自動控制理論第二章-線性系統(tǒng)的數(shù)學模型

本章知識點：線性系統(tǒng)的輸入－輸出時間函數(shù)描述建立機電系統(tǒng)數(shù)學模型的機理分析法傳遞函數(shù)的定義與物理意義非線性數(shù)學模型的小范圍線性化典型環(huán)節(jié)的數(shù)學模型框圖及化簡方法信號流程圖與梅遜公式應用第二章線性系統(tǒng)的數(shù)學模型第一節(jié)線性系統(tǒng)的輸入/輸出時間函數(shù)描述一.物理模型、數(shù)學模型及數(shù)學建模物理模型：任何元件或系統(tǒng)實際上都是很復雜的，難以對它作出精確、全面的描述，必須進行簡化或理想化。簡化后的元件或系統(tǒng)稱為該元件或系統(tǒng)的物理模型。簡化是有條件的，要根據(jù)問題的性質(zhì)和求解的精確要求來確定出合理的物理模型。數(shù)學模型物理模型的數(shù)學描述。是指描述系統(tǒng)輸入、輸出以及內(nèi)部各變量之間動態(tài)關(guān)系的數(shù)學表達式。數(shù)學模型微分方程傳遞函數(shù)方框圖和信號流圖狀態(tài)空間模型

圖2-1常用的數(shù)學模型

建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型的方法有：機理分析法：對系統(tǒng)各部分的運動機理進行分析，按照它們遵循的物理規(guī)律、化學規(guī)律列出各物理量之間的數(shù)學表達式,然后建立起系統(tǒng)的數(shù)學模型。b.

實驗辯識法：對系統(tǒng)施加某種測試信號（如階躍、脈沖、正弦等），記錄基本輸出響應（時間響應、頻率響應），估算系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。數(shù)學建模從實際系統(tǒng)中抽象出系統(tǒng)數(shù)學模型的過程。實驗法：基于系統(tǒng)辨識的建模方法已知知識和辨識目的實驗設(shè)計--選擇實驗條件模型階次--適合于應用的適當?shù)碾A次參數(shù)估計--最小二乘法模型驗證—將實際輸出與模型的計算輸出進行比較，系統(tǒng)模型需保證兩個輸出之間在選定意義上的接近黑匣子輸入（已知）輸出（已知）圖2-21建立物理模型；2根據(jù)物理定律（如牛頓定律、基爾霍夫電流和電壓定律、能量守恒定律等）列寫原始方程；3確定系統(tǒng)的輸入量、輸出量，消去中間變量，寫出表示系統(tǒng)輸入、輸出關(guān)系的線性常微分方程。機理分析法建立系統(tǒng)數(shù)學模型的步驟:例2-1:圖2-1為由一RC組成的四端無源網(wǎng)絡(luò)。試列寫以U1(t)為輸入量，U2(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程。解：設(shè)回路電流i1、i2，根據(jù)克?；舴蚨?，列寫方程組如下：U1R1R2U2C1C2圖2-1RC組成的四端網(wǎng)絡(luò)(1)(2)(3)(4)(5)二.機理分析法建立系統(tǒng)數(shù)學模型舉例i1i2由(4)、(5)得由(2)導出將i1、i2代入(1)、(3)，則得U1R1R2U2C1圖2-1RC組成的四端網(wǎng)絡(luò)C2i2i1這就是RC四端網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學模型，為二階線性常微分方程。即例2-2圖2-6所示為電樞控制直流電動機的電路圖，要求取電樞電壓Ua(t)（v）為輸入量，電動機轉(zhuǎn)速--ωm（t）（rad/s）為輸出量，列寫微分方程。圖中Ra(Ω)、La(H)分別是電樞電路的電阻和電感，Mc(N·M)是折合到電動機軸上的總負載轉(zhuǎn)矩。激磁磁通為常值。圖2-6電樞控制直流電動機原理圖負載--UaEa+La+-ifRamiaSMjmfm解：列寫電樞電路平衡方程

