河南省豫北名校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月月考試題數(shù)學(xué)

河南省豫北名校5月份聯(lián)考考試2023—2024學(xué)年高一年級(jí)階段性測(cè)試（四）數(shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.2.已知平面向量，，且，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.2 D.3.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，若將四邊形水平放置，用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖，則四邊形的面積為（）A.4 B. C.8 D.4.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，則（）A. B. C. D.5.已知向量，的夾角為，，，在中，，，，則（）A.2 B. C. D.66.已知正四棱臺(tái)上、下底面邊長(zhǎng)分別為2和4，直線與的夾角為，則該正四棱臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.7.如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，，，在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高為（）A. B. C. D.8.已知圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，是圓錐的頂點(diǎn)，是底面圓的直徑，是弧的中點(diǎn)，，分別為線段，的中點(diǎn)，則（）A.2 B. C.3 D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.空間中有兩個(gè)不同的平面，和兩條不同的直線，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，，則B若，，，則C.若，，，則D.若，，，則10.歐拉公式（其中為虛數(shù)單位，）是由18世紀(jì)瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，它把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)、虛數(shù)單位、三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美.已知實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣也適用于復(fù)數(shù)指數(shù)冪，根據(jù)歐拉公式，下列說(shuō)法正確的是（）A.B.對(duì)任意，與互為共軛復(fù)數(shù)C.對(duì)任意，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上D.復(fù)數(shù)的實(shí)部為11.已知向量，，，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.設(shè)函數(shù)，則的最大值為2C.的最大值為D.若，且在上的投影向量為，則與的夾角為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離是，則____.13.在中，，，點(diǎn)在邊上，則的最小值為________.14.如圖所示，在直三棱柱中，，，則該三棱柱外接球的表面積為______；平面過棱的中點(diǎn)且與平行，若截該三棱柱所得的截面為等腰梯形，則該截面的面積為_________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.15已知向量，，向量滿足，且.（1）求的坐標(biāo)；（2）若與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.16.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，，且的虛部是實(shí)部的2倍.（1）求；（2）若復(fù)數(shù)使得為純虛數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合是什么圖形？17.如圖所示，是圓柱下底面圓直徑，是下底面圓周上異于，的動(dòng)點(diǎn)，，是圓柱的兩條母線.（1）求證：平面；（2）若異面直線與所成的角為，圓柱的表面積為，求四棱錐體積的最大值.18.如圖所示，在四棱錐中，平面，，，為棱上一點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）求二面角的大小；（3）求點(diǎn)到平面的距離.19.在中，內(nèi)角，，對(duì)邊分別為，，，且.（1）求；（2）如圖1，，，求；（3）如圖2，若，，在邊，上分別取點(diǎn)，，將沿直線折疊，使頂點(diǎn)正好落在邊上的點(diǎn)處，求的最大值.河南省豫北名校5月份聯(lián)考考試2023—2024學(xué)年高一年級(jí)階段性測(cè)試（四）數(shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，表示出復(fù)數(shù)，代入到要求的式子中即可得出答案.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，所以.故選：C.2.已知平面向量，，且，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】利用向量數(shù)量積和向量垂直的概念求出參數(shù)的取值.【詳解】，，則故答案選：D.3.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，若將四邊形水平放置，用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖，則四邊形的面積為（）A.4 B. C.8 D.【答案】A【解析】【分析】依題意可知直觀圖為平行四邊形，作出直觀圖，求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度，即可求出面積.【詳解】依題意可知四邊形為平行四邊形，則直觀圖也為平行四邊形，其直觀圖如下所示：又，，則，，，所以，所以.故選：A4.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理得到，再由正弦定理將邊化角，即可求出，從而得解.【詳解】由余弦定理，又，所以，所以，由正弦定理可得，又，所以，所以，又，解得或，又，所以，則，所以.故選：C5.已知向量，的夾角為，，，在中，，，，則（）A.2 B. C. D.6【答案】A【解析】【分析】首先由數(shù)量積的定義求出，再由平面向量線性運(yùn)算法則得到，最后根據(jù)及數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)橄蛄?，的夾角為，，，所以，又因?yàn)?，所?故選：A6.已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2和4，直線與的夾角為，則該正四棱臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將正四棱臺(tái)補(bǔ)形為正四棱錐，求出棱錐的高，即可得到棱臺(tái)的高，再根據(jù)臺(tái)體的體積公式計(jì)算可得.【詳解】依題意將正四棱臺(tái)補(bǔ)形為正四棱錐，如下圖所示：、因?yàn)橹本€與的夾角為，所以為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，又，且，所以是的中位線，設(shè)，則平面，且，所以正四棱臺(tái)的高，所以四棱臺(tái)的體積.故選：D7.如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，，，在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t塔高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在中，利用正弦定理求出長(zhǎng)，再在直角中即可作答.【詳解】在中，依題意有，由正弦定理得，即，由于塔垂直于地面，于是在直角中，，從而得，所以塔高m.故選：C8.已知圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，是圓錐的頂點(diǎn)，是底面圓的直徑，是弧的中點(diǎn)，，分別為線段，的中點(diǎn)，則（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)為的中點(diǎn)，連接、，根據(jù)圓錐的性質(zhì)得到底面，則，求出，利用余弦定理求出，最后由勾股定理計(jì)算可得.【詳解】如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，連接、，依題意底面，，所以，，，，所以底面，又底面，所以，在中，，即為等腰直角三角形，則，，又為的中點(diǎn)，所以，在中，所以.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.