初中數(shù)學(xué)平行四邊形練習(xí)題及答案

練習(xí)1

一、選擇題（3'X10=30z）

1.下列性質(zhì)中，平行四邊形具有而非平行四邊形不具有的是（）.

A.內(nèi)角和為360。B.外角和為360°C.不確定性D.對角相等

2.ZZ7ABCD中，/A=55°,則NB、/C的度數(shù)分別是（）.

A.135°,55°B.55°,135°C.125°,55°D.55°,125°

3.下列正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）.

①平行四邊形內(nèi)角和為360°；②平行四邊形對角線相等；

③平行四邊形對角線互相平分；④平行四邊形鄰角互補(bǔ).

A.1B.2C.3D.4

4.平行四邊形中一邊的長為10cm,那么它的兩條對角線的長度可能是（）.

A.4cm和6cmB.20cm和30cmC.6cm和8cmD.8cm和12cm

5.在口ABCD中，AB+BC=llcm,ZB=30°,So^-15cm2,則AB與BC的值可能是（）.

A.5cm和6cmB.4cm和7cmC.3cm和8cmD.2cm和9cm

6.在下列定理中，沒有逆定理的是（）.

A.有斜邊和一直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；

B.直角三角形兩個(gè)銳角互余；

C.全等三角形對應(yīng)角相等；

D.角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.

7.下列說法中正確的是（）.

A.每個(gè)命題都有逆命題B.每個(gè)定理都有逆定理

C.真命題的逆命題是真命題D.假命題的逆命題是假命題

8.一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角之比為1：2：1,其相對應(yīng)三邊之比為（）.

A.1：2：1B.1：VI：1C.1：4：1D.12：1：2

9.一個(gè)三角形的三條中位線把這個(gè)三角形分成面積相等的三角形有（）個(gè).

A.2B.3C.4D.54

10.如圖所示，在aABC中，M是BC的中點(diǎn)，AN平分NBAC,BN

1AN.若AB=14,AC=19,則MN的長為（）./\

A.2B.2.5C.3D.3.5/\

二、填空題（3'X10=30z

11.用14cm長的一根鐵絲圍成一個(gè)平行四邊形，短邊與長邊的C

比為3：4,短邊的比為,長邊的比為.

12.已知平行四邊形的周長為20cm,一條對角線把它分成兩個(gè)三角形，周長都是18cm,則

這條對角線長是cm.

13.在口ABCD中，AB的垂直平分線EF經(jīng)過點(diǎn)1）,在AB上的垂足為E,若口ABCD的周長

為38cm,AABD的周長比OABCD的周長少10cm,則口ABCD的一組鄰邊長分別為.

14.在口ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，且AB=BE,又AE的延長線交DC的延長線于點(diǎn)F.若

ZF=65°,則口ABCD的各內(nèi)角度數(shù)分別為.

15.平行四邊形兩鄰邊的長分別為20cm,16cm,兩條長邊的距離是8cm,則兩條短邊的距

離是_cm.

16.如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的和,那么這兩個(gè)命題是

互為逆命題.

17.命題“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”的逆命題是.

18.在直角三角形中，已知兩邊的長分別是4和3,則第三邊的長是...

19.直角三角形兩直角邊的長分別為8和10,則斜邊上的高為,斜邊被高分成兩

部分的長分別是.

20.4ABC的兩邊分別為5,12,另一邊。為奇數(shù),且2+6+c是3的倍數(shù)，則c應(yīng)為,

此三角形為三角形.

三、解答題(6'X10=607)

21.如右圖所示，在口ABCD中，BF_LAD于F,BE_LCD于E,若NA=60°,AF=3cm,CE=2cm,

求口ABCD的周長.

22.如圖所示，在OABCD中，E、F是對角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=DF.

求證：(1)AE=CF；(2)AE〃CF.

23.如圖所示，C7ABCD的周長是106+6正，AB的長是5百，DE_LAB于E,DF_LCB交

CB的延長線于點(diǎn)F,DE的長是3,求（1）/C的大?。唬?）DF的長.