——電樞反電勢，其表達式為

——反電勢系數(shù)（v/rad/s）

圖2-6電樞控制直流電動機原理圖負載--UaEa+La+-ifRamiaSMjmfm由上式解得ia，并代入（1）式。同時將（2）式代入（1）式，得在工程應用中，由于電樞電路電感La較小，通常忽略不計，故（3）可簡化為其中（5）如果電樞電阻和電動機的轉(zhuǎn)動慣量都很小而忽略不計時（4）還可進一步簡化為例2-3試證明圖2-4示(a)、(b)所示的機、電系統(tǒng)是相似系統(tǒng)(即兩系統(tǒng)具有相同的數(shù)學模型)。

B1B2K1K2XrXc

（a）機械系統(tǒng)R2C2R1C1UrUc

(b)電氣系統(tǒng)圖2-4電機相似系統(tǒng)對電氣網(wǎng)絡(luò)(b)，列寫電路方程如下：

解：對機械網(wǎng)絡(luò)：輸入為Xr，輸出為Xc，根據(jù)力平衡，可列出其運動方程式利用②、③、④求出

代入①將①兩邊微分得力-電壓相似把數(shù)學模型相同的各種物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。如機系統(tǒng)（a）和電系統(tǒng)（b）具有相同的數(shù)學模型，故這些物理系統(tǒng)為相似系統(tǒng)。（即電系統(tǒng)為機系統(tǒng)的等效網(wǎng)絡(luò)）相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象之間的相似關(guān)系。一種物理系統(tǒng)的研究結(jié)論可以推廣到其相似系統(tǒng)?？梢赃M行系統(tǒng)的模擬研究。即用一種比較容易實現(xiàn)的系統(tǒng)（如電系統(tǒng)）模擬其它較難實現(xiàn)的系統(tǒng)（如機械系統(tǒng)等）因為一般來說，電的或電子的系統(tǒng)更容易通過試驗進行研究。1/C21/C1電阻R2電阻R1電氣彈性系數(shù)K2彈性系數(shù)K1阻尼B2阻尼B1機械三.線性微分方程的求解

1.經(jīng)典解法:ω(t)=ωp(t)+ωh(t)

特解

通解還可分為ω(t)=ω∞(t)+ωt(t)

穩(wěn)態(tài)解暫態(tài)解2.數(shù)學工具－拉普拉斯變換與反變換a2[s2ω(s)–sω(0)-ω'(0)]+a1[sω(s)–ω(0)]+a0ω(s)=b1[sUg(s)–Ug(0)]+b0Ug(s)整理，

得

ω(s)=ω1(s)+ω2(s)

=Ug(s)+∴

ω(t)=ω1(t)+ω2(t)

零狀態(tài)解零輸入解（自由響應）3.求解所用數(shù)學工具－拉普拉斯變換與反變換⑴拉氏變換定義設(shè)函數(shù)f(t)滿足①t<0時f(t)=0②t>0時，f(t)分段連續(xù)

則f(t)的拉氏變換存在，其表達式記作：(2)常用函數(shù)的拉氏變換函數(shù)名稱原函數(shù)f(t)象函數(shù)F(s)脈沖函數(shù)1階躍函數(shù)1(t)斜坡函數(shù)t拋物線函數(shù)指數(shù)函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)(3)拉氏變換基本定理初值定理微分定理積分定理線性定理位移定理延遲定理終值定理(4)拉氏反變換：F(s)化成下列因式分解形式：a．F(s)中具有不同的極點時，可展開為b.F(s)含有共扼復數(shù)極點時，可展開為c.F(s)含有多重極點時，可展開為

其余各極點的留數(shù)確定方法與上同。應用拉氏變換方法求解常微分方程的步驟：1.常微分方程分別求拉氏變換；2.用代數(shù)方法解出所求變量的象函數(shù)，得到s的有理分式；3.對上述s的有理分式進行部分分式展開，并求出待定系數(shù)；4.利用拉氏反變換求出各部分分式對應的原函數(shù)。一、傳遞函數(shù)１．定義：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。零初使條件是指當t≤0時,系統(tǒng)r(t)、c(t)以及它們的各階導數(shù)均為零。第二節(jié)線性系統(tǒng)的輸入—輸出傳遞函數(shù)描述線性系統(tǒng)微分方程的一般形式為:設(shè)R(s)=L[r(t)],C(s)=L[c(t)],當初始條件均為0時,有：(sn+a1sn-1+…+an-1s+an)C(s)=(b0sm+b1sm-1+…+bm-1s+bm)R(s)

