2021年新教材人教A版（2019）高一數(shù)學暑假作業(yè)（三）【含答案】

2021年新教材人教A版（2019）高一數(shù)學暑假作業(yè)

一、單選題

1.為了了解全校240名高一學生的身高情況，從中抽取40名學生進行測量，下列說

法正確的是（）

A.總體是240B.個體是每一個學生

C.樣本是40名學生D.樣本容量是40

2.已知復數(shù)z=（2+i）（a—3。是純虛數(shù)，則實數(shù)a=（）

A.-|B.|C.-3D.3

3.若△ABC外接圓圓心為O,半徑為4,且瓦？+2希+2前=6,則石。浜的值為（）

A.14B.2V7C.V7D.2

4.已知在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且b=4,點。為其外接

圓的圓心.已知詼.瓦5=6，則角4的最大值為（）

A.ZB.gCjD以

5.在斜三棱柱ABC-Ci中，乙4cB=90。，ABX1BC,則名在底面ABC上的射影

“必在（）

A.直線AC上B.直線8C上C.直線AB上D.AABC內(nèi)部

6.已知長方體ABC7）-48iGDi的體積為6C,*3,AB=\cm,BC=2cm,若該長方體的八

個頂點都在球O的球面上，則球O的體積是（）

A.口便Tre/B.^-rtcm3C.—item3D.^rtcm3

3333

7.已知直角梯形0A8C上下兩底分別為分別為2和4,高為2近，

則利用斜二測畫法所得其直觀圖的面積為（）。匕7弋

A.6V2B.3V2-------￥------

C.3D.6

8.如圖正方體力BCC-4BiGDi中，M是正方形ABC。的中

心，則直線與直線BiM所成角大小為（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓，江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國十

大歷史文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”.其地處岳陽古城西門城墻之上，緊

靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于東漢建安二十年（215年），歷代屢加重修，

現(xiàn)存建筑沿襲清光緒六年（1880年）重建時的形制與格局.因北宋滕宗諒重修岳陽樓,

邀好友范仲淹作福陽樓記少使得岳陽樓著稱于世.自古有“洞庭天下水，岳陽天

下樓”之美譽.小李為測量岳陽樓的高度選取了與底部水平的直線AC,如圖，測得

^DAC=30°,^DBC=45°,4B=14米，則岳陽樓的高度C￡>約為（）（夜”

1.414,73?1.732)

二、多選題

10.如圖所示，在棱長為2的正方體4BCD-41當口。1中，E,

F,G分別為所在棱的中點，P為平面BCCiBi內(nèi)（包括邊界

）一動點，且DiP〃平面EFG,則（）

A.BD//EGB.BQ〃平面EFG

C.三棱錐Di-EFG的體積為5

D.P點的軌跡長度為2

11.在△ABC中，角所對的邊分別為a,b,c,給出下列四個命題中，其中正確的命題

為（）

A.若A：B：C=1：2：3,則a：b：c=1：2：3

B.若cosACcosB,則sirM>sinB

C.若A=30。，a=3,b=4,則這個三角形有兩解

D.當AABC是鈍角三角形.則tanA?tanC<1

三、填空題

12.，是虛數(shù)單位，則|言|的值為.

在直三棱柱中，。為棱的

13.48C-41B1GAC1BC,AC=3,BBX=2BC=8,

中點，則三棱錐D-ACCi的外接球的表面積為.

14.四面體ABCQ的頂點A、B、C、。在同個球面上,4。，平面ABC,4。=獨,48=2,

3

AC=3,/.CAB=60°,則該四面體的外接球的表面積為.

15.已知向量五=(1,2),b=(0,-1)>c=(x,-2),若丘〃3則》=；若(日一

2b)lc>貝卜=?

16.擲一枚骰子的試驗中，出現(xiàn)各點的概率均為g事件A表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點”，

事件B表示“出現(xiàn)小于5的點數(shù)”，則一次試驗中，事件Au5(后表示事件B的對

立事件)發(fā)生的概率為.

