蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題攻略專題06線段的垂直平分線與角平分線綜合壓軸題五種模型全攻略(原卷版+解析)

專題06線段的垂直平分線與角平分線綜合壓軸題五種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解】 1【考點(diǎn)二線段垂直平分線的判定】 4【考點(diǎn)三利用角平分線的性質(zhì)求解】 8【考點(diǎn)四角平分線的判定】 10【考點(diǎn)五線段的垂直平分線與角平分線的綜合問題】 14【過關(guān)檢測】 20【典型例題】【考點(diǎn)一利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解】例題：（2023春·江蘇淮安·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，，的垂直平分線交于E，D，連接，則．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）三名同學(xué)分別站在一個三角形三個頂點(diǎn)的位置上，他們在玩搶凳子的游戲，要求在他們中間放一個凳子，搶到凳子者獲勝，為使游戲公平，凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢迷谌切蔚模?/p>

）A．三條角平分線的交點(diǎn) B．三邊中線的交點(diǎn)C．三邊上高所在直線的交點(diǎn) D．三邊的垂直平分線的交點(diǎn)2．（2023春·山東濟(jì)南·七年級濟(jì)南市章丘區(qū)第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，的中垂線交于E，的中垂線交于G，則的周長等于．

3．（2023春·廣東深圳·七年級?？计谀┤鐖D，在中，，分別垂直平分邊和邊，交邊于M，N兩點(diǎn)，與相交于點(diǎn)F．

(1)若，求的周長；(2)若，則的度數(shù)為______°．【考點(diǎn)二線段垂直平分線的判定】例題：（2023春·陜西西安·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，為三角形的角平分線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)O．

(1)若，，求的度數(shù)；(2)寫出與的關(guān)系，并說明理由；【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣西河池·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，邊，的垂直平分線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：點(diǎn)在線段的垂直平分線上．2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)是等邊外一點(diǎn)，，，點(diǎn)，分別在，上，連接、、、．(1)求證：是的垂直平分線；(2)若平分，，求的周長．【考點(diǎn)三利用角平分線的性質(zhì)求解】例題：（2023春·山東威?！て吣昙壗y(tǒng)考期末）如圖，是中的平分線，于點(diǎn)E，，則（

）

A．14 B．26 C．56 D．28【變式訓(xùn)練】1．（2023春·甘肅張掖·八年級校考期末）一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）A．三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) B．三角形三條角平分線的交點(diǎn)C．三角形三條高所在直線的交點(diǎn) D．三角形三條中線的交點(diǎn)2．（2023春·山西運(yùn)城·七年級統(tǒng)考期末）如圖，BD平分，P是上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，，O是上任意一點(diǎn)，連接，則的最小值為．

3．（2023春·陜西榆林·七年級?？计谀┤鐖D，在四邊形中，，，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，．

(1)求的度數(shù)；(2)試說明．【考點(diǎn)四角平分線的判定】例題：（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，的平分線與的外角平分線相交于點(diǎn)，連接．求證：是的外角平分線．【變式訓(xùn)練】1．（2023·廣東惠州·校聯(lián)考二模）如圖，，，于．

(1)求證：平分；(2)若，，求的長．2．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，若．(1)求證：平分；(2)請猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【考點(diǎn)五線段的垂直平分線與角平分線的綜合問題】例題：（2023秋·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，平分，，于點(diǎn)E，點(diǎn)F在上，．(1)求證：．(2)連接，求證垂直平分．(3)若，，求的長．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，連接．(1)求證：點(diǎn)D在的垂直平分線上；(2)若，，則的長為___________2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，為外一點(diǎn)，為的垂直平分線，分別過點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)，，且．(1)求證：為的角平分線；(2)若，，求的長．3．（2023春·全國·八年級開學(xué)考試）如圖1，射線BD交△ABC的外角平分線CE于點(diǎn)P，已知∠A=78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．(1)求證：BD平分∠ABC；(2)如圖2，AC的垂直平分線交BD于點(diǎn)Q，交AC于點(diǎn)G，QM⊥BC于點(diǎn)M，求MC的長度．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是邊的垂直平分線，分別交于D、E兩點(diǎn)，連接，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．2．（2023春·四川達(dá)州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)P為定角平分線上的一個定點(diǎn)，且與互補(bǔ)．若在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與、相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論中，不正確的是（

