,帶正電的點(diǎn)電荷沿x軸運(yùn)動(dòng),則點(diǎn)電荷()圖7A.x2和x4處電勢(shì)能相等B.由x1運(yùn)動(dòng)到x3的過(guò)程中電勢(shì)能增大C.由x1運(yùn)動(dòng)到x4的過(guò)程中電場(chǎng)力先增大后減小D.由x1運(yùn)動(dòng)至x4的過(guò)程中電場(chǎng)力先減小后增大答案BC解析由題圖可知,x1到x4場(chǎng)強(qiáng)先變大,再變小,則點(diǎn)電荷受到的電場(chǎng)力先增大后減小,C正確,D錯(cuò)誤.由x1到x3及由x2到x4過(guò)程中,電場(chǎng)力做負(fù)功,電勢(shì)能增大,知A錯(cuò)誤,B正確.1.φ-x圖像反映電勢(shì)φ隨x的變化規(guī)律,其斜率大小表示場(chǎng)強(qiáng)大小,由電勢(shì)大小的變化可確定場(chǎng)強(qiáng)方向:沿著電場(chǎng)方向,電勢(shì)降低.2.E-x圖像反映場(chǎng)強(qiáng)E隨x的變化規(guī)律,其正負(fù)表示場(chǎng)強(qiáng)的方向.四、電場(chǎng)與力學(xué)知識(shí)的綜合帶電粒子(帶電體)在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是綜合電場(chǎng)力、電勢(shì)能的力學(xué)問(wèn)題,研究方法與力學(xué)的研究方法相同,它同樣遵循運(yùn)動(dòng)的合成與分解、力的獨(dú)立作用原理、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)能定理、功能關(guān)系等力學(xué)規(guī)律.例4如圖8所示,帶電荷量為Q的正電荷固定在傾角為30°的光滑絕緣斜面底部的C點(diǎn),斜面上有A、B兩點(diǎn),且A、B和C在同一直線(xiàn)上,A和C相距為L(zhǎng),B為AC的中點(diǎn).現(xiàn)將一帶電小球從A點(diǎn)由靜止釋放,當(dāng)帶電小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)速度正好又為零,已知帶電小球在A點(diǎn)處的加速度大小為eq\f(g,4),靜電力常量為k,求:圖8(1)小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的加速度大小.(2)B和A兩點(diǎn)間的電勢(shì)差(用Q和L表示).答案(1)eq\f(g,2)(2)eq\f(kQ,L)解析(1)帶電小球在A點(diǎn)時(shí)由牛頓第二定律得:mgsin30°-keq\f(Qq,L2)=maA ①帶電小球在B點(diǎn)時(shí)由牛頓第二定律得:keq\f(Qq,\f(L,2)2)-mgsin30°=maB ②取立①②式解得:aB=eq\f(g,2),方向沿斜面向上. ③(2)由A點(diǎn)到B點(diǎn)對(duì)小球運(yùn)用動(dòng)能定理得mgsin30°·eq\f(L,2)-qUBA=0 ④聯(lián)立①④式解得UBA=eq\f(kQ,L).例5如圖9所示,ABCDF為豎直放在場(chǎng)強(qiáng)為E=104V/m的水平勻強(qiáng)電場(chǎng)中的絕緣光滑軌道.其中軌道的BCDF部分是半徑為R=0.2m的圓形軌道,軌道的水平部分與圓相切于B點(diǎn),A為水平軌道上的一點(diǎn),而且AB之間的距離s=0.6m,把一質(zhì)量m=0.1kg、帶電荷量q=+1×10-4C的小球放在水平軌道的A點(diǎn)由靜止開(kāi)始釋放,小球在軌道的內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng).(g取10m/s2)求:圖9(1)小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大??;(2)小球到達(dá)D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力;(3)若讓小球安全通過(guò)軌道,開(kāi)始釋放點(diǎn)離B點(diǎn)的最小距離.(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)答案(1)2eq\r(3)m/s(2)1N,方向豎直向上(3)0.62m解析(1)小球從A到B,由動(dòng)能定理有qEs=eq\f(1,2)mvB2-0,解得vB=2eq\r(3)m/s.(2)小球從A到D,由動(dòng)能定理有qEs-2mgR=eq\f(1,2)mvD2-0,解得vD=2m/s.小球在D點(diǎn),由牛頓第二定律有mg+N=meq\f(v\o\al(
2,D),R),解得N=1N,方向豎直向下,由牛頓第三定律得小球?qū)壍赖膲毫Υ笮?N,方向豎直向上.(3)小球受到的豎直向下的重力和水平向右的電場(chǎng)力大小相等,這兩個(gè)力的合力為F=
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