17.如圖，在A4BC中，前=：枇,若麗=4而，則；I的值為尸是8N上的一

點，若存=1荏+m而，則，”的值為_(2)_.

四、解答題

18.已知平面向量五，b,|五|=2,㈤=1,且H與石的夾角為宗

(1)求

(2)求他+2石|;

(3)若五+2石與2五+4石(46R)垂直，求4的值.

19.在△ABC中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,且bsinA=V^acosB.

(1)求角8的大小；

(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.

20.為了了解高二年級學生的體能情況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試,

將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖（如圖所示），圖中從左到右各小長方形面

積之比為2：4：17：15：9：3,第二小組頻數(shù)為12.

（1）第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？

（2）若次數(shù)在110以上（含110次）為達標,試估計該學校全體高二學生的達標率是多

少？

21.已知正方體力BCD-4B1GD1的棱長為1,除面4BCO外，該正方體其余各面的中

心分別為點E,F,G,H,M（如圖），則四棱錐M-EFGH的體積為.

22.某校參加夏令營的同學有3名男同學A,B,C和3名女同學X,匕Z,其所屬年

級情況如表:

高一年級高二年級高三三年級

男同學ABC

女同學XYZ

現(xiàn)從這6名同學中隨機選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性相同)

(I)用表中字母寫這個試驗的樣本空間；

(II)設M為事件”選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學”，寫

出事件M的樣本點，并求事件M發(fā)生的概率.

23.如圖，在四棱錐P—ABC。中，P4_L平面ABC。，底

面4BCC是菱形，24=48=2,ABAD=60°.

(1)求證：48〃平面PCD；

(2)求證：直線BD_L平面PAC；

(3)求直線PB與平面PAO所成角的正切值.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：本題考查的對象是240名高一學生的身高情況，故總體是240名高一學生

的身高情況；個體是每個學生的身高情況；樣本是40名學生的身高情況，故樣本容量

是40.

故選D.

本題考查的是確定總體.解此類題需要注意“考查對象實際應是表示事物某一特征的數(shù)

據(jù)，而非考查的事物”.我們在區(qū)分總體、個體、樣本、樣本容量這四個概念時，首先

找出考查的對象是某校高一學生的身高，從而找出總體、個體，再根據(jù)被收集數(shù)據(jù)的這

一部分對象找出樣本，最后再根據(jù)樣本確定出樣本容量.

解題要分清具體問題中的總體、個體與樣本，關鍵是明確考查的對象.總體、個體與樣

本的考查對象是相同的，所不同的是范圍的大小.樣本容量是樣本中包含的個體的數(shù)目，

不能帶單位.

2.【答案】A

【解析】解：復數(shù)z=(2+i)(a-3i)=(2a+3)+(a-6)i是純虛數(shù)，

解得實數(shù)a=-|.

故選：A.

根據(jù)復數(shù)的乘法運算和純虛數(shù)的定義，列方程求出實數(shù)〃的值.

本題考查了復數(shù)的代數(shù)形式運算問題，是基礎題.

3.【答案】A

【解析】解：取BC的中點E,

O

由市+2通+2前=6得次+4近=6，得而=4荏，

所以點A,E,。三點共線，且E為線段A。的靠近A的四等分點，

vA0=4,:.AE—1,0E—3,

在直角三角形OEC中可得CE=V7,

.-.CA-CB=\CA\\CB\cos^ACE=\CA\\'CB\^-=\CB\■\CE\=2\'CE\2=2X7=

14.

故選：A.

取8c的中點￡再根據(jù)已知推出點A,E,。三點共線，且E為線段A。的靠近A的四

等分點，AE=1,0E=3,最后利用向量數(shù)量積可得.

本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算，屬中檔題.

4.【答案】A

【解析】解：如圖:

A

取AB的中點。，貝IJ00184,.?.前.瓦？=(而+說).瓦？=加?瓦?，

="不+函?@-函=“16-a2)=6,a=2,

p.b2+c2-a2C2+12c,12、3lc12百

乂???COSA=----------=------=-d——>2/------=—,

2bc8c88c788c2

當且僅當*含h=26時取等號，二的心?，

又???Ae(0,n),???Ae(0,^].