得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)奇點：使G(S)或其導數(shù)不存在的點。極點是一種最常見的奇點。G(S)的極點就是其分母部分為零時即：的根。上述方程就是線性微分方程的特征方程。因此，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點也就是系統(tǒng)微分方程的特征方程的根。零點：在S平面上使G(S)等于零的點。傳遞函數(shù)G(S)是復變函數(shù)。是S的有理函數(shù)。m≤n

2．幾點結(jié)論：（1）傳函是由微分方程在初始條件為零時進行拉氏變換得到的。

（2）如果已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和輸入信號,則可求得初始條件為零時輸出量的拉氏變換式C（S）,再求C（S）的拉氏反變換可得到系統(tǒng)的響應

c(t)，稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。所以傳遞函數(shù)和微分方程、傳遞函數(shù)與時域響應之間都具有密切聯(lián)系。（3）系統(tǒng)響應的特性由傳遞函數(shù)決定，而和系統(tǒng)的輸入無關(guān)。傳遞函數(shù)則由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)決定。（4）傳遞函數(shù)的分母多項式即為微分方程的特征多項式，為1+開環(huán)傳遞函數(shù)。（5）同一系統(tǒng)的輸出對不同的輸入量有不同的傳遞函數(shù)，但特征多項式唯一。（6）在給定輸入和初始條件下，解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應，包括兩部分：

系統(tǒng)響應=零輸入響應+零狀態(tài)響應零輸入響應——在輸入為零時，系統(tǒng)對零初始狀態(tài)的響應；零狀態(tài)響應——在零初始條件下，系統(tǒng)對輸入的響應。（7）與微分方程的區(qū)別及聯(lián)系微分方程是在時域中描述系統(tǒng)動態(tài)性能的數(shù)學模型，稱為時間域描述，簡稱時域描述。在給定外作用和初始條件下，解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化時分析較麻煩。用拉氏變化法求解微分方程時，可以得到控制系統(tǒng)在復數(shù)域的數(shù)學模型----傳遞函數(shù)。稱為頻率域描述，簡稱頻域描述。--》機械系統(tǒng)傳遞函數(shù)例2-5

求例2-2機械系統(tǒng)與電路系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

和解：--》電系統(tǒng)的傳遞函數(shù)性質(zhì)1傳遞函數(shù)G(s)是復變量s的有理真分式函數(shù)，

m≤n，且所有系數(shù)均為實數(shù)。二．傳遞函數(shù)的幾點性質(zhì)性質(zhì)4如果傳遞函數(shù)G(s)已知，那么可以研究系統(tǒng)在各種輸入信號作用下的輸出響應。性質(zhì)3傳遞函數(shù)G(s)雖然描述了輸出與輸入之間的關(guān)系，但它不提供任何該系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。因為許多不同的物理系統(tǒng)具有完全相同的傳遞函數(shù)。性質(zhì)2傳遞函數(shù)G(s)取決于系統(tǒng)或元件自身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量的形式（幅度與大?。o關(guān)。性質(zhì)5如果系統(tǒng)的G(s)未知，可以給系統(tǒng)加上已知的輸入，研

究其輸出，從而得出傳遞函數(shù)，一旦建立G(s)可以給出

該系統(tǒng)動態(tài)特性的完整描述，與其它物理描述不同。性質(zhì)6傳遞函數(shù)與系統(tǒng)微分方程之間有關(guān)系，二者可以相互轉(zhuǎn)換。性質(zhì)7傳遞函數(shù)G(s)是單位脈沖響應g(t)的拉氏變換（P15）。性質(zhì)8傳遞函數(shù)G(s)與S平面上一定的零、極點圖相對應。例2-6在例2-1中，設(shè)當輸入為單位階躍函數(shù),即U1(t)=時,求輸出解：根據(jù)例1得到的微分方程。1(t)三．傳遞函數(shù)的極點和零點對輸出的影響

