2024-2025學年高中數(shù)學第一章三角函數(shù)1.5函數(shù)y=Asinωxφ的圖象7教學教案新人教A版必修4

PAGE函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象整體設計教學分析本節(jié)通過圖象變換,揭示參數(shù)φ、ω、A改變時對函數(shù)圖象的形態(tài)和位置的影響,探討函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與正弦曲線的關系,以及A、ω、φ的物理意義,并通過圖象的改變過程,進一步理解正、余弦函數(shù)的性質(zhì),它是探討函數(shù)圖象變換的一個延長,也是探討函數(shù)性質(zhì)的一個直觀反映.這節(jié)是本章的一個難點.如何經(jīng)過變換由正弦函數(shù)y=sinx來獲得函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象呢?通過引導學生對函數(shù)y＝sinx到y(tǒng)＝Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律的探究,讓學生體會到由簡潔到困難、由特別到一般的化歸思想；并通過對周期變換、相位變換先后依次調(diào)整后,將影響圖象變換這一難點的突破,讓學生學會抓住問題的主要沖突來解決問題的基本思想方法;通過對參數(shù)φ、ω、A的分類探討,讓學生深刻相識圖象變換與函數(shù)解析式變換的內(nèi)在聯(lián)系.本節(jié)課建議充分利用多媒體,提倡學生自主探究,在老師的引導下,通過圖象變換和“五點”作圖法,正確找出函數(shù)y＝sinx到y(tǒng)＝Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,這也是本節(jié)課的重點所在.三維目標1.通過學生自主探究,理解φ對y=sin(x+φ)的圖象的影響,ω對y=sin(ωx+φ)的圖象的影響,A對y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響.2.通過探究圖象變換,會用圖象變換法畫出y=Asin(ωx+φ)圖象的簡圖,并會用“五點法”畫出函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的簡圖.3.通過學生對問題的自主探究,滲透數(shù)形結合思想.培育學生的獨立意識和獨立思索實力.學會合作意識,培育學生理解動與靜的辯證關系,擅長從運動的觀點視察問題,培育學生解決問題抓主要沖突的思想.在問題逐步深化的探討中喚起學生追求真理,樂于創(chuàng)新的情感需求,引發(fā)學生渴求學問的劇烈愿望,樹立科學的人生觀、價值觀.重點難點教學重點:用參數(shù)思想分層次、逐步探討字母φ、ω、A改變時對函數(shù)圖象的形態(tài)和位置的影響,駕馭函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象的簡圖的作法.教學難點:由正弦曲線y=sinx到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象的變換過程.課時支配1課時教學過程導入新課思路1.(情境導入)在物理和工程技術的很多問題中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函數(shù)(其中A、ω、φ是常數(shù)).例如,物體做簡諧振動時位移y與時間x的關系,溝通電中電流強度y與時間x的關系等,都可用這類函數(shù)來表示.這些問題的實際意義往往可從其函數(shù)圖象上直觀地看出,因此,我們有必要畫好這些函數(shù)的圖象.揭示課題:函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象.思路2.(干脆導入)從解析式來看,函數(shù)y=sinx與函數(shù)y=Asin(ωx+φ)存在著怎樣的關系?從圖象上看,函數(shù)y=sinx與函數(shù)y=Asin(ωx+φ)存在著怎樣的關系?接下來,我們就分別探究φ、ω、A對y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響.推動新課新知探究提出問題①在同一坐標系中作出y=2sinx及y=sinx的簡圖，并指出它們與y=sinx圖象間的關系。活動:問題①,老師先引導學生閱讀課本開頭一段,老師引導學生思索探討問題的方法.同時引導學生視察y=2sinx圖象上點的坐標和y=sinx的圖象上點的坐標的關系,獲得A對y=Asinx的圖象的影響的詳細相識.然后通過計算機作動態(tài)演示變換過程,引導學生視察改變過程中的不變量,得出它們的橫向伸縮的結論.并讓學生探討探究.最終共同總結圖1問題②,①作函數(shù)y=sin2x及y=sinx的簡圖，并指出它們與y=sinx圖象間的關系。由學生作出取不同值時,函數(shù)y=sin2x及y=sinx的圖象,并探究它與y=sinx的圖象的關系,看看是否仍有上述結論.