24.如圖所示，ZZ7ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分別是/DAB、/ABC、/BCD、/CDA的平分

線，AQ與BN交于P,CN與DQ交于M,在不添加其它條件的情況下，試寫出一個(gè)由上述

條件推出的結(jié)論，并給出證明過程（要求：推理過程中要用到“平行四邊形”和“角平

分線”這兩個(gè)條件）.

25.已知△ABC的三邊分別為a,b,c,a=n2-16,b=8n,c=n2+16(n>4).

求證：ZC=90°.

26.如圖所示，在AABC中,AC=8,BC=6,在ZXABE中,DE_LAB于D,DE=12,SAABE=60,求

NC的度數(shù).

27.已知三角形三條中位線的比為3：5：6,三角形的周長是112cm,求三條中位線的長.

28.如圖所示,已知如=CD,AN=ND,BM=CM,求證：N1=N2.

29.如圖所示，AABC的頂點(diǎn)A在直線MN上，ZXABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，BE_LMN于E,CD_LMN

于D,F為BC中點(diǎn)，當(dāng)MN經(jīng)過AABC的內(nèi)部時(shí)，求證：(1)FE=FD；(2)當(dāng)aABC繼續(xù)旋

轉(zhuǎn)，使MN不經(jīng)過aABC內(nèi)部時(shí)，其他條件不變，上述結(jié)論是否成立呢？

N

30.如圖所示，E是口ABCD的邊AB延長線上一點(diǎn),DE交BC于F,求證：SAABF=SAEFC.

答案：

一、1.D2.C3.C4.B5.A6.C7.A8.B9.C10.C

二、11.3cm4cm12.813.9cm和10cm14.50°,1300,50°,130°

15.1016.結(jié)論題設(shè)17.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

18.5或近19.—V41,—A/41,—74?20.13直角

414141

三、21.二7ABCD的周長為20cm22.略

23.(1)ZC=45°(2)24.略

2

25.略26.ZC=90°27.三條中位線的長為：12cm；20cm；24cm

28.提示：連結(jié)BD,取BD的中點(diǎn)G,連結(jié)MG,NG

29.(1)略(2)結(jié)論仍成立.提示：過F作FG1.MN于G30.略

練習(xí)2

一、填空題（每空2分，共28分）

1.已知在ZZ7ABCD中,AB=14c"?,BC=16cm，則此平行四邊形的周長為cm.

2.要說明一個(gè)四邊形是菱形，可以先說明這個(gè)四邊形是形,再說明

（只需填寫一種方法）

A.

3.如圖，正方形A8C。的對線AC、BD相交于點(diǎn)。.）

那么圖中共有個(gè)等腰直角三角形.\0/

4.把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入

下列相應(yīng)的空格上./7

（1）正方形可以由兩個(gè)能夠完全重合的拼合而成0榛3題）―C

（2）菱形可以由兩個(gè)能夠完全重合的拼合而成；

（3）矩形可以由兩個(gè)能夠完全重合的拼合而成.

5.矩形的兩條對角線的夾角為60°,較短的邊長為12si,則對角線長為cm.

6.若直角梯形被一條對角線分成兩個(gè)等腰直角三角形,那么這個(gè)梯形中除兩個(gè)直角外,其

余兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為°和°.

7.平行四邊形的周長為24的,相鄰兩邊長的比為3:1,那么這個(gè)平行四邊形較短的邊長為

8.根據(jù)圖中所給的尺寸和比例，可知這個(gè)“十”字標(biāo)志的周長為

9.已知平行四邊形的兩條對角線互相垂直且長分別為12c加和6皿,那么這個(gè)平行四邊形

的面積為cm2.