極點是微分方程的特征根，因此，決定了所描述系統(tǒng)自由運動的模態(tài)。為傳遞函數(shù)的零點為傳遞函數(shù)的極點零點距極點的距離越遠，該極點所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越大零點距極點的距離越近，該極點所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越小如果零極點重合－該極點所產(chǎn)生的模態(tài)為零，因為分子分母相互抵消。

第三節(jié)非線性系統(tǒng)數(shù)學模型的線性化

在建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型時，常常遇到非線性問題。非線性是指系統(tǒng)（或元件）的輸出量與輸入量間的靜態(tài)特性不是直線關(guān)系。嚴格說來，任何實際系統(tǒng)都存在不同程度的非線性。對于非線性系統(tǒng)，要用非線性微分方程來描述。但對非線性微分方程沒有統(tǒng)一的、成熟的解法，有時甚至是無法求解的。但是許多非線性系統(tǒng)在一定條件下可以近似地視為線性系統(tǒng)。有條件地將非線性數(shù)學模型化為線性模型來處理的方法，稱為非線性系統(tǒng)數(shù)學模型的線性化。小偏差法或增量法是常用的線性化方法。設(shè)圖2-34所示非線性特性的數(shù)學模型為：y=f（x）式中x—輸入量；y—輸出量；

f（x）—某個非線性函數(shù)。

設(shè)函數(shù)y=f（x）在（x0，y0）點附近連續(xù)可微(此即為非線性系統(tǒng)數(shù)學模型線性化的條件）,則可將函數(shù)f（x）在（x0，y0）附近展開成泰勒級數(shù)：式中

——比例系數(shù),是隨工作點A（x0，y0)

不同而不同的常數(shù)

具有兩個以上輸入量的非線性系統(tǒng)線性化處理方法與前述方法相似。求線性化數(shù)學模型的步驟:按物理和化學定律，列出系統(tǒng)的原始方程式，確定平衡點處各變量的數(shù)值找出原始方程式中間變量與其它因素的關(guān)系，若為非線性函數(shù)，在原平衡點鄰域內(nèi)，各階導數(shù)存在并且是唯一的，則可進行線性化處理。將非線性特性展開為泰勒級數(shù)，忽略偏差量的高次項，留下一次項，求出它的系數(shù)值。消去中間變量，在原始方程式中，將各變量用平衡點處值的偏差量來表示。1234注意以下幾點：(1)(2)(3)(4)線性化方程中的常數(shù)與選擇的靜態(tài)工作點的位置有關(guān),工作點不同時相應的常數(shù)也不相同泰勒級數(shù)線性化是小范圍線性化。當輸入量的變化范圍較大時，用上述方法建立數(shù)學模型引起的誤差較大。因此只有當輸入量變化較小時才能使用。若非線性特性不滿足連續(xù)可微的條件,則不能采用前述處理方法.線性化方法得到的微分方程是增量化方程。

由微分方程直接得出的傳遞函數(shù)是復變量s的有理分式。對于實際物理系統(tǒng)，傳遞函數(shù)的分子、分母多項式的所有系數(shù)均為實數(shù)，而且分母多項式的階次n

不低于分子多項式的階次m，分母多項式階次為n的傳遞函數(shù)稱為n階傳遞函數(shù)，相應的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)

。第四節(jié)典型環(huán)節(jié)的數(shù)學模型傳遞函數(shù)可表示成復變量s的有理分式:傳遞函數(shù)可表示成零、極點表示：系統(tǒng)傳遞函數(shù)有時還具有零值極點，設(shè)傳遞函數(shù)中有

個零值極點,并考慮到零極點都有實數(shù)和共軛復數(shù)的情況,則傳遞函數(shù)的后兩種表示的一般形式為：(a)(b)可見，系統(tǒng)傳遞函數(shù)是由一些常見基本因子,如式上中的(

js+1)、1/(Tis+1)等組成。即系統(tǒng)傳遞函數(shù)表示為上式時，系統(tǒng)傳遞函數(shù)是這些常見基本因子的乘積。這些常見基本因子代表的環(huán)節(jié)稱為典型環(huán)節(jié)。任何復雜的系統(tǒng)都可以用若干典型環(huán)節(jié)構(gòu)成。具有相同基本因子傳遞函數(shù)的元件，可以是不同的物理元件，但都具有相同的運動規(guī)律。從傳遞函數(shù)的表示式中可以看到，傳遞函數(shù)的基本因子對應的典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)等。

