2022年山西省運城市絳縣高級職業(yè)中學高三數(shù)學理月考試題含解析

2022年山西省運城市絳縣高級職業(yè)中學高三數(shù)學理月

考試題含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.如圖，是函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)f'(x)的圖象，則下面判斷正確的是()

A.在區(qū)間(-2,1)上f(x)是增函數(shù)B.在(1,3)±f(x)是減函數(shù)

C.在(4,5)±f(x)是增函數(shù)D.當x=4時，f(x)取極大值

參考答案：

C

【考點】導數(shù)的幾何意義；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性.

【專題】計算題.

【分析】由于f'(x)，0?函數(shù)f(x)d單調遞增；f'(x)W0?單調f(x)單調遞

減，觀察f'(x)的圖象可知，通過觀察f'(x)的符號判定函數(shù)的單調性即可

【解答】解：由于f'(x)》0?函數(shù)f(x)d單調遞增；f(x)W0?單調f(x)單調

遞減

觀察f'(x)的圖象可知，

當xG(-2,1)時，函數(shù)先遞減，后遞增，故A錯誤

當xe(1,3)時，函數(shù)先增后減，故B錯誤

當xd(4,5)時函數(shù)遞增，故C正確

由函數(shù)的圖象可知函數(shù)在4處取得函數(shù)的極小值，故D錯誤

故選：C

【點評】本題主要考查了導數(shù)的應用：通過導數(shù)的符號判定函數(shù)單調性，要注意不能直接

看導函數(shù)的單調性，而是通過導函數(shù)的正負判定原函數(shù)的單調性

2.右圖是一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，則依據(jù)圖形中的數(shù)據(jù)，可以估計總體的平均數(shù)

與中位數(shù)分別是

A.12.512.5B.1313

D.13.513

參考答案:

B

3.要得到函數(shù),一曲工下的圖象，只需將函數(shù)事="4%的圖象(

)

HX

A.向左平移正個單位B.向右平移記個單位

KH

C.向左平移a個單位D.向右平移7個單位

參考答案：

B

jr=sin(4x—=sin4(x-.4—

試題分析：416,因此可把事==4工的圖象向右平移16個單

位，故選B.

考點：三角函數(shù)的圖象平移.

4設集合0={°工2345}以={12}*={女2|'—5無+4<0}則q(幺|JA)=

()

A.ML23}B.{斗

&{LZ4}D.MM

參考答案：

D

【解析】

試題分析：由，-5x+4<0,得解得:l<x<4-3={Z3}/;/={L2},

二NU3={1,2.3},因為集合U={0,LZ345}.：.CU(A\JB)={0,4.5),故選D.

考點：1、集合的表示；2、集合的并集及補集.

..7T.44方.

sin(a+—)+sina=--------,—<cu<0,

5.已知3，52則

.2"、

cos(ad-----)

3'等于()

43

A.5B.5

34

C.5D.5

參考答案：

D

1+2/

6.在復平面內，復數(shù)一i(i為虛數(shù)單位)對應的點所在的象限為()

A.第一象限B.第二象限C.第三象

限D.第四象限

參考答案：

D

l+2i

7i-2對應的點為(2,-1),所在的象限為第四象限，選D

7.已知集合A={x|xW0},且AUB=A,則集合B不可能是()

A.?B.{x|xW0}C.{x|xWl}D.{-2}

參考答案：

C

【考點】并集及其運算.

【專題】計算題.

【分析】由AUB=A,得到B為A的子集，根據(jù)A,對各項判斷即可.

【解答】解:VAUB=A,

；.B?A,

VA={xxWO},

B=?,B={x|xWO},B={-2},BW{xixWl}.

故選C

【點評】此題考查了并集及其運算，熟練掌握并集的定義是解本題的關鍵.

a>2

<

8.已知a,h是實數(shù)，貝ij“9>3”是“a+力>5”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

參考答案：

A

略

9.設銳角的三內角/、B、C所對邊的邊長分別為。、匕、。,

且a=l,B=2A,則占的取值范圍為.....（）.