10.如圖，/是四邊形ABCD的對稱軸，如果A。〃BC,有下列結(jié)論：⑴A8//

CD;（2）AB=CD;（3）AB1BC;⑷AO=OC淇中正確的結(jié)論是L

（把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上）

二、選擇題（每題3分，共24分）

11.如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于一個(gè)三角形的外角和，那么這個(gè)多邊形是（）

A、三角形B、四邊形C、五邊形D、六邊形

12.下列說法中，錯(cuò)誤的是（）

A.平行四邊形的對角線互相平分B.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

C.平行四邊形的對角相等D.對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形

13.給出四個(gè)特征⑴兩條對角線相等乂2）任一組對角互補(bǔ);⑶任一組鄰角互補(bǔ);（4）是軸對稱圖形

但不是中心對稱圖形，其中屬于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

14.四邊形ABCD中，AD//BC,那么乙4：的值可能是（）

A、3：5：6：4B、3：4：5：6C、4：5：6：3D^6：5：3：4

15.如圖，直線a//bfA是直線a上的一個(gè)定點(diǎn)，線段BC在直線b上移動(dòng)，那么在移動(dòng)過程中

A45c的面積（）

A.變大B.變小C.不變D.無法確定

于（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

17.如圖，在&4BC中,A8=AC=5,。是BC上的點(diǎn),DE〃AB交AC于點(diǎn)E,DF//AC交AB于點(diǎn)F,

那么四邊形AFDE的周長是)

A.5B.10C.15D.20

18.已知四邊形ABCD中交8D于點(diǎn)。，如果只給條件“AB〃CD”，那么還不能判定四形

ABCD為平行四邊形，給出以下四種說法：

⑴如果再加上條件"8C=AD"，那么四邊形A8CD-?定是平行四邊形；

⑵如果再加上條件“N8N。=乙BCD"，那么四邊形ABCD一定是平行四邊形；

⑶如果再加上條件"AO=OC"，那么四邊形A8CD一定是平行四邊形；

⑷如果再加上條件“NDBA=NC4B"，那么四邊形ABCD一定是平行四邊形

其中正確的說法是()

A.⑴⑵B.(l)⑶⑷C.(2)⑶D.⑵⑶⑷

三、解答題(第19題8分，第20~23題每題10分，共48分)

19.如圖，^ABCD^,DB=CD,ZC=70°,AE±BD于E.

試求ZZME的度數(shù).

20.如圖，j'BC。中，G是切上一點(diǎn),8。交/)〃延長線于瓦4W7G,ZZ)GE=100°.

(1)試說明DF=BG;(2)試求4ED的度數(shù).

21.工人師傅做鋁合金窗框分下面三個(gè)步驟進(jìn)行：

(1)先截出兩對符合規(guī)格的鋁合金窗料(如圖①)，使AB=CD,EF=GH;

(2)擺放成如圖②的四邊形,則這時(shí)窗框的形狀是形,根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是;

⑶將直角尺靠緊窗框的一個(gè)角(如圖③)，調(diào)整窗框的邊框，當(dāng)直角尺的兩條直角邊與窗框

無縫隙時(shí)(如圖④),說明窗框合格，這時(shí)窗框是形,根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是:—

（圖①）（圖④）

22.李大伯家有一口如圖所示的四邊形的池塘，在它的四個(gè)角上均有一棵大柳樹，李大伯開挖

池塘,使池塘面積擴(kuò)大一倍，又想保持柳樹不動(dòng)，如果要求新池塘成平行四邊形的形狀.請問

李大伯愿望能否實(shí)現(xiàn)?若能，請畫出你的設(shè)計(jì);若不能，請說明理由.

（第22題）c

答案

1.60.2.平行四邊形;有一組鄰邊相等.

3.8.提示:它們是\AOB,\BOC,ACO￡>,MOD,\ABD,\ABC,\BCD,\ACD.

4.⑴等腰直角三角形;⑵等腰三角形；(3)直角三角形.5.24.6.135;45.7.3.

8.4.提示:如圖所示，將“卜”字標(biāo)志的某些邊I'"""|—[一]

進(jìn)行平移后可得到一個(gè)邊長為1機(jī)的正方——I

形，所以它的周長為4m.~rI~I匚=

9.36.提示:菱形的面積等于菱形兩條對角線乘積的一半.