活動:問題②學生自主完成再進行歸納圖2學生得出結論:函數(shù)y=sinωx(其中ω>0)的圖象,可看作把y=sinx圖象上全部點的縱坐標不變橫坐標伸長(當0<ω<1)或縮短(當ω>1)到原來的1/ω倍而得到.問題③作函數(shù)y=sin(x+)和y=sin(x-)的簡圖，并指出它們與y=sinx圖象之間的關系。老師引導學生獲得更多的關于φ對y=sin(x+φ)的圖象影響的閱歷.為了探討的便利,不妨先取φ=,利用計算機作出在同始終角坐標系內(nèi)的圖象,如圖1,分別在兩條曲線上恰當?shù)剡x取一個縱坐標相同的點A、B,沿兩條曲線同時移動這兩點,并保持它們的縱坐標相等,視察它們橫坐標的關系.可以發(fā)覺,對于同一個y值,y=sin(x+)的圖象上的點的橫坐標總是等于y=sinx的圖象上對應點的橫坐標減去.這樣的過程可通過多媒體課件,使得圖中A、B兩點動起來(保持縱坐標相等),在改變過程中視察A、B的坐標、xB-xA、|AB|的改變狀況,這說明y=sin(x+)的圖象,可以看作是把正弦曲線y=sinx上全部的點向左平移個單位長度而得到的,同時多媒體動畫演示y=sinx的圖象向左平移使之與y=sin(x+)的圖象重合的過程,以加深學生對該圖象變換的直觀理解.再取φ=,用同樣的方法可以得到y(tǒng)=sinx的圖象向右平移后與y=sin(x)的圖象重合.圖3假如再變換φ的值,類似的狀況將不斷出現(xiàn),這時φ對y=sin(x+φ)的圖象的影響的鋪墊已經(jīng)完成,學生關于φ對y=sin(x+φ)的圖象的影響的一般結論已有了大致輪廓.問題③,引導學生通過自己的探討相識φ對y=sin(x+φ)的圖象的影響,并概括出一般結論:y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的圖象,可以看作是把正弦曲線上全部的點向左(當φ>0時)或向右(當φ<0時)平行移動|φ|個單位長度而得到.問題④,老師指導學生獨立或小組合作進行探究,老師作適當指導.留意提示學生依據(jù)從詳細到一般的思路得出結論,詳細過程是:(1)以y=sin(x+)為參照,把y=sin(2x+)的圖象與y=sin(x+)的圖象作比較,取點A、B視察.發(fā)覺規(guī)律:圖2如圖2,對于同一個y值,y=sin(2x+)的圖象上點的橫坐標總是等于y=sin(x+)的圖象上對應點的倍.教學中應當特別細致地對待這個過程,展示多媒體課件,體現(xiàn)伸縮變換過程,引導學生在自己獨立思索的基礎上給出規(guī)律.(2)取ω=,讓學生自己比較y=sin(x+)的圖象與y=sin(x+)圖象.教學中可以讓學生通過作圖、視察和比較圖象、探討等活動,得出結論:把y=sin(x+)圖象上全部點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),就得到y(tǒng)=sin(x+)的圖象.當取ω為其他值時,視察相應的函數(shù)圖象與y=sin(x+)的圖象的關系,得出類似的結論.這時ω對y=sin(ωx+φ)的圖象的影響的鋪墊已經(jīng)完成,學生關于ω對y=sin(ωx+φ)的圖象的影響的一般結論已有了大致輪廓.老師指導學生將上述結論一般化,歸納y=sin(ωx+φ)的圖象與y=sin(x+φ)的圖象之間的關系,得出結論:函數(shù)y=sin(ωx+φ)的圖象可以看作是把y=sin(x+φ)的圖象上全部點的橫坐標縮短(當ω>1時)或伸長(當0<ω<1時)到原來的倍(縱坐標不變)而得到.問題⑤,老師點撥學生,探究A對圖象的影響的過程,與探究ω、φ對圖象的影響完全一樣,激勵學生獨立完成.學生視察y=3sin(2x+)的圖象和y=sin(2x+)的圖象之間的關系.如圖3,分別在兩條曲線上各取一個橫坐標相同的點A、B,沿兩條曲線同時移動這兩點,并使它們的橫坐標保持相同,視察它們縱坐標的關系.可以發(fā)覺,對于同一個x值,函數(shù)y=3sin(2x+)的圖象上的點的縱坐標等于函數(shù)y=sin(2x+)的圖象上點的縱坐標的3倍.這說明,y=3sin(2x+)的圖象,可以看作是把y=sin(2x+)的圖象上全部的點的縱坐標伸長到原來的3倍(橫坐標不變)而得到的.通過試驗可以看到,A取其他值時也有類似的狀況.有了前面兩個參數(shù)的探究,學生得出一般結論:函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的圖象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)上全部點的縱坐標伸長(當A>1時)或縮短(當0<A<1時)到原來的A倍(橫坐標不變)而得到,從而,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的值域是[-A,A],最大值是A,最小值是-A.由此我們得到了參數(shù)φ、ω、A對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的圖象改變的影響狀況.