江蘇省南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高三上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

江蘇省南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高三上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．使得的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為()A． B． C． D．2．已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，分別為拋物線與圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．3．已知三棱錐的體積為2，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且三棱錐的外接球的球心恰好是中點(diǎn)，則球的表面積為（）A． B． C． D．4．雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．5．已知雙曲線的焦距為，若的漸近線上存在點(diǎn)，使得經(jīng)過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知復(fù)數(shù)，，則（）A． B． C． D．7．己知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)分別在拋物線上，且，直線交于點(diǎn)，，垂足為，若的面積為，則到的距離為（）A． B． C．8 D．68．已知非零向量滿足，，且與的夾角為，則（）A．6 B． C． D．39．已知雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的焦距為8，一條漸近線方程為，則C為（）A． B．C． D．10．某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽取了一個(gè)容量為的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在（單位：元）的同學(xué)有34人，則的值為（）A．100 B．1000 C．90 D．9011．劉徽是我國(guó)魏晉時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家，他在《九章算術(shù)》中對(duì)勾股定理的證明如圖所示.“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類，因就其余不移動(dòng)也.合成弦方之冪，開方除之，即弦也”.已知圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，其中“正方形為朱方，正方形為青方”，則在五邊形內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，此點(diǎn)取自朱方的概率為（）A． B． C． D．12．已知，其中是虛數(shù)單位，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線y＝e－5x＋2在點(diǎn)(0，3)處的切線方程為________．14．已知函數(shù)，則過原點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為____________.15．若向量與向量垂直，則______.16．已知實(shí)數(shù)，對(duì)任意，有，且，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))．在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓的方程為.(1)寫出直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程；(2)若點(diǎn)坐標(biāo)為，圓與直線交于兩點(diǎn)，求的值．18．（12分）已知函數(shù)．（1）若關(guān)于的不等式的整數(shù)解有且僅有一個(gè)值，當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）已知，若，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（12分）已知矩陣，求矩陣的特征值及其相應(yīng)的特征向量．20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中,有一個(gè)微型智能機(jī)器人（大小不計(jì)）只能沿著坐標(biāo)軸的正方向或負(fù)方向行進(jìn),且每一步只能行進(jìn)1個(gè)單位長(zhǎng)度,例如：該機(jī)器人在點(diǎn)處時(shí),下一步可行進(jìn)到、、、這四個(gè)點(diǎn)中的任一位置．記該機(jī)器人從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)、行進(jìn)步后落在軸上的不同走法的種數(shù)為．（1）分別求、、的值；（2）求的表達(dá)式．21．（12分）某中學(xué)的甲、乙、丙三名同學(xué)參加高校自主招生考試，每位同學(xué)彼此獨(dú)立的從五所高校中任選2所．（1）求甲、乙、丙三名同學(xué)都選高校的概率；（2）若已知甲同學(xué)特別喜歡高校，他必選校，另在四校中再隨機(jī)選1所；而同學(xué)乙和丙對(duì)五所高校沒有偏愛，因此他們每人在五所高校中隨機(jī)選2所．（i）求甲同學(xué)選高校且乙、丙都未選高校的概率；（ii）記為甲、乙、丙三名同學(xué)中選高校的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．22．（10分）已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，若展開式中有常數(shù)項(xiàng)，則，解得，當(dāng)r取2時(shí)，n的最小值為5，故選B【考點(diǎn)定位】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．2、D【解析】

利用拋物線的定義，求得p的值，由利用兩點(diǎn)間距離公式求得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，由取得最小值為，求得結(jié)果.【詳解】由拋物線焦點(diǎn)在軸上，準(zhǔn)線方程，則點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則，所以拋物線方程：，設(shè)，圓，圓心為，半徑為1，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，故選D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)距離的最小值問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的定義，點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為其到圓心的距離減半徑，二次函數(shù)的最小值，屬于中檔題目.3、A【解析】

根據(jù)是中點(diǎn)這一條件，將棱錐的高轉(zhuǎn)化為球心到平面的距離，即可用勾股定理求解.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以到平面的距離為，三棱錐的體積，解得，作平面，垂足為的外心，所以，且，所以在中，，此為球的半徑，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積，考查點(diǎn)到平面的距離，屬于中檔題．4、C【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可寫出漸近線方程.【詳解】雙曲線,雙曲線的漸近線方程為，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于容易題.5、B【解析】

由可得；由過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直可得,又焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為,則,進(jìn)而求解.【詳解】,所以離心率,又圓是以為圓心,半徑的圓,要使得經(jīng)過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直,必有,而焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為,所以,即,所以,所以雙曲線的離心率的取值范圍是.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用.6、B【解析】分析：利用的恒等式，將分子、分母同時(shí)乘以，化簡(jiǎn)整理得詳解：，故選B點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)問題是高考數(shù)學(xué)中的常考問題，屬于得分題，主要考查的方面有：復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，在運(yùn)算時(shí)注意符號(hào)的正、負(fù)問題.7、D【解析】

作，垂足為，過點(diǎn)N作，垂足為G，設(shè)，則，結(jié)合圖形可得，，從而可求出，進(jìn)而可求得，，由的面積即可求出，再結(jié)合為線段的中點(diǎn)，即可求出到的距離．【詳解】如圖所示，作，垂足為，設(shè)，由，得，則，.過點(diǎn)N作，垂足為G，則，，所以在中，，，所以，所以，在中，，所以，所以，，所以．解得，因?yàn)?，所以為線段的中點(diǎn)，所以F到l的距離為．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)及平面幾何的有關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．8、D【解析】

利用向量的加法的平行四邊形法則，判斷四邊形的形狀，推出結(jié)果即可．【詳解】解：非零向量，滿足，可知兩個(gè)向量垂直，，且與的夾角為，說明以向量，為鄰邊，為對(duì)角線的平行四邊形是正方形，所以則．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查向量的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解析】