10.(1)(2)(4).提示:四邊形ABCD是菱形.

ll.B.12.D.13.C.14.C.

15.C.提示:因?yàn)榈牡走匓C的長不變,BC邊上的高等丁宜線a,b之間的距離也不變，所

以A48C的面積不變.

16.A.提不:由于NFZE是由ND4E通過折疊后得到的，所以NE4E=ND4E=；(90°-NA4尸)

17.B.提示：先說明DF=BF,DE=CE,所以四邊形AFDE的周長

=AF+DF+DE+AE=AF+BF+CE+AE=AB+AC.

18.C.

19.因?yàn)锽D=CD,所以Z.DBC=NC,乂因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以4?！疲?/p>

NZ)=ZZ)8C,因?yàn)?0,所以在直角A/ED中,NO/E=90°-ZD=90°-70°=20°.

20.⑴因?yàn)樗倪呅蜛8CD是平行四邊形，所以A8=DC,又AF=CG,所以AB-AF=DC-CG,即GD=BF,

又所以四邊形DFBG是平行四邊形,所以DF=B&,

⑵因?yàn)樗倪呅蜠FBG是平行四邊形，所以DF//GB,所以NGBF=AAFD，同身！可得

Z.GBF=NDGE,所以Z.AFD=NDGE=100°.

21.⑴平行四邊，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

⑵矩，有一個(gè)是直角的平行四邊形是矩形.

22.如圖所示，連結(jié)對角線做過小B、C、〃分別作能、AC.BD、/C的平行線,旦這些

平行線兩兩相交于從F、G、〃四邊形/即為符合條件的平行四邊形.

練習(xí)3

1、把正方形Z8CD繞著點(diǎn)力,按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形4EFG,邊FG與BC交于

點(diǎn)”(如圖).試問線段HG與線段”8相等嗎？請先觀察猜想，然后再證明你的猜想.

2、四邊形4比次以尸。都是正方形，連接CG.(1)求證：A后CG；(2)觀察圖形，猜

想與CG之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想.

3、將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊，使點(diǎn)C與A重合，點(diǎn)D落到D,處，折痕為

EF.

（1）求證：△ABEZ^AD'F；（2）連接CF,判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？證明你

挑戰(zhàn)自我:

1、（2010年眉山市）.如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1,爾B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則N

4%的度數(shù)為（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

C

2、（2010福建龍巖中考）下列圖形中，單獨(dú)選用一種圖形不能進(jìn)行平面鑲嵌的圖形是（）

A.正三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形

3.（2010年北京順義）若一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是120°,則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）

A.9B.8C.6D.4

4、（2010年福建福州中考）如圖4,在OABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)0,若AC=14,

BD=8,AB=10,則△OAB的周長為。

5、（2010年寧德市）如圖，在0ABeD中，AE=EB,AF=2,則FC等于.

6題

6、（2010年濱州）如圖，平行四邊形ABCD中，6ABe=60°,E、F分別在平、BC的延長線上,AE

〃BD,EF_LBC,DF=2,則EF的長為

7、（2010年福建晉江）如圖，請?jiān)谙铝兴膫€(gè)關(guān)系中，選出尊個(gè)恰當(dāng)?shù)年P(guān)系作為條件,

推出四邊形Z8C。是平行四邊形，并予以證明.（寫出一種即可）關(guān)系：

①AD〃BC,②AB=CD,③44=NC,@Z5+ZC=180°.

己知：在四邊形48C。中，,；求證：四邊形Z8CD是平行

四邊形.

8、（2010年寧波市）如圖1,有一張菱形紙片ABCD,AC=S,BD=6.