故選：A.

取AB的中點D,則。。1BA^CO-JA=(CD+^0)-JA=CDBA=6.

求出。值，再利用余弦定理和基本不等式，求出cosA的范圍即可.

本題考查平面向量數(shù)量積性質(zhì)及運算、余弦定理、基本不等式，考查數(shù)學運算能力及直

觀想象能力，屬于中檔題.

5.【答案】A

【解析】解：?.?在斜三棱柱4BC-4/G中，

AACB=90°,ABr1BC,

BCLAC,又ACn4當=4,

???BC1平面ACBi，BCu平面ABC,

二平面ZCBiJ_平面ABC,

?.Bi在底面ABC上的射影H必在兩平面的交線

AC上.

故選：A.

由題意知要判斷當在底面ABC上的射影H,需要看過這個點向底面做射影，觀察射影

的位置，根據(jù)BC與一個平面上的兩條直線垂直，得到BC與兩條直線組成的面垂直，

根據(jù)面面垂直的判斷和性質(zhì)，得到結(jié)果.

本題考查棱柱的結(jié)構特征，考查直線與平面垂直的判定，考查平面與平面垂直的判定,

考查平面與平面垂直的性質(zhì)，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查球的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).

根據(jù)長方體48CD-4囪GOi的體積為6c〃?3,AB=\cm,BC=2cm,可得BBi,再計算出

球O的半徑R,即可求解體積.

【解答】

解：由題意長方體ABC￡MiBiCQ的體積為6。加，AB=\cm,BC=2cm,

可得：BBi=3,

球的半徑回2+BC?+8津2哼,

3

則球O的體積V=JTT/?=27r.

33

故選:A.

7.【答案】C

【解析】解：根據(jù)斜二測畫法可知,

y軸上的0C,在新系中在y'軸上,

且。。=：。。=近，

作C'Dlx軸于，則C'D=1,

又C'B'=CB,C'B'//CB,

Soc’B'A=2X（2+4）X1=3.

故選：c.

利用斜二測畫法找到新系中各點的位置，則新梯形的底和高容易求得，進而求出面積.

本題考查了斜二測畫法，屬容易題.

8.【答案】A

【解析】解：如圖，將&D平移到&C,連接MC,

則4MB1。是直線與直線BiM所成角

設棱長為2,則8停=2VLMC=V2,BrM=V6

cos4MBic=y,

乙MB[C=30°,

故選:A.

先將為D平移到B】C,連接MC,得到的銳角NMBiC

就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可.

本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力，屬

于基礎題.

9.【答案】B

【解析】解：設CC=x,

如圖,測得4fMe=30。，ADBC=45°,4B=14米，

則：DC=BC,

在△ACD中，

利用三角函數(shù)的關系式：

Y

tanZ.DAC=-----,

x+14

整理得出=-

3x+14

解得：xX19(米)，

故選：B.

直接利用解直角三角形知識的應用和三角函數(shù)的值的應用求出結(jié)果.

本題考查的知識要點：三角函數(shù)的值，解直角三角形知識的應用，主要考查學生的運算

能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題.

10.【答案】BCD

【解析】解：對于A,取BBi的中點連接GM,BD,由正

方體的性質(zhì)可知，BD//GM,

而GM與EG相交，故BC與EG不平行，故A錯誤；

對于B,連接QC,由面面平行的判定可得平面FGE〃平面QBC,

由平面與平面平行的性質(zhì)可得BDi〃平面EFG,故B正確；

1

對于C,由等體積法可得：VD1-EFG=^E-FGD1=,4E

=1X(iX2X1)X1=i,故C正確;

對于。，由分析時可知平面FGE〃平面ABC,即點P的軌跡為線段BC,長度為2,故

。正確.

故選：BCD.

取BBi的中點連接GM,BD,可得BD//GM,由GM與EG相交判定A錯誤；連接

D.C,由面面平行的判定及性質(zhì)判斷B；利用等體積法求體積判定C；求出P點的軌跡

判斷D.