比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)，其輸出量與輸入量之間的關(guān)系為固定的比例關(guān)系，即它的輸出量能夠無失真、無延遲地按一定的比例關(guān)系復現(xiàn)輸入量。時域中的代數(shù)方程為：c(t)=Kr(t)t

0

；式中K為比例系數(shù)或傳遞系數(shù)，有時也稱為放大系數(shù)。

完全理想的比例環(huán)節(jié)是不存在的。對某些系統(tǒng)當做比例環(huán)節(jié)是一種理想化的方法。l．比例環(huán)節(jié)所以比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

：L-變換C(S)=KR(S)式中K——比例系數(shù)。

T——慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，衡量輸出量跟隨輸入量的變化

慣性環(huán)節(jié)又稱為非周期環(huán)節(jié)，其輸入量和輸出量之間的關(guān)系可用下列微分方程來描述：2．慣性環(huán)節(jié)3．積分環(huán)節(jié)輸出量與輸入量的積分成比例，系數(shù)為K。積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：積分環(huán)節(jié)的動態(tài)方程為：

積分環(huán)節(jié)具有一個零值極點，即極點位于S平面上的坐標原點處。T稱為積分時間常數(shù)。從傳遞函數(shù)表達式易求得在單位階躍輸入時的輸出為：

上式說明，只要有一個恒定的輸入量作用于積分環(huán)節(jié)，其輸出量就與時間成比例地無限增加。振蕩環(huán)節(jié)的微分方程是：相應的傳遞函數(shù)為：

式中T——時間常數(shù)；

—阻尼系數(shù)（阻尼比）且0＜＜1。振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)具有一對共軛復數(shù)極點,在復平面S上的位置見圖2-8所示,傳遞函數(shù)可改寫為：

n=1/T——無阻尼自然振蕩頻率。共軛復數(shù)極點為：4．振蕩環(huán)節(jié)5．微分環(huán)節(jié)

微分是積分的逆運算,按傳遞函數(shù)的不同,微分環(huán)節(jié)可分為三種：理想微分環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)（也稱為比例加微分環(huán)節(jié)）和二階微分環(huán)節(jié)。相應的微分方程為：相應的傳遞函數(shù)為：

延遲環(huán)節(jié)又稱為純滯后環(huán)節(jié)、時滯環(huán)節(jié)。其輸出信號比輸入信號遲后一定的時間。就是說，延遲環(huán)節(jié)的輸出是一個延遲時間

后，完全復現(xiàn)輸入信號，即

式中

——純延遲時間。單位階躍輸入時，延遲環(huán)節(jié)的輸出響應如右圖示．根據(jù)拉氏變換的延遲定理，可得延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：6．延遲環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)數(shù)學模型注意三點：（1）系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)是按模型的共性建立的，它與系統(tǒng)中采用的元件不是一一對應的。（2）分析或設(shè)計控制系統(tǒng)必先建立系統(tǒng)或被控對象的數(shù)學模型，將其與典型環(huán)節(jié)的數(shù)學模型對比后，即可知其由那些典型環(huán)節(jié)組成。將有助于系統(tǒng)動態(tài)特性的研究和分析。（3）典型環(huán)節(jié)的概念只適用于能夠用線性定常數(shù)學模型描述的系統(tǒng)。

框圖與信號流圖是自動控制系統(tǒng)的兩種圖形研究方法，是分析系統(tǒng)的有力工具。一．框圖的基本概念

１．控制系統(tǒng)的方框圖又稱為方塊圖或結(jié)構(gòu)圖，是系統(tǒng)各元件特性、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號流向的圖解表示法。第五節(jié)框圖及其化簡方法

它用一個方框表示系統(tǒng)或環(huán)節(jié)，如上圖所示?？驁D的一端為輸入信號r(t)，另一端是經(jīng)過系統(tǒng)或環(huán)節(jié)后的輸出信號c（t），圖中箭頭指向表示信號傳遞的方向。方框中用文字表示系統(tǒng)或環(huán)節(jié)，也可以填入表示環(huán)節(jié)或系統(tǒng)輸出和輸入信號的拉氏變換之比-----傳遞函數(shù)，這是更為常用的框圖。六種典型環(huán)節(jié)的框圖如下：G(s)R(s)C(s)