（⑷第，⑸⑸（1,⑻,?（72,2）.（D）（0,2）

參考答案：

A

10.已知等差數(shù)列{a}的前n項和為S”,且Sw=12,則as+陪（）

12g

A.5B.12C.6D.5

參考答案：

A

【考點】等差數(shù)列的性質.

【分析】利用等差數(shù)列｛4｝的前n項和公式及其性質即可得出.

【解答】解：???等差數(shù)列｛aj的前10項和為S『12,

10(+3g)

/.2=12,

12

則a$+a6=5.

故選：A.

【點評】本題考查了等差數(shù)列｛aj的前n項和公式及其性質，屬于基礎題.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.設aABC的三個內角A,B,C所對應的邊為a,b,c,若A,B,C依次成等差數(shù)列且

a2+c2=kb2,則實數(shù)k的取值范圍是—.

參考答案：

(1,2]

【考點】HR：余弦定理.

兀2_

【分析】利用角A、B、C成等差數(shù)列B=7,利用￡+1=相，可得k=5sin(2A-

九_4

T)+?,即可利用正弦函數(shù)的性質求得實數(shù)k的取值范圍.

【解答】解：???A+B+C=n，且角A、B、C成等差數(shù)列，

，B=n-(A+C)=n-2B,解之得B=W,

,.,a2+c2=kb2,

3k

/.sin'A+sin2C=ksin2B=4,

_4_45^3_返22L1

k=3=3[4sin2A+4cos2A+2sinAcosA)]=3sin(2A-6)+3,

2兀

V0<A<3,

兀冗771

6<2A-6<6,

1匹

/.-'2<sin（2A-V）Wl,

22LA

.\l<3sin（2A-V）+3^2,

???實數(shù)k的取值范圍是（1,2].

故答案為：（1,2].

12.一名同學想要報考某大學，他必須從該校的8個不同專業(yè)中選出5個，并按第一志

愿、第二志愿、…第五志愿的順序填寫志愿表.若A專業(yè)不能作為第一、第二志愿，則他

共有種不同的填法（用數(shù)字作答）.

參考答案：

5040

【分析】

分2步進行分析：①從除/之外的7個專業(yè)中任選2個，作為第一、第二志愿，②在剩下

的6個專業(yè)中任選3個，作為第三、四、五志愿，由分步計數(shù)原理計算可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，分2步選專業(yè)：

①4專業(yè)不能作為第一、第二志愿有d=42種選法，

②第三、四、五志愿，有/二120種選法，

則這名同學共有42x120=5040種不同的填報方法，

故答案為：5040

【點睛】本題考查排列、組合的應用，涉及分步計數(shù)原理，屬于基礎題.

13.（幾何證明選講選做題）如圖，七4與圓。相切于d,HZ為圓O的割線，并且不過

圓心。，已知加乂=30°,PA=2^3,R=l,則圓O的半徑等于

參考答案:

7

【知識點】與圓有關的比例線段.N1

解析：由圓的性質PA^POPB,得PB=12,連接0A并反向延長交圓于點E,在直角三角

形APD中可以求得PD=4,DA=2,故CD=3,DB=8,記圓的半徑為R,由于ED?DA=CD?DB

因此(2R-2)x2=3x8,解得R=7.故答案為7.

【思路點撥】連AO并延長，根據(jù)切線的性質定理得到RtaPAD,根據(jù)切割線定理得到

PA2=PC?PB,根據(jù)相交弦定理得到CD?DB=AD?DE,最后即可解得圓0的半徑.

14.函數(shù)丁=0062r一面‘工的最小正周期等于.

參考答案：

【分析】

T=-

利用降嘉公式整理化簡，再由三角函數(shù)的最小正周期?求得答案.

“cossbtt?cos2無-上巴在=2coslx-J

【詳解】因為函數(shù)222

故最小正周期等于工

故答案為：?