由題意求得c與的值，結(jié)合隱含條件列式求得a2，b2，則答案可求.【詳解】由題意，2c＝8，則c＝4，又，且a2+b2＝c2，解得a2＝4，b2＝12.∴雙曲線C的方程為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

利用頻率分布直方圖得到支出在的同學(xué)的頻率，再結(jié)合支出在（單位：元）的同學(xué)有34人，即得解【詳解】由題意，支出在（單位：元）的同學(xué)有34人由頻率分布直方圖可知，支出在的同學(xué)的頻率為．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

首先明確這是一個(gè)幾何概型面積類型，然后求得總事件的面積和所研究事件的面積，代入概率公式求解.【詳解】因?yàn)檎叫螢橹旆?，其面積為9，五邊形的面積為，所以此點(diǎn)取自朱方的概率為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概型的概率求法，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

利用復(fù)數(shù)相等的條件求得，，則答案可求．【詳解】由，得，．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)相等的條件，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】

先利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，再寫出切線方程.【詳解】因?yàn)閥′＝－5e－5x，所以切線的斜率k＝－5e0＝－5，所以切線方程是：y－3＝－5(x－0)，即y＝－5x＋3.故答案為y＝－5x＋3.【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的求導(dǎo)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程是14、【解析】

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在切點(diǎn)的切線方程，將原點(diǎn)代入切線方程，求出的值，于此可得出所求的切線方程．【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，由于該直線過原點(diǎn)，則，得，因此，則過原點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查過點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線方程，求解思路是：（1）先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，并利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程；（2）將所過點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，求出參數(shù)的值，可得出切點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）將參數(shù)的值代入切線方程，可得出切線的方程．15、0【解析】

直接根據(jù)向量垂直計(jì)算得到答案.【詳解】向量與向量垂直，則，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16、-1【解析】

由二項(xiàng)式定理及展開式系數(shù)的求法得，又，所以，令得：，所以，得解．【詳解】由，且，則，又，所以，令得：，所以，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理及展開式系數(shù)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】試題分析：（1）由加減消元得直線的普通方程,由得圓的直角坐標(biāo)方程；（2）把直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，由直線參數(shù)方程幾何意義得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2,再根據(jù)韋達(dá)定理可得結(jié)果試題解析：解：（Ⅰ）由得直線l的普通方程為x+y﹣3﹣=0又由得ρ2=2ρsinθ，化為直角坐標(biāo)方程為x2+（y﹣）2=5；（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0設(shè)t1，t2是上述方程的兩實(shí)數(shù)根，所以t1+t2=3又直線l過點(diǎn)P，A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．18、（1）（2）【解析】

（1）求解不等式，結(jié)合整數(shù)解有且僅有一個(gè)值，可得，分類討論，求解不等式，即得解；（2）轉(zhuǎn)化，使得成立為，利用不等式性質(zhì)，求解二次函數(shù)最小值，代入解不等式即可.【詳解】（1）不等式，即，所以，由，解得．因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，不等式等價(jià)于或或即或或，故，故不等式的解集為．（2）因?yàn)?，由，可得，又由，使得成立，則，解得或．故實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的求解和恒成立問題，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.19、矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為，矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為【解析】

先由矩陣特征值的定義列出特征多項(xiàng)式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程組，即可求得相應(yīng)的特征向量.【詳解】由題意，矩陣的特征多項(xiàng)式為，令，解得，，將代入二元一次方程組，解得，所以矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為；同理，矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為v【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩陣的特征值與特征向量的計(jì)算，其中解答中熟記矩陣的特征值和特征向量的計(jì)算方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）,,,（2）【解析】

（1）根據(jù)機(jī)器人的進(jìn)行規(guī)律可確定、、的值；（2）首先根據(jù)機(jī)器人行進(jìn)規(guī)則知機(jī)器人沿軸行進(jìn)步,必須沿軸負(fù)方向行進(jìn)相同的步數(shù),而余下的每一步行進(jìn)方向都有兩個(gè)選擇(向上或向下),由此結(jié)合組合知識(shí)確定機(jī)器人的每一種走法關(guān)于的表達(dá)式,并得到的表達(dá)式,然后結(jié)合二項(xiàng)式定理及展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.【詳解】解：（1）,,（2）設(shè)為沿軸正方向走的步數(shù)（每一步長(zhǎng)度為1）,則反方向也需要走步才能回到軸上,所以,1,2,……,,（其中為不超過的最大整數(shù)）總共走步,首先任選步沿軸正方向走,再在剩下的步中選步沿軸負(fù)方向走,最后剩下的每一步都有兩種選擇（向上或向下）,即等價(jià)于求中含項(xiàng)的系數(shù),為其中含項(xiàng)的系數(shù)為故．【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)、二項(xiàng)式定理,考查學(xué)生的邏輯推理能力,推理論證能力以及分類討論的思想.21、（1）（2）（i）（ii）分布列見解析，【解析】

（1）先計(jì)算甲、乙、丙同學(xué)分別選擇D高校的概率，利用事件的獨(dú)立性即得解；（2）（i）分別計(jì)算每個(gè)事件的概率，再利用事件的獨(dú)立性即得解；（ii），利用事件的獨(dú)立性，分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望即得解.【詳解】（1）甲從五所高校中任選2所，共有共10種情況，甲、乙、丙同學(xué)都選高校，共有四種情況，甲同學(xué)選高校的概率為，因此乙、丙兩同學(xué)選高校的概率為,因?yàn)槊课煌瑢W(xué)彼此獨(dú)立，所以甲、乙、丙三名同學(xué)都選高校的概率為．（2）（