（1）請沿著AC剪一刀，把它分成兩部分，把剪開的兩部分拼成一個(gè)平行四

邊形，在圖2中用實(shí)數(shù)畫出你所拼成的平行四邊形;若沿著BD剪開，

請?jiān)趫D3中用實(shí)線畫出拼成的平行四邊形;并直接寫出這兩個(gè)平行四邊

形的周長。

（2）沿著一條直線剪開，拼成與上述兩種都不全等的平行四邊形，請?jiān)趫D4

中用實(shí)線畫出拼成的平行四邊形?（注：上述所畫的平行四邊形都不能與原菱形全輜°

D,----------CD----------CD----------C

I?I?I?

IIIIII

I?I?I?

IIIII?

IIIIII

III?I?

I?I?I?

/?I?I?

I?I?I?

A"BAJBA

（圖2）（圖3）（圖4）

周長為周長為—

9、（2007天津市）在梯形ABCD中，AD//BC,對角線AC_LBD,且NC=5CTW,BD=12cm,

求梯形中位線的長。

10、（2007?山東）如圖，在周長為20cm的靦中，AB^AD,AC.刃相交于點(diǎn)。，OELBD

交AD于E,則△力斷的周長為（）（A）4cm（B）6cm（C）8cm

（D）10cm

10題

11、（2006?山東）如圖，在平行四邊形/靦中，AE上BC于E,ARLCD于F,Z￡4/^45°,

且AE+A廣272,則平行四邊形ABCD的周長是.

直擊中考：

1.（2011安徽）如圖，。是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BDA-CD,AD=6,8。=4,8=3,E、F、G、H分

別是48、AC,CD,8D的中點(diǎn)，則四邊形EFGM的周長是（）【答案】D

2.（2011山東威海）在58CD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連接BE,交AC于點(diǎn)F,貝ljAF：CF

-（）

A.1：2B.1：3C.2：3D.2：5【答案】A

3.（2011四川重慶）下面圖形都是由同樣大小的平行四邊形按一定的規(guī)律組成，其中，第

①個(gè)圖形一共有1個(gè)平行四邊形，第②個(gè)圖形一共有5個(gè)平行四邊形，第③個(gè)圖形一共有

"個(gè)平行四邊形，??????，則第⑥個(gè)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)為（）【答案】C

口

圖①圖②圖③圖④

A.55B.42C.41D.29

4.（2011寧波市）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）【答案】C

A.4B.5C.6D.7

5.（2011廣東汕頭）正八邊形的每個(gè)內(nèi)角為（）【答案】B

A.120°B.135°C.140°D.144°

6、（2011山東德州）圖1是一個(gè)邊長為1的等邊三角形和一個(gè)菱形的組合圖形，菱形邊長

為等邊三角形邊長的一半，以此為基本單位，可以拼成一個(gè)形狀相同但尺寸更大的圖形（如

圖2）,依此規(guī)律繼續(xù)拼下去（如圖3）,……，則第n個(gè)圖形的周長是（）【答案】C

圖1

(A)2"(B)4"(C)2n+,(D)2"+2

7.（2011山東泰安）如圖，邊長為6的大正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩個(gè)小正方形的面

積分別為5i，S2,貝US1+S2的值為（）【答案】B

8.（2011山東泰安）如圖，點(diǎn)。是矩形A8CD的中心，E是AB上的點(diǎn)，沿CE折疊后，點(diǎn)

B恰好與點(diǎn)。重合，若BC=3,則折痕CE的長為（）【答案】A

A.2#B.典C.3D.6

2

9.（2011四川重慶）如圖，正方形ABCD中，A8=6,點(diǎn)E在邊CD上，且CD=3DE.將

△ADE沿AE對折至延長EF交邊BC于點(diǎn)G,連結(jié)AG、CF.下列結(jié)論：（r）/\ABG^/\AFGi

②BG=GC；③AG〃CF；④S4GC=3.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）【答案】C