【點睛】本題考查求三角函數(shù)的最小正周期，屬于基礎題.

tan(a+jS)=—4-=1=

15,已知‘5,I4)4,那么I4)

參考答案：

3

22

16.某校高一、高二、高三學生共有320()名，其中高三8()()名，如果通過分層抽樣

的方法從全體學生中抽取一個160人的樣本，那么應當從高三的學生抽取的人數(shù)

是一

參考答案：

40

17.直線獷=、后x與圓/+3+3)'=9相交于點力、B,則|48|=.

參考答案：

3、月

略

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

ax+^i-2a+l

18.(本題滿分13分)已知函數(shù)/&)=X3>0)。

(1)求/①)的單調區(qū)間；

(2)若/(X)Nlnx在［1,+8)上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

攵■一12-n-ri1

X1n----->/

⑶證明：*~2'+1J2冏(M+1)

參考答案：

解：(1)的定義域為卜卜,可，

、a-1ax2+1-a.-、

f(x)=a——-=——--(a>0)

xx,--------------------1分

當0<a《l時，恒成立，此時，“X)在(一叫0),(0,+8)上是增函數(shù)；―2

分

列表如下:

X(-8,X)(6)(。㈤(%,+8)

r(x)+--+

增減減坨

此時，/(功的遞增區(qū)間是(一8，%),(%，+8)；遞減區(qū)間是(玉立)，(°，%)?！?

分

-~~--2(34-1-InX,XG[1,+00)

(2)占=ax-\-X9

1心一1)5—9)

以一1

則g(1)=0,g'(x)=a——_x=x2=x2---6分

1\-a

1)當0<a<2時，a>1。

\—a

若ivxv。,貝ijg'(x)<0,g(x)是減函數(shù)，所以g(x)<g(1)=0,即f(x)>lnx,

故f(x)工g乂在“，+oo)上不恒成立。---------------7分

212￡<1,

2)當a22時，a若*>1,則(x)>o,g(x)是增函數(shù)，所以g(x)>g(l)=0,即

f(x)>lnx.故當xMl時，f(x)之Inx.

二

綜上所述，所求a的取值范圍是［5'+8)。------------9分

a=-lnx<-(x--)(x>1)

(3)在(2)中，令2,可得不等式：2X(當且僅當工=1

llix2<X--(X>1)

時等號成立)，進而可得當工(*)..........10分

",k-12-n-n,22-n-n

Zin---->{_一一一<=>ln------->廠-------------

U2幺+1J2?(?+1)+1)J2冏(冏+1)

,n(n+1)n2+n-2

<=>hi------<-------

2J2?(M+1)

—8+1),.一、

x=J—----->1(?>2)

令v2，代入不等式(?)得：

?(?+1)/?(?+1)I2_冏8+1)2n2+n-2

21'2+1)J2通+1)+1)J2.(.+1)

故不等式得證。......................13分

19.已知函數(shù)/(x)：621nx-為x+b.函數(shù)y=/③的圖象在點(L/①)處的切線方程是

y=2x+l,

(1)求a,b的值。

.g③=A3+X2[—+/'(X)]

(2)問：m在什么范圍取值時，對于任意的iwF[1L2],函數(shù)2'在區(qū)間

?3)上總存在極值？

參考答案：

【知識點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.B12

49

<W<-13

【答案解析】(1)b=-l(2)3

解析：(1)因為函數(shù)了二/③的圖象在點(1，/①)處的切線的斜率為2

所以7'。)=2,所以&=_2,則/①=4+匕代入切線可得b=-i-------------6分

g(x)=x3+x2(—+4-—)=x3+(—+4)x2-2x〃、二2,.，6c

(2)2/,g'(x)=3/+(w+8)x-2

因為任意的，€[L2],函數(shù)g("='+'在區(qū)間&3)上總存在極值，

修⑵<0，

又g'(O)<0,所以只需[g'(3)>0,--------------io分

49

--<加<一13

解得3-------------12分

【思路點撥】(1)函數(shù)f(X)的圖象在x=l處的切線方程為y=2x+l可知，f'(1)=2,

f(1)=3,可解a、b的值；(2)轉化成g'(x)=0在(t,3)上有實數(shù)根，列出等價

條件，求出m的取值范圍.