）

A．的值不變 B．C．的長不變 D．四邊形的面積不變二、填空題3．（2023春·山東青島·七年級山東省青島實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)校考期末）如圖，是的角平分線，，垂足為，是的中線，，，．則的面積為．4．（2023春·湖南衡陽·七年級校聯(lián)考期末）如圖，在銳角三角形ABC中，，的面積為18，平分，若E、F分別是上的動點(diǎn)，則的最小值為．

三、解答題5．（2023春·河南商丘·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，，平分，點(diǎn)D，E在射線，上，點(diǎn)P是射線上的一個動點(diǎn)，連接交射線于點(diǎn)F，設(shè)．(1)如圖1，若．①的度數(shù)是，當(dāng)時(shí)，；②若，求x的值；(2)如圖2，若，是否存在這樣的x的值，使得？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．6．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）在中，，線段、分別平分、交于點(diǎn)G．

(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，求證：；(3)如圖3，過點(diǎn)C作交延長線于點(diǎn)D，連接，點(diǎn)N在延長線上，連接交于點(diǎn)，使，若，，求線段的長．7．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，OF是的平分線，點(diǎn)A在射線上，P，Q是直線ON上的兩動點(diǎn)，點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右側(cè)，且，作線段OQ的垂直平分線，分別交直線OF，ON于點(diǎn)B，點(diǎn)C，連接AB，PB．(1)如圖1，請指出AB與PB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)都在射線ON的反向延長線上時(shí)，線段AB，PB是否還存在（1）中的數(shù)量關(guān)系？若存在，請寫出證明過程；若不存在，請說明理由．8．（2023春·浙江寧波·七年級?？计谀┙瞧椒志€性質(zhì)定理描述了角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離的關(guān)系，小儲發(fā)現(xiàn)將角平分線放在三角形中，有一些新的發(fā)現(xiàn)，請完成下列探索過程：

【知識回顧】（1）如圖1，是的平分線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，作于點(diǎn)，試證：【深入探究】（2）如圖2，在中，為的角平分線交于于點(diǎn)，其中，求．【應(yīng)用遷移】（3）如圖3，中，的角平分線與的中線交于點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，若，則的長度為__________．9．（2023·貴州遵義·?？既＃┮阎狣是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，過點(diǎn)D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，連接CE并延長CE到P，使EP＝CE，連接BE，F(xiàn)P，BP，設(shè)BC與DE交于M，PB與EF交于N．（1）如圖1，當(dāng)D，B，F(xiàn)共線時(shí)，求證：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如圖2，當(dāng)D，B，F(xiàn)不共線時(shí)，連接BF，求證：∠BFD+∠EFP＝30°．10．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）【了解概念】如圖1，已知A，B為直線MN同側(cè)的兩點(diǎn)，點(diǎn)P為直線的一點(diǎn)，連接，，若，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)A，B關(guān)于直線l的“等角點(diǎn)”．(1)【理解運(yùn)用】如圖2，在中，D為上一點(diǎn)，點(diǎn)D，E關(guān)于直線對稱，連接并延長至點(diǎn)F，判斷點(diǎn)B是否為點(diǎn)D，F(xiàn)關(guān)于直線的“等角點(diǎn)”，并說明理由；(2)【拓展提升】如圖2，在（1）的條件下，若，，點(diǎn)Q是射線上一點(diǎn)，且點(diǎn)D，Q關(guān)于直線的“等角點(diǎn)”為點(diǎn)C，請利用尺規(guī)在圖2中確定點(diǎn)Q的位置，并求出的度數(shù)；(3)【拓展提升】如圖3，在中，，的平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)O到AC的距離為1，直線l垂直平分邊，點(diǎn)P為點(diǎn)O，B關(guān)于直線l“等角點(diǎn)”，連接，，當(dāng)時(shí)，的值為．