本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關系的判定及應用，考查空間想象能力與

思維能力，訓練了利用等體積法求多面體的體積，是中檔題.

11.【答案】BCD

【解析】解：對于A,若4B,C=l：2：3,

則4=30°,B=60°,C=90°,

故b：c=sm30°：sm60°：sin90o=1：V3：2.故錯誤；

對于8,在中，cosA<cosB<=>A>B<=>sinA>sinB,故正確；

34__o

對于C,由A=30。，a=3,b=4,可得丁=或而，可得sinB=1>sin30。，故滿足條

件的角B有2個，一個為銳角，另一個為鈍角，三角形有兩個解，故正確；

對于。，當A為鈍角時，tanA<0,tanC>0,tanAtanC<1,成立，

當C為鈍角時，tanA>0,tanC<0,tanAtanC<1,成立，

當8為鈍角時，cosB=—COS(J4+C)=sinAsinC—cosAcosC<0,可得sbiAsinC<

cosAcosC,可得tanA-tanC<1,成立，

綜上，命題正確.

故選：BCD.

對于A,運用內(nèi)角和定理，求出A,B,C,再由正弦定理，即可得到三邊之比，即可判

斷；

對于8,在△ABC中，cosA<cosBsinA>sinB,得出答案；

對于C,利用正弦定理求得滿足條件的角C有2個，一個為銳角，另一個為鈍角，三角

形有兩個解；

對于D，分類討論，利用兩角和的余弦函數(shù)公式即可判斷得解.

本題考查正弦定理和余弦定理及運用，考查三角形的形狀的判斷，考查運算能力，屬于

中檔題和易錯題.

12.【答案】V13

【解析】

【分析】

本題主要考查復數(shù)的模及復數(shù)的基本運算，考查計算能力，屬于基礎題.

利用復數(shù)四則運算先化簡，再求模長.

【解答】

解：由題意，可知：

5-i_(5-i)(l■-i)_4_6i_2_oy

1+i-(l+i)(l-i)-1-i2-'

二|三|=|2-3i|=G+(-3)2=V13.

故答案為g.

13.【答案】737r

【解析】解：由題意知，BC=BD=B]D=4,

又4clBC,AC=3,AB=5,CD=￡D=4近，

則AD=5MB2+BD2=V41，AQ=yjAC2+CC^=V73.

AC^=AD2+C1D2,得CW14。，

又4c1CCi，??.AC】的中點為三棱錐D-ACC1外接球的球

心，

則外接球的半徑R=Z/lCi=W.

212

外接球的表面積為S=47TR2=4兀x（爭2=73”.

故答案為：737T.

由直三棱柱的性質(zhì)求出C。、AQ、4C],結(jié)合勾股定理可得QD1AD,CCr1AC,

可得AC】的中點為三棱錐D-4CG外接球的球心，再求出外接球的半徑，代入球的表面

積公式得答案.

本題考查多面體的外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運算求解

能力，是中檔題.

14.【答案】127r

【解析】解：如圖所示，設△ABC的外接圓的余弦為01，

過。1作直線/"!?平面ABC,又ZMJ_平面ABC,

--.DA//1,連接AO】并延長，交球。于H,連接。H,與/的交

點為球心O,

則0〃=0D=R,OOi=^AD=y,

在△4BC中，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2-2AB-AC-

cos60°

=4+9—2x2x2x-=7,BC-y/7，

又由正弦定理可得名7=201”,可得。1"=叵.

sin60x3

R2=OH2=001+。也4+旨=3,

則該四面體的外接球的表面積為S=4TIR2127r.

故答案為：12兀.

由題意畫出圖形，求解三角形可得BC,由正弦定理求得底面三角形外接圓的半徑，再

由勾股定理求得多面體外接球的半徑，代入球的表面積公式得答案.

本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運算求解能

力，是中檔題.

15.【答案】-18

【解析】解：???若五〃3a=(1,2),c=(%,-2),即1x(-2)=2xx,

x=-1,

a-2b=(L4),

■:若(5-2石)即lxx+(-2)x4=0,

***x=8.

故答案為：一1,8.