20.已知函數(shù)/(幻=電工+儂￡

⑴求函數(shù)了=在X曰°，2汨上的單調遞增區(qū)間；

(H)在AABC中，內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知向量m=(a,b),向量

n=(XC),l)且向量m//n,求B.

參考答案：

16.(本小黝滿分12分)

M:(I)ft*)*sin??coax-&ain(x+千)............................I分

令2hTwx?手3"+^.aeZ),2"-Yw*w2Jhr+—&eZ).……2分

令&=0.-?令k?1.5?Wx〈號守?..........................4分

4444

又［0.2"］.

???/U)在［0,2"］上的單調遞增區(qū)間為［0.為2?).................................6分

44

(0)由胸就〃C)=MnC?<?<?.

?/oxi-C)?6=0.即a=6(?cotC)....................7分

由正弦定理心■上.

MMAino

sim4?MnS(sinC?cx?C)rsinBsinC?sinBcosC......?????????????8分

在AABC中?媼tri??in(B+C)msinBcoeC?cod^inC.

ftinBsinC=cosSiMnC..........10分

又sinC—O.J.ninB=...................................................................11分

tanfl?I.Xv0<B<?=:r-.............................................................12分

?1

略

21.(本題滿分12分)設函數(shù)f(x)=萬?后,其中向量5k=(2cosx,1),=(cosx,

v3sin2x),xWR.

7T7T

(1)若f(x)=l-尚且x￡[-3,3],求x；

穴

(2)若函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量"=(m,n)(|m|<2)平移后得到函數(shù)y=f(x)的

圖象，求實數(shù)m、n的值。

參考答案：

(本小題滿分12分)

/(x)=2cos*x+"75sin2x=l+cos2x+/sin2x=2sin(2x+—)+1

解：64分

/-/(x)=2sin(2x+￡)+l=1-73

(1)依題意6

sin(2x+—)=

62,

7T7f開5TT'

xe2x+—&

6'21~6

.7T———

63,

7T

x=——

48分

⑵函數(shù)y=2sin2x的圖象平移后為y=2sin2(x-m)+n;

IH?/W=2sin(2x+-)+l

對照6

jr-yr

2m=2k7^--(keZ)H<-

得6;n=l又…12

—;?=1

1212分

略

22.橢圓有兩頂點A(-1,0)、B(1,0),過其焦點F(0,1)的直線1與橢圓交于C、

D兩點，并與x軸交于點P.直線AC與直線BD交于點Q.

(I)當|CD|=2、”時,求直線1的方程;

(II)當點P異于A、B兩點時，求證：OP?OQ為定值.

參考答案：

【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題.

【專題】計算題；綜合題；壓軸題；數(shù)形結合；分類討論；方程思想.

【分析】(I)根據(jù)橢圓有兩頂點A(-1,0)、B(1,0),焦點F(0,1),可知橢圓

的焦點在y軸上，b=l,c=l,可以求得橢圓的方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，消去y得到關

于x的一元二次方程，利用韋達定理和弦長公式可求出直線1的方程；

(II)根據(jù)過其焦點F(0,1)的直線1的方程可求出點P的坐標，該直線與橢圓交于

C、D兩點，和直線AC與直線BD交于點Q,求出直線AC與直線BD的方程，解該方程組即

可求得點Q的坐標，代入瓦?夜即可證明結論.

【解答】解：(I)?.?橢圓的焦點在y軸上，設橢圓的標準方程為ab"(a>b>

0),

由已知得b=l,c=l,所以a=A/1,

y22,

—+X—1

橢圓的方程為2

當直線1與x軸垂直時與題意不符，

設直線1的方程為y=kx+l,C(X),yt),D(x