專題06線段的垂直平分線與角平分線綜合壓軸題五種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解】 1【考點(diǎn)二線段垂直平分線的判定】 4【考點(diǎn)三利用角平分線的性質(zhì)求解】 8【考點(diǎn)四角平分線的判定】 10【考點(diǎn)五線段的垂直平分線與角平分線的綜合問題】 14【過關(guān)檢測】 20【典型例題】【考點(diǎn)一利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解】例題：（2023春·江蘇淮安·七年級校考階段練習(xí)）如圖，中，，，的垂直平分線交于E，D，連接，則．【答案】/度【分析】先根據(jù)垂線平分線的定義得到，進(jìn)而證明得到，則由三角形外角的性質(zhì)可得．【詳解】解：∵的垂直平分線交于E，D，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判斷，線段垂直平分線的定義，正確推出是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）三名同學(xué)分別站在一個三角形三個頂點(diǎn)的位置上，他們在玩搶凳子的游戲，要求在他們中間放一個凳子，搶到凳子者獲勝，為使游戲公平，凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢迷谌切蔚模?/p>

）A．三條角平分線的交點(diǎn) B．三邊中線的交點(diǎn)C．三邊上高所在直線的交點(diǎn) D．三邊的垂直平分線的交點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，凳子的位置應(yīng)該到三個頂點(diǎn)的距離相等，從而可確定答案．【詳解】因?yàn)槿叺拇怪逼椒志€的交點(diǎn)到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，這樣就能保證凳子到三名同學(xué)的距離相等，以保證游戲的公平，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直平分線的應(yīng)用，掌握垂直平分線的性質(zhì)是關(guān)鍵．2．（2023春·山東濟(jì)南·七年級濟(jì)南市章丘區(qū)第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，的中垂線交于E，的中垂線交于G，則的周長等于．

【答案】8【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)定理，得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵的中垂線交于E，的中垂線交于G，∴，∴的周長．故答案是：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)定理，掌握垂直平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等．3．（2023春·廣東深圳·七年級?？计谀┤鐖D，在中，，分別垂直平分邊和邊，交邊于M，N兩點(diǎn)，與相交于點(diǎn)F．

(1)若，求的周長；(2)若，則的度數(shù)為______°．【答案】(1)(2)50【分析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，，則的周長；（2）根據(jù)等邊對等角可得，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，列式求出，再求出，即可求解．【詳解】（1）解：∵，分別是，的中垂線∴，∴；（2）由（1）得，，由，分別垂直平分和，可得，∴，，∵在中，，∴，根據(jù)對頂角的性質(zhì)可得：，，在中，，在中，，∴，∴，在中，∴，∴．故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)和整體思想的利用．【考點(diǎn)二線段垂直平分線的判定】例題：（2023春·陜西西安·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，為三角形的角平分線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)O．