A.1B.2C.3D.4

BGC

10.（2011浙江省嘉興）如圖，①②③④⑤五個(gè)平行四邊形拼成一個(gè)含30。內(nèi)角的菱形

EFGM（不重疊無縫隙）.若①②③④四個(gè)平行四邊形面積的和為14cm2,四邊形A8CD

面積是"cm?,則①②③④四個(gè)平行四邊形周長的總和為（）【答案】A

（A）48cm（B）36cm（C）24cm（D）18cm

（第10題）

11.（2011重慶江津）如圖，四邊形ABCD中，AC=a,BD=b,且AC_LBD,順次連接四邊形ABCD

各邊中點(diǎn),得到四邊形ABCD,再順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn),得到四邊形ABCD……，

如此進(jìn)行下去，得到四邊形A“BC,D”.下列結(jié)論正確的有（）【答案】C

①四邊形A2B2C2D2是矩形；②四邊形ABCR是菱形；

③四邊形A5B5C5D5的周長空2；④四邊形A?B?C?D?的面積是當(dāng)

42,,+|

A.①②B.②③C.②③④D.①②③④

12.（2011湖北武漢市）如圖，在菱形ABCD中，AB=BD,點(diǎn)E,F分一別在A8,AD上，且

AE=DF.連接BF與。E相交于點(diǎn)G,連接CG與8。相交于點(diǎn)H.下列結(jié)論：（）【答案】

D

①②SBwgBCDGumCG2;③若AF=2DF,則BG=6GF.其中正確的結(jié)論

4

A.只有①②.B.只有①③.C.只有②③.D.①②③.

第12題圖

13.（2011山東煙臺(tái)）如圖，三個(gè)邊長均為2的正方形重疊在一起，。八。2是其中兩個(gè)正

方形的中心，則陰影部分的面積是.【答案】2

14.（2011浙江紹興）取一張矩形紙片按照圖1、圖2中的方法對折，并沿圖3中過矩形頂點(diǎn)

的斜線（虛線）剪開，那剪下的①這部分展開，平鋪在桌面上，若平鋪的這個(gè)圖形是正六邊

形，則這張矩形紙片的寬和長之比為.【答案】73:2

第15題圖3

15.（2011甘肅蘭州）如圖，依次連結(jié)第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)菱形，再依次連結(jié)

菱形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，按照此方法繼續(xù)下去。已知第一個(gè)矩形的面積為1,則第

。個(gè)矩形的面積為?！敬鸢浮俊?/p>

16、（2009年宜賓）如圖，菱形ABCD的對角線長分別為。、h,以菱形ABCD各邊的中點(diǎn)為

頂點(diǎn)作矩形ABCD，然后再以矩形ABC。的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作菱形A/BCDz，……，如此下去，

得到四邊形A2期B2°gC頌口的的面積用含。、6的代數(shù)式表示為.【答案】

2

17、（2009黑龍江大興安嶺）如圖，邊長為1的菱形中，ZDAB=6Q°.連結(jié)對角

線zc,以zc為邊作第二個(gè)菱形4CG2,使/。/。=60°；連結(jié)力c，再以4G為

邊作第三個(gè)菱形使^D2AC1=60°；……,按此規(guī)律所作的第〃個(gè)菱形的邊

長為.［答案］

18.（2011山東日照，16,4分）正方形48C。的邊長為4,M、N分別是8C、C。上的兩個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，且始終保持八當(dāng)二時(shí)，四邊形A8CN的面積最大.【答案】2;

AD

\N

1

BM

19、（2011四川宜賓）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)。，E、F在AC上,

G、H在BD上，AF=CE,BH=DG.

求證：GF〃HE.

【答案】證明：：平行四邊形ABCD中，OA=OC,

由已知：AF=CEAF-OA=CE-OC；.OF=OE同理得：OG=OH

四邊形EGFH是平行四邊形；.GF〃HE

20、（2011四川成都10分）如圖，已知線段A8〃CD,AD與BC相交于點(diǎn)K,E是線段AD

上一動(dòng)點(diǎn).