圖2-12

方塊圖中的方塊信號線方塊r(t)c(t)二．方塊圖元素（1）方塊（BlockDiagram）:表示輸入到輸出單向傳輸?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。（2）比較點（合成點、綜合點）SummingPoint

兩個或兩個以上的輸入信號進行加減比較的元件?！?”表示相加，“-”表示相減?！?”號可省略不寫。+Υ1Υ1+Υ2Υ2+Υ1Υ1Υ2+Υ3Υ2Υ3注意：進行相加減的量，必須具有相同的量綱。圖

2-13

--Υ1Υ2++-Υ1Υ2-(3)分支點（引出點、測量點）BranchPoint表示信號測量或引出的位置

（4）信號線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的流向，在直線旁標記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)。(1)前向通路傳遞函數(shù)--假設(shè)N(s)=0,打開反饋后，輸出C(s)與R(s)之比。等價于C(s)與誤差E(s)之比三．幾個基本概念及術(shù)語(2)反饋回路傳遞函數(shù)

----假設(shè)N(s)=0

主反饋信號B(s)與輸出信號C(s)之比。(3)開環(huán)傳遞函數(shù)Open-loopTransferFunction

假設(shè)N(s)=0，主反饋信號B(s)與誤差信號E(s)之比。

從上式可以看出，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)等于前向通道的傳遞函數(shù)與反饋通道的傳遞函數(shù)之乘積。(4)閉環(huán)傳遞函數(shù)Closed-loopTransferFunction

假設(shè)N(s)=0

輸出信號C(s)與輸入信號R(s)之比。推導：因為右邊移過來整理得

即

請記住**(5)誤差傳遞函數(shù)假設(shè)N(s)=0

誤差信號E(s)與輸入信號R(s)之比。**將代入上式，消去G(s)即得：(6)輸出對擾動的傳遞函數(shù)假設(shè)R(s)=0圖2-16輸出對擾動的結(jié)構(gòu)利用公式**，直接可得：**（7）誤差對擾動的傳遞函數(shù)假設(shè)R(s)=0

圖2-17誤差對擾動的結(jié)構(gòu)圖

利用公式**，直接可得：**

線性系統(tǒng)滿足疊加原理，當控制輸入Ｒ（Ｓ）與擾動Ｎ(Ｓ)同時作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)的輸出及誤差可表示為：注意：由于N(s)極性的隨機性，因而在求E(s)時，不能認為利用N(s)產(chǎn)生的誤差可抵消R(s)產(chǎn)生的誤差。（1）考慮負載效應分別列寫系統(tǒng)各元部件的微分方程或傳遞函數(shù)，并將它們用方框表示。（2）根據(jù)各元部件的信號流向，用信號線依次將各方框連接起來，便可得到系統(tǒng)的框圖。（系統(tǒng)框圖也是系統(tǒng)數(shù)學模型的一種表示）

繪制框圖四．框圖的繪制RCi（a）iuou圖2-18一階RC網(wǎng)絡(luò)

解：由圖2-18，利用基爾霍夫電壓定律及電容元件特性可得：對其進行拉氏變換得：

例１：畫出下列RC電路的方塊圖。

將圖（b）和(c)組合起來即得到圖(d)，圖(d)為該一階RC網(wǎng)絡(luò)的框圖。（b）I(s))(sUi)(sUoI(s)（c）)(sUo圖2-19（d）－I(s))(sUo)(sUo)(sUi圖2-201/R1/SC-1/R1/SC例２：畫出下列R-C網(wǎng)絡(luò)的方塊圖

分析：由圖2-21清楚地看到，后一級R2-C2網(wǎng)絡(luò)作為前級R1-C1網(wǎng)絡(luò)的負載，對前級R1-C1網(wǎng)絡(luò)的輸出電壓uc1產(chǎn)生影響，這就是負載效應。解：（1）根據(jù)電路定理列出方程，寫出對應的拉氏變換，也可直接畫出該電路的運算電路圖如圖(b)；