(1)若，，求的度數(shù)；(2)寫出與的關(guān)系，并說明理由；【答案】(1)(2)，平分【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，再利用內(nèi)角和即可得出；（2）由角平分線的意義及兩個垂直可證明，從而有，由線段垂直平分線的判定知，，平分．【詳解】（1）解：∵∵∵∵∴（2）解：，平分；理由如下：∵平分，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴是線段的垂直平分線，即，平分．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的證明，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，角平分線的性質(zhì)．找到和，通過兩個三角形全等，找到各量之間的關(guān)系，完成證明是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣西河池·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，邊，的垂直平分線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：點(diǎn)在線段的垂直平分線上．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)直接可得到答案；（2）根據(jù)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上即可得到答案；【詳解】（1）證明：∵邊、的垂直平分線交于點(diǎn)，∴，，∴；（2）證明：∵邊，的垂直平分線交于點(diǎn)，∴，，∴，點(diǎn)在的垂直平分線上．【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)及判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)距離相等及到線段兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)是等邊外一點(diǎn)，，，點(diǎn)，分別在，上，連接、、、．(1)求證：是的垂直平分線；(2)若平分，，求的周長．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)到線段兩端距離相等的點(diǎn)在垂直平分線上即可證明；（2）如圖，過D作于M，結(jié)合已知易證即，同理可得，易證得，同理可得，然后轉(zhuǎn)換求周長即可．【詳解】（1）證明：是等邊三角形，，∴A在的垂直平分線上，又，∴D在的垂直平分線上，是的垂直平分線；（2）如圖，過D作于M，，又是等邊三角形，同理可得平分，平分，在與中同理可得.【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的判定，角平分線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是通過相關(guān)性質(zhì)構(gòu)造線段相等、進(jìn)行轉(zhuǎn)換．【考點(diǎn)三利用角平分線的性質(zhì)求解】例題：（2023春·山東威?！て吣昙壗y(tǒng)考期末）如圖，是中的平分線，于點(diǎn)E，，則（

）

A．14 B．26 C．56 D．28【答案】D【分析】如圖：作交于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再由求解即可．【詳解】解：如圖，作交于點(diǎn)F，

∵平分，，，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理、三角形的面積公式等知識點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·甘肅張掖·八年級校考期末）一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）A．三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) B．三角形三條角平分線的交點(diǎn)C．三角形三條高所在直線的交點(diǎn) D．三角形三條中線的交點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)題意，涼亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置在三角形三條角平分線的交點(diǎn)，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵涼亭到草坪三邊的距離相等，∴涼亭的位置在三角形三條角平分線的交點(diǎn)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山西運(yùn)城·七年級統(tǒng)考期末）如圖，BD平分，P是上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，，O是上任意一點(diǎn)，連接，則的最小值為．

【答案】5【分析】根據(jù)垂線段最短確定點(diǎn)O的位置，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到最短距離．【詳解】解：O是上任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的值最小，又BD平分，P是上一點(diǎn)，，的最小值為5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)定理，垂線段最短，解題關(guān)鍵是找到最短距離的位置．3．（2023春·陜西榆林·七年級?？计谀┤鐖D，在四邊形中，，，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，．

(1)求的度數(shù)；(2)試說明．【答案】(1)(2)詳見解析【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，以及角平分線的定義，即可作答；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可證明．【詳解】（1）∵，∴．∵，∴．∵平分，∴．∵，∴，∴．∵平分，∴．（2）如圖．過點(diǎn)作于點(diǎn)．

∵平分，，，∴．∵平分，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理的等知識，掌握角平分線的性質(zhì)定理，是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四角平分線的判定】例題：（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，的平分線與的外角平分線相交于點(diǎn)，連接．求證：是的外角平分線．【答案】證明見解析【分析】作交的延長線于，于，于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的判定定理證明結(jié)論．【詳解】證明：作交的延長線于，于，于，平分、平分，，，，又，，∴是的外角平分線．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)和判定，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等、到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·廣東惠州·校聯(lián)考二模）如圖，，，于．

(1)求證：平分；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）過C點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)F．由證明，可得，結(jié)論得證；（2）證明，可得，可求出．【詳解】（1）證明：過C點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)F．

∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴平分；（2）解：由（1）可得，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造全等三角形．2．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，若．(1)求證：平分；(2)請猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)證明，得到，再根據(jù)角平分線的判定定理，求證即可；（2）通過證明，得到，利用線段之間的關(guān)系，求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴平分．（2）解：，證明如下：在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及角平分線的判定定理，解題的關(guān)鍵是靈活利用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．【考點(diǎn)五線段的垂直平分線與角平分線的綜合問題】例題：（2023秋·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，平分，，于點(diǎn)E，點(diǎn)F在上，．(1)求證：．(2)連接，求證垂直平分．(3)若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)可得，再利用“”證明，即可證明；（2）利用“”證明，可得，所以點(diǎn)A在的垂直平分線上，根據(jù)，可得點(diǎn)D在的垂直平分線上，進(jìn)而可以解決問題；（3）設(shè)，則，即可建立方程求解．【詳解】（1）證明：∵于點(diǎn)E，∴，又平分，，∴，在和中，，∴，∴．（2）證明：連接，如圖在和中，，∴，∴∴點(diǎn)A在的垂直平分線上，∵，∴點(diǎn)D在的垂直平分線上，∴垂直平分（3）解：設(shè)，∵，，∴，，∵，∴，解得：∴【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是在圖形中找到正確的全等三角形以及熟悉以上性質(zhì)與判定．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，連接．(1)求證：點(diǎn)D在的垂直平分線上；(2)若，，則的長為___________【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理直接得出，則問題得解；（2）先得出，，結(jié)合，可得，問題隨之得解．【詳解】（1）證明：∵是的角平分線，，，∴．∴點(diǎn)D在的垂直平分線上．（2）∵，，∴，，∵在（1）中有：，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，即的長為3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理直接得出是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，為外一點(diǎn)，為的垂直平分線，分別過點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)，，且．(1)求證：為的角平分線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，再證明，可得，再證明，即可得證；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)一步可得，從而可得．【詳解】（1）連接，，如圖所示：為的垂直平分線，，，，，在和中，，，在和中，，，為的角平分線；（2），，又，，即，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的判定及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·全國·八年級開學(xué)考試）如圖1，射線BD交△ABC的外角平分線CE于點(diǎn)P，已知∠A=78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．(1)求證：BD平分∠ABC；(2)如圖2，AC的垂直平分線交BD于點(diǎn)Q，交AC于點(diǎn)G，QM⊥BC于點(diǎn)M，求MC的長度．【答案】(1)見解析(2)MC=1.5【分析】（1）由∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，得∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，再根據(jù)CE平分∠ACF，得∠ACF=2∠ECF，則∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，從而證明結(jié)論；（2）連接AQ，CQ，過點(diǎn)Q作BA的垂線交BA的延長線于N，利用HL證明Rt△QNA≌Rt△QMC，得NA=MC，再證明Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），得NB=MB，則BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，從而得出答案．【詳解】（1）證明：∵∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，∴∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，∵CE平分∠ACF，∴∠ACF=2∠ECF，∴∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，∴BD平分∠ABC；（2）解：連接AQ，CQ，過點(diǎn)Q作BA的垂線交BA的延長線于N，∵QG垂直平分AC，∴AQ=CQ，∵BD平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA，∴QM=QN，∴Rt△QNA≌Rt△QMC（HL），∴NA=MC，∵QM=QN，BQ=BQ，∴Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），∴NB=MB，∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，∴7=4+2MC，∴MC=1.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是邊的垂直平分線，分別交于D、E兩點(diǎn)，連接，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用垂直平分線的性質(zhì)，可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得的度數(shù)．【詳解】解：是邊的垂直平分線，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練利用垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·四川達(dá)州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)P為定角平分線上的一個定點(diǎn)，且與互補(bǔ)．若在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與、相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論中，不正確的是（

）

A．的值不變 B．C．的長不變 D．四邊形的面積不變【答案】C【分析】如圖作于E，于F，于，可證，所以，由平分，得證，于是，所以，同時(shí)，所以，，推出，進(jìn)一步得到，，所以，故B正確；因?yàn)?，故A正確；由三角形全等可知，所以定值，故D正確；M，N的位置變化，所以的長度是變化的，故C錯誤．【詳解】解：如圖作于E，于F．

∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，于E，于F，∴，在和中，，∴，∴，在和中，∴，∴，，∵，，∴，∴定值，故D正確，∵，故A正確，∵M(jìn)，N的位置變化，∴的長度是變化的，故C錯誤．∵，∴，∵與互補(bǔ)，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴∴，故B正確，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查角平線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定和性質(zhì)；能夠結(jié)合角平分線的性質(zhì)定理作出角平分線上點(diǎn)到兩邊的垂線段，構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．二、填空題3．（2023春·山東青島·七年級山東省青島實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)?？计谀┤鐖D，是的角平分線，，垂足為，是的中線，，，．則的面積為．【答案】【分析】過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得，然后根據(jù)三角形的面積公式可得，，可得，然后由三角形的中線得，根據(jù)求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為，∵是的角平分線，，，，，∴，∴，，∴，∵是的中線，∴，∴，∴的面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，三角形的面積，作輔助線并利用角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·湖南衡陽·七年級校聯(lián)考期末）如圖，在銳角三角形ABC中，，的面積為18，平分，若E、F分別是上的動點(diǎn)，則的最小值為．

【答案】6【分析】過點(diǎn)C作于點(diǎn)P，交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作于F，則即為的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長，即為的最小值．【詳解】解：過點(diǎn)C作于點(diǎn)P，交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作于F，

∵平分，，，∴，∴的最小值．∵的面積為18，，∴，∴．即的最小值為6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，關(guān)鍵是將的最小值為轉(zhuǎn)化為，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．三、解答題5．（2023春·河南商丘·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，，平分，點(diǎn)D，E在射線，上，點(diǎn)P是射線上的一個動點(diǎn)，連接交射線于點(diǎn)F，設(shè)．(1)如圖1，若．①的度數(shù)是，當(dāng)時(shí)，；②若，求x的值；(2)如圖2，若，是否存在這樣的x的值，使得？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)①，；②；(2)存在這樣的x的值，使得．當(dāng)或時(shí)，．【分析】（1）①運(yùn)用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，可得的度數(shù)，根據(jù)求出的值；②根據(jù)三角形內(nèi)角和求出，根據(jù)平行的性質(zhì)的度數(shù)，相減即可得的值；（2）分兩種情況進(jìn)行討論:在左側(cè)，在右側(cè)，分別根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得的值．【詳解】（1）解：①∵，平分，∴，∵，∴；∵，∴，，當(dāng)時(shí)，，即，故答案為：，；②∵，，∴，又∵，∴，∴；（2）存在這樣的x的值，使得．分兩種情況：①如圖2，若在左側(cè)，∵，∴，∵，∴，當(dāng)時(shí)，，解得；②如圖3，若在右側(cè)，∵，，∴當(dāng)時(shí)，，解得；綜上所述，當(dāng)或時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，三角形的內(nèi)角和等于，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和．解題時(shí)注意分類討論思想的運(yùn)用．6．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）在中，，線段、分別平分、交于點(diǎn)G．

(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，求證：；(3)如圖3，過點(diǎn)C作交延長線于點(diǎn)D，連接，點(diǎn)N在延長線上，連接交于點(diǎn)，使，若，，求線段的長．【答案】(1)(2)見解析(3)5【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)平分、平分，得出，，求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出，即可求出結(jié)果；（2）作平分交于點(diǎn)，證明，得出，證明，得出，即可證明結(jié)論；（3）作交延長線于點(diǎn)，作交延長線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，證明平分，根據(jù)，，得出，根據(jù)平分，，，得出，證明，證明，得出，證明，得出，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，根據(jù)，，得出，求出即可得出答案．【詳解】（1）解：在中，，∵∴，∵平分、平分，∴，，∴，在中，，∴．（2）解：作平分交于點(diǎn)，如圖所示：

∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；（3）解：作交延長線于點(diǎn)，作交延長線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，如圖所示：∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴平分，∵，，∴，∵平分，，，∴，∴，∴平分，∵，∴，∴，由（1）得，∴，∵，，，∴，∵，∴，由（2）得，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，∵，∴，，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的判定和性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法．7．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，OF是的平分線，點(diǎn)A在射線上，P，Q是直線ON上的兩動點(diǎn)，點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右側(cè)，且，作線段OQ的垂直平分線，分別交直線OF，ON于點(diǎn)B，點(diǎn)C，連接AB，PB．(1)如圖1，請指出AB與PB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)都在射線ON的反向延長線上時(shí)，線段AB，PB是否還存在（1）中的數(shù)量關(guān)系？若存在，請寫出證明過程；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，理由見解析(2)存在，理由見解析【分析】（1）連接BQ，根據(jù)BC垂直平分OQ，可知，則，根據(jù)OF平分，則，即，根據(jù)，可知，則可知；（2）如圖，連接，根據(jù)垂直平分，可知，結(jié)合條件可證，則，根據(jù)平分，，可知，則，進(jìn)而可知，由此可證（），則．【詳解】（1）解：理由如下：連接BQ∵BC垂直平分OQ∴∴∵OF平分∴∴∵∴∴；（2）存在，理由：如圖，連接，∵垂直平分，∴，在和中，∴（）∴，∵平分，，∴，∴，∴，在△AOB和△PQB中，∴（），∴．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，本題屬于中考?？紗栴}．8．（2023春·浙江寧波·七年級?？计谀┙瞧椒志€性質(zhì)定理描述了角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離的關(guān)系，小儲發(fā)現(xiàn)將角平分線放在三角形中，有一些新的發(fā)現(xiàn)，請完成下列探索過程：

【知識回顧】（1）如圖1，是的平分線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，作于點(diǎn)，試證：【深入探究】（2）如圖2，在中，為的角平分線交于于點(diǎn)，其中，求．【應(yīng)用遷移】（3）如圖3，中，的角平分線與的中線交于點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，若，則的長度為__________．【答案】（1）見解析；（2）；（3）10【分析】（1）根據(jù)證明即可；（2）作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，由角平分線的性質(zhì)得，由三角形的面積公式可得，結(jié)合即可求解；（3）過E作于G，連接，由P為中點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)是邊上的中線，設(shè)，根據(jù)三角形的面積的計(jì)算得到，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：，，在和中，，，（2）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，

平分，，，，同理可證，∴．，，設(shè)，則，，；（3）解：過E作于G，連接，

∵P為中點(diǎn)，∴，設(shè)，∵是邊上的中線，∴設(shè)，∵，∴，∴，∵，∴，∵是的角平分線，，∴，∴，∴，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積的計(jì)算，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．（2023·貴州遵義·?？既＃┮阎狣是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，過點(diǎn)D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，連接CE并延長CE到P，使EP＝CE，連接BE，F(xiàn)P，BP，設(shè)BC與DE交于M，PB與EF交于N．（1）如圖1，當(dāng)D，B，F(xiàn)共線時(shí)，求證：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如圖2，當(dāng)D，B，F(xiàn)不共線時(shí)，連接BF，求證：∠BFD+∠EFP＝30°．【答案】（1）①見解析②30°（2）見解析【分析】（1）①本題主要考查通過角度計(jì)算求證平行，繼而證明△CBP是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊中線可得結(jié)論．②本題以上一問結(jié)論為解題依據(jù)，考查平行線以及垂直平分線的應(yīng)用，根據(jù)同位角相等可得BC∥EF，由平行線的性質(zhì)得BP⊥EF，可得EF是線段BP的垂直平分線，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠PFE＝∠BFE＝30°．（2）本題主要考查輔助線的做法以及垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，需要延長DE到Q，使EQ＝DE