空間中有兩個(gè)不同的平面，和兩條不同的直線，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D若，，，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)空間中線線、線面、面面位置關(guān)系一一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，若，，則或，又，所以，故A正確；對(duì)于B，若，，則或，又，則與斜交、垂直、平行及均有可能，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則，又，則，故C正確；對(duì)于D，若，，則或，又，則或，故D錯(cuò)誤．故選：AC．10.歐拉公式（其中為虛數(shù)單位，）是由18世紀(jì)瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，它把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)、虛數(shù)單位、三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美.已知實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣也適用于復(fù)數(shù)指數(shù)冪，根據(jù)歐拉公式，下列說(shuō)法正確的是（）A.B.對(duì)任意，與互為共軛復(fù)數(shù)C.對(duì)任意，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上D.復(fù)數(shù)的實(shí)部為【答案】BCD【解析】【分析】由復(fù)數(shù)幾何意義可判斷A，由所給定義、誘導(dǎo)公式及共軛復(fù)數(shù)判斷B，由復(fù)數(shù)的幾何意義判斷C，根據(jù)所給定義化簡(jiǎn)，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，，所以對(duì)任意，與互為共軛復(fù)數(shù)，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，又，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，故C正確；對(duì)于D：的實(shí)部為，故D正確.故選：BCD11.已知向量，，，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.設(shè)函數(shù)，則的最大值為2C.的最大值為D.若，且在上的投影向量為，則與的夾角為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)判斷A，由數(shù)量積的坐標(biāo)表示及輔助角公式判斷B，根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示及輔助角公式判斷C，根據(jù)投影向量的定義及夾角公式判斷D.【詳解】對(duì)于A：若，則，所以，故A正確；對(duì)于B：，所以當(dāng)，即時(shí)取得最大值，最大值為，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)取得最大值，最大值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：在上的投影向量為，所以，所以，又，所以，此時(shí)，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離是，則____.【答案】【解析】【分析】首先得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算可得.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，依題意，解得.故答案為：13.在中，，，點(diǎn)在邊上，則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】如圖，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，則，，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí).故答案為：14.如圖所示，在直三棱柱中，，，則該三棱柱外接球的表面積為______；平面過棱的中點(diǎn)且與平行，若截該三棱柱所得的截面為等腰梯形，則該截面的面積為_________.【答案】①.②.##【解析】【分析】首先的斜邊，即可求出外接球的半徑，從而求出外接球的表面積；取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、、，即可得到平面即為平面，即可求截面面積.【詳解】在直三棱柱中，，，即底面為直角三角形，且斜邊，設(shè)該三棱柱外接球的半徑為，則，所以外接球的表面積，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、、，則、，所以，即、、、四點(diǎn)共面，由，平面，平面，所以平面，故平面即為平面，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則為等腰梯形的高，因?yàn)?，，，所以，所以，即故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，，向量滿足，且.（1）求的坐標(biāo)；（2）若與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，表示出的坐標(biāo)，再根據(jù)數(shù)量積及平面向量共線的坐標(biāo)表示得到方程組，解得即可；（2）依題意且與不反向，即可得到不等式組，解得即可.【小問1詳解】設(shè)，則，又，且，所以，解得，所以【小問2詳解】因?yàn)?，因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以則，解得且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.16.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，，且的虛部是實(shí)部的2倍.（1）求；（2）若復(fù)數(shù)使得為純虛數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合是什么圖形？【答案】（1）（2）直線去掉點(diǎn)【解析】【分析】（1）利用已知條件，設(shè)出復(fù)數(shù)，通過模長(zhǎng)公式及所對(duì)點(diǎn)所在位置求出即可復(fù)數(shù)；（2）把（1）中所求復(fù)數(shù)代入，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)的幾何意義得出在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合構(gòu)成圖形即可.【小問1詳解】因?yàn)榈奶摬渴菍?shí)部的2倍，所以設(shè)，又，即，所以，因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，所以，即，所以；【小問2詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，當(dāng)時(shí)，解得，所以等價(jià)于且，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的圖象為去掉一個(gè)點(diǎn)的直線.17.如圖所示，是圓柱下底面圓的直徑，是下底面圓周上異于，的動(dòng)點(diǎn)，，是圓柱的兩條母線.（1）求證：平面；（2）若異面直線與所成的角為，圓柱的表面積為，求四棱錐體積的最大值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由圓柱的性質(zhì)得到，又，即可得證；（2）依題意可得即為異面直線與所成的角，設(shè)圓柱的高為，底面半徑為，則，根據(jù)圓柱的表面積求出、，設(shè)，，得到，最后根據(jù)及基本不等式計(jì)算可得.【小問1詳解】為圓柱的母線，平面，又平面，．是下底面圓的直徑，．又平面，平面，平面；【小問2詳解】因?yàn)?，是圓柱的兩條母線，所以所以即為異面直線與所成角，即，所以為等腰直角三角形，所以，設(shè)圓柱的高為，底面半徑為，則，又圓柱的表面積，解得（負(fù)值已舍去），則，在中，設(shè)，，則，所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式取“=”號(hào)．故的最大值為．18.如圖所示，在四棱錐中，平面，，，為棱上一點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）求二面角的大??；（3）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，結(jié)合，得到，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得證；（2）設(shè)的中點(diǎn)為，連接、，即可證明、，即為二面角的平面角，再由銳角三角函數(shù)計(jì)算可得；（3）根據(jù)，利用等體積法計(jì)算可得.【小問1詳解】連接交于點(diǎn)