（2）根據(jù)列出的4個式子作出對應的框圖；

（3）根據(jù)信號的流向?qū)⒏鞣娇蛞来芜B接起來。

如果在這兩級R-C網(wǎng)絡(luò)之間接入一個輸入阻抗很大而輸出阻抗很小的隔離放大器，如圖2-23(a)所示。則此電路的方塊圖如圖2-23(b)所示。

作業(yè)：P462-12-22-5方框圖的等效變換相當于在方框圖上進行數(shù)學方程的運算。常用的方框圖等效變換方法可歸納為兩類。環(huán)節(jié)的合并;信號分支點或相加點的等效移動。五.方框圖的等效變換

方框圖變換必須遵循的原則是：變換前、后的數(shù)學關(guān)系保持不變，因此方框圖變換是一種等效變換，同時由于傳遞函數(shù)和變量的方程是代數(shù)方程，所以方框圖變換是一些簡單的代數(shù)運算。（－）環(huán)節(jié)的合并

環(huán)節(jié)之間互相連接有三種基本形式：串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接。

特點:

前一個環(huán)節(jié)的輸出信號就是后一環(huán)節(jié)的輸入信號.要求出第三個環(huán)節(jié)的輸出與第一個環(huán)節(jié)的輸入之間的傳遞函數(shù)時圖2-24環(huán)節(jié)串聯(lián)的合并1．環(huán)節(jié)的串聯(lián)

上式表明，三個環(huán)節(jié)的串聯(lián)可以用一個等效環(huán)節(jié)來代替。這種情況可以推廣到有限個環(huán)節(jié)串聯(lián)（各環(huán)節(jié)之間無負載效應）的情況，等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)等于各個串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的乘積，如有n個環(huán)節(jié)串聯(lián)則等效傳遞函數(shù)可表示為：特點:是各環(huán)節(jié)的輸入信號相同，輸出信號相加（或相減）。

等效傳遞函數(shù)為：環(huán)節(jié)的并聯(lián)2.環(huán)節(jié)的并聯(lián)以上結(jié)論可推廣到一般情況，當有n個環(huán)節(jié)并聯(lián)時，其輸出信號相加則有等效傳遞函數(shù)負反饋：反饋信號與給定輸入信號符號相反的反饋。正反饋：反饋信號與給定輸入信號符號相同的反饋。3．反饋連接將系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出信號反饋到輸入端，并與原輸入信號進行比較后再作為輸入信號，即為反饋連接，如圖所示。上述三種基本變換是進行方框圖等效變換的基礎(chǔ)。對于較復的系統(tǒng),例如當系統(tǒng)具有信號交叉或反饋環(huán)交叉時,僅靠這三種方法是不夠的。（二）信號相加點和信號分支點的等效變換

對于一般系統(tǒng)的方框圖，系統(tǒng)中常常出現(xiàn)信號或反饋環(huán)相互交叉的現(xiàn)象，此時可將信號相加點（匯合點）或信號分支點（引出點）作適當?shù)牡刃б苿?，先消除各種形式的交叉，再進行等效變換即可。將信號引出點及匯合點前后移動的規(guī)則：1.變換前與變換后前向通道中傳遞函數(shù)的乘積必須保持不變;2.變換前與變換后回路中傳遞函數(shù)的乘積必須保持不變。

信號相加點的移動分兩種情況：前移和后移。為使信號相加點移動前后輸出量與輸入量之間的關(guān)系不變,必須在移動相加信號的傳遞通道上增加一個環(huán)節(jié)，它的傳遞函數(shù)分別為1／G（S）（前移）和G（S）（后移）。信號分支點（取出點）的移動也分前移和后移兩種情況。但分支點前移時應在取出通路上增加一個傳遞函數(shù)為G（S）的環(huán)節(jié)，后移時則增加一個傳遞函數(shù)為1／G（S）的環(huán)節(jié)。

此外，兩個相鄰的信號相加點和兩個相鄰的信號分支點可以互換位置。但必須注意，相鄰的相加點與分支點的位置不能簡單互換。下表列出了信號相加點和信號分支點等效變換的各種方法。

例：求傳遞函數(shù)Eo圖2-27（a)圖2-27（b)R1C2S+++---EiEiEEo++R1C2s+－--EoEo圖2-27（c)圖2-27（d)EoR1C2S+-EiR1C2S+-EiEi圖2-27（e)第六節(jié)信號流圖與梅遜公式