⑴若BK5=",求C士D的值；

2AB

（2）連接BE,若BE平分NABC,則當(dāng)時(shí)，猜想線段48、BC、8三者之間有怎樣

2

的等量關(guān)系?請寫出你的結(jié)論并予以證明.再探究：當(dāng)AE=LA。（〃>2）,而其余條件不變

時(shí)，線段AB、BC.CD三者之間又有怎樣的等量關(guān)系?請直接寫出你的結(jié)論，不必證明.

5CDCK?

【答案】解：（D'：AB//CD,BK=-KC,

2ABBK5

（2）如圖所示，分別過C、。作8E〃CF〃DG分別交于A8的延長線于F、G三點(diǎn)，

VBE//DG,點(diǎn)E是AD的點(diǎn)，.，.AB=BG；；CD〃FG,CD//AG,二四邊形CDGF是平行四邊

形，：.CD=FG；

?；NABE=NEBC,BE//CF,：.ZEBC=ZBCF,ZABE=ZBFC,：.BC=Bf,

：.AB-CD=BG-FG=BF=BC,：.AB=BC+CD.

當(dāng)AE=」AD（〃>2）時(shí)，（〃-1）AB=BC+C￡>.

n

21、（2011貴州安順10分）如圖，在△ABC中，Z4CB=90t!,8c的垂直平分線DE交BC于。，

交AB于E,尸在DE上，&AF=CE=AE.

⑴說明四邊形4CEF是平行四邊形：

⑵當(dāng)N8滿足什么條件時(shí)，四邊形ACEF是菱形，并說明理由.

第25題圖

【答案】（1）證明：由題意知NFDC=NDCA=90°.J.EF//CA：.ZAEF=ZEAC

,：AF=CE=AE:.NF=NAEF=NEAC=NECA又；AE=E4

:.EF=CA,...四邊形ACEF是平行四邊形.

（2）當(dāng)NB=30°時(shí)，四邊形ACEF是菱形.

理由是：?.,NB=30°,ZACB=90°,：.AC=-AB,垂直平分BC,:.BE=CE

2

又,：AE=CE,：.CE=-AB,：.AC=CE,二四邊形ACEF是菱形.

2

22、（2011山東濱州10分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)。是AC邊上（端點(diǎn)除外）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

過點(diǎn)。作直線MN//BC.設(shè)MN交.NBCA的平分線于點(diǎn)E,交NBCA的外角平分線于點(diǎn)F,連

接AE、AJ那么當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到何下時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論。

M,

（第題圖）

24fZ_______

【答案】當(dāng)點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)（或OA=OC）時(shí)，

四邊形AECF是矩形............2分

證明：YCE平分NBCA,二/1=/2,............3分

又；MN〃BC,/.Z1=Z3,

，N3=N2,.".EO=CO,............5分

同理，F(xiàn)O=CO............6分

.?.EO=FO

又OA=OC,；.四邊形AECF是平行四邊形...........7分

又?.?N1=N2,N4=N5,AZ1+Z5=Z2+Z4.............8分

XVZl+Z5+Z2+Z4=180°Z2+Z4=90°............9分

四邊形AECF是矩形............10分

23、（2011湖北襄陽10分）如圖9,點(diǎn)P是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A,8重合）,

連接PD并將線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到線段PE,PE交邊BC于點(diǎn)F,連接8E,

DF.

（1）求證：NADP=NEPB；

（2）求NCBE的度數(shù)；

（3）當(dāng)任的值等「多少時(shí)，/XPFDs叢BFP2并說明理由.

AB

【答案】(1)證明：1?四邊形ABCD是正方形

，NA=NP8C=90°,AB=AD,ZADP+ZAPD=900........1分

■:NDPE=90°：.ZAPD+ZEPB=90°

：.NADP=NEPB.................................................2分

(2)過點(diǎn)E作EG_LAB交AB的延長線于點(diǎn)G,則NEGP=NA=90°.....3分

又?：NADP=NEPB,PD=PE,:.WAD沿AEGP

:.EG=AP,AD^AB=PG,：.AP=EG=BG.............................................................4分

.?.ZCBE=ZFBG=45"............................................................................................5分

(3)方法一：

當(dāng)廿=1?時(shí)，APFEs4BFP.......................................................................................6分