一般地,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的圖象,可以看作用下面的方法得到:先畫出函數(shù)y＝sinx的圖象;再把正弦曲線向左(右)平移|φ|個單位長度,得到函數(shù)y=sin(x+φ)的圖象；然后使曲線上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?得到函數(shù)y=sin(ωx+φ)的圖象；最終把曲線上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍,這時的曲線就是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象.⑥引導學生類比得出.其依次是:先伸縮橫坐標(或縱坐標),再伸縮縱坐標(或橫坐標),最終平移.但學生很簡潔在第三步出錯,可在圖象變換時,對比變換,以引起學生留意,并體會一些細微環(huán)節(jié).由此我們完成了參數(shù)φ、ω、A對函數(shù)圖象影響的探究.老師適時地引導學生回顧思索整個探究過程中體現(xiàn)的思想:由簡潔到困難,由特別到一般的化歸思想.探討結果:①把從函數(shù)y=sinx的圖象到函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的變換過程,分解為先分別考察參數(shù)φ、ω、A對函數(shù)圖象的影響,然后整合為對y=Asin(ωx+φ)的整體考察.②略.③圖象左右平移,φ影響的是圖象與x軸交點的位置關系.④縱坐標不變,橫坐標伸縮,ω影響了圖象的形態(tài).⑤橫坐標不變,縱坐標伸縮,A影響了圖象的形態(tài).⑥可以.先伸縮后平移(提示學生盡量先平移),但要留意第三步的平移.y=sinx的圖象得y=Asinx的圖象得y=Asin(ωx)的圖象得y=Asin(ωx+φ)的圖象.規(guī)律總結:先平移后伸縮的步驟程序如下:y=sinx的圖象得y=sin(x+φ)的圖象得y=sin(ωx+φ)的圖象得y=Asin(ωx+φ)的圖象.先伸縮后平移的步驟程序(見上).應用示例例1.如何由的圖像得到的圖像活動:本例訓練學生的畫圖基本功及鞏固本節(jié)所學學問方法.(1)引導學生從圖象變換的角度來探究,這里的φ＝,ω＝,A＝3,激勵學生依據(jù)本節(jié)所學內(nèi)容自己寫出得到的圖象的過程:只需把y＝sinx的曲線上全部點向右平行移動個單位長度,得到y(tǒng)=sin(x-)的圖象;再把后者全部點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到y(tǒng)=sin(x-)的圖象;再把所得圖象上全部點的縱坐標伸長到原來的3倍(橫坐標不變)而得到函數(shù)的圖象.(2)學生完成以上變換后,為了進一步駕馭圖象的變換規(guī)律,老師可引導學生作換個依次的圖象變換,要讓學生自己獨立完成,細致體會改變的實質(zhì).(3)學生完成以上兩種變換后,就得到了兩種畫函數(shù),簡圖的方法,老師再進一步的啟發(fā)學生能否利用“五點法”作圖畫出函數(shù))的簡圖,并激勵學生動手按“五點法”作圖的要求完成這一畫圖過程.知能訓練課本本節(jié)練習1、2.解答:1.如圖6.點評:第(1)(2)(3)小題分別探討了參數(shù)A、ω、φ對函數(shù)圖象的影響,第(4)小題則綜合探討了這三個參數(shù)對y=Asin(ωx+φ)圖象的影響.2.(1)C;(2)B;(3)C.點評:判定函數(shù)y=A1sin(ω1x+φ1)與y=A2sin(ω2x+φ2)的圖象間的關系.為了降低難度,在A1與A2,ω1與ω2,φ1與φ2中,每題只有一對數(shù)值不同.課堂小結1.由學生自己回顧總結本節(jié)課探究的學問與方法,以及對三角函數(shù)圖象及三角函數(shù)解析式的新的相識,使本節(jié)的總結成為學生凝練提高的平臺.2.老師強調(diào)本節(jié)課借助于計算機探討并畫出y=Asin(ωx+)的圖象,并分別視察參數(shù)φ、ω、A對函數(shù)圖象改變的影響,同時通過詳細函數(shù)的圖象的改變,領悟由簡潔到困難、特別到一般的化歸思想.作業(yè)1.用圖象變換的方法在同一坐標系內(nèi)由y=sinx的圖象畫出函數(shù)y=sin(-2x)的圖象.2.要得到函數(shù)y=cos(2x-)的圖象,只需將函數(shù)y=sin2x的圖象通過怎樣的變換得到?3.指出函數(shù)y=cos2x+1與余弦曲線y=cosx的關系.解答:1.∵y=sin(-2x)=sin2x,作圖過程:y=sinxy=sin2xy=sin2x.2.∵y=cos(2x-)=sin[+(2x-)]=sin(2x+)=sin2(x+),∴將曲線y=sin2x向左平移個單位長度即可.3.∵y=cos2x+1,∴將余弦曲線y=cosx上各點的橫坐標縮短到原來的倍,再將所得曲線上全部的點向上平移1個單位長度,即可得到曲線y=cos2x+1.設計感想1.本節(jié)圖象較多,學生活動量大,因此本節(jié)設計的主要指導思想是充分利用信息技術工具,從整體上探究參數(shù)φ、ω、A對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象整體改變的影響.這符合新課標精神,