信號流圖和方框圖類似，都可用來表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號傳送過程中的數(shù)學關(guān)系。因而信號流圖也是一種數(shù)學模型。采用信號流圖，則可利用梅遜公式，不需作變換而直接得出系統(tǒng)中任何兩個變量之間的數(shù)學關(guān)系。一.信號流圖及其等效變換

（－）基本概念信號流圖是一種將線性代數(shù)方程組用圖形來表示的方法。例如：信號流圖中，用小圓圈“O”表示變量，并稱其為節(jié)點。節(jié)點之間用加權(quán)的有向線段連接，稱為支路。通常在支路上標明前后兩個變量之間的數(shù)學關(guān)系，因此支路的權(quán)又稱為傳輸。因果關(guān)系式因果關(guān)系圖（二）常用術(shù)語；

信號流圖中除有節(jié)點和支路外，還常用到下述術(shù)語。出支路：離開節(jié)點的支路。入支路：進入節(jié)點的支路。源節(jié)點：只有出支路的節(jié)點，對應于自變量或外部輸入，因此也稱為輸入節(jié)點。4.匯節(jié)點：只有入支路的節(jié)點，對應于因變量，有時也稱為輸出節(jié)點。

5.混合節(jié)點：既有入支路，又有出支路的節(jié)點。6.通道：又稱為路徑，是指從一個節(jié)點出發(fā)，沿著支路的箭頭方向相繼經(jīng)過多個節(jié)點間的支路，一個信號流圖可以有多條通道。7.開通道：如果通道從某個節(jié)點出發(fā)，終止于另一個節(jié)點上，并且通道中每個節(jié)點只經(jīng)過一次，則稱這樣的通道為開通道。閉通道：如果通道的終點就是通道的起始點，并且通道中每個節(jié)點只經(jīng)過一次，則該通道稱為閉通道或回路、回環(huán)等。如果一個通道從一個節(jié)點開始，只經(jīng)過一個支路又回到該節(jié)點，則稱這樣的通道為自回環(huán)。9.前向通道：從源節(jié)點出發(fā)到匯節(jié)點終止，而且每個節(jié)點只通過一次的通道稱為前向通道。10.互不接觸回環(huán)：如果一些回路沒有任何公共節(jié)點和回路，就稱它們?yōu)榛ゲ唤佑|回環(huán)。11.通道傳輸：指沿通道各支路傳輸?shù)某朔e，也稱為通道增益。12.回環(huán)傳輸：又稱為回環(huán)增益，指閉通道中各支路傳輸?shù)某朔e。例如下圖中，x。為源節(jié)點，x6為匯節(jié)點。x1、x2、x3、x4和x5為混合節(jié)點。通道abcdej是一條前向通道，而abcde和fghi是普通的通道，ai不是通道,因為兩條支路的方向不一致。bbi也不是通道，因為兩次經(jīng)過節(jié)點x1

。bi是一個閉通道（回環(huán)），而bchi不是一個閉通道，因為有兩次經(jīng)過節(jié)點x2。圖中共有四個回環(huán)，即bi,ch,dg和ef。兩個互不接觸的回環(huán)有三種組合，即bief,bidg和chef。本系統(tǒng)沒有三個及三個以上互不接觸的回環(huán)。（三）信號流圖的基本性質(zhì)

（1）用節(jié)點表示變量，源節(jié)點代表輸入量，匯節(jié)點代表輸出量，用混合節(jié)點表示變量或信號的匯合。在混合節(jié)點處，所有出支路的信號（即混合節(jié)點對應的變量）等于各支路引入信號的代數(shù)和。（2）以支路表示變量或信號的傳輸和變換過程，信號只能沿著支路的箭頭方向傳輸。在信號流圖中每經(jīng)過一條支路，相當于在方框圖中經(jīng)過一個用方框表示的環(huán)節(jié)。（3）增加一個具有單位傳輸?shù)闹?，可把混合?jié)點變?yōu)閰R節(jié)點。

（4）對于同一系統(tǒng)，信號流圖的形式不是唯一的。（l）串聯(lián)支路的總傳