AB2

,:NADP=NFPB,NA=NPBF,：.^ADP<^ABPF..............................................7分

設(shè)AD=A8=a,則AP=PB=L,：.BF=BP?-=-a................................8分

2AD4

/.PD=-JAD2+AP2=—a,PF=-JPB2+BF2=—a

24

.PBBF

??------------..............7力

PDPF5

又；NDPF=NP8F=90°,:.AADPsABFP.................................................10分

方法二：

假設(shè)△ADPs△BFP,則歿=處..................................................................6分

PDPF

,:NADP=NFPB,NA=NPBF,:.△ADPsgPF.....................................7分

.PBAP

??------------=--------------，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

BFBF

Ap\

：.PB=AP,二當(dāng)更時(shí)，APFEsABFP.10分

AB2

24.（2011湖南永州10分）探究問題：

⑴方法感悟：如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別為DC,BC邊上的點(diǎn)，且滿足NEAF=45。,

連接EF,求證DE+BF=EF.

感悟解題方法，并完成下列填空：

將ZkADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,得到AARG,此時(shí)AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得:

AB=AD,BG=DE,Z1=Z2,ZABG=ZD=90°,

ZABG+ZABF=90°+90°=180<,,

因此，點(diǎn)G,B,F在同一條直線上.

?/ZEAF=45°Z2+Z3=ZBAD-ZEAF=90°-45°=45°.

VZ1=Z2,Nl+N3=45°.

即NGAF=N.

又AG=AE,AF=AF

.?.△GAF絲.

=EF,故DE+BF=EF.

（第25題）①

⑵方法遷移：

如圖②，將沿斜邊翻折得到△ADC,點(diǎn)E,F分別為DC,BC邊上的點(diǎn)，且

/EAF=1NDAB.試猜想DE,BF,EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

2

⑶問題拓展:

如圖③，在四邊形ABCDW，AB=AD,E,F分別為DC,BC上的點(diǎn)，mZEAF=-ZDAB,

試猜想當(dāng)NB與/D滿足什么關(guān)系時(shí)，可使得DE+BF=EF.請直接寫出你的猜想（不必說明理

由）.

(第25題)③

【答案】⑴EAF、AEAF,GF.

(2)DE+BF=EF,理由如下：

假設(shè)NBAD的度數(shù)為m，將4ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)小。得到^ARG,此時(shí)AB與AD重合,

由旋轉(zhuǎn)可得：

AB=AD,BG=DE,N1=.N2,ZABG=ZD=90",

ZABG+ZABF=90°+90°=18JOQ,

因此，點(diǎn)G,B,F在同一條直線上.

VZEAF=-m°：.Z2+Z3=ZBAD-ZEAF=--m°=-/n°

222

；/l=N2,/.1+3=—.

2

即NGAF=NEAF又AG=AE,AF=AF

/.△GAF^AEAF..\GF=EF,

又；GF=BG+BF=DE+BF；.DE+BF=EF.

⑶當(dāng)NB與ND互補(bǔ)時(shí)，可使得DE+BF=EF.

25、（2007南充）如圖，等腰梯形4?（力中，J5=15,AD=20,N<7=30°.點(diǎn)M、"同時(shí)以相

同速度分別從點(diǎn)從點(diǎn)。開始在/從4〃（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng).

（1）設(shè)洶的長為x,用x表示出點(diǎn)N到期的距離，并寫出x的取值范圍.

（2）當(dāng)五邊形比“制面積最小時(shí)，請判斷△兒郴的形狀.

解：（1）過點(diǎn)”作陰的垂線圾交朋的延長線于點(diǎn)P.............（1分）

由已知，AM^x,4V=20—x.

■:四邊形相切是等腰梯形，AB//CD,Z27=ZO=30°,

:.NPAN=NA30°.

在RtZX/W中，PN=ANsinNPAN==（20——，