根據(jù)兩向量平行的坐標表示，以及兩向量垂直的坐標表示，分別求解.

本題考查了兩向量平行的坐標表示，以及兩向量垂直的坐標表示，需要學生熟練掌握公

式，屬于基礎題.

16.【答案】|

【解析】解：擲一枚骰子的試驗中，出現(xiàn)各點的概率均為士

O

事件A表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點”，事件B表示“出現(xiàn)小于5的點數(shù)”，

基本事件總數(shù)n=6,

事件/U5后表示事件B的對立事件)包含的基本事件有：

2,4,5,6,共4個，

則一次試驗中，事件力u5日表示事件B的對立事件)發(fā)生的概率為：

一

P(4UB)=士4=2

63

故答案為：I.

基本事件總數(shù)n=6,利用列舉法求出事件4u后山表示事件B的對立事件)包含的基本

事件的個數(shù)，由此能求出一次試驗中，事件Au5(3表示事件B的對立事件)發(fā)生的概率.

本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎

17.【答案】7

1

6

【解析】解：如圖：在A4BC中，AN=^NC.

所以：AN=\AC,故4=；.

44

由于點B、P、N三點共線.

所以前=t麗，

則：AP-AB=t(AN-AP)，

整理得：(1+。荏=荏+：而，

所以捻=親解得"2.

故答案為：,,

476,

直接利用向量的線性運算的應用和向量共線的充要條件的應用求出結(jié)果.

本題考查的知識要點：向量的線性運算的應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及

思維能力，屬于中檔題型.

18.【答案】解：(l)S.K=|a||K|cos(a,K>=2xlx|=l.

(2)|五+2石產(chǎn)=(a+2b)

=a2+4b+4五?6=4+4+4=12,

\a+2b\=V12=2V3.

(3)若為+2方與23+高(46R)垂直，

則0+2石)■(2H+A6)=0.

即2片+24升+4小9+4君j=o-

18+24+4+4=0即12+34=0,

???A=-4

【解析】本題考查了向量數(shù)量積、模的運算，向量垂直的充要條件，考查了計算能力，

屬于基礎題.

(1)直接根據(jù)平面向量數(shù)量積計算公式求解；

(2)先求出|。+2萬『=0+2石/，再開方即可得|行+2行

(3)根據(jù)向量垂直的充要條件得0+23)?(2五+蔣)=0,展開即得到關于；I的方程，解

方程即可的答案.

19.【答案】解：(1)bsinA=YiacosB,

由正弦定理可得sinBsinZ=\p3sinAcosB

即得tanB=6，

由于：0cB＜兀，

B=-.

3

(2)???sinC=2sinAf

由正弦定理得c=2a,

由余弦定理域=a24-c2-2clecosB,

9=a2+4a2—2a?2acosg,

解得Q=收，

???c=2a=2V3.

【解析】(1)直接利用已知條件和正弦定理求出8的值.

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論和余弦定理求出結(jié)果.

本題考查的知識要點：正弦定理的應用，余弦定理的應用及相關的運算問題

20.【答案】解：(1)頻率分布直方圖是以面積的形式來反映數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大

小的，

4

因此第二小組的頻率為=0.08.

2+4+17+15+9+3

第二小組的頻數(shù)

因為第二小組的頻率=―樣本容量'

第二小組的頻數(shù)=二

所以樣本容量=12

第二小組的頻率~0.08-150.

(2)由直方圖可估計該校全體高二年級學生的達標率約為蕓黑100%=88%.

Z+4+1/+15+9+5

【解析】本題考查頻率分布直方圖，考查推理能力和計算能力，屬于基礎題.

(1)由頻率分布直方圖求出第二小組的頻率，根據(jù)樣本容量=%學2合即可求得;

(2)由直方圖可估計該校全體高二年級學生的達標率.

21.【答案】2

【解析】解：正方體4BCD-&B1C1D1的棱長

為1,除面A8C。外，

該正方體其余各面的中